大学物理电磁学部分14磁场的高斯定理和安培环路定理
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2、磁场的高斯定理和安培环路定理
L
B dl o I i
L
S
B dS 0 j dS
S
B 0 j
安培环路定理的物理意义 磁场是有旋场(或磁场是非保守场，磁感应线 是闭合曲线)。
三、安培环路定理的应用
O
R
r
例3、求长直螺线管内的磁场。设螺线管的长度为 L,共有N匝线圈，单位长度上有 n = N/L匝线圈， 通过每匝线圈电流为I。管内中间部分的磁场是均 匀的，方向与管的轴线平行，在管的外侧磁场很 弱，可以忽略不计。
B
a
b
c d [解]: 若螺线管很长，则边缘效应可以忽略，螺 线管可看成是无限长，由对称性可知管内磁场是 均匀的，方向与管的轴线平行，并由右手螺旋定 则确定。在管的外侧磁场很弱，可以忽略不计。
B dl B 2πr μ0 I ,
j I / R2
且 I j s jπr 2 (r <R)
B
1 B μ0 jr 2
μ0 Ir B 2π R 2
0 I B 2R
μ0 I r = R处 B 2π R
B
0 Ir 1 0 jr， ( r R) 2 2 R 2 0 I 1 R2 0 j ， r R ) （ 2 r 2 r
例2、求均匀载流无限长圆柱导体内外的磁场分布。
[解]：当r R时 B dl B 2r 0 I
L
I
R
μ0 I B 2π r
I 由 j πR 2
1 R2 B μ0 j 2 r
(r >R)
I jπR2
r
L
L
磁场的高斯定理和安培环路定理
L
解:
Bp
发生变化. 发生变化.
I2 I1
∫
L
B dl 不发生变化 P
L
例如: 例如: I1 >0 L I2<0 I1 I2 I3 L I L
I3
∫
L
B dl = o ( I1 I 2 )
∫
L
B dl = o ( I1 + I 3 )
∫ B dl
l
= 4 0 I
二,安培环路定理
∑Ii
i =0
§8-4
稳恒磁场的高斯定理与 安培环路定理
一,稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知, 对任意闭合曲面, 由磁感应线的闭合性可知 , 对任意闭合曲面 , 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同, 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同 , 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零. 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零.
Φ = BS 2 = (6i + 3 j + 1.5k ) (0.15) i = 0.135Wb ( 2) z Φ = ∫∫ B dS = 0
S
O l
x
l
l
一长直导线通有电流I 距其d 例,一长直导线通有电流I,距其d处有 一长为a 宽为b的长方形, 一长为a,宽为b的长方形,求通过这个 长方形的磁通量. 长方形的磁通量.
n
闭合回路所包围的所有电流 的代数和. 的代数和. 所取的闭合路径上各点的磁 感强度值, 感强度值,是由闭合路径内 外所有的电流产生的. 外所有的电流产生的.即是 由空间所有的电流产生的. 由空间所有的电流产生的.
B
二,安培环路定理
定理的物理意义 由安培环路定理可以看出, 由安培环路定理可以看出,由于 磁场中的磁感强度的环流一般不 为零,所以磁场是非保守场 非保守场. 为零,所以磁场是非保守场.
解:
Bp
发生变化. 发生变化.
I2 I1
∫
L
B dl 不发生变化 P
L
例如: 例如: I1 >0 L I2<0 I1 I2 I3 L I L
I3
∫
L
B dl = o ( I1 I 2 )
∫
L
B dl = o ( I1 + I 3 )
∫ B dl
l
= 4 0 I
二,安培环路定理
∑Ii
i =0
§8-4
稳恒磁场的高斯定理与 安培环路定理
一,稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知, 对任意闭合曲面, 由磁感应线的闭合性可知 , 对任意闭合曲面 , 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同, 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同 , 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零. 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零.
Φ = BS 2 = (6i + 3 j + 1.5k ) (0.15) i = 0.135Wb ( 2) z Φ = ∫∫ B dS = 0
S
O l
x
l
l
一长直导线通有电流I 距其d 例,一长直导线通有电流I,距其d处有 一长为a 宽为b的长方形, 一长为a,宽为b的长方形,求通过这个 长方形的磁通量. 长方形的磁通量.
n
闭合回路所包围的所有电流 的代数和. 的代数和. 所取的闭合路径上各点的磁 感强度值, 感强度值,是由闭合路径内 外所有的电流产生的. 外所有的电流产生的.即是 由空间所有的电流产生的. 由空间所有的电流产生的.
B
二,安培环路定理
定理的物理意义 由安培环路定理可以看出, 由安培环路定理可以看出,由于 磁场中的磁感强度的环流一般不 为零,所以磁场是非保守场 非保守场. 为零,所以磁场是非保守场.
