材料力学 扭转
材料力学 第四章 扭转
60 外力偶每秒所做的功即为输入的功率
P 1000= Me 2 n
60
明德行远 交通天下
材料力学
P─kW
M e 9549
P n
n─r/min
M e ─N m
或
P─PS(马力）
Me
7024
P
n
n─r/min M e ─N m
明德行远 交通天下
材料力学
二、扭矩及扭矩图
D
2 d
2
2
2
d
32
(D4
d
4)
D4 (1 4 ) 0.1D4 (1 4 )
32
d
( Dd )
O
D
明德行远 交通天下
材料力学
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
结构轻便，应用广泛。
明德行远 交通天下
材料力学
⑤ 确定最大剪应力：
由
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
Ip A 2dA
单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。
明德行远 交通天下
材料力学
对实心圆截面：
D
I p A 2dA
2 2 2 d
0
D4 0.1D4
32
d
O
D
对于空心圆截面：
d
I p A 2dA
A
B
M1 =9.55 103
P1 n
9.55
103
500 300
N
m=15.9kN
m
M 2 =M3 =9.55103
材料力学 第03章 扭转
sin 2 , cos 2
由此可知：
sin 2 , cos 2
(1) 单元体的四个侧面( = 0°和 = 90°)上切 应力的绝对值最大； (2) =-45°和 =+45°截面上切应力为零，而 正应力的绝对值最大；
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 m N n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
第3章
扭
转
§3.1
一、定义 二、工程实例 三、两个名词
概
述
一、定义
Me Me
扭转变形 ——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩
作用下，杆的各横截面产生相对转动的
变形形式，简称扭转。
二、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶
阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(
4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学-扭转
从圆轴中取一微小的正六面体（单元体）， 其对称两面上的剪应力构成一个力偶，因此 另两个对称面上也必存在转向相反的、由 剪应力构成的力偶。由此得出， 剪应力互等定理： 两个相互垂直的截面上，在其相交处的 剪应力成对存在，且其数值相等而符号相反， 指向或背离交线。 剪应力符号规定： 使单元体产生顺时针方向转动趋势时的剪应力为正 使单元体产生反时针方向转动趋势时的剪应力为负
§7-4 圆轴扭转时的强度计算
要使圆轴杆件扭转时不致产生破坏，应满足各横截面上的最 大剪应力小于材料的许用剪应力，而最大剪应力发生在扭矩最大 的横截面上的边缘处。设圆周半径为R，则圆轴扭转的强度条件 为：
τmax
T = R ≤ [τ ] Ip
Wp =
Ip R
把与截面尺寸和形状有关的参量归到一个参量，令 T 则有：
T ρ ρ 由此，圆轴扭转时横截面上半径为 处的剪应力为：τ ρ = Ip 4、极惯性矩 I 的计算 p πD 4
dϕ T = dX GI p
I p = ∫ ρ dA
2 A
直径为D的实心轴圆截面： I p = 空心轴圆环截面：I p =
π (D 4 − d 4 )
32
32
例：一轴AB传递的功率为Nk=7.5kw， 转速n=360r/min，轴的AC段为实心圆截面， CB段为空心圆截面，如图。已知D=3cm, d=2cm.试计算AC段横截面边缘处的剪应力 以及CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。计算扭矩、惯性矩、应力
Wp
≤ [τ ]
Wp
， 称为抗扭截面系数
Wp = 0.2D3
实心圆：
许用剪应力的确定：料 [τ ] = (0.5 ~ 0.6)[σ] 塑 材 ： 性 一般取 脆 材 ：τ ] = (0.8 ~1.0)[σ] 性 料 [
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学第四章 扭转
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
材料力学实验报告扭转实验
材料力学实验报告扭转实验一、实验目的1、测定低碳钢和铸铁在扭转时的力学性能，包括扭转屈服极限、扭转强度极限等。
2、观察低碳钢和铸铁在扭转过程中的变形现象，分析其破坏形式和原因。
3、熟悉扭转试验机的工作原理和操作方法。
二、实验设备1、扭转试验机2、游标卡尺三、实验原理在扭转实验中，材料受到扭矩的作用，产生扭转变形。
扭矩与扭转角之间的关系可以通过试验机测量得到。
对于圆形截面的试件，其扭转时的应力分布为：表面最大切应力：＄＼tau_{max} ＝＼frac{T}｛W_p}＄其中，＄T$为扭矩，＄W_p$为抗扭截面系数，对于实心圆截面，＄W_p ＝＼frac{＼pi d^3}｛16}＄，＄d$为试件的直径。
当材料达到屈服极限时，对应的扭矩为屈服扭矩$T_s$；当材料断裂时，对应的扭矩为极限扭矩$T_b$。
