第2章离散时间信号与系统
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信号与系统课件：第二章 LTI系统
第2章 线性时不变系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
数字信号处理第2章
Z变换与拉氏变换的关系:
这一关系实际上是通过 到了Z平面。
若将Z平面用极坐标表示
标表示
，代入
将S平面的函数映射
，S平面用直角坐 ，得：
上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应， z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。
映射关系：
Z变换与拉氏变换的关系
0 0,2 (S平面实轴映射到Z平面的正实轴)
解：
，求它的傅立叶变换。
其幅度谱和相位谱分别为：
典型例题
❖ 例2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。
解：
显然序列 h(n)不是绝对可和的，而是平方可和 的 ，但其依然存在傅立叶变换。 Parseval定理
典型例题
❖ 例3 证明复指数序列 x(n) e j0n 的傅立叶变换为：
证：根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函 数 的性质，有：
即序列绝对可和
某的有 立些序些叶既列序变不，列换满若虽依足引然然绝入不存对频满在可 域足。和的以见的冲上后条击条例件函件。也数，不但满满，足足其平平傅方方立可可叶和和变条，换件其傅
也存在。如
、某些周期序列，见后例。
序列傅立叶变换的定义
5．常用序列的傅立叶变换
序列
(n)
傅立叶变换
1
1
典型例题
❖ 例1 已知
A形k(式k=求0,X取1(…：z),N)B，(此z) A( z )
时
为了方bi 便z i通常利用
i0
N
1 ai z i
X(z)/z的
i 1
若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
则其逆Z变换为：
第二章 信号与系统的时域分析
17
二 卷积积分（The convolution integral） 若 (t ) h(t ) 则 (t ) h(t ) ＝ h (t )
x t x h t
x(t ) x( ) (t )d y(t ) x( )h (t )d
则 y(t ) ak yk (t )
k
4
信号与系统的时域分析:
一般的信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。
结合系统的叠加性和时不变性，就能够用LTI的单位
冲激响应来完全表征任何一个LTI系统的特性。这样
一种表示在离散情况下称为卷积和；在连续时间情
况下称为卷积积分。
5
分析方法：
对信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域 进行，相应地产生了对LTI系统的时域分析法、频 域分析法和变换域分析法。
h( n n kk n h ) uu (n k )k
1
1
k
0
...
0
k
n
12
运算过程：
k k) ,再随参变量 为 h(
点值累加，得到
将一个信号 xk 不动，另一个信号反转后成为
下，将 xk 与 hn k 对应点相乘，再把乘积的各
n
移位.在每个 n 值的情况
x( [ n] y x x[ (n n] )* [ (n) h2 (n n)] x ) y( n n) (h h1 ) 1 n h2 h (n ) h( n) h2 x(t ) 11 y(t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] h1 (t ) h2 (t )
0
16
对一般信号 x(t ) ，可以分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x (t ) 近似表示 x(t ) .当 0 时，
二 卷积积分（The convolution integral） 若 (t ) h(t ) 则 (t ) h(t ) ＝ h (t )
x t x h t
x(t ) x( ) (t )d y(t ) x( )h (t )d
则 y(t ) ak yk (t )
k
4
信号与系统的时域分析:
一般的信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。
结合系统的叠加性和时不变性，就能够用LTI的单位
冲激响应来完全表征任何一个LTI系统的特性。这样
一种表示在离散情况下称为卷积和；在连续时间情
况下称为卷积积分。
5
分析方法：
对信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域 进行，相应地产生了对LTI系统的时域分析法、频 域分析法和变换域分析法。
h( n n kk n h ) uu (n k )k
1
1
k
0
...