磁场的高斯定理和安培环路定理课件
03
安培环路定理的介绍与推导
安培环路定理的基本概念
总结词
安培环路定理是描述磁场散布的重要定理之一，它指出磁场线总是闭合的，且穿过任意一个封闭曲面的磁通量为 零。
详细描述
安培环路定理是电磁学中的基本定理之一，它描述了磁场线的性质和散布规律。根据安培环路定理，磁场线总是 闭合的，即磁场线不会中断或消失，而是形成一个完整的闭合曲线。此外，安培环路定理还指出，穿过任意一个 封闭曲面的磁通量为零，即磁场线不会从一个区域穿入另一个区域。
磁力线
磁感应强度
描述磁场强弱的物理量，单位是特斯 拉或高斯。
描述磁场散布的几何图形，磁力线闭 合且不相交，磁力线的疏密程度表示 磁场强弱。
高斯定理的背景与定义
高斯定理的背景
磁场在空间中的散布具有闭合性 ，即穿过某一封闭曲面S的磁通量 等于零或无穷大。
高斯定理的定义
穿过任意封闭曲面S的磁通量等于 该封闭曲面所包围的净磁荷量。
04
高斯定理与安培环路定理的比较与联系
两者之间的类似之处
闭合曲面的磁场通量
高斯定理和安培环路定理都涉及到闭合曲面的磁场通量。在高斯定理中，磁场 通量是通过闭合曲面进入或离开某一区域的量，而在安培环路定理中，磁场通 量与电流和闭合曲面的关系是关键。
无源磁场
高斯定理适用于无源磁场，即没有电流源的磁场。同样地，安培环路定理也适 用于无源磁场的情况。
高斯定理的应用场景
01
02
03
磁场散布分析
通过高斯定理可以分析磁 场在空间中的散布情况， 确定磁力线的走向和强弱 。
磁荷检测
高斯定理可以用于检测磁 场中的磁荷散布，例如磁 铁、发电机和电动机中的 磁荷散布。
磁场屏蔽
磁场中的高斯定理和安培环路定理
规定：
与L 绕向成右旋关系 与L 绕向成左旋关系
Ii 0 Ii 0
例如：
Ii I1 2I2
(穿 过L )
注意：
L
B dl
0 Ii
(穿 过L)
B:
与空间所有电流有关
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关
穿过 L的电流：对 B 和 B dl 均有贡献 L
2
r1
2
d r1 r2
2.26 106 wb
二、安培环路定理(Ampere’s circulation theorem)
1.导出： 可由毕 — 沙定律出发严格推证
采用： 以无限长直电流的磁场为例验证
推广到任意稳恒电流磁场（从特殊到一般）
1）选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与 平面交点o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向 与电流成右旋关系。
B 0I 2r
练习：同 求轴B的的两分筒布状。导线通有等值反向的电流I,
(1) r R2 , B 0
R2
R1
(2)
R1
r
R2 ,
B
0I 2r
I
rI
(3) r R1, B 0
2.长直载流螺线管的磁场分布
已知：I、n(单位长度导线匝数) 分析对称性 管内磁力线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零
dl
0I
2π
2π
0
d
0I
对任意形状的回路
B dl
0I
rd
0I
d
2π r
2π
磁场的高斯定理和安培环路定理
. . . . . . . . ..
第4节
. . . .. . .. B . ∮H ·dl = 2rH = NI . . . . . H = NI/2r， r . . . . R 1 . . B = o NI/2r . . R 2 . . .. . 环管截面 r R， . .. . . ... B o NI/2R = o n I 解：1、环管内：
第八章
I
R
r B
R
r
第4节
第八章
直线电流的磁力线
I
I B
第4节
例8-5 求通电螺绕环的磁场分布。设环管 的轴线半径为 R，环上均匀密绕 N 匝线圈， 线圈中通有电流 I，管内磁导率为 o 。
第八章
I
I
. . . . . . ..
. . . .. . .. . . R1 R2
..
. . . ...
第八章
第4节
第八章
通电螺线管的模型
I
第4节
思考题： 如果通电螺线管的磁力线如下所示，图 中环路积分 ∮H ·dl = ？
第八章
I
L
I
二、磁场的安培环路定理 1、真空中 根据闭合电流产生的磁场公式，即安 培 — 拉普拉氏定律，可证明真空中磁场 B 沿闭合回路 L 的积分，即环流为： ∮L B ·dl =μoΣI 此式称为真空中磁场的安培环流定理，式 中ΣI 是闭合回路 L 所包围的所有闭合电流 I 的代数和。 物理意义：磁场 B 是有旋场，非保守场
第八章
I
R
o dS
B
Io
r
第4节
2、r＞R ∮H ·dl =∮H dl = 2rH ΣIo = I H = I /2r ，B = oI /2r 上式表明，从导线外部看， 磁场分布与全部电流 I 集中 在轴线上相同。 μ I B H 2 πR I μ 0I 2 R π 2 πR 0 r 0
磁场的高斯定理和安培环路定理.
