微分的概念、性质及应用

第 二 章 第 6 节：函数的微分

教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用

微分作近似计算

教学重点：微分的计算

教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算

教学内容：

1. 微分的定义

计算函数增量()()00x f x x f y -∆+=∆是我们非常关心的。一般说来函数的增量的计算是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方

法。

先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变

化的影响，其边长由0x 变到x x ∆+0（图2-1），问此薄片

的面积改变了多少？

设此薄片的边长为x ，面积为A ，则A 是x 的函数：

2x A =。薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看

成是当自变量x 自0x 取得增量x ∆时，函数A 相应的增量A ∆，即

()()2020202x x x x x x A ∆+∆=-∆+=∆。

从上式可以看出，A ∆分成两部分，第一部分A x ∆02是A ∆的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分()2

x ∆在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当0→∆x 时，第二部分()2x ∆是比x ∆高阶的无穷小，即()()x x ∆=∆02

。由此可见，如果边长改变很微小，即x ∆很小时，面积的改变量A ∆可近似地用第一部分来代替。 一般地，如果函数()x f y =满足一定条件，则函数的增量y ∆可表示为

()x x A y ∆+∆=∆0，

其中A 是不依赖于x ∆的常数，因此x A ∆是x ∆的线性函数，且它与y ∆之差

图2-1

()x x A y ∆=∆-∆0，

是比x ∆高阶的无穷小。所以，当0≠A ，且x ∆很小时，我们就可近似地用x A ∆来代替y ∆。

定义 设函数()x f y =在某区间内有定义，x x ∆+0及x 0在这区间内，如果函数的增量

()()00x f x x f y -∆+=∆

可表示为 ()x x A y ∆+∆=∆0， ① 其中A 是不依赖于x ∆的常数，而()x ∆0是比x ∆高阶的无穷小，那么称函数()x f y =在点0x 是可微的，而x A ∆叫做函数()x f y =在点0x 相应于自变量增量x ∆的微分，记作dy ，即 x A dy ∆=。

定理1 函数()x f 在点0x 可微的充分必要条件是函数()x f 在点0x 可导，且当()x f 在点0x 可微时，其微分一定是

()x x f dy ∆'=0。

设函数()x f y =在点0x 可微，则按定义有①式成立。①式两边除以x ∆，得 ()x

x A x y ∆∆+=∆∆0。 于是，当0→∆x 时，由上式就得到

()00lim x f x

y A x '=∆∆=→∆。 因此，如果函数()x f 在点0x 可微，则()x f 在点0x 也一定可导（即()0x f '存在），且()0x f A '=。

反之，如果()x f y =在点0x 可导，即

()00lim

x f x y x '=∆∆→∆ 存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成

()α+'=∆∆0x f x

y ， 其中0→α（当0→∆x ）。由此又有

()x x x f y ∆+∆'=∆α0。

因()x x ∆=∆0α，且不依赖于x ∆，故上式相当于①式，所以()x f 在点0x 也是可微的。

由此可见，函数()x f 在点0x 可微的充分必要条件是函数()x f 在点0x 可导，且当()x f 在点0x 可微时，其微分一定是

()x x f dy ∆'=0。 ②

例1 设x e y x cos =，求dy

解：x e x e dx

dy x x sin cos -=

dx x x e dy x )sin (cos -=

微分在近似计算中的应用：在()00≠'x f 的条件下，以微分()x x f dy ∆'=0近似代替增量()()00x f x x f y -∆+=∆时，相对误差当0→∆x 时趋于零。因此，在x ∆很小时，有精确度较好的近似等式

dy y ≈∆。

即()()()x x f x f x x f ∆'+≈∆+000

或x x f x f x f ∆'+≈)()()(00 特别地，当x x ,00=很小时，有x f f x f )( )()(00'+≈ （3）

（3）式是计算零点附近的函数值 当x ∆很小时，有下列近似计算公式：

x n

x n 111+≈+ x x ≈sin x tgx ≈ x e x +≈1 x x ≈+)ln(1

例 证明：x n

x n 111+≈+。（当x ∆很小时） 令 n x x f +=1)(

因为n x n f f x n 11101

0011=+='==-|)()()( 由x f f x f )()()(00'+≈

故，当x ∆很小时，x n x n 111+≈+ 例2 一个充好气的气体，4=r m ，升空后，因外面气压降低，气球半径r 增大了10cm ，求体积增加了多少？

解：因为33

4r V π= 所以x r x r dv V ∆=∆⋅'=≈∆2343

4ππ)( )(..32201041434m ≈⨯⨯⨯≈

例3 求24.的近似值．

解 设x x f =

)(,取2040.,=∆=x x ，则 4

142421

24='=='=)()()(.f f x x f x 所以

0524244424.).)(()(.=-'+≈f f 或者：

052050501205

0120501424.)..(.).(.=⨯+≈+=+=

2. 微分的几何意义

为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义。

在直角坐标系中，函数()x f y =的图形是一条曲线。对于某一固定的0x 值，曲线上有一个确定点()00y x M ，当自变量x 有微小增量x ∆时，就得

到曲线上另一点()y y x x N ∆+∆+00，.从图2-2可知：

x MQ ∆=，

y QN ∆=。

过M 点作曲线的切线,它的倾角为α，则 ()0tan x f x MQ QP '⋅∆=⋅=α，

即 QP dy =。

由此可见，当y ∆是曲线()x f y =上的M 点的纵坐标的增量时，dy 就是曲线的切线上M

图2-2