第八章分离变量法_数学物理方法
数学物理方法第八章
(7 ) ⎧ A0 = 0 ⎪ α1′ ⎪ A1a = − Ea + (8) a ⎪ ′ ⎨ A an = αn (9) n ⎪ n a ⎪ ′ βn n (10) ⎪ Bn a = n a ⎩
Wuhan University
习题课
一、正交曲线坐标系中的分离变量
【求解】
∂u I ε ∂ρ
∞
∂u II ρ =a = ∂ρ
2 l nπ 2 l nπ An = ∫ ϕ (α ) sin αdα , Bn = ∫0ψ (α ) sin l αdα 0 l l nπa
Wuhan University
习题课
二、齐次问题
1、求解
解：u ( x, t ) =
∑(A
n =1
⎧utt = a 2u xx , 0 < x < π , t > 0 ⎪ ⎪u ( x,0) = 3 sin x ⎫ ⎨ ⎬,0≤ x ≤π ⎭ ⎪ut ( x,0) = 0 ⎪u (0, t ) = u (π , t ) = 0; ∞ ⎩
n =1
′ ′ + ∑ (α n cos nϕ + β n sin nϕ ) ρ − n u
II
∞
ρ →∞
= − Eρ cos ϕ →
n =1
α 0 = 0, β 0 = 0; α n = 0(n ≠ 1), β n = 0; α1 ρ = − Eρ → α1 = − E
′ ′ u ( ρ , ϕ ) = − Eρ cos ϕ + ∑ (α n cos nϕ + β n sin nϕ )ρ − n
(3)
(2)
ρ =a
( 4)
习题课
一、正交曲线坐标系中的分离变量
第八章分离变量法_数学物理方法
第八章分离变量法_数学物理方法分离变量法是数学物理方法中的一种重要技术，通常用于求解偏微分方程。
在这一方法中，我们将多元函数表示为一系列单变量函数的乘积形式，然后将其代入到偏微分方程中，从而将多元偏微分方程转化为一系列常微分方程。
接下来，我将详细介绍分离变量法的思想和应用。
1.分离变量法的思想当我们面对一个多元偏微分方程时，通常很难找到它的解析解。
分离变量法的思想就是将多元函数表示为单变量函数的乘积形式，然后将其代入到偏微分方程中，从而将多元偏微分方程转化为一系列常微分方程。
具体来说，设有一个n元函数u(x1, x2, ..., xn)，我们希望将其表示为n个单变量函数的乘积形式u(x1, x2, ..., xn) =u1(x1)u2(x2)...un(xn)。
代入偏微分方程后，我们可以得到一系列等式，将等式两边同时除以对应的单变量函数后，得到n个只依赖于一个变量的常微分方程。
然后我们可以分别求解这些常微分方程，得到对应的单变量函数的解析解。
2.分离变量法的应用分离变量法在物理学中有广泛的应用，特别是在描述传热、传质、波动等现象的偏微分方程的求解中。
以下是几个典型的例子：(1)热传导方程热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程。
假设物体的温度分布函数为u(x,t)，其中x表示位置，t表示时间。
热传导方程可以写成如下形式：∂u/∂t=a²∇²u其中a是热传导系数。
我们可以将温度分布函数表示为u(x,t)=X(x)T(t)，然后代入热传导方程，得到两个常微分方程X''/X=T'/a²T。
分别解这两个方程，可以得到温度分布函数的解析解。
(2)线性波动方程线性波动方程是描述波动现象的方程。
假设波动函数为u(x,t)，其中x表示位置，t表示时间。
∂²u/∂t²=v²∇²u其中v是波速。
我们可以将波动函数表示为u(x,t)=X(x)T(t)，然后代入线性波动方程，得到两个常微分方程X''/X=v²T''/T。
分离变量法
X C1 cos x C2 sin x
而由边界条件
C1 0
C2 sin
因为
l 0
所以 sin
C2 0
l 0
l n
n
2 2
l
2
有
X C2 sin
n
x
l 《数学物理方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ》
n
2
2
l
2
称为本征值
X C2 sin
n l
x
是Furier级数的基本函数族
utt a 2u xx 0 (0 x l , t 0) (4) u x ( x, t ) x 0 0 ，u ( x, t ) x l 0 (t 0) u ( x, t ) t 0 ( x) ，u ( x, t ) t 0 ( x ) (0 x l )
初始条件
u t 0 u0 x / l
驻波的一般式
u ( x, t ) X ( x)T (t )
分离变量
《数学物理方法》
ut a u xx 0
2
边界条件
u ux
x 0 x l
0 0
2
u ( x, t ) X ( x)T (t )
代入泛定方程
X ( x)T ' (t ) a X " ( x)T (t ) 0
T ' (t ) a T (t ) 0
以下求X