第二4节 、磁场的安培环路定理
第八章
1、真空中
根据闭合电流产生的磁场公式，即安
培 — 拉普拉氏定律，可证明真空中磁场 B
沿闭合回路 L
∮L B ·dl =μoΣI 此式称为真空中磁场的安培环流定理，式
中ΣI 是闭合回路 L 所包围的所有闭合电流
I 的代数和。
物理意义：磁场 B 是有旋场，非保守场
第4节
第八章
电流正负符号按右手螺旋定则：
电流方向与 L 的绕行方向符合右手螺
旋关系时，此电流为正，否则为负。
举例说明：
+I I
+ I1 + I2
- I3
L
第24、节 有磁介质
第八章
∮L B ·dl =μoΣI = μoΣIo +μoΣI’
式中ΣIo 和ΣI’ 分别是穿过安培环路 L 的自 由电流和束缚电流的总和。
其中 n = N/2R 为螺绕环单位长度的匝数。
2、环管外：ΣIo = 0，H// = 0，B// = 0 此式说明密绕螺绕环外部无磁场。
第特4节 例：当
R
第八章
时，即为无限长螺线管。
因此，长直螺线管内磁感应强度公式为：
B = o n I 此式表明，理想长直螺线管内部的磁感应强
注意：螺绕环和螺线管的外部磁场为零的结 论是在假定它们由许多不相连的圆环密集排 列组成的模型下得出的。实际上圆环以螺旋 线形式相连形成螺绕环和螺线管，沿螺绕环 和螺线管有一电流分量通过，即等效一圆电 流和长直载流导线，因此它们的外部磁场不 为零。但相比内部磁场而言，则相对很小。
2π R
μ 0I
2π R
第八章
I R
r
磁场中的高斯定理及安培环路定理
P
r B
则 B dN -磁感应线密度
dS
2. 几种典型的磁感应线
I
直线电流
圆电流
载流长螺线管
3. 磁感应线特性
磁感应线是环绕电流的无头尾的闭合曲线，无起点无终点； 磁感应线不相交。
二. 磁通量(magnetic flux)
1. 定义 通过磁场中任一给定面的
磁感线数目称为通过该面的 磁通量，用 表示。 2. 磁通量的计算 ① 磁场不均匀，S 为任意曲面
a
b
B
eeeeeeeeeeeee
Ñ B dl μ0 NI
l
B 0 NI
2 r
Amperian loop
B
o R1 R2 r
若 R1、R2 R2 R1
n N N
2 R1 2 r
则
B
μ 0
nI
B 0 NI 2 r
I
R2
R1
例题3 ：
设在无限大导体薄板中有均匀电流沿平面流动， 在垂直于电流方向的单位长度上流过的电流为i （电流密度）。求此电流产生的磁场。
因而，同静电场中利用高斯定理确定已知电荷分 布的电场分布一样，需要满足一定的对称性。
例题1 ：
已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分布， 求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布
解： 首先分析对称性
电流分布——轴对称
I
磁场分布——轴对称
R
r
dS1
dB
dB2 dB1
O
l
P
dS2
电流及其产生的磁场具有轴对称分布时
B 0I 2 x
方向：
I
a
阴影部分通过的磁通量为:
rr B dS
磁场的高斯定理和安培环路定理
L
I
dϕ v
dB
v v B ⋅ dl = Brdϕ v v µ0I ∫L B⋅ dl = ∫L rdϕ = µ0I
2 r π
在围绕单根载流导线的 垂直平面内的任一回路。 垂直平面内的任一回路。
v v I B ⋅ dl = Brdϕ v v µ0I ∫L B⋅ dl = ∫L rdϕ = µ0I
2 r π
6
3. 安培环路定理的应用 例1：求无限长载流圆柱体磁场分布。 ：求无限长载流圆柱体磁场分布。 圆柱体轴对称， 解：圆柱体轴对称，以轴上一点为 I 圆心取垂直轴的平面内半径为 r 的 圆为安培环路
v v Q∫ B⋅ dl = 2πrB = µ0 ∑I
L
v dB
dl'
2πr v r Ir 2 ∴ ∫ B ⋅ dl = µ0 2 r R
为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。 为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
o dl ' ' a
b
结果： 结果：在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都
13
ab bc cd da
无垂直于轴的磁场分量，管外部磁场趋于零， 无垂直于轴的磁场分量，管外部磁场趋于零， 因此管内为均匀磁场，任一点的磁感应强度为： 因此管内为均匀磁场，任一点的磁感应强度为：
r r ∫ B ⋅ dl = Bab ⇒ Bab = µ 0nab I
∴B = µ0nI
9
其方向与电流满足右手螺旋法则。 其方向与电流满足右手螺旋法则。
v v 表达式 ∫ B⋅ dl = µ0 ∑Ii
L i
符号规定： 符号规定：穿过回路 L 的电 流方向与 L 的环绕方向服从右 手关系的， 为正，否则为负。 手关系的，I 为正，否则为负。
磁场的高斯定理和安培环路定理
磁场是无源场 磁场是 无源场 比较 静电场 稳恒 磁场 磁感应线闭合成环，无头无尾 不存在磁单极。 磁感应线闭合成环，或两端伸向 不存在磁单极（？） 高斯定理 环路定理
内
3. 磁场的高斯定理
1 E dS
S
0
q
有源场 无源场
E dl 0
L
保守场
B dS 0
三.安培环路定理的应用
—— 求解具有某些对称性的磁场分布
LB dl 0 I i
( 穿过L )
适用条件：稳恒电流的磁场 求解条件：电流分布(磁场分布)具有某些对称性，
以便可以找到恰当的安培环路L，使 LB dl 能积
出，从而方便地求解 B 。
[例一] 无限长均匀载流圆柱体 I , R 内外磁场.
无限长直螺线管内为均匀磁场
思考： 如果要计管外磁场（非线密绕）对以上结果有无影响？
I
n
B内 0nI
外
B
I //
0 //
I B 2r
练习： 半径 R 无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转
.R. 求： 内部 B ?
已知：
解：
R
等效于长直螺线管 B 0 nI 单位长度上电流 nI ?
I
i
I1 I 2 I 3
(穿过L )
I
i
注意：
LB dl 0 I i
( 穿过L )
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关 穿过 L 的电流：对 B 和 B dl 均有贡献
L
B : 与空间所有电流有关
不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B有贡献； 对 LB dl 无贡献
内
3. 磁场的高斯定理
1 E dS
S
0
q
有源场 无源场
E dl 0
L
保守场
B dS 0
三.安培环路定理的应用
—— 求解具有某些对称性的磁场分布
LB dl 0 I i
( 穿过L )
适用条件：稳恒电流的磁场 求解条件：电流分布(磁场分布)具有某些对称性，
以便可以找到恰当的安培环路L，使 LB dl 能积
出，从而方便地求解 B 。
[例一] 无限长均匀载流圆柱体 I , R 内外磁场.