0
k
n
12
运算过程：
k k) ,再随参变量 为 h(
点值累加，得到
将一个信号 xk 不动，另一个信号反转后成为
下，将 xk 与 hn k 对应点相乘，再把乘积的各
n
移位.在每个 n 值的情况
x( [ n] y x x[ (n n] )* [ (n) h2 (n n)] x ) y( n n) (h h1 ) 1 n h2 h (n ) h( n) h2 x(t ) 11 y(t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] h1 (t ) h2 (t )
0
16
对一般信号 x(t ) ，可以分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x (t ) 近似表示 x(t ) .当 0 时，
MATLAB 第2章 离散时间信号与系统
(2)移位：将 h(-m)移位 n，即得h(n-m).当 n为正整数时， 右移n位，当n为负整数时，左移n位.
(3) 相乘：再将h(n-m)和x(m)的相同m值的对应点值相乘. (4)相加：把以上所有对应点的乘积叠加起来,即得y(n)值. 依上法,取n=…, -2, -1, 0, 1, 2, …各值，即可得全部y(n)值.
y( 1 ) 0
1 1 y(1 ) 1 2 2
数字信号处理
图1-8 x(n)和h(n)的卷积和图解
第2章离散时间信号与系统
利用图1-8，求任意一个y(n)时，只需将两序 列对应位置上的点相乘再求和即可。
数字信号处理
第2章离散时间信号与系统
二. 常用的典型序列
1.单位采样序列(单位冲激序列,单位脉冲序列) ( n )
x(2n)
3
2 x(2 n)
2
4 2
1 1
0
1
n
0
1
2
3
n
数字信号处理
第2章离散时间信号与系统
2.2 离散时间系统
定义：一个离散时间系统是将输入序列变换成输出
序列的一种运算。
若以T［· ］来表示这种运算，则一个离散时间系统 可表示为：
y ( n ) T [ x ( n )]
离散时间系统中最重要、 最常用的是“线性移
例如 s i n n 4
N 8
/ 0 PQ / （2）当 2 / 0 不是整数，是一个有理数时，设 2
P和Q是互为素数的整数，取k=Q，则N=P； 例如 s i n 数字信号处理
4 5
时， 2 / 0
2 5 4 / 5 2
N 5
第2章离散时间信号与系统
第二章时域离散时间信号与系统1
N个抽样间隔应等于k个连续正弦信号周期
例：
x(n) sin( 3 2 n)
14
0
3 14
2
2 14 N T0 0 3 k T
当14T 3T0时，x(n)为周期为14的周期序列
序列的能量为序列各抽样值的平方和
S x(n) 2 n
x(n)可以表示成单位脉冲序列的移位加权和， 也可表示成与单位脉冲序列的卷积和。
2.1.1信号的采样与采样定理 1.采样的定义：就是利用周期性抽样脉冲序列
pT(t),从连续信号xa(t)中抽取一系列的离散值 ，得到抽样信号（或称抽样数据信号）即离 散时间信号。
抽样是模拟信号数字化的第一环节，再经幅 度量化、编码后即得到数字信号x(n)。
研究内容：
信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）
考虑数字正弦序列是由模拟信号 xa (t) Asin t 采样得到，
即
x(n) xa (t) tnT Asin(nT) (2)
数字域频率和模拟信号频率的对应关系
比较(1)、(2)两式得 T
fs
(1.2.9)
ω0=π/8 T=1/16
6.复指数序列 x(n) e( j )n
还可写成
2.序列相乘
是指同序号(n)的 序列值逐项对应 相乘。
x(n) x1(n) x2(n)
3.序列的标乘
A x Ax(n) y(n)
序列的相加和相乘： x1=[0 1 2 3 4 3 2 1 0];ns1=-2; x2=[2 2 0 0 0 -2 -2];ns2=2; nf1=ns1+length(x1)-1; nf2=ns2+length(x2)-1; ny=min(ns1,ns2):max(nf1,nf2); xa1=zeros(1,length(ny)); xa2=xa1; xa1(find((ny>=ns1)&(ny<=nf1)==1))=x1; xa2(find((ny>=ns2)&(ny<=nf2)==1))=x2; ya=xa1+xa2; yb=xa1.*xa2; subplot(2,2,1),stem(ny,xa1);ylabel('x1(n)') subplot(2,2,3),stem(ny,xa2);ylabel('x2(n)') subplot(2,2,2),stem(ny,ya);ylabel('x1(n)+x2(n)') subplot(2,2,4),stem(ny,yb);ylabel('x1(n)*x2(n)')