（1）、 < 0， = 0
仅得无意义的解
（2）、 > 0
X 0
X " X 0
0
k l
d n l d
《数学物理方法》
数学物理方法课件第八章------分离变量法
由傅里叶正弦级数展开 式系数公式可求出
2 l 2 (2n 1) 32l 2 An ( x 2lx) sin xdx 0 l 2l (2n 1)3 3 Bn 0
故定解问题的最终解为
u( x, t ) 32l 2
3
1 (2n 1)a ( 2n 1 )π cos t sin x 3 2l 2l n 1 (2n 1)
齐次方程+齐次边界条件
非齐次方程+齐次边界条件 非齐次方程+非齐次边界条件
2
8.1 有界弦的自由振动
定解问题1 研究两端固定的弦的自由振动
(0 x l , t 0)
2 泛定方程： utt a uxx 0
边界条件： u( x, t ) 初始条件： u
t 0
x 0
0
u( x, t )
C1 C 2 0
同样只有零解，不合题意；
(3)
0
X ( x) C1 cos x C2 sin x
X (0) C1 0
非零解 C2 0
X (l ) C2 cos l 0
cos l 0
(2n 1) 2 2 则n , 2 4l (n 1,2,...)
第三步：求出全部特解，并叠加出一般解（形式解）； n n n u ( x, t ) (Cn cos at Dn sin at )sin x l l l n 1
第四步：代入初始条件，运用特征函数的正交性确定叠加系数.
注意本征函数问题：
本征值问题 边界条件
X (0) X (l ) 0 X (0) X (l ) 0 X (0) X (l ) 0
分离变量法
分离变量法分离变量法又称Fourier 级数方法，而在波动方程情形也称为驻波法。
它是解决数学物理方程定解问题中的一种基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动的叠加。
思想：把偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解。
常微分方程求解：()()()()()P x dx P x dx P x dx y x Ce e Q x e dx−−∫∫∫=+∫一阶非齐次的常微分方程：()(),dy P x y Q x dx+=它的通解为二阶非齐次的常微分方程：()()()y P x y Q x y f x ′′′++=它的通解为21112212()y f y f y x C y C y y dx y dx W W=+−+∫∫其中1212,0.,y y W y y =≠′′12()()0.y P x y y Q x y y ′′′++=两个线性是无关的解和并且常系数齐次的常微分方程：0y py qy ′′′++=它的特征方程20r pr q ++=，假设特征方程的根为12.r r ，(1)特征方程有两个不等的实根:齐次方程通解为：12.r x r xy Ae Be =+(2)特征方程有两个相等的实根:(3)特征方程有一对共轭的复根:12,,r i r i αβαβ=+=−齐次方程通解为()(cos sin ).xy x e A x B x αββ=+1().r xy A Bx e =+第一节有界弦的自由振动22222,(0,),0(,0)(),(,0)(),[0,](0,)(,)0,0t u u a x l t t x u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧∂∂=∈>⎪∂∂⎪⎪==∈⎨⎪==≥⎪⎪⎩一根长为l 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动.物理解释：•求解的基本步骤2XT a X T′′′′=第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解(,)()()u x t X x T t =把分离形式的解代入方程可得即2()()()()T t X x a T t X x ′′′′=以及上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可得两端只能是常数，记为()()0(0)()0X x X x X X l λ′′+=⎧⎨==⎩X (x ):2()()0T t a T t λ′′+=T (t ):固有值问题(0)()()()0X T t X l T t ==.λ−从而有情形(A)下对λ的三种情况讨论固有值问题：0λ<(),x x X x AeBe λλ−−−=+0,A B +=其通解为代入边界条件可得0l l Ae Be λλ−−−+=0A B ==只有零解。
《分离变量法》课件
目 录
• 分离变量法简介 • 分离变量法的步骤 • 分离变量法的应用实例 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的改进方向 • 分离变量法的未来展望