无限长直螺线管内为均匀磁场
思考： 如果要计管外磁场（非线密绕）对以上结果有无影响？
I
n
B内 0nI
外
B
I //
0 //
I B 2r
练习： 半径 R 无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转
.R. 求： 内部 B ?
已知：
解：
R
等效于长直螺线管 B 0 nI 单位长度上电流 nI ?
I
i
I1 I 2 I 3
(穿过L )
I
i
注意：
LB dl 0 I i
( 穿过L )
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关 穿过 L 的电流：对 B 和 B dl 均有贡献
L
B : 与空间所有电流有关
不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B有贡献； 对 LB dl 无贡献
磁场中的高斯定理及安培环路定理
0
l
l
μI
Ñl 2π0R dl
R
l
v B
r
μI 0
2πR＝μ
I
2πR
0
若l 绕行方向与图示方向相反，则
B 0I 2R
dl
v
Ñ B
v dl
Ñ Bdl
cos
π＝μ 0
(
I
)
Ñ l
l
赋予电流代数含义，则
v B
dlv＝μ
I
0
l
2. 无限长直电流通过垂直平面内的任一回路
r
Ñ B
r dl
Ñ B
cosθdl
若 R1、R2 R2 R1
n N N
2 R1 2 r
则
B
μ 0
nI
B 0 NI 2 r
I
R2
R1
例题3 ：
设在无限大导体薄板中有均匀电流沿平面流动， 在垂直于电流方向的单位长度上流过的电流为i （电流密度）。求此电流产生的磁场。
a
b
B
eeeeeeeeeeeee
d
c
讨论
关于安培环路定理的应用
BdS
0 I
adx
d x
2 x
通过矩形线圈的磁通量为:
dx
d
d b
0I adx
0Ia ln d b
d 2 x
2 d
15.4 安培环路定理
rv
一. 引言：稳恒磁场的环流 Ñl B dl ?
二. 定理推导
1. 无限长直电流通过圆形回路圆心且垂直于该回路
I
v
Ñ B
v dl
Ñ Bdl
cos
当电流分布以至于磁场分布具有高度对称性时， 可以应用安培环路定理计算磁感应强度的分布。
14-2磁场高斯定理和安培环路定理
环路L上的 B 与 L 相切或垂直，且相切部 分的 B 相等。这样才有可能将 B 提到积 分号外。积分环路一般为同心圆周和矩形。
步骤：
（1）分析磁场对称性
（2）选择合适回路通过待求的 B 场点
（3）求L内包围的电流的代数和 I内 （4）用安培环路定理求B;并说明方向 有时还可灵活应用叠加原理和“补偿 法”。
I
o
B d l
L
L
r
B
o I dl cos 0 L 2 r
o I 2 r dl 0 I 2 r 0
以无限长直电流的磁场为例验证 若电流反向
I
o
2 r 0 I dlcos LB dl 0 2 r
L
r B
可证： 对任何形式的电流所激 发的磁场、对任何形状的闭 合路径(环路), 安培环路定理 都成立。
S
B dS B cos d S 0
S
磁场是“无源场” 磁场是“涡旋场”
例：无限长直导线通以电流I，求通过如图所示的矩
形面积的磁通量。
解： a
I
非均匀场
b
面积元
l
x
元通量
0 I B 2x dS ldx dΦm B dS
I 0 O d B d S l d x m x dx 2x 0 Il a b 1 0 Il a b m d m dx ln S 2 a x 2 b
I内： 环路内，穿过以L为边界的所有曲面的电流。
规定：与L绕向成右旋的电流为正，反之为负。
I1
B d l I 2 I 0 1 2
L
I2
L
步骤：
（1）分析磁场对称性
（2）选择合适回路通过待求的 B 场点
（3）求L内包围的电流的代数和 I内 （4）用安培环路定理求B;并说明方向 有时还可灵活应用叠加原理和“补偿 法”。
I
o
B d l
L
L
r
B
o I dl cos 0 L 2 r
o I 2 r dl 0 I 2 r 0
以无限长直电流的磁场为例验证 若电流反向
I
o
2 r 0 I dlcos LB dl 0 2 r
L
r B
可证： 对任何形式的电流所激 发的磁场、对任何形状的闭 合路径(环路), 安培环路定理 都成立。
S
B dS B cos d S 0
S
磁场是“无源场” 磁场是“涡旋场”
例：无限长直导线通以电流I，求通过如图所示的矩
形面积的磁通量。
解： a
I
非均匀场
b
面积元
l
x
元通量
0 I B 2x dS ldx dΦm B dS
I 0 O d B d S l d x m x dx 2x 0 Il a b 1 0 Il a b m d m dx ln S 2 a x 2 b
I内： 环路内，穿过以L为边界的所有曲面的电流。
规定：与L绕向成右旋的电流为正，反之为负。
I1
B d l I 2 I 0 1 2
L
I2
L
磁场高斯定理 安培环路定理
l
Amperian loop
µ0 NI ∴B = 2πr
磁场不均匀
B
µ0 NI B= 2π r
o
R1
R2
r
o
R1
R2
r
若 R1、R2 >> R2 − R1 N n= 2π R1
则:
B = µ0nI
当 2R >> d 时，螺绕环内可视为均匀场 。
已知： 例题 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分 ， 无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 布，求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 解： 首先分析对称性 电流分布——轴对称 电流分布 轴对称 磁场分布——轴对称 磁场分布 轴对称
r<R r>R
I
R
r<R 0 B = µ0 I r>R 2π r
µ0I B 2πR
r
O
R
无限大平板电流的磁场分布。 例题 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置， 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（ 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）到处均匀。 的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j 。 解：视为无限多平行长 直电流的场。 直电流的场。 分析求场点p的对称性 垂线， 做 po 垂线，取对称的 长直电流元， 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。 方向平行于电流平面。