数字信号处理课件第二章--离散时间信号与系统(ppt文档)
• 2.2.4 因果性（Causality） 系统在n时刻的输出只取决于n时刻以及n时刻以 前的输入，而与n时刻以后的输入无关。 y[n] x[n], x[n-1], x[n-2], … 因果系统---- 物理可实现性 x[n+1], x[n+2], … 非因果系统---- 物理不可实现性
一个非因果系统的例子： y[n]=x[n+1]-x[n]
2.2离散时间系统
离散系统可以定义为一种变换或一个算子，即：
用公式表示为：
y[n] T x[n]
2.2.1 无记忆系统（Memoryless Systems）
y[n]x[n] 例： y[n] x[n]2
2.2.2 线性系统（Linear Systems） 满足叠加原理的系统称为线性系统
y[n] x[k]h[n-k]
k
一个线性时不变（LTI）系统完全可以由它的单位脉冲 响应来表征。
• 卷积和（Convolution）
x1[n] x2[n] x1[k]x2[n k] k
系统输出可表示为：
y[n] x[k]h[n k] x[n] h[n] k
因果序列: x[n] 0, n 0
因果稳定的线性时不变系统：h[n]单边且绝对可和
例：
h[n] anu[n]
a 1
h[n]有限长非零样本-------- 有限冲击响应系统（finite-duration impulse response，FIR）------- 系统总是稳定的
h[n]无限长非零样本-------- 无限冲击响应系统（infinite-duration impulse response，IIR）
第2章 离散时间信号与系统-1-2节
5 m , m 0 z (m) 将m替换成m-n 0, m 0
5 ( mn ) , m n 0 z[(m n)] 0, m n 0
x ( n ) * z ( n)
n
5n m , n m z ( n m) 0, n m
m
m
[ x(m) z(n m)] [3
m0
( 5n m )]
n n 3 m n 1 (3 / 5) n 1 ,n 0 5 ( ) , n 0 5 1 3 / 5 m0 5 0, n 0 0, n 0 3n 1 5n 1 ,n 0 2 2 0, n 0
n=1
n=2
n=3
n=4
【例2-5】（P15）已知 ，
x(n) {
n ,1n3 2 0,其他
h(n) {
求：
1,0n2 0,其他
y (n) x(n) h(n)
m
x ( m )h ( n m )
【例2-5】（P15）
0.5， 1 ， 1.5 1， 1， 1 ×—————————————————— 0.5， 1 ， 1.5 0.5， 1 ， 1.5 0.5， 1 ， 1.5 + ————————————————————— 0.5， 1.5， 3， 2.5 ， 1.5
1
2
3
4
y(n)
0 -2 -4 1
-3
-2
-1
0 (b)
1
2
3
4
z(n)
0
-1 -4
-3
-2
-1
0 (c)
1
2
3
第二章 时域离散信号和系统(数字信号处理)
第二章 时域离散信号和系统
6. 复指数序列
x(n)=e(σ+jω0)n 式中ω0为数字域频率，设σ=0，用极坐标和实部虚 部表示如下式： x(n)=e jω0n
x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n)
由于n取整数，下面等式成立： e j(ω0+2πM)n= e jω0n, M=0,±1,±2…
第二章 时域离散信号和系统
图1.2.5 正弦序列
第二章 时域离散信号和系统
则要求N=(2π/ω0)k，式中k与N均取整数，且k的取
值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列 才是以N为周期的周期序列。
正弦序列有以下三种情况：
(1)当2π/ ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/ ω0 为周期的周期序列。例如sin(π/8)n， ω0 =π/8，2π/ ω0 =16,该正弦序列周期为16。
例 设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。
解 按照公式，
y (n )
m
R ( m) R ( n m)
4 4
上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩
形序列的非零值区间确定求和的上、下限，R4(m)的非
令n-k=m，代入上式得到
u( n )
n
( m)
n
第二章 时域离散信号和系统
u(n) 1 „ n 0 1 2 3
单位阶跃序列
第二章 时域离散信号和系统
3. 矩形序列RN(n) 1, RN(n)= 0， 0≤n≤N-1 其它n
上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的
第二章 时域离散信号和系统
第2章 时域离散信号和系统
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
函数
3、 非周期离散信号的傅里叶变换:频率函数是周期的连续函数 4、 离散周期序列的傅里叶变换:具有既是周期又是离散的频谱，即
时域和频域都是离散的、周期的 规律：一个域的离散就必然造成另一个域的周期延拓。 1、如果信号频域是离散的，则该信号在时域就表现为周期性的时间函 数。 2、在时域上是离散的，则该信号在频域必然表现为周期性的频率函 数。 3、如果时域信号离散且是周期的，由于它时域离散，其频谱必是周期 的，又由于时域是周期的，相应的频谱必是离散的， 4、离散周期序列一定具有既是周期又是离散的频谱，即时域和频域都 是离散周期的。
对于，将以为周期进行周期延拓，得到所示的周期序列， 周期为16， 求的DFS。 可以看出，在时，处频谱的幅度和处是一样的。也就是说，点数越多， 频谱越精确。
..2 离散周期序列的傅里叶变换 各种形式的傅里叶变换 1、 非周期实连续时间信号的傅里叶变换: 频谱是一个非周期的连续
函数 2、 周期性连续时间信号的傅里叶变换: 频谱是非周期性的离散频率
例：设， f0=50 Hz，以采样频率对进行采样， 得到采样信号和时域离 散信号， 求)、和的傅里叶变换的FT。
2.5 序列的Z变换 双边Z变换的定义：序列x(n)的Z变换定义为： 式中：z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。 注意在定义中，对 n求和是在±∞之间求和，可以称为双边Z变换。
为单边Z变换： 适用于因果序列，如果不特别强调，均用双边Z变换对信号进行分析和 变换。 Z变换成立条件： Z变量取值的域称为收敛域。 一般收敛域用环状域表示
在模拟系统中， 的傅里叶变换为 对于时域离散系统中， ，它的傅立叶变换 对于
（
例：求对进行的周期延拓后的周期序列的傅立叶变换FT 注意：对于同一个周期信号， 其DFS和FT分别取模的形状是一样的， 不同的是FT用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线表示)。 因此周期序列 的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数 的画法。 例：设 ，为有理数，求其FT 物理含义：的FT是在处的单位冲激函数，强度为π，且以2π为周期进行 延拓。
3、 非周期离散信号的傅里叶变换:频率函数是周期的连续函数 4、 离散周期序列的傅里叶变换:具有既是周期又是离散的频谱，即
时域和频域都是离散的、周期的 规律：一个域的离散就必然造成另一个域的周期延拓。 1、如果信号频域是离散的，则该信号在时域就表现为周期性的时间函 数。 2、在时域上是离散的，则该信号在频域必然表现为周期性的频率函 数。 3、如果时域信号离散且是周期的，由于它时域离散，其频谱必是周期 的，又由于时域是周期的，相应的频谱必是离散的， 4、离散周期序列一定具有既是周期又是离散的频谱，即时域和频域都 是离散周期的。
对于，将以为周期进行周期延拓，得到所示的周期序列， 周期为16， 求的DFS。 可以看出，在时，处频谱的幅度和处是一样的。也就是说，点数越多， 频谱越精确。
..2 离散周期序列的傅里叶变换 各种形式的傅里叶变换 1、 非周期实连续时间信号的傅里叶变换: 频谱是一个非周期的连续
函数 2、 周期性连续时间信号的傅里叶变换: 频谱是非周期性的离散频率
例：设， f0=50 Hz，以采样频率对进行采样， 得到采样信号和时域离 散信号， 求)、和的傅里叶变换的FT。
2.5 序列的Z变换 双边Z变换的定义：序列x(n)的Z变换定义为： 式中：z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。 注意在定义中，对 n求和是在±∞之间求和，可以称为双边Z变换。
为单边Z变换： 适用于因果序列，如果不特别强调，均用双边Z变换对信号进行分析和 变换。 Z变换成立条件： Z变量取值的域称为收敛域。 一般收敛域用环状域表示