01
分离变量法简介
定义与特点
定义
分离变量法是一种求解偏微分方 程的方法，通过将多变量问题转 化为多个单变量问题，从而简化 求解过程。
交叉学科应用
探索分离变量法在交叉学 科中的应用，如生物医学 工程、环境科学等。
与其他方法的结合使用
与数值方法的结合
将分离变量法与其他数值方法（如有限元法、有限差分法等）结 合使用，形成更有效的数值计算方法。
与机器学习算法的结合
将分离变量法与机器学习算法相结合，用于数据分析和模式识别等 领域。
与优化算法的结合
工程与技术领域
分离变量法在解决工程与技术领域中的偏微 分方程问题方面具有优势，如结构分析、电 磁波传播、信号处理等。随着工程与技术的 不断发展，分离变量法有望在解决实际问题 中发挥更大的作用。
THANK YOU
感谢观看
立。
近似解
分离变量法得到的解是近似解，而 不是精确解。因为这种方法忽略了 各个变量之间的相互作用和影响。
数值稳定性
分离变量法在数值计算中可能存在 数值稳定性问题，例如数值误差的 累积和传播可能导致计算结果失真 或误差较大。
05
分离变量法的改进方向
算法优化
01
02
03
算法效率提升
通过改进算法结构，减少 计算复杂度，提高分离变 量法的计算速度。
精度控制
优化算法中的数值计算方 法，提高结果的精度和稳 定性，减少误差。
自适应调整
根据不同问题的特性，自 适应地调整算法参数，提 高分离变量法的适用性和 可靠性。
数理方程-分离变量法
第八章 分离变量法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 对于这样的定解问题，我们将介绍分离变量法求解，首先回忆高数中我们如何处理的求解的，高数中处理微分或重积分是把函数分成单元函数分离变量法的思路：对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解，也就是通过分离变量法把x 、t 两个变量分开来，即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。
分离变量法的思想：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知的数）。
叠加原理：线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解。
特点：（1）数学上 解的唯一性来做作保证。
（2）物理上 由叠加原理作保证。
例：有界弦的自由振动1.求两端固定的弦的自由振动的规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 第一步：分离变量（建立常微分方程定解问题） 令)()(),(t T x X t x u =这个思想可从实际的物理现象可抽象出来，比如我现在说话的声音，它的振幅肯定随时间变化，但到达每个同学的位置不同，振幅又是随位置变化，可把声音分成两部分，一部分认为它随时间变化，一部分随位置变化。
第二步：代入方程（偏微分就可写成微分的形式，对于u 有两个变量，但对于X 、T 都只有一个变量）)()()()(2t T x X a t T x X ''=''变形得)()()()(2t T a t T x X x X ''=''= λ- 左边与t 无关，右边与x 无关，左右两边相互独立，要想相等，必定等于一个常数。
《分离变量法》课件
06
总结与展望
总结
内容回顾
详细梳理了分离变量法的基本概 念、应用场景、实施步骤和注意 事项，帮助学习者全面理解这一
方法。
案例分析
通过具体的案例分析，展示了分离 变量法在解决实际问题中的应用， 加深学习者对方法的理解和掌握。
互动问答
鼓励学习者在课程结束前提出疑问 ，并对常见问题进行了解答，有助 于巩固学习效果。
展望
新应用领域
实践应用建议
探讨分离变量法在未来可能的应用领 域，如人工智能、大数据分析等，为 学习者提供新的思路和方向。
为学习者提供将分离变量法应用于实 际问题的建议和指导，帮助他们更好 地实现学以致用。
方法改进
介绍分离变量法的最新研究进展和可 能的改进方向，激发学习者进一步探 索和研究。
谢谢您的聆听
02
分离变量法的原理
原理概述
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将多个变量分离，将复杂 的偏微分方程简化为一系列简单的常 微分方程，从而求解。
该方法适用于具有多个变量的偏微分 方程，特别是当各变量之间相互独立 时。
数学模型建立
首先，需要建立偏微分方程，并确定变量 的个数。
然后，通过适当的变换，将偏微分方程转 化为全微分方程。
求解过程
通过分离变量法，可以将 $u(x, t) = X(x) T(t)$，从而将波动方程 转化为 $X''(x) = -lambda X(x)$ 和 $T''(t) = -omega^2 T(t)$， 其中 $lambda$ 和 $omega$ 是常数。