r r (3)要求环路上各点 B大小相等，B的方向与环路方向 要求环路上各点 r大小相等， r 一致，目的是将: B ⋅ dl = µ0 ∑ I 写成 B = µ0 ∑ I 一致，目的是将 ∫L r ∫ dl 的方向与环路方向垂直， 或 B 的方向与环路方向垂直， r r r r B ⊥ dl , cosθ = 0 ∫ B ⋅ dl = 0
Amperian loop
µ0 NI ∴B = 2πr
磁场不均匀
B
µ0 NI B= 2π r
o
R1
R2
r
o
R1
R2
r
若 R1、R2 >> R2 − R1 N n= 2π R1
则:
B = µ0nI
当 2R >> d 时，螺绕环内可视为均匀场 。
已知： 例题 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分 ， 无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 布，求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 解： 首先分析对称性 电流分布——轴对称 电流分布 轴对称 磁场分布——轴对称 磁场分布 轴对称
r<R r>R
I
R
r<R 0 B = µ0 I r>R 2π r
µ0I B 2πR
r
O
R
无限大平板电流的磁场分布。 例题 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置， 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（ 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）到处均匀。 的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j 。 解：视为无限多平行长 直电流的场。 直电流的场。 分析求场点p的对称性 垂线， 做 po 垂线，取对称的 长直电流元， 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。 方向平行于电流平面。
r r (3)要求环路上各点 B大小相等，B的方向与环路方向 要求环路上各点 r大小相等， r 一致，目的是将: B ⋅ dl = µ0 ∑ I 写成 B = µ0 ∑ I 一致，目的是将 ∫L r ∫ dl 的方向与环路方向垂直， 或 B 的方向与环路方向垂直， r r r r B ⊥ dl , cosθ = 0 ∫ B ⋅ dl = 0
磁场的高斯定理和安培环路定理
§2-4 磁场的高斯定理和安培环路定理
一、磁场的高斯定理(Gauss’ theorem of magnetic field) 垂直于电流元平面内的磁感线是头尾相接的闭合同心 圆，穿入或穿出闭合曲面的磁感应线的净条数必等于 零。即，通过任意闭合曲面的通量都等于零。
由叠加原理，在整个电流回路形成的
磁场中，通过任意闭合曲面的磁通量
L Bn dl 0In ,
L Bnk dl 0
任意回路
¸¸
n
B dl L
0
Ii
i1
穿过回路 的电流
闭合路径包围的电流为电
流 密度沿所包围的曲面的
¸
Ii
j dS
S
i
积分 安培环路定理说明磁场不是保守场，不存在标
量势函数。这是恒磁场不同于静电场的一个十分
重要的性质。
安培环路定理可以用来处理电流分布具有一定 对称性的恒磁场问题。
设 I1 , I 2 , … , I n电流过回路L，In 1 , I n 2 , … , I n k
电流不穿过回路L。令 B1 , B2 , … , Bn k 分别为单根
导线
I1
,
I
2
,
L
…
¸ B1
,
In
dl
பைடு நூலகம்
k产生的磁场，则有
¸
0I1 ,
L Bn1
dl
0
¸ #¸
# 所有电流的总¸ 场 ¸
小结
应用环路定理求解磁感应强度的步骤：
(1)根据通电电流产生的磁场的对称性，选 择合适的闭合曲线L，并规定计算方向；
(2)计算磁感应强度的环流以及通过曲线L 所包围的平面的电流的代数和；
一、磁场的高斯定理(Gauss’ theorem of magnetic field) 垂直于电流元平面内的磁感线是头尾相接的闭合同心 圆，穿入或穿出闭合曲面的磁感应线的净条数必等于 零。即，通过任意闭合曲面的通量都等于零。
由叠加原理，在整个电流回路形成的
磁场中，通过任意闭合曲面的磁通量
L Bn dl 0In ,
L Bnk dl 0
任意回路
¸¸
n
B dl L
0
Ii
i1
穿过回路 的电流
闭合路径包围的电流为电
流 密度沿所包围的曲面的
¸
Ii
j dS
S
i
积分 安培环路定理说明磁场不是保守场，不存在标
量势函数。这是恒磁场不同于静电场的一个十分
重要的性质。
安培环路定理可以用来处理电流分布具有一定 对称性的恒磁场问题。
设 I1 , I 2 , … , I n电流过回路L，In 1 , I n 2 , … , I n k
电流不穿过回路L。令 B1 , B2 , … , Bn k 分别为单根
导线
I1
,
I
2
,
L
…
¸ B1
,
In
dl
பைடு நூலகம்
k产生的磁场，则有
¸
0I1 ,
L Bn1
dl
0
¸ #¸
# 所有电流的总¸ 场 ¸
小结
应用环路定理求解磁感应强度的步骤：
(1)根据通电电流产生的磁场的对称性，选 择合适的闭合曲线L，并规定计算方向；
(2)计算磁感应强度的环流以及通过曲线L 所包围的平面的电流的代数和；
高斯定理和安培环路定理
r R 时在圆柱面内做一圆周
B cos dl B dl B 2r 0
L L
dI ' dI
P
B0
例 无限大平面电流的磁场．有一无限大的导体平面，均匀地 流着自下而上的面电流．设其电流线密度(垂直于电流线的单 位长度上的电流)为a,求距平面为d的任一点的磁感应强度B．
(1)设闭合曲线L在垂直于无限长载流导线的平面内，电流I穿 过L. 设闭合回路 L为圆形回路（ L 与 I 成右螺旋）
载流长直导线的磁感强 度为 0I B 2π R 0I l B d l 2 π R d l 0I l B d l 2 π R l d l
l
I
R R
L
r
2 π rB 0 I
0 r R
2 π rB
B
0I
2π r
B
2 π r l B d l 0 π R 2 I
I
.