四、实验材料本次实验采用低碳钢和铸铁两种材料的圆柱形试件，其尺寸如下：低碳钢试件：直径$d_1 ＝ 10mm$，标距$L_1 ＝ 100mm$铸铁试件：直径$d_2 ＝ 10mm$，标距$L_2 ＝ 100mm$五、实验步骤1、测量试件的直径，在不同位置测量多次，取平均值。
2、安装试件，确保其中心线与试验机的轴线重合。
3、启动试验机，缓慢加载，观察扭矩和扭转角的变化。
4、当低碳钢试件出现屈服现象时，记录屈服扭矩$T_s$。
5、继续加载，直至试件断裂，记录极限扭矩$T_b$。
6、取下试件，观察其破坏形式。
六、实验结果及分析1、低碳钢试件屈服扭矩$T_s ＝ 45 N·m$极限扭矩$T_b ＝ 68 N·m$计算屈服应力：＄＼tau_s ＝＼frac{T_s}｛W_p} ＝＼frac{45×16}｛＼pi×10^3} ≈ 226 MPa$计算强度极限：＄＼tau_b ＝＼frac{T_b}｛W_p} ＝＼frac{68×16}｛＼pi×10^3} ≈ 358 MPa$低碳钢试件在扭转过程中，首先发生屈服，表现为沿横截面产生明显的塑性变形，形成屈服线。
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
材料力学 第三章 扭 转
T2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN· m
Mx2 =0.32kN· m lAB=300mm G=80GPa d=50mm
B
T2
φAB
lAB
A T1
lAC d φAC
C T3
B
lAB
A
lAC
C
M x1l AB j AB = GI P 500 0.3 = 9 80 10 0.054 32
r O
Mx
几何分析
变 形 应变分布
物理关系
应力分布
平面假定 静力学方程
应力公式
1. 变形几何关系
周线
a b c d
T
周线
a c d
γ
T
φ
b
纵线
dx
纵线
dx
a
c
a
γ
c c' d d'
b
d
b
（1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。 （2）所有的纵线都转过了同一角度g。
T
周线
A
dρ
ρ o
ρ2dA
∫ 0ρ2·2πρdρ =
π d = 32
4
d/2
d
3 Ip π d Wp = r = 16
2. 空心圆截面
π D 4 - π d 4 π D 4(1-α4) Ip= 32 32 = 32 α=d/D
ρ o
dρ
π D3 Wp = 16 (1-α4)
d D
3.薄壁圆环截面
I P = 2r0
故该轴满足切应力强度要求。
二、刚度计算 等直圆杆扭转的刚度条件为
θ max = Mxmax ≤[θ] GI
《材料力学》第四章 扭转
第四章 扭转§4—1 工程实例、概念一、工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
4、钻井中的钻杆工作时受扭。
二、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
轴：主要发生扭转变形的杆。
§4—2 外力偶矩、扭矩一、外力：m （外力偶矩）1、已知：功率 P 千瓦(KW ），转速 n 转／分(r ／min ； rpm)。
外力偶矩：m)(N 9549⋅=nPm 2、已知：功率 P 马力(Ps)，转速 n 转／分(r ／min ；rpm)。
外力偶矩：m)(N 7024⋅=nPm 二、内力：T （扭矩） 1、内力的大小：（截面法）mT m T mx==-=∑002、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。
（右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。
）3、注意的问题：（1）、截开面上设正值的扭矩方向；（2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。
4、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。
作法：同轴力图：§4—3 薄壁圆筒的扭转 一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚0101r t ≤,0r ：为平均半径） 实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。
1、实验：2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量。
4、定性分析横截面上的应力(1) 00=∴=σε ；（2）00≠∴≠τγ因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。
⑶ 因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布,而且方向垂直于其半径方向。
材料力学扭转
Wt
Ip R
max
抗扭截面系数
T Wt
公式适用 条件
1.等直圆杆—只有横截面不变的圆轴，才满足 平面假设的要求。
2.最大切应力低于剪切比例极限—满足胡克定 律的要求。
如何计算截面极 惯性矩和抗扭截 面系数？
§3.4 圆轴扭转时的应力
计算截面极惯性矩和 抗扭截面系数
T
实 心 轴
D/2 ρ O
M eB M eC 4.78kN.m
M eA 15.9kN.m
2.利用截面法计算各段内的扭转
MeB MeC 2 MeA MeD
CA段：
假设T2为正，由平衡方程
T2 M eB M eC 0
B C
2
A
D
MeB
MeC
T2 M eB M eC 9.56kN.m