应用实例二：化学反应动力学模型
总结词
描述化学反应速率
THANKS
数学物理方法课件 第八章-分离变量法-2
数学物理方法（II）3、二维拉普拉斯方程—热传导二维矩形区域的稳态热传导问题：y uu 0b散热片的横截面为一矩形，长和宽分别a b 。
它的一边y=b 为和它的边y 处于较高的温度，其它三边保持零度。
求横截面上的xa 0(0,0)xx yy u u x a yb +=<<<<⎧稳恒的温度分布000|0,|0|0,|x x a y y b u u u u u ====⎪==⎨⎪==⎩=?求出任意点(x,y )的温度分布u (x,y )?(,)sin u x b u A C e D e x ==+01n n n n a=⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦∑⎧再利用三角函数的正交性，可以得到：0 C D +=小结：（1）可以采用分离变量法(,)()()u r R r ϕϕ=Φ求解平面极坐标系中的拉普拉斯方程；（2）由周期性条件确定本征值和本征函数：2 (0,1,2,3...)()cos sin m m m m m A m B m λϕϕϕ==Φ=+在径向上的边界条件可以是非齐次的。
（3）拉普拉斯方程的通解为：00(,)ln u r C D rϕ∞=+叠加系数由径向上的非齐次边界条件确定()()1 +cos sin m m m m m m m C r D r A m B m ϕϕ−=++∑叠加系数由径向上的非齐次边界条件确定。
例2可以近似地认为带电云层与大地之间的静电场是均匀分布的，且电场强度E 0的方向竖直向下。
现将一个半径为a 的无限长直导线水平架设在该电场中，求导线周围的电场分布。
++带电云分析：轴其截面在平面++•取导体线的方向沿z 轴，其截面在xy 平面；•由于导体线是无线长的，可以取其一个界面进行分析另外导体线的截面个圆故y进行分析。
另外，导体线的截面一个圆，故可以采用平面极坐标系;(,)r ϕx•均匀电场的方向沿x 轴，即00xE =E e 大地/2π/2π−。
数学物理方程分离变量法研究生高校本科生PPT课件
l n , (n 1, 2,.....)
从而得到了固有值为
n
n2 2
l2
,
(n 1, 2,.....)
相应的固有函数为
(11) 固有值问题
Xn (x)
B sin
n
l
x
,
(n 1, 2,.....)
X ''(x) X (x) 0 (6)
(12)
X
(0)
0,
X
(l)
0
(10)
第12页/共97页
ut |t0
x)
Cn sin
n1
n
l
x
n a
(x) Dn
n1
l
sin
n
l
x
第14页/共97页
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
u
ut
|t0 ( |t0
x)
Cn
n1
sin
n
l
x
n a
(x) Dn
n1
l
sin
n
l
x
这两式正好是(x)和 (x)关于 sin
n
l
x的正弦展开。
根据Fourier级数展开法则(见下页附录)，便可得到
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
iii)求方程满足边界条件的特解。
设u(x,t) X (x)T (t) (4)
为了求出T (t)，把(11)式代入(7)式，得 T ''(t) a2T(t) 0 (7)
T
''(t)
n2 2a2
l2
T
(t)
0
其通解为一对共轭复根，即
n
《数学物理方法》5分离变数法
（An
n1
cos
nat
l
Bn
sin
nat
l
）cos
nx
l
[例3] 杆的导热。设初始杆的一端温度为零， 另一端为u0。杆上温度梯度均匀，一端保 持零度不变，另一端与外界绝热。求杆温度
ut a 2uxx 0
a2 k
c
（0 xl）
u 0 x0
ux
0
xl
u（x，t）
t0
u0
x l
（0 xl）
[解] 设 u（x，t） X（x）T（t）
X（a） 0
C2 sin ka 0
X（x）要有非零解 C2 0 sin ka 0
ka n
k2
n2 2
a2
（n 1，2，3，）
本征值：
n
n2
a2
2
（n 1，2，3，）
本征函数：
X（n x）
sin n
a
x
Y Y 0
Y
通解：
Y（n y）
n y
Ane a
（n 1，2，3，）
X X 0
X（0） 0 X （l） 0
X X 0
X（0） 0 X （l） 0
？满足边界条件的常微分方程有非零解
（1） 0
X
d2X dx 2
0
通解：X（x） C0 D0 x
X（0） 0 X （l） 0
C0 0 D0 0
X（x） 0 0 应排除
（2） 0
设 k2
代入泛定方程和边界条件：
X（x）T （t） a2 X （x）T（t） 0
