第八章分离变量法_数学物理方法

1 (k ) u0 x 2u0 l 2 x =（-1） k sin 1 l l (k ) 2 2 2
u( x, y )
2u0 l

2

k 0

(-1)
k
1 1 2 (k ) 2
1 1 ( k )2 2a 2 (k ) 2 t 2 xe l2 sin l
分离变量法也适用于Laplace方程
2
r1 i，r2 i 4q p 2 p ， 2 2
（1） 0 解为 、
X ( x ) c1e
当x=0，l 时
x
c2 e
x
c1 c 2 0 c1e
l
c2e
l
0
c1 c2 0
无意义,则 0 不能
1 (k ) 2 x X ( x ) c2 sin l
k=0,1,2……
1 1 2 ( k ) 2 2a 2 (k ) 2 t 2 2 l2 T ' a T 0 T（t）=Ae l
本征解
uk ( x, t ) xk ( x )Tk (t )
1 1 ( k ) 2 2a 2 (k ) 2 t 2 l2 xe = Ak sin l
波腹——振动总是最大点，波节——振幅总是为零点
（2）、u n(x,t) 特解称为本征振动模式它与初始条件无关。 称固有振动模式
（3） 、节点数 n+1
sin l 0
l 2l (n 1)l ,l 位置 x 0, , , n n n 2l （4） 相邻节点之间距离等于半波长， 波长 、 即 n n na na ,v （5） 、本征频率 n l 2 2l a , 基频 基波（决定了音调） （6） 、基波，谐波 n=1 时 1 l na n 1时 n 谐波 谐波（决定了音色）
l
7、 分离变量法概要： （1）、将齐次偏微分方程分为若干常微分方程
（2）、参数常微分方程与齐次边界条件构成本征值问题
（3）、将本征解叠加无穷级数，给出通解 （4）、有初始条件确定通解系数（傅立叶展开 ）
例1、研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零，另一
端温度为u0，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不
n0
nat nat n un ( x, t ) [ An cos Bn sin ] sin x l l l
n=1,2,3……
4、通解：
u( x, t )
n 1

na na n [ An cos t Bn sin t ] sin x l l l
5 、由广义傅立叶级数展开法确定方程中的系数：
3) 求解本征值问题
A cos B sin ( ) A B ( 0) Ae Be ( 0)
( 0)
得本征值和本征函数:
m2
m 0,1,2,3...
(m 0) (m 0)
A cos m B cos m ( ) A
径向方程为:
d 2R dR 2 m2 R 0 d d
et
d 2R m2 R 0 dt 2
解为
Cemt De mt C m D m R( ) C Dt C D ln
3) 通解为

(m 0) (m 0)
解
如图选择坐标系，电荷具有面 对称性,形成的电场也具有面对 称性. 在圆柱外,电势满足Laplace
+++++++++++
y
方程.
2u 0
( 0)
________ x
设导体上的电势为0,有下列边 界条件:
+++++++++++
u a 0
定解问题为:
2u 0 u 0 a u E0 cos ( 0)
2 n An ( ) sin d l 0 l
l
n Bn ( ) sin l d na 0 2
l
6、物理意义： （1）、u(x,y)=T(t)X(x)是形式解 un 是驻波
u( x, t )
n Hale Waihona Puke Baidu1
na na n [ An cos t Bn sin t ] sin x l l l
（2） 0 解为 、
X ( x) c1 x c2
X=0, l 时
c2 0 c1l c 2 0
无意义,则 不能=0
c1 c2 0
（3） 0 方程的解为 、
X ( x ) c1 cos x c2 sin x
x=0, l 时
c1 0 c1 cos l c 2 sin l 0
X ( x )Ttt a 2 X xx ( x )T (t ) 0,
分离过程：
Ttt (t ) X ( x) xx 2 a T (t ) X ( x)
得出两个常微分方程：
Ttt a 2T 0 X " ( x ) X ( x ) 0
代入边界条件： u | x 0 0,
r1，r2的形式
两个不相等实根 ( p 4q 0)
2
(*)式的通解
y c1e r1x c2 e r2 x y (c1 c2 x)e r1x y ex (c1 cos x c2 sin x)
两个相等实根 ( p 4q 0)
2
一对共轭复根 ( p 4q 0)
________ x
y
1)
形式解
u( , ) R( ) ( )
2) 代入方程分离变量
2u 1 u 1 2u 2u 2 2 0
1 d dR ( ) R d d
0 ( 2 ) ( ) 2 R R R 0
例2
解
若λ>0，
例3
带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强静电场，其电
场强度是竖直的。水平架设的输电线出在这个静电场之
中，输电线是导体圆柱。柱面由于静电感应出现电荷， 圆柱邻近的静电场也就不再是匀强的了，不过离圆柱 “无限远“处的静电场应保持为匀强的。现在研究导体 圆 柱怎样改变了匀强静电场。
二、分离变数法解齐次偏微分方程的基本思路：
1、两个变数方程的求解方法
utt a 2 uxx 0 u x 0 0, u x l 0 u t 0 ( x ), ut
t 0
(0 x l , t 0) ( x)
1、设解的形式 解的形式为 2、分离变量 带入方程中， u(x,y)=X(x)T(t)
（4）、通解中常数确定
u( x, t )