结果为负，说明T2为负值扭矩。
同理，可以求得距圆心为ρ处的切应变为
d dx
2.物理关系
横截面上任意点的切应变与该点到圆 心的距离ρ成正比。
由剪切胡克定律求得横截面上距圆心 为ρ处的切应力为
G
d G dx
横截面上任意点的切 应力与该点到圆心的 距离ρ成正比。
图 3.10
由切应力互等定理可知，在纵向截面和横截面上，沿半径方向的 切应力分布情况如图3.10所示。
扭转图—当作用于轴上的外力偶多于两个时，为了表示各横截
面上扭矩沿轴线变化的情况，在图中以横轴表示横截面的位置 ，纵轴表示相应截面上的扭矩，这种图线称为扭矩图。
实例：一传动轴如图所示，其转速 n = 300 r/min ，主动轮A
输入的功率为PA = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率，三 个从动轮输出的功率分别为PB = PC = 150 kW及PD = 200 kW。 试做扭矩图。
材料力学 第三章 扭转
为一很小的量，所以
tan 1.0103rad
G
(80 109 Pa)(1.0 103rad) 80 MPa
注意： 虽很小，但 G 很大，切应力 不小
例 3-3 一薄壁圆管，平均半径为R0，壁厚为，长度为l， 横截面上的扭矩为T，切变模量为G，试求扭转角。
解：
T
2πR02
G
T
2πGR02
塑性材料：[] =（0.5~0.6）[s] 脆性材料：[] = （0.8~1.0）[st]
例 3-1 已知 T=1.5 kN . m，[τ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。 解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
max
T Wp
T πd 3
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
Tmax ml
[例3-1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：1、计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1
9.55
P1 n
9.55
一、薄壁圆筒扭转时的应力
t
1、试验现象
壁厚
t
1 10
r0（r0：平均半径）
rO
各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动，距离不变。 当变形很小时，各纵向平行线仍然平行，倾斜一定的角度。
由于管壁薄，可近似认 为管内变形与管表面相 同，均仅存在切应变γ 。
2、应力公式 微小矩形单元体如图所示：
´
①无正应力
d T
dx GI p
材料力学扭转
dx
c
x
它们组成的力偶，其矩为
(dxdy )dz
z
(dxdy )dz
y
此力偶矩与前一力偶矩
dy
d
a
b
( dy dz) dx 数量相等而转向相反，从而可得 z
dx
c
x
剪应力互等定理：
单元体两个相互垂直平面上
a
dy
y
b
d
的剪应力同时存在，且大小
相等，都指相（或背离）该
y
程中，认为上，下两面上的外
a
'
d
x
力将不作功。只有右侧面的外 力 (dydz) 对相应的位移 dx 作
z
b dx
dx
了功。
当材料在线弹性范围内内工作时，
y
上述力与位移成正比，因此，单
元体上外力所作的功为
1 2 1 2
z a
'
d
x
dW
( dydz)( dx)
( dxdydz)
M GI
e P
r
o
dA
M I
e p
上式为圆轴在扭转时横截面上任一点处的剪应力计算公式
M I
e p
式中：Me 为横截面上的扭矩； 为求应力的点到圆心的距离：
I p A dA
2
称为横截面对圆心的 极惯性矩
说明：
M n I
p
max
Mn
材料力学扭转知识点总结
材料力学扭转知识点总结1. 概述材料力学是研究材料的力学性能和行为的一门学科，而扭转则是指在材料中施加扭矩力的作用。
材料力学扭转是材料力学中重要的一个分支，涉及到材料的变形、强度、破坏等方面的内容。
本文将对材料力学扭转的主要知识点进行总结。
2. 扭转应力扭转应力是材料在扭转加载下产生的应力。
与拉伸、压缩应力相比，扭转应力呈圆柱对称分布，沿着截面的半径方向逐渐减小，最大应力出现在材料的表面。
扭转应力的大小与施加的扭矩、材料断面的形状和尺寸有关。
3. 扭转变形扭转加载下，材料会产生扭转变形。
扭转变形主要表现为材料的轴线在垂直截面上的位移，称为扭转角。
扭转角的大小与施加的扭矩、材料的几何形状和材料的性质有关。
当材料的弹性变形超过一定范围时，会发生塑性变形，导致材料的破坏。
4. 扭转刚度扭转刚度是指材料对扭转加载的抵抗能力。
扭转刚度可以由杨氏模量计算得出，与材料的剪切模量相关。
较高的扭转刚度意味着材料在扭转加载下能够保持较小的变形，具有较好的强度和刚度。
5. 扭转强度扭转强度是指材料在扭转加载下破坏的能力。
与拉伸强度、压缩强度类似，扭转强度也是一个材料的重要指标，用来评估材料在扭转加载下的耐用性能。
6. 扭转应力-应变关系材料在扭转加载下的应力-应变关系可以描述材料在扭转过程中的力学行为。
对于线弹性材料而言，扭转应力与扭转角之间呈线性关系，称为胜肽方程。
扭转应力-应变关系可用来预测材料的扭转刚度、扭转变形等力学性能。
7. 扭转实验扭转实验是研究材料力学扭转性能的重要手段。
通过在材料上施加一定的扭矩载荷，并测量相应的应变和变形，可以获取材料的扭转应力-应变关系、扭转刚度等信息。
扭转实验可以通过机械试验机、扭转试验机等设备进行。
8. 扭转设计与应用在工程实践中，材料力学扭转的理论和实验成果被广泛应用于各种设计和制造中。