X（0）T（t） 0 X（l）T（t） 0
分离变量 X（x）T （t） a2 X （x）T（t）
数学物理方法技巧分离变量法
目录
CONTENTS
• 引言 • 分离变量法的基本原理 • 分离变量法的具体应用 • 分离变量法的注意事项 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的未来发展与展望
01
引言
分离变量法的定义
分离变量法是一种数学物理方法，用 于将多变量问题转化为多个单变量问 题，以便于求解。
它通过将偏微分方程转化为常微分方 程，或者将高阶微分方程转化为一系 列在解决具有多个相互独立变量的物理 问题时，如波动、热传导、流体动力 学等，分离变量法是非常有效的工具 。
它适用于具有周期性边界条件或对称 性边界条件的问题，如无限大区域、 周期性结构等。
THANKS
感谢您的观看
结合其他数值方法进行优化
1 2 3
混合方法
结合分离变量法和有限元法、有限差分法等其他 数值方法，形成混合方法，取长补短，提高求解 精度和效率。
自适应方法
结合分离变量法和自适应方法，根据问题特性和 求解需求，动态调整算法参数和求解精度，实现 高效求解。
无网格方法
结合分离变量法和无网格方法，克服传统数值方 法的网格依赖性，提高求解灵活性。
02
偏微分方程的解需要满足一定的边界条件和初始条件。
03
偏微分方程的解需要满足可解性条件，即解需要是有限个变 量的函数。
分离变量法的步骤
01
将偏微分方程转化为常微分方程。
02 对常微分方程进行求解，得到各个变量的解。
03 将各个变量的解组合起来，得到原偏微分方程的 解。
03
分离变量法的具体
应用
一维波动方程的分离变量法
为了确保数值解法的稳定性，可以采用多种方法，如增加计算步长、使用更精确的数值格式等。同时 ，也需要不断尝试和改进计算方法，以提高数值解法的稳定性和准确性。
数学物理方法课件：8-分离变数法
(n为偶数), (n为奇数),
27
解出
0
An
Bn
4
n
U enb / a
u0 - enb / a
(n为偶数), (n为奇数),
结果：
u(x, y) u0 v(x, y)
u0
4(U
u0
)
n0
1 (2k
1)
sh sh
(2k (2k
1)y
a
1)b
sin
(2k
1)x.
a
a
作业：第160页第1题,第2题
其边界条件分别为齐次边界条件周期性边界条件和自然边界条件有界性边界条件分离变量法适用于波动问题输运问题和稳定场问题在特殊域矩形长方体直角坐标系圆圆柱体柱坐标系圆球球坐标系中的定解问题因为这些特殊域正好常常在实际问题中出现这是分离变量法有广泛的应用的原因
第八章 分离变数法(6)
➢ 分离变量法的基本思想是,先求出方程具有变量分 离形式且满足边界条件的特解, 然后根据叠加原 理作出这些解的线性叠加, 最后由其余的定解条 件确定待定系数, 得到定解问题的解.
E
dl
r
r0 dr ln r0
r 2 0r
2 0 r
29
圆形区域的分离变数法
例4(p154) 带电的云跟大地之间的静 电场近似是匀强静电场，其电场强度 E0 是竖直的。水平架设的输电线处 在这个静电场之中。输电线是导体圆 柱。研究导体圆柱附近的静电场。
3、根据r1,r2的不同情况，按下表写 出(*)式的通解：
r1，r2的形式
(*)式的通解
两个不相等实根 ( p2 4q 0)
y c1er1x c2er2x
两个相等实根 ( p2 4q 0)
数学物理方法分离变量法
数学物理方法分离变量法分离变量法是数学物理中常用的一种解微分方程的方法，它适用于一些特定形式的偏微分方程，能够将原方程分解成一系列简单的常微分方程，从而求得方程的解。
在物理学中，分离变量法常常用于描述热传导、波动、量子力学等问题的求解。
本文将介绍分离变量法的基本思想和应用，以及一些实际问题中的案例分析。
首先，我们来看一般形式的偏微分方程：\[F(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\frac{\partial^2 u}{\partial y^2},...) = 0\]其中，\(u = u(x,y)\) 是未知函数，\(F\) 是关于 \(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\frac{\partial^2u}{\partial y^2},...\) 的已知函数。
我们的目标是求解这个偏微分方程，找到满足条件的 \(u\) 函数。
分离变量法的基本思想是假设未知函数 \(u(x,y)\) 可以表示为两个独立变量 \(x\) 和 \(y\) 的乘积形式，即 \(u(x,y) = X(x)Y(y)\)。
将这个形式代入原方程中，然后通过变量分离的方法，将方程化为两个关于 \(x\) 和 \(y\) 的常微分方程。
最后再对这两个方程分别进行积分，得到原偏微分方程的解。