在模拟系统中， 的傅里叶变换为 对于时域离散系统中， ，它的傅立叶变换 对于
（
例：求对进行的周期延拓后的周期序列的傅立叶变换FT 注意：对于同一个周期信号， 其DFS和FT分别取模的形状是一样的， 不同的是FT用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线表示)。 因此周期序列 的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数 的画法。 例：设 ，为有理数，求其FT 物理含义：的FT是在处的单位冲激函数，强度为π，且以2π为周期进行 延拓。
数字信号处理-第2章第1讲 离散时间信号和离散时间系统
当a>1时 当-1<a<0时 当a< -1时
2.2 常用序列
5、正弦序列
x(n) Asin(n )
x(n) xa (t) tnT Asin(nT ) T / fs 2 f / fs 单位rad, 单位rad / s
6、复指数序列
一阶后向差分： y(n) y(n) y(n 1) 二阶后向差分： 2 y(n) y(n) y(n 1)
y(n) 2 y(n 1) y(n 2) 用延时算子：Dy(n) y(n 1) y(n) y(n) Dy(n) (1 D) y(n) 1 D 2 y(n) y(n) y(n 1) (1 D) y(n) (1 D)Dy(n) (1 D)2 y(n)
卷积和
卷积和的定义
1. 交换律 2. 结合律
y(n) x(k)h(n k) x(n) h(n) k
y(n) h(n)x(n k) h(n) x(n) k
y(n) [x(n) h1(n)]*h2(n)
[x(n) h2(n)]*h1(n) x(n) [h1(n)*h2(n)]
线性非移变系统稳定的充要条件是满足绝对可 和的条件:
S h(n) n
证明:
(1)充分性
当 x(n) M得
y(n) h(k)x(n k) h(k) x(n k)
k
k
M h(k) 得证 k
(2)必要性
x(n) e( j)n
数字频率又叫归一化频率
x(n) en cos(n) jen sin(n)
数字信号处理_笔记
T[x(n)]的自变量为 x(n) ，而 y(n) 的自变量为 n 。
T[x(n)]侧重点在于 x(n) ， x(n) 变为 x(n k) ，则将 x(n k) 替换为 x(n)* 带入原式。
而 y(n) 的侧重点在 n 。举例说明：有T[x(n)] g(n)x(n) 则：T[x(n k)] g(n)x(n k)
0 w 2 是偶对成的，相位响应 arg[H (e jw )] 是奇对称的。
当输入为复指数序列 e jw0n 时，对应输出为 y(n) e jw0n H (e jw0 ) 。
另外，输入为正弦序列时，也可以先将其转换为复指数序列，再根据此方法求得输出。 对于不绝对可和的序列，如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。 具体解法：先求傅里叶级数，将原式变换为复指数形式，再求其离散傅里叶变换。 ？？？ 复指数序列与正弦序列的关系：
Y (e jw )
1
X (e jw ) H (e jw )
1
X (e j )H (e j(w ) )d
2
2
五：帕斯维尔(Parseval)定理
知识点：散时间傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系 ？？？查资料，比较多就不写了
频谱进行周期延拓，乘以系数乘以 1 T
混叠现象：当采样频率小于信号最大频率的两倍时，对连续时间信号采样后的离散时间信号 的频谱将会重叠，重叠部分的频率成分的幅值与原信号不同。原信号不是带限信号，混叠现 象一定存在。解决措施：采样频率应该足够高，如实际工程应用中，采样频率应为输入信号 最大频率的 3-5 倍。
但是， y(n k) g(n k)x(n k) ，既有T[x(n k)] y(n k) 。所以，系统不具有移不
变性。 线性非移变系统：既满足叠加原理，又，满足非移变条件的系统。 线性非移变系统输入为单位取样序列时，输出为单位取样响应。该系统的输出
T[x(n)]侧重点在于 x(n) ， x(n) 变为 x(n k) ，则将 x(n k) 替换为 x(n)* 带入原式。
而 y(n) 的侧重点在 n 。举例说明：有T[x(n)] g(n)x(n) 则：T[x(n k)] g(n)x(n k)
0 w 2 是偶对成的，相位响应 arg[H (e jw )] 是奇对称的。
当输入为复指数序列 e jw0n 时，对应输出为 y(n) e jw0n H (e jw0 ) 。