例如，扭杆、螺旋弹簧、传动轴等都是在扭转加载下工作的零件，需要考虑材料的扭转强度、刚度等特性。
材料力学（扭转）
τ
dy
τ
τ´
c
t
z
dx d
3 剪切胡克定律
τ =τ′
当τ ≤τp ，切应力与切应变成正比关系
τ = G ⋅γ
剪切弹性模量
26
§3–4 等直圆杆扭转时的应力和变形
一 等直圆杆横截面应力
①变形几何方面 ②物理关系方面 ③静力学方面
27
无数薄壁圆筒
表
里
28
等直圆杆扭转实验观察： 1. 平截面假设； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍平行。
P P
二 受力特点 构件两端受到两个在垂直于轴线 平面内的力偶作用，两力偶大小 相等，转向相反。
3
三 变形特点 各横截面绕轴线发生相对转动 即：任意两截面间有相对的角位移 — 扭转角
扭转角（ϕAB）：B截面绕轴线相对A截面转动的角位移。 切应变（γ）：直角的改变量。
ϕAB
A
O B
A
γ
O
B
M
M
4
四轴 工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。
γ =ϕ⋅RL
l
2 剪切胡克定律
τT
当τ ≤τp ，切应力与切应变成正比关系
τ = G ⋅γ
剪切弹性模量 Pa
ϕγ
21
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个 常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
G= E
2(1 + ν )
22
一 受力特点 构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的力偶作用，两力偶 大小相等，转向相反。
24
三 薄壁圆筒的扭转 1 实验结论 ① 无轴向正应力 ② 无径向正应力 ③ 切应力环向均布 ④ 切应力径向均布
材料力学第3章-扭转
第3章 扭转1、扭转的概念：杆件的两端个作用一个力偶，其力偶矩大小相等、转向相反且作用平面垂直于杆件轴线，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，即为扭转变形。
2、外力偶矩的计算{}{}{}min /95491000602r KW m N e e n P M P M n=⇒⨯=⨯⨯⋅π 式中，e M 为外力偶矩。
又由截面法：e e M T M T =⇒=-0 T 称为n n -截面上的扭矩。
规定：若按右手螺旋法则把T 表示为矢量，当矢量方向与研究部分中截面的外法线的方向一致时，T 为正；反之为负。
3、纯剪切（1）薄壁圆筒扭转时的切应力 δπττδπ222r M r r M ee =⇒••=（2）切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于平面的交线，方向则共同指向或背离这一交线。
（3）切应变 剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变γ与切应力τ成正比。
γτG = G 为比例常数，称为材料的切变模量。
弹性模量E 、泊松比μ和切变模量G 存在关系：)1(2μ+=EG 4、圆轴扭转时的应力（1）变形几何关系：距圆心为ρ处的切应变为dxd ϕργρ=（2）物理关系：ρτ为横截面上距圆心为ρ处的切应力。
dxd G G ϕρτγτρρρ=⇒= （3）静力关系：内力系对圆心的力矩就是横截面的扭矩：dA d d GdA T AxA⎰⎰==2ρρτϕρ 以p I 表示上式右端的积分式：dA I Ap ⎰=2ρ p I 称为横截面对圆心O 点的极惯性矩（截面二次极矩）横截面上距圆心为ρ的任意点的切应力：pI T ρτρ=ρ最大时为R ，得最大切应力：pI TR =max τ引用记号RI W p t =t W 称为抗扭截面系数。
则tW T =max τp I 和t W 的计算（1）实心轴：3224420032D R d d dA I RAp ππθρρρπ====⎰⎰⎰16233D R RI W p t ππ===（2）空心轴：)1(32)(324444202/2/32αππθρρρπ-=-===⎰⎰⎰D d D d d dA I D d Ap)1(16)(164344αππ-=-==D d D DRI W p t5、圆轴扭转时的变形pGI Tl =ϕ ϕ为扭转角，l 为两横截面间的距离。
材料力学扭转
材料力学扭转材料力学中的扭转是指在材料上施加一个力矩，使其绕一个轴进行转动的现象。
扭转在工程领域中广泛应用，例如在机械设计、结构设计以及材料测试等方面。
材料力学中的扭转主要涉及到弹性力学和塑性力学两个方面。
在弹性力学中，当材料受到扭矩时，它会发生弯曲变形以及剪切变形。
而在塑性力学中，材料会发生塑性流动，产生塑性变形。
在材料力学中，对于扭转的研究主要关注以下几个方面：1. 扭转角度：扭转角度是指材料在扭转过程中绕轴旋转的角度。
扭转角度通常以弧度为单位进行计量。
2. 扭转力矩：扭转力矩是作用在材料上的力矩，它使材料发生扭转。
扭转力矩的大小与施加的力及材料的形状及性质有关。
3. 扭转应变：材料在扭转过程中会发生弯曲变形和剪切变形，从而导致产生应变。
扭转应变是指材料在扭转过程中产生的应变。
4. 扭转刚度：扭转刚度是指材料抵抗扭转变形的能力。
材料的扭转刚度与其形状、尺寸以及材料的性质密切相关。
对于材料力学中的扭转现象，研究者可以通过实验和数值模拟来进行研究。
实验可以通过应用一定的扭转力矩使试样产生扭转，然后测量扭转角度和应变等参数来分析材料的扭转性能。
数值模拟可以通过建立数学模型和使用计算机进行仿真来研究材料的扭转行为。