下面我们通过一个具体的例子来说明分离变量法的应用。
考虑二维热传导方程：\[\frac{\partial u}{\partial t} = k\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)\]其中，\(u(x,y,t)\) 表示温度分布，\(k\) 是热传导系数。
数学物理方法：第八章-分离变量法-3
小结：（1）可以采用分离变量法(,)()()u r R r ϕϕ=Φ求解平面极坐标系中的拉普拉斯方程；（2）由周期性条件确定本征值和本征函数：2 (0,1,2,3...)()cos sin m m m m m A m B m λϕϕϕ==Φ=+在径向上的边界条件可以是非齐次的。
（3）拉普拉斯方程的通解为：()()001,ln cos sin m m m m u r C D r r A m B m ϕϕϕ∞==+++∑叠加系数由径向上的非齐次边界条件确定()1cos sin m m m m r C m D m ϕϕ∞-=++∑叠加系数由径向上的非齐次边界条件确定。
/2π/2π-等势线和电场线示意图由径向上的齐次边界条件可以确定出常数k ()()()m m m m m R r C J kr D N kr =+由径向上的齐次边界条件，可以确定出常数k 的值：例如：柱侧第一类齐次边界条件(1,2,3,...)k k n ==（本征值）()()()0,m m m m m n nR a C J ka D N ka k a x =+==n（3）对于常微分方程22()()0T t a k T t ''+=cos sinT t E k at F k at =+nk k =()()()n n n n n 波动方程的一般解为波动方程的一般解为：)∞∞=10(,,)()()() m n m n n m u r t R k r T t ϕϕ==Φ∑∑小结：（1）可以采用两次分离变量法(a) (b)(,)()()u t T t V =r r )()()Φ将空间变量与时间变量分离(b) 求解平面极坐标系中的波动方程；（）存在套本征值和本征函数(,V r R r ϕϕ=将径向变量与角向变量分离（2）存在两套本征值和本征函数：2 (0,1,2,3...)m m λ⎧==()cos sin m m m A m B m ϕϕϕ⎨Φ=+⎩ (1,2,3,...)n k k n ==⎧由周期性条件确定（3）拉普拉斯方程的通解为：()()()m n m m n m m n R k r C J k r D N k r ⎨=+⎩由径向齐次边界条件确定10(,,)()()()m n m n n m u r t R k r T t ϕϕ∞∞===Φ∑∑叠加系数由初始条件和自然边界条件确定。
数学物理方法课件 第八章-分离变量法-2
数学物理方法（II）3、二维拉普拉斯方程—热传导二维矩形区域的稳态热传导问题：y uu 0b散热片的横截面为一矩形，长和宽分别a b 。
它的一边y=b 为和它的边y 处于较高的温度，其它三边保持零度。
求横截面上的xa 0(0,0)xx yy u u x a yb +=<<<<⎧稳恒的温度分布000|0,|0|0,|x x a y y b u u u u u ====⎪==⎨⎪==⎩=?求出任意点(x,y )的温度分布u (x,y )?(,)sin u x b u A C e D e x ==+01n n n n a=⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦∑⎧再利用三角函数的正交性，可以得到：0 C D +=小结：（1）可以采用分离变量法(,)()()u r R r ϕϕ=Φ求解平面极坐标系中的拉普拉斯方程；（2）由周期性条件确定本征值和本征函数：2 (0,1,2,3...)()cos sin m m m m m A m B m λϕϕϕ==Φ=+在径向上的边界条件可以是非齐次的。
（3）拉普拉斯方程的通解为：00(,)ln u r C D rϕ∞=+叠加系数由径向上的非齐次边界条件确定()()1 +cos sin m m m m m m m C r D r A m B m ϕϕ−=++∑叠加系数由径向上的非齐次边界条件确定。
例2可以近似地认为带电云层与大地之间的静电场是均匀分布的，且电场强度E 0的方向竖直向下。
现将一个半径为a 的无限长直导线水平架设在该电场中，求导线周围的电场分布。
++带电云分析：轴其截面在平面++•取导体线的方向沿z 轴，其截面在xy 平面；•由于导体线是无线长的，可以取其一个界面进行分析另外导体线的截面个圆故y进行分析。
另外，导体线的截面一个圆，故可以采用平面极坐标系;(,)r ϕx•均匀电场的方向沿x 轴，即00xE =E e 大地/2π/2π−。
数学物理方法 第8章 分离变数法
X (0) X (l ) 0