uk ( x , t ) =

k 0
1 1 ( k ) 2 2a 2 (k ) 2 t 2 l2 Ak sin xe l
u0 x u |t 0 = l k 0
2 Ak l 0
l
1 (k ) 2 x Ak sin l
(*) y py qy 0，其中p, q为常数； 求解步骤： 2、求出()式的两个根r1 , r2
1、写出特征方程： )r 2 pr q 0，其中r 2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y, y, y的系数； (
3、根据r1 , r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：
（1） 设解 u( x, t ) =x(x)T(t)
(2) 分离变数：
x " x 0 x (0) 0, x ' ( l ) 0
T ' a T 0
2
(3)、求解本征值问题：
（1） 0 解为 、
X(x)= c1e c1 c2 0
x
c2 e
u |t 0 ( x )
则有
ut |t 0 ( x )
n x An sin l ( x ) n 1 (0 x l ) n a n x Bn l sin l ( x ) n 1
把等式右端展为傅立叶级数，比较两边系数得：
2. 性质 1) u1 , u2 分别是齐次方程的
L[u1 ]=0
L[u 2 ]=0
则其组合 L[c1u1 c2 u2 ] 0 2) u1 是非齐次方程的解 u2是齐次方程的解 L[u1]=f L[u2]=0
则 u1 u2 是非齐次方程的解:
L[u1 u2 ] f
3）若L[u1]=f1,L[u2]=f2 则 L[u1 u2 ] f1 f 2 性质（3）对边界条件，初始条件常常用到。
则有
c2 sin l 0
则必有
c2 0
sin l 0
l n （n 为正整数 ）
n 2 2 所以 2 l
又因为
n=1,2,3……
T " a 2T 0
na 2 T "n (t ) ( ) T 0 l n 2 2 0 l2 na na T (t ) An cos t Bn sin t l l 所以有特征解：
x
c1e
l
c2e
l
0
c1 c2 0
（2） 0 解为 、
X ( x) c1 x c2
X=0,l 时
c2 0 c1 0
c1 c2 0
无意义，则 不能=0
（3） 0 方程的解为 、
X ( x ) C1 cos x C 2 sin x
变，另一端跟外界绝热，试求杆上温度的变化。
解：杆上温度 u( x, t ) 满足下列方程，定解条件
ut a 2 u xx 0(a 2 k / c )(0 x l )
边界条件： u | x 0 0
ux | x l 0
初始条件： u |t 0 u0 x / l (0 x l )
u ( , ) C0 D0 ln [ m ( Am cos m Bm sin m )
m 1
m (Cm cos m Dm sin m )]
4) 代入边界条件确定系数
m u a 0 C0 D0 ln a [a ( Am cos m Bm sin m ) m 1
2u 2u 2 2 a2 2 0 L 2 a2 2 t 2 x t x
u 2 a u 0 L a 2 t t
u 0 L
L称为算符，偏微分方程可以用算符作用在函数上标示出来 非齐次方程 L[u]=f(x,y,z,t) 齐次方程L[u]=0
x=0, l 时
c1 0 c1 sin l c2 cos l 0
则有 则必有
c2 cos l 0
c2 0
cos l 0
（k=0,1,2……）
1 L ( k ) 2
故有：
1 2 2 (k ) 2 l2
(k 0,1,2..)
第八章 分离变数法 （傅立叶级数法）
重点
1、两个变数的齐次微分方程、齐次边界条件的分离 变量的求解方法 2、两个变数的非齐次微分方程、齐次边界条件的傅 立叶级数的求解方法 3、非齐次边界条件的处理方法 4、三维泊松方程的特解求解方法
§8、1
齐次方程的分离变数解法
一、线性定解问题的叠加性质
1. 算符
u | x l 0,
X (0)T (t ) 0
X | x 0 0
X (l )T (t ) 0
X ( x ) | x l 0
3、本征值问题：
X " X 0 本征值方程 X | x 0 X | x l 0
由约束条件和方程本身称为方程的本征值问题
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：