在工程实际应用中，对于扭转现象的研究对于设计和优化机械结构以及预测和评估材料的强度和可靠性有重要意义。
通过研究材料的扭转行为，工程师可以合理设计和选择材料，从而确保结构的稳定性和安全性。
综上所述，材料力学中的扭转是指在材料上施加一个力矩，使其绕一个轴进行转动的现象。
材料的扭转行为涉及到弹性力学和塑性力学方面的研究，对于工程实践中的结构设计和材料选择具有重要意义。
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dA
dA T
A
AGddx dAT
dA
o
Gd
dx
2dA
T
A
令Ip 2dA
A
Ip 2dA极惯性矩
A
则 d T
dx
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GIp
24
T
Ip
max
T Wt
max
max
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CL5TU9 25
下 面 求 极 惯 性 矩 Ip 和 抗 扭 截 面 模 量 W t
d /2
d /2
解：
m A 7 0 2 4N n A 7 0 2 4 3 5 0 0 0 1 1 7 0N m
mBmC7024NnB
702415 351Nm 300
mD7024NnC702432000468Nm
N A5 0P SN BN C 1 5 P SN D 2 0P S
n= 3 0 0rp m
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G E
2(1 )
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18
§5-4 圆轴扭转时的应力和变形
一、圆轴扭转时横截面上的应力
变形几何关系 从三方面考虑：物理关系
静力学关系
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CL5TU5 19
1.变形几何关系
观察到下列现象:
(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距 离没有 变化
(2)纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度γ
D23
T (10.84)
16 16
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CL5TU18 3
§5-2 扭矩和扭矩图
Tm
T m
扭矩
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CL5TU6 4
例： 图示传动轴，主动轮A输入功率
NA=50 马力，从动轮B、C、D输出功率分 别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马力，轴的 转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
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CL5TU3 5
CL5TU8 16
薄壁圆筒的实验, 证实了剪应力与剪应变之间存在着 象拉压胡克定律类似的关系, 即当剪应力不超过材料的 剪切比例极限τp时,剪应力与剪应变成正比
G
G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切 胡克定律
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17
剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量E
泊松比μ
对于各向同性材料,可以证明:E、G、μ 三个弹 性常数之间存在着如下关系
一、薄壁圆筒的扭转应力分析 等厚度的薄壁圆筒,平均半径为 r,壁厚为 t
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CL5TU4 9
受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成 方格,然后加载。
m
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m
10
观察到如下现象：
(1) 纵向线倾斜了同一微小角度γ
(2) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距 离没有改变
根据以上实验现象,可得结论：
32
max
T
Wt
1000
0.043 (10.54)
84.88M Pa
16
min
max
10 20
42.44 MPa
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33
例：一直径为D1的实心轴，另一内外径之比α＝ d2／D2＝0.8的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同， 且最大剪应力相等。求两轴外直径之比D2/D1。
解：由
T
D13
圆筒横截面上没有正应力，只有剪应
力。剪应力在截面上均匀分布，方向垂直
于半径。
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11
剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径
