典型例题

第一章

例 1.1-1 试判断下列信号是否为周期信号。若是，确定其周期。

(1) f 1(t )=sin 2t +cos 3t

(2) f 2(t )=cos 2t +sin πt

解 我们知道，如果两个周期信号x(t)和y(t)的周期具有公倍数，则它们的和信号 f(t)=x(t)+y(t)

仍然是一个周期信号， 其周期是x(t)和y(t)周期的最小公倍数。

(1) 因为sin 2t 是一个周期信号，其角频率ω1和周期T 1为

(2) 同理，可先求得f 2(t )中两个周期信号cos2t 和sin πt 的周期分别为

例 1.3-1 已知信号f(t)的波形如图1.3-6(a)所示，试画出f (1-2t )的波形。

例 1.4 –1 试化简下列各信号的表达式。

例 1.4 – 2 计算下列各式：

s

T s rad πωπ

ω===1

112,/2s

T s rad 3

2322,/3222π

πωπω====s T π=1s

T 22=0－1f (t ＋1)

t 102－1f (－t ＋1)t 102－1f (t )t 1－2

1

1－11－1－1

0f (1－2t )

t

11－1

21-

2

1

(a )(b )

(c )(d )

例1.5-8 某离散系统框图如图1.5 - 8所示。试写出描述该系统输入输出关系的差分方程。

解 系统框图中有两个移位器，故系统是二阶系统。采用与连续系统中由框图列写微分方程相类似的方法，在左边移位器的输入端引入辅助函数x(k )，则该移位器的输出为x(k -1)，右边移位器的输出为x(k -2)。 写出左边加法器的输出

第二章

D D ＋y (t )f (k )－a 1

－a 0＋b x (k )x (k －1)x (k －2)－b 0)

2()1()()(01----=k x a k x a k f k x )()2()1()(01k f k x a k x a k x =-+-=)2()1()(01---=k x b k x b k y

y(0)=y ′(0)=0，输入激励f(t)=e-tu(t)，试求全响应y(t)。

解 在求得该方程的齐次解和特解，它们分别是

yh(t)=c1e-t+c2e-2t

yp(t)=te-t

因此，完全解是

y(t)=c1e-t+c2e-2t+te-t

由初始条件y(0)=y ′(0)=0，有

y(0)=c1+c2=0

y ′(0)=-c1-2c2+1=0

解得c1=-1，c2=1，所以，全响应为

y(t)=(-e-t+e-2t+te-t)·u(t)

2. 试用阶跃函数表示图所示的延时脉冲信号和方波信号。

解 w1(t)=u(t-t0)-2u(t-2t0)+u(t-3t0)

w2(t)=u(t)-u(t-1)+u(t-2)-u(t-3)+u(t-4)-u(t-5)

w3(t)=u(t)+u(t-t0)+u(t-2t0)-u(t-3t0)-u(t-4t0)-u(t-5t0)

3.

已知某线性非时变系统的动态方程式为

试求系统的冲激响应h(t)。

解 由原方程可得

考虑到该动态方程的特征方程为λ2+3λ+2=0，特征根λ1=-1，λ2=-2，因此设

式中A 、B 为待定系数，将h(t)代入原方程式，解得A=1，B=1。因此，系统的冲激响应为

4.已知某线性非时变(LTI)系统的动态方程式为

y ″(t)+5y ′(t)+4y(t)=2f ′(t)+3f(t)t ≥0

试求系统的冲激响应h(t)。

解 冲激响应h(t)满足动态方程式

h ″(t)+5h ′(t)+4h(t)=2δ′(t)+3δ(t)t ≥0

由于动态方程式右边最高次为δ′(t)，故方程左边的最高次h ″(t)中必含有δ′(t)，故设

h ″(t)=A δ′(t)+B δ(t)+Cu(t)

因而有

h ′(t)=A δ(t)+Bu(t)

h(t)=Au(t)

将h ″(t)，h ′(t)与h(t)分别代入原动态方程式可解得

t 02t 03t 0t 1

w 3(t )04t 05t 0(c )23t 1w 2(t )123450(b )t 02t 03t 0t 1－1w 1(t )(a )022()()32()2()3()(0)d y t dy t y t f t f t t dt dt

'++=+≥22()()32()2()3()(0)d y t dy t y t t t t dt dt

δδ++=+≥2()()()

t t h t Ae u t e t --=+2()()()t t h t e u t e t --=+

因此可得 h(0+)=A=2,h ′(0+)=B=-7,h ″(0+)=27 5.若描述系统的微分方程为 y ″(t)+3y ′(t)+2y(t)= 1/2 f ′(t)+2f(t) 试求系统的阶跃响应。 解 系统的特征根为λ1=-1，λ2=-2，由式(2―49) 知，其阶跃响应 g(t)=(c1e-t+c2e-2t+1)u(t) 它的一阶，二阶导数(考虑到冲激函数的抽样性质)分别为 g ′(t)=(c1+c2+1)δ(t)+(-c1e-t-2c2e-2t)u(t) g ″(t)=(c1+c2+1)δ′(t)+(-c1-2c2)δ(t)+(c1e-t+4c2e-2t)u(t) 将f(t)=u(t)，y(t)=g(t)，及其导数g ′(t)和g ″(t)代入系统的微分方程，稍加整理得 (c1+c2+1)δ′(t)+(2c1+c2+3)δ(t)+2u(t)= 1/2δ(t)+2u(t) 由系统对应相等有 6. 已知某线性非时变(LTI)系统数学模型为 输入激励f(t)=e-t u(t)，且已知h(0)=0，h ′(0)=1。试用卷积积分法求系统的零状态响应yf(t)。

解 系统的特征方程为λ2+3λ+2，特征根为λ1=-1，λ2=-2。又因为n>m ，因此，设

h(t)=(c1e-t+c2e-2t)u(t)

由h(0)=0，h ′(0)=1，解得c1=1，c2=-1。因此，系统的冲激响应

h(t)=(e-t-e-2t)u(t)

由于激励f(t)=e-t u(t)和冲激响应h(t)均为因果函数，因此，在t>0时，有

因此，零状态响应

yf(t)=(te-t-e-t+e-2t)u(t)

1211223102112322

c c c c c c ⎧++==-⎧⎪⎪⎪⎨⎨++=⎪⎪=⎩⎪⎩231()(1)()22

t t g t e e u t --=-++22()3()2()()d d y t y t y t f t dt dt

++=()2()022002()()()((1)()()t t t f t t t t t t t t t t y t f t h t e e e d e d e d te e e te e e u t ττττττ------------=*=-=-=--=-+⎰⎰⎰