nx n 2 2 X ( x) 1 cos 2 l l n 0,1, 2, n0 T (t ) A0 B0 t nat nat n 1
An cos l Bn sin l
例2：研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端 温度为零度，另一端温度为 u0 ，杆上温度梯 度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端 跟外界绝热。试求细杆上温度的变化。
四、分离变数法求解定解问题的基本步骤
线性齐次的 分离 偏微分方程 变数 齐次边界条件 初始条件 常微分方程1
解1
本征解 （解1＊解2） 解2 本征值 本征函数
常微分方程2
条件
分离变数
确定叠加系数
定解问题的解
本征值
本征解
五、付里叶级数法
nx 令 u ( x, t ) Tn (t ) sin l n 1
0 xl
——与采用分离变数法所得结果一致。
§8.2直角坐标系中有界空间上 的齐次泛定方程
例1：两端自由的均匀杆的纵振动问题
utt a u xx 0
2
0 xl
t0
ux
x0
ux
xl
0
t0
0 xl
u t 0 ( x) ut
t 0
( x)
解：由边界条件 u x
2 2 2
0 xl
n 2 2 a 2 Tn(t ) Tn (t ) 0 2 l
n 1
nat nat Tn (t ) An cos Bn sin l l
nat nat nx u ( x, t ) [ An cos Bn sin ] sin l l l n 1
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1 (k ) u0 x 2u0 l 2 x =（-1） k sin 1 l l (k ) 2 2 2
u( x, y )
2u0 l
2
k 0
(-1)
k
1 1 2 (k ) 2
1 1 ( k )2 2a 2 (k ) 2 t 2 xe l2 sin l
分离变量法也适用于Laplace方程
l
7、 分离变量法概要： （1）、将齐次偏微分方程分为若干常微分方程
（2）、参数常微分方程与齐次边界条件构成本征值问题
（3）、将本征解叠加无穷级数，给出通解 （4）、有初始条件确定通解系数（傅立叶展开 ）
例1、研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零，另一
端温度为u0，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不
(*) y py qy 0，其中p, q为常数； 求解步骤： 2、求出()式的两个根r1 , r2
1、写出特征方程： )r 2 pr q 0，其中r 2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y, y, y的系数； (
3、根据r1 , r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：
解
如图选择坐标系，电荷具有面 对称性,形成的电场也具有面对 称性. 在圆柱外,电势满足Laplace
+++++++++++
y
方程.
2u 0
( 0)
________ x
设导体上的电势为0,有下列边 界条件:
+++++++++++
u a 0
定解问题为:
2u 0 u 0 a u E0 cos ( 0)
x=0, l 时
c1 0 c1 sin l c2 cos l 0
则有 则必有
c2 cos l 0
c2 0
cos l 0
（k=0,1,2……）
1 L ( k ) 2
故有：
1 2 2 (k ) 2 l2
(k 0,1,2..)
波腹——振动总是最大点，波节——振幅总是为零点
（2）、u n(x,t) 特解称为本征振动模式它与初始条件无关。 称固有振动模式
（3） 、节点数 n+1
sin l 0
l 2l (n 1)l ,l 位置 x 0, , , n n n 2l （4） 相邻节点之间距离等于半波长， 波长 、 即 n n na na ,v （5） 、本征频率 n l 2 2l a , 基频 基波（决定了音调） （6） 、基波，谐波 n=1 时 1 l na n 1时 n 谐波 谐波（决定了音色）
u | x l 0,
X (0)T (t ) 0
X | x 0 0
X (l )T (t ) 0
X ( x ) | x l 0
3、本征值问题：
X " X 0 本征值方程 X | x 0 X | x l 0
由约束条件和方程本身称为方程的本征值问题
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
2u 2u 2 2 a2 2 0 L 2 a2 2 t 2 x t x
u 2 a u 0 L a 2 t t
u 0 L
L称为算符，偏微分方程可以用算符作用在函数上标示出来 非齐次方程 L[u]=f(x,y,z,t) 齐次方程L[u]=0