dI
dB
0r
R
2
2
I
B
0 Ir
2π R
2
B
B 的方向与 I 成右螺旋
0 r R,
B
0 Ir
B dl μ 0 Ii
L
内
—— 安培环路定律
恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径 L 的线积分 等于路径 L 包围的电流强度的代数和的 μ 0 倍
安培环路定理
n B dl 0 Ii i 1
一闭合路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径 所包围的各电流的代数和.
回路绕向化为逆时针时则对任意形状的回路设闭合回路l为圆形回路l与i不成右螺旋安培环路定律恒定电流的磁场中磁感应强度沿一闭合路径l的线积分等于路径l包围的电流强度的代数和的环路上各点的磁场为所有电流的贡献安培环路定理一闭合路径的积分的值等于乘以该闭合路径所包围的各电流的代数和
磁的高斯定理和安培环路定理讲述
S
3. 磁场的高斯定理（磁通连续原理） (Gauss law of magnetic field )
通过任意闭合曲面的 磁通量恒为零。
B dS 0
S
此式说明磁场是无源场, 磁感应线是闭合曲线，磁 单极即磁荷不存在。
真空中稳恒磁场的安培环路定理
从静电场的电场线是非闭合的，静电场的环流
E dl 0 E 是保守场 →电势
③ 安培环路定律中的 B 是空间总磁感应强
度 ——空间所有电流都对 B 有贡献，但公式右
边只有环路内所包围的 I内 对 环流有贡献。
I1
I2
B dl 0 Ii
L
i
L
I3
P
0 (I1 I2 )
I4
P点的 BP是这四个电流 共同产生的 ，且随电流
分布的变化而变化。
三、环路定律的应用
在静电场中：
B dl 0 Ii
L
i
——磁场为涡旋场 (有旋场)
——磁场为非保守场
证明：
我们以无限长直导线的特例来证明。
I
1. 安培环路包围导线（电流）
且在垂直于导线的平面内
o
L
在L路径上取一线元
d
L d L d cos
0rd
L 2r
(d cos rd)
B
0
2
d 0
I○· d r
dl
若I反向,则 为 钝角，d cos rd
第三节
Gauss theorem and Ampere circuital theorem in magnetic field
磁场的高斯定理 ( Gauss law of magnetic field )
1.磁感应线(magnetic induction line)
3. 磁场的高斯定理（磁通连续原理） (Gauss law of magnetic field )
通过任意闭合曲面的 磁通量恒为零。
B dS 0
S
此式说明磁场是无源场, 磁感应线是闭合曲线，磁 单极即磁荷不存在。
真空中稳恒磁场的安培环路定理
从静电场的电场线是非闭合的，静电场的环流
E dl 0 E 是保守场 →电势
③ 安培环路定律中的 B 是空间总磁感应强
度 ——空间所有电流都对 B 有贡献，但公式右
边只有环路内所包围的 I内 对 环流有贡献。
I1
I2
B dl 0 Ii
L
i
L
I3
P
0 (I1 I2 )
I4
P点的 BP是这四个电流 共同产生的 ，且随电流
分布的变化而变化。
三、环路定律的应用
在静电场中：
B dl 0 Ii
L
i
——磁场为涡旋场 (有旋场)
——磁场为非保守场
证明：
我们以无限长直导线的特例来证明。
I
1. 安培环路包围导线（电流）
且在垂直于导线的平面内
o
L
在L路径上取一线元
d
L d L d cos
0rd
L 2r
(d cos rd)
B
0
2
d 0
I○· d r
dl
若I反向,则 为 钝角，d cos rd
第三节
Gauss theorem and Ampere circuital theorem in magnetic field
磁场的高斯定理 ( Gauss law of magnetic field )
1.磁感应线(magnetic induction line)
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磁通量 磁场的高斯定理 磁场的安培环路定理
(第八章第1、3~4节 )
1
一、磁场的高斯定理
1.磁力线 BB B A 为形象的描绘磁场分布的而引 入的一组有方向的空间曲线。 B A 1.规定 •方向：磁力线上某点的切线方向为该点磁场方向。
•大小：通过磁场中某点垂直于磁 感应强度的单位面积的磁力线根数 等于该点磁感应强度的大小。
dB
dB ' dB' '
dl '
p
d
dl ' '
l
c
B
结果
o j
2
o
方向如图所示。
a
b
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均 匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
14
b c a a b
c d B dl B dl 0, B d l , cos 0 d b d B 0 nI B外 0, B dl 0 螺线管外： b c B dl B dl B ab 0 I 0 n ab I
或 B 的方向与环路方向垂直， B dl , cos 0 B dl 0
L
L
dl
8
例1：密绕载流螺线管通有电流为 I，线圈密度为 n， 求管内一点的磁感应强度 。 . . . . . . . . . . . . . . . 解：理想密绕螺线管，管内的磁 a b 场是均匀的，管外的磁场为 0 ； B 作闭合环路 abcda,环路内的 电流代数和为： I n ab I
2.圆柱体外一点 r > R 区域在圆柱体外作一环路，
I B dl B 2 r B d l 0 0 I 1 B B 2r r I
分布曲线：
环路内电流代数和为： I I 同理：
I
L
R
r
r
2R
o
0
B r
1 B r
L
R
r
12