另外，输入为正弦序列时，也可以先将其转换为复指数序列，再根据此方法求得输出。 对于不绝对可和的序列，如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。 具体解法：先求傅里叶级数，将原式变换为复指数形式，再求其离散傅里叶变换。 ？？？ 复指数序列与正弦序列的关系：
Y (e jw )
1
X (e jw ) H (e jw )
1
X (e j )H (e j(w ) )d
2
2
五：帕斯维尔(Parseval)定理
知识点：散时间傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系 ？？？查资料，比较多就不写了
频谱进行周期延拓，乘以系数乘以 1 T
混叠现象：当采样频率小于信号最大频率的两倍时，对连续时间信号采样后的离散时间信号 的频谱将会重叠，重叠部分的频率成分的幅值与原信号不同。原信号不是带限信号，混叠现 象一定存在。解决措施：采样频率应该足够高，如实际工程应用中，采样频率应为输入信号 最大频率的 3-5 倍。
但是， y(n k) g(n k)x(n k) ，既有T[x(n k)] y(n k) 。所以，系统不具有移不
变性。 线性非移变系统：既满足叠加原理，又，满足非移变条件的系统。 线性非移变系统输入为单位取样序列时，输出为单位取样响应。该系统的输出
数字信号处理——第2章 离散时间傅里叶变换与Z变换
• 总结：
①序列ZT的收敛域以极点为边界（包含0 和 ②收敛域内不含任何极点，可以包含0 ③相同的零极点可能对应不同的收敛域，即： 不同的序列可能有相同的ZT ④收敛域汇总：右外、左内、双环、有限长z平面
）
常见典型序列z变换
序列 Z变换 收敛域
z a
z b
注意：只有z变换和它的收敛域两者在一起才和序列相对应。 其它序列见P54： 表2-1 几种序列的z变换
2.3
z反变换
Z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
X ( z ) ZT [ x ( n)]
n
x (n) z n
实质：求X(z)幂级数展开式
Z反变换的求解方法： 留数定理法
部分分式法
长除法
1. 留数定理法
根据复变函数理论，可以推导出
x ( n)
1 2 j
X ( z ) z n 1dz
1 1 3z 1
n
z 2
2 n u ( n)
z 3
3
n
n
u (n 1)
x n 2 u n 3 u n 1
3. 幂级数法（长除法）
如果序列的ZT能表示成幂级数的形式，则序列x(n) 是幂 级数 说明： ①这种方法只对某些特殊的ZT有效。 ②如果ZT为有理函数，可用长除法将X(z)展开成幂级 数。 若为右边序列（特例：因果序列），将X(z)展开成负幂 级数； 若为左边序列（特例：反因果序列），将X(z)展开成正 幂级数； 中
z z 1 1 X z 1 z 2 z 3 1 2z 1 3 z 1
1 ZT [a u (n)] z a 1 1 az 1 n ZT [a u (n 1)] z a 1 1 az
第二章 离散时间信号与系统
将 x[n] 以纵坐标轴n=0为中心作翻转。
x(n)
3
3
3
2
2
2
…1
1
1
…
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
x(-n)
3
3
3
2
2
2
…
1
1
1…
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
2.1 离散时间信号
❖ 思考：x(-n+1)和x(-n-1)与x(-n)的移位关系？
作用：表示任意的离散时间序列
任意序列都可以表示成单位抽样序列的移位加权和，即 x(n) x(m) (n m) m
x [n]
3
1 22
n 2 1 0 1 2 3
x[n] 3[n 1] [n] 2[n 1] 2[n 2]
2.1 离散时间信号
➢ 常用典型序列：单位阶跃序列
n ≥0 u1[n] 0 n 0
cos(n) 1（e jn e-jn）；sin(n) 1（e jn - e-jn）
2
2j
x(n)可写成: x(n) rncos(n) jr nsin(n)
由于正弦序列、余弦序列和复指数序列可以相互线性表示，我们统称为正弦类信号。
2.1 离散时间信号
正弦序列：x(n) Asin(n ) 其中，A为幅度；为数字角频率；为起始相位 正弦序列可以由模拟正弦信号xa (t) Asin(2ft )抽样得到 x(n) xa (t) tnT Asin(2ft ) Asin (Tn )，其中 T
R N (n) u(n) - u(n N)
N-1
R N (n) (n m) (n) (n 1) (n 2) (n N) m0