m
m
T
T
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12
dA
dA r
r dA T
A
r dA T
A
r2rtT
T
2 r2t
根据精确的理论分析,当t≤r/10时,上式
的误差不超过4.52%,是足够精确的。
GIp
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/m
29
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半 时，横截面的最大剪应力是原来的 8 倍？ 圆轴的扭转角是原来的16 倍？
maGxTIlpWTt GT1Td6dl34
32
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30
例：图示铸铁圆轴受扭时，在＿＿＿45＿ 螺面旋上发生断
裂，其破坏是由
应最力引大起拉的。在图上画出
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13
二、剪应力互等定理
微元体 单元体
dy
(td y )d x (td x )d y
dx
t
CL5TU7
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14
剪应力互等定理 : 在相互垂直的两个平面上,剪应力 一定成对出现，其数值相等，方向同时指向或背离 两平面的交线。
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15
三、剪切胡克定律
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Ip
max
Ip D
2
D3 (14)
16
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27
二、圆轴扭转时的变形
d T
d x GI p
d T d x
GI p
T d x
l GI p
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d
CL5TU5 28
圆轴扭转时的强度条件和刚度条件
强度条件：max
T
Wt
[]
刚度条件：
d T [] rad/m
dx GIp
T 180[]
I p 2dA 2 2 d 2 3d
A
2
d4 2
0
d
4
4
32
0
d
Wt
Ip
max
Ip d
d3
16
o
2
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CL5TU5 26
对 于 空 心 圆 ， 外 径 为 D ， 内 径 为 d
I p
2dA
D/2
22
d
(D4
d4)
A
d /2
32
D4(14)
32
Wt
第五章 扭 转
§5-1 扭转的概念
一、扭转的概念及实例
CL5TU1
汽车的转向操纵杆
丝锥、电动机轴
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1
受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的 力偶，力偶作用面垂直于轴线。
变形特征：横截面绕轴线转动。
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CL5TU2 2
二、外力偶矩的计算
设某轮所传递的功率是N kW，轴的转速 是 n rpm
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20
平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性
平面一样绕轴线旋转了一个角度。
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CL5TU5 21
d
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CL5TU5 22
2. 物理关系
根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料的剪切 比例极限时
G
G
d
dx
剪应力方向垂直于半径
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23
3.静力学关系
6
mA 1170 N m
T 1 m B 3 5 1 N m
mB mCቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 351 N m T2702Nm
mD 468 N m
PPT学习交流T 3m D4 6 8N m 7
T(Nm)
T1 351 N m
T2 702 N m
PPT学习交流 T3 468 N m
8
§5-3 薄壁圆筒的扭转实验
破坏的截面。
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CL5TU10 31
例：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面轴， 受扭矩T=1kN·m作用，计算横截面上A点的剪应力及 横截面上的最大和最小剪应力。
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CL5TU11 32
解：
A
TA
Ip
1000 0.015
0.044 (10.54)
63.66M Pa