2
r1 i，r2 i 4q p 2 p ， 2 2
（1） 0 解为 、
X ( x ) c1e
当x=0，l 时
x
c2 e
x
c1 c 2 0 c1e
l
c2e
l
0
c1 c2 0
无意义,则 0 不能
1 (k ) 2 x X ( x ) c2 sin l
k=0,1,2……
1 1 2 ( k ) 2 2a 2 (k ) 2 t 2 2 l2 T ' a T 0 T（t）=Ae l
本征解
uk ( x, t ) xk ( x )Tk (t )
1 1 ( k ) 2 2a 2 (k ) 2 t 2 l2 xe = Ak sin l
X ( x )Ttt a 2 X xx ( x )T (t ) 0,
分离过程：
Ttt (t ) X ( x) xx 2 a T (t ) X ( x)
得出两个常微分方程：
Ttt a 2T 0 X " ( x ) X ( x ) 0
代入边界条件： u | x 0 0,
径向方程为:
d 2R dR 2 m2 R 0 d d
et
d 2R m2 R 0 dt 2
解为
Cemt De mt C m D m R( ) C Dt C D ln
3) 通解为
(m 0) (m 0)
x
c1e
l
c2e
l
0
c1 c2 0
（2） 0 解为 、
X ( x) c1 x c2
X=0,l 时
c2 0 c1 0
c1 c2 0
无意义，则 不能=0
（3） 0 方程的解为 、
X ( x ) C1 cos x C 2 sin x
n0
nat nat n un ( x, t ) [ An cos Bn sin ] sin x l l l
n=1,2,3……
4、通解：
u( x, t )
n 1
na na n [ An cos t Bn sin t ] sin x l l l
5 、由广义傅立叶级数展开法确定方程中的系数：
（1） 设解 u( x, t ) =x(x)T(t)
(2) 分离变数：
x " x 0 x (0) 0, x ' ( l ) 0
T ' a T 0
2
(3)、求解本征值问题：
（1） 0 解为 、
X(x)= c1e c1 c2 0
x
c2 e
变，另一端跟外界绝热，试求杆上温度的变化。
解：杆上温度 u( x, t ) 满足下列方程，定解条件
ut a 2 u xx 0(a 2 k / c )(0 x l )
边界条件： u | x 0 0
ux | x l 0
初始条件： u |t 0 u0 x / l (0 x l )
（4）、通解中常数确定
u( x, t )
uk ( x , t ) =
k 0
1 1 ( k ) 2 2a 2 (k ) 2 t 2 l2u |t 0 = l k 0
2 Ak l 0
l
1 (k ) 2 x Ak sin l
r1，r2的形式
两个不相等实根 ( p 4q 0)
2
(*)式的通解
y c1e r1x c2 e r2 x y (c1 c2 x)e r1x y ex (c1 cos x c2 sin x)
两个相等实根 ( p 4q 0)
2
一对共轭复根 ( p 4q 0)
2. 性质 1) u1 , u2 分别是齐次方程的
L[u1 ]=0
L[u 2 ]=0
则其组合 L[c1u1 c2 u2 ] 0 2) u1 是非齐次方程的解 u2是齐次方程的解 L[u1]=f L[u2]=0
则 u1 u2 是非齐次方程的解:
L[u1 u2 ] f
3）若L[u1]=f1,L[u2]=f2 则 L[u1 u2 ] f1 f 2 性质（3）对边界条件，初始条件常常用到。
（2） 0 解为 、
X ( x) c1 x c2
X=0, l 时
c2 0 c1l c 2 0
无意义,则 不能=0
c1 c2 0
（3） 0 方程的解为 、
X ( x ) c1 cos x c2 sin x
x=0, l 时
c1 0 c1 cos l c 2 sin l 0
第八章 分离变数法 （傅立叶级数法）
重点
1、两个变数的齐次微分方程、齐次边界条件的分离 变量的求解方法 2、两个变数的非齐次微分方程、齐次边界条件的傅 立叶级数的求解方法 3、非齐次边界条件的处理方法 4、三维泊松方程的特解求解方法
§8、1
齐次方程的分离变数解法
一、线性定解问题的叠加性质
1. 算符
u ( , ) C0 D0 ln [ m ( Am cos m Bm sin m )
m 1
m (Cm cos m Dm sin m )]
4) 代入边界条件确定系数
m u a 0 C0 D0 ln a [a ( Am cos m Bm sin m ) m 1
________ x
y
1)
形式解
u( , ) R( ) ( )
2) 代入方程分离变量
2u 1 u 1 2u 2u 2 2 0
1 d dR ( ) R d d
0 ( 2 ) ( ) 2 R R R 0
则有
c2 sin l 0