2019-北京邮电大学《数字信号处理》门爱东-dsp02-离散时间系统和离散信号的变换-PPT文档资料-文档资料
北 京
过取样（Oversampling）
邮 电 大
过取样就是用远高于奈奎斯特频率的频率去采样，K×fs/2 好处：
学
简化了抗混叠滤波器设计；
信 息 与
过采样、噪声成形（Noise Shaping） 、数字滤波和抽取（丢点 Decimator）是 ADC 降低噪声，并产生高分辨率输出的重要方法。
11
2. 1.1 取样和取样定理：频域分析
北
京 邮 电 大
p (t)1ejn st T n
且 ej st 2( s)
学
信
息 与 通 信
P()2Tn (ns)
其中
2 s T
工 程 学 院
X ˆa()21Xa()P()T 1Xa()n (ns)
北
京 邮
取样函数定义为:
电 大 学 信 息
p(t)1com b(t)(tnT)
T
T n ------ T ：取样间隔
与 通 信
则：
xˆa(t) xa(t)p(t) xa(t)(t nT)
工
n
程
学 院
xa(nT)(t nT)
多
n
媒
体 中 心 门 爱
若 xa(t) 是一带限函数
邮 电 大 学 信 息 与
Xa()
Xa(),
0,
s
2
s
2
通 信
只要取样频率足够高，当满足以下条件时
工 程 学 院
s
max 2
---------（奈奎斯特定理）
多
媒 体 中 心
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
1第2章时域离散信号和系统的频域分析z 2.1 引言z 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质z 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系z 2.5 序列的Z 变换z 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性22.1 引言信号和系统的分析方法:时域分析方法和变换域分析方法。
频域变换（傅里叶变换->复频域拉氏变换）连续时间信号(系统微分方程)频域变换（傅里叶变换->复频域Z 变换）时域离散信号(系统差分方程)本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。
3第2章时域离散信号和系统的频域分析z 2.1 引言z 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质z 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系z 2.5 序列的Z 变换z 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质5例2.2.1 设x(n)=R 4(n)，求x(n)的DTFT 图2.2.1 R (n)的幅度与相位曲线sin /2ω常用序列的傅立叶变换7(2)()j M nn x n eωπ∞−+=−∞=∑二、序列离散时间傅里叶变换（DTFT）的性质1. DTFT 的周期性()()j j nn X e x n eωω∞−=−∞=∑(2)()j M X eωπ+=时域离散，频域周期函数。
周期是2π。
由于DTFT 的周期，一般只分析0-2π之间的DTFT 。
2. 线性1122:()[()],()[()]j j X e DTFT x n X e DTFT x n ωω==若1212:[()()]()()j j DTFT ax n bx n aX e bX e ωω+=+则3. 时移与频移00(0:[()](),[()]()j n j nj j DTFT x n n eX e DTFT ex n X eωωωωω−−−==则:()[()]j X e DTFT x n ω=若4. 反转7. 帕斯维尔(Parseval)定理8. 频域微分序列的Fourier变换的对称性质*()x n−)n也可分解成：e−*(e对称性质•序列Fourier 变换()()j x n X e ωRe[()]()j e x n X e ωIm[()]()j o j x n X e ω()Re[()]j e x n X e ω()Im[()]j o x n j X e ω实数序列的对称性质•序列Fourier 变换Re[()]()()j j e x n X e X e ωω=Im[()]0()0j o j x n X e ω==()Re[()]j e x n X e ω()Im[()]j o x n j X e ω)j eω−变换满足共轭对称性()]j X eω−Im[()]j X e ω−)arg[结论：z序列分成实部与虚部两部分，实部对应的DTFT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的DTFT具有共轭反对称性。