例4：无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j 。 解：视为无限多平行长 dB ' 直电流的场。 p 分析求场点p的对称性 做 po 垂线，取对称的长 直电流元，其合磁场方 向平行于电流平面。
B dl
2 I r 2 I r 2I 2 R R
Bdl cos
L
R
由于环路上各点 磁感应强度 大小相 等，方向与环路一致。
r
B // dl , cos 1
11
2 r I I B dl B 2 r B d l 0 2 0 R 0 I B r r 2 2R
•磁场是无源场，磁力线为闭合曲线。
5
二、安培环路定理
1.定理表述 磁感应强度沿闭合回路的线积分等于环路所包围的 电流代数和乘以 0。 数学表达式： B dl I 2.明确几点 (1)电流正负规定：电流方向与环路方向满足右手定 则时电流 I 取正；反之取负。 (2) B 为环路上一点的磁感应强度，不是任意点的， 它与环路内外电流都有关。 (3)环路定理只适用于闭合电流或无限电流.有限电流 不适用环路定理，只能用毕奥—萨伐尔定律。 (4)安培环路定理说明磁场性质—磁场是有旋场。
0 NI B 2r 0 NI B 2r d1 Φm B dS d2 Bhdr
S
B dl 0 I
L
dr
r
d2 d1
h
2
0 N I h dr 0 N I h d1 ln 2 d2 2 r
d1 2 d2 2
2
10
例3：圆柱形载流导体半径为 R ，通有电流为 I ，电 流在导体横载面上均匀分布，求圆柱体内、外的磁感 应强度的分布。 解：导体内外的磁场是以中心轴线为对称分布的。 I 1.圆柱体内部 r < R 区域选取半径为 r 的环路， 环路内电流代数和为：
dB
dB' '
dl '
o
dl ' '
无数对称元在 p点的总磁场方向平行于电流平面。 因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的各点B 的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。
13
B dl B 2l o jl
L
作一安培回路如图： bc和 da两边被电流平 面等分。ab和cd 与电 流平面平行,则有： Nhomakorabeadm
dS
磁感应强度大小为磁力线的面密度。 可用磁力线的疏密程度表示磁感应强度的大小。
d m B dS
B
2
2.磁力线形状 •直线电流的磁力线分布
•载流螺线管的磁力线分布
I
3.磁力线的性质 1.磁力线为闭合曲线或两头伸向无穷远； 2.磁力线密处 B 大；磁力线疏处 B 小； 3.闭合的磁力线和载流回路象锁链互套在一起； 4.磁力线和电流满足右手螺旋法则。
左边=右边 定理成立。 推广到任意路径都成立，证毕。
7
安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种 方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有 高度的对称性 。 利用安培环路定理求磁感应强度的关健：根据磁 场分布的对称性，选取合适的闭合环路。 3.选取环路原则
(1)环路要经过所研究的场点。 (2)环路的长度便于计算； B 的方向与环路方 (3)要求环路上各点B 大小相等， 向一致， I 0 I 写成 B 目的是将: B dl 0
S
2
en
B
规定：取闭合面外法线方向为正向。 磁力线穿出闭合面为正通量， en 磁力线穿入闭合面为负通量。
2
B
4
3.磁场中的高斯定理 定理表述：穿过任意闭合面的磁通量等于零。
m B dS 0
S
证明： 由于磁力线为闭合曲线，穿入穿出闭合 面的磁力线根数相同，正负通量抵消。 磁场中的高斯定理阐明了磁场的性质：
6
L
0
特例：以无限长载流直导线为例。 长直导线周围的B 线为一系列的同心圆，选取 路径方向与磁感应强度方向相同；
左边= B dl L Bdl cos L
由于环路上各点的磁感应强 度大小相等；且 B // dl
I
B
L
0, cos 1 0 I 2r 0 I 左边= B dl 2r L 右边= 0 I 0 I
3
2.磁通量 磁通量:通过任一曲面的磁力线的条数。 1.穿过一面元的磁通量 dm
dm
B
dm B dS 单位：韦伯，Wb
dS
S
2.穿过某一曲面的磁通量
m
S
dm B dS BdS cos
S
S
3.穿过闭合曲面的磁通量
m
S
dm B dS
c
a
B dl B dl B dl B dl B dl
d a
d
c
B外 0
9
例2: 一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示， 其上均匀绕有N匝线圈，线圈中通有电流I。试求：（1） 环内距轴线为r 处的磁感应强度；（2）通过螺线管截 面的磁通量。 I 解：在管内作环路半径为 r的圆环 ， 环路内电流代数和为： I NI r
(第八章第1、3~4节 )
1
一、磁场的高斯定理
1.磁力线 BB B A 为形象的描绘磁场分布的而引 入的一组有方向的空间曲线。 B A 1.规定 •方向：磁力线上某点的切线方向为该点磁场方向。
•大小：通过磁场中某点垂直于磁 感应强度的单位面积的磁力线根数 等于该点磁感应强度的大小。
dB
dB ' dB' '
dl '
p
d
dl ' '
l
c
B
结果
o j
2
o
方向如图所示。
a
b
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均 匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
14
b c a a b
c d B dl B dl 0, B d l , cos 0 d b d B 0 nI B外 0, B dl 0 螺线管外： b c B dl B dl B ab 0 I 0 n ab I
或 B 的方向与环路方向垂直， B dl , cos 0 B dl 0
L
L
dl
8
例1：密绕载流螺线管通有电流为 I，线圈密度为 n， 求管内一点的磁感应强度 。 . . . . . . . . . . . . . . . 解：理想密绕螺线管，管内的磁 a b 场是均匀的，管外的磁场为 0 ； B 作闭合环路 abcda,环路内的 电流代数和为： I n ab I
2.圆柱体外一点 r > R 区域在圆柱体外作一环路，
I B dl B 2 r B d l 0 0 I 1 B B 2r r I
分布曲线：
环路内电流代数和为： I I 同理：
I
L
R
r
r
2R
o
0
B r
1 B r
L
R
r
12
例4：无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j 。 解：视为无限多平行长 dB ' 直电流的场。 p 分析求场点p的对称性 做 po 垂线，取对称的长 直电流元，其合磁场方 向平行于电流平面。
B dl
2 I r 2 I r 2I 2 R R
Bdl cos
L
R
由于环路上各点 磁感应强度 大小相 等，方向与环路一致。
r
B // dl , cos 1
11
2 r I I B dl B 2 r B d l 0 2 0 R 0 I B r r 2 2R
•磁场是无源场，磁力线为闭合曲线。
5
二、安培环路定理
1.定理表述 磁感应强度沿闭合回路的线积分等于环路所包围的 电流代数和乘以 0。 数学表达式： B dl I 2.明确几点 (1)电流正负规定：电流方向与环路方向满足右手定 则时电流 I 取正；反之取负。 (2) B 为环路上一点的磁感应强度，不是任意点的， 它与环路内外电流都有关。 (3)环路定理只适用于闭合电流或无限电流.有限电流 不适用环路定理，只能用毕奥—萨伐尔定律。 (4)安培环路定理说明磁场性质—磁场是有旋场。
0 NI B 2r 0 NI B 2r d1 Φm B dS d2 Bhdr
S
B dl 0 I
L
dr
r
d2 d1
h
2
0 N I h dr 0 N I h d1 ln 2 d2 2 r
d1 2 d2 2
2
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例3：圆柱形载流导体半径为 R ，通有电流为 I ，电 流在导体横载面上均匀分布，求圆柱体内、外的磁感 应强度的分布。 解：导体内外的磁场是以中心轴线为对称分布的。 I 1.圆柱体内部 r < R 区域选取半径为 r 的环路， 环路内电流代数和为：
dB
dB' '
dl '
o
dl ' '
无数对称元在 p点的总磁场方向平行于电流平面。 因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的各点B 的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。
13
B dl B 2l o jl
L
作一安培回路如图： bc和 da两边被电流平 面等分。ab和cd 与电 流平面平行,则有： Nhomakorabeadm
dS
磁感应强度大小为磁力线的面密度。 可用磁力线的疏密程度表示磁感应强度的大小。
d m B dS
B
2
2.磁力线形状 •直线电流的磁力线分布
•载流螺线管的磁力线分布
I
3.磁力线的性质 1.磁力线为闭合曲线或两头伸向无穷远； 2.磁力线密处 B 大；磁力线疏处 B 小； 3.闭合的磁力线和载流回路象锁链互套在一起； 4.磁力线和电流满足右手螺旋法则。
左边=右边 定理成立。 推广到任意路径都成立，证毕。
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安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种 方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有 高度的对称性 。 利用安培环路定理求磁感应强度的关健：根据磁 场分布的对称性，选取合适的闭合环路。 3.选取环路原则
(1)环路要经过所研究的场点。 (2)环路的长度便于计算； B 的方向与环路方 (3)要求环路上各点B 大小相等， 向一致， I 0 I 写成 B 目的是将: B dl 0
S
2
en
B
规定：取闭合面外法线方向为正向。 磁力线穿出闭合面为正通量， en 磁力线穿入闭合面为负通量。
2
B
4
3.磁场中的高斯定理 定理表述：穿过任意闭合面的磁通量等于零。
m B dS 0
S
证明： 由于磁力线为闭合曲线，穿入穿出闭合 面的磁力线根数相同，正负通量抵消。 磁场中的高斯定理阐明了磁场的性质：
6
L
0
特例：以无限长载流直导线为例。 长直导线周围的B 线为一系列的同心圆，选取 路径方向与磁感应强度方向相同；
左边= B dl L Bdl cos L
由于环路上各点的磁感应强 度大小相等；且 B // dl
I
B
L
0, cos 1 0 I 2r 0 I 左边= B dl 2r L 右边= 0 I 0 I
3
2.磁通量 磁通量:通过任一曲面的磁力线的条数。 1.穿过一面元的磁通量 dm
dm
B
dm B dS 单位：韦伯，Wb
dS
S
2.穿过某一曲面的磁通量
m
S
dm B dS BdS cos
S
S
3.穿过闭合曲面的磁通量
m
S
dm B dS
c
a
B dl B dl B dl B dl B dl
d a
d
c
B外 0
9
例2: 一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示， 其上均匀绕有N匝线圈，线圈中通有电流I。试求：（1） 环内距轴线为r 处的磁感应强度；（2）通过螺线管截 面的磁通量。 I 解：在管内作环路半径为 r的圆环 ， 环路内电流代数和为： I NI r