信号与系统复习资料 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT
Z变换与DTFT
以下假设
n1<n2
•如果n2 ≤0 ，则收敛域不包括∞点
• 如果n1≥0 ，则收敛域不包括0点
• 如果n1<0<n2，收敛域不包括0 、∞点
1) n2 0( n1 0), 0 z
2) n1 0( n2 0)， 0 z
3) n1 0, n2 0， 0 z
Rx
当Rx Rx 时，Roc :
-10-
0
当Rx Rx 时，Roc : Rx z Rx
Z变换与DTFT
例1
[n]1, 0 z
ZT
[n]z
n
n
[0]z 1
0
收敛域应是整个z 的闭平面
-11-
Z变换与DTFT
Z变换与DTFT
第二章 z变换和DTFT
-1-
Z变换与DTFT
本章主要内容：
1. z变换：定义及收敛域，z变换的反变换
z变换的基本性质和定理 2. ZT 与连续信号LT、FT的关系
（信号）
3. 离散时间信号的DTFT（序列的傅立叶变换）
4. z变换与DTFT的关系 5. DTFT的一些性质 6. 周期性序列的DTFT 7. DTFT变换的对称性质
例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域
解：X(z)= x(n ) z = RN (n ) z
n n n
N Z=1处零 z 1 极对消 z N 1 ( z 1)
1 z = z 1 z 1 n 0
N 1 n
n N
q n1 q n2 1 n q 1 q n n1
第2章 离散时间信号与系统的变换域分析
i 1
bi z i
M
因此，X(z)可以展成以下部分分式形式
r Ak Ck n X ( z ) Bn z 1 1 zk z (1 zi z 1 ) k n 0 k 1 k 1 M N N r
其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点， Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck 分别为： A Re s[ X ( z ) ] z z zk k 1 d r k r x( z ) Ck r k [( z zi ) (r k )! dz z zz ,
X ( z)
0
n
0
n2 n
n
x ( n) z
n
n2
n
x ( n) z
x ( n) z
n 1
n2
n
14
第二项为有限长序列,其收敛域 0 z ; 第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理, 其收敛域为 0 z Rx ; R x 为最大收敛半径 .
i
k 1, 2r 29
分别求出各部分分式的z反变换（可查 P39 表2-1-1），然后相加即得X(z)的z反变换。
[例2-5]利用部分分式法，求X ( z) 1 (1 2 z 1 ) (1 0.5z 1 ) , z 2 的z反变换。 解：
1 z X ( z) 1 1 (1 2 z )(1 0.5 z ) ( z 2)( z 0.5) X ( z) z A1 A2 z ( z 2)( z 0.5) z 2 z 0.5
对采样信号 进行拉普拉斯变换
x a (t )
n
x (nT ) (t nT )
bi z i
M
因此，X(z)可以展成以下部分分式形式
r Ak Ck n X ( z ) Bn z 1 1 zk z (1 zi z 1 ) k n 0 k 1 k 1 M N N r
其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点， Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck 分别为： A Re s[ X ( z ) ] z z zk k 1 d r k r x( z ) Ck r k [( z zi ) (r k )! dz z zz ,
X ( z)
0
n
0
n2 n
n
x ( n) z
n
n2
n
x ( n) z
x ( n) z
n 1
n2
n
14
第二项为有限长序列,其收敛域 0 z ; 第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理, 其收敛域为 0 z Rx ; R x 为最大收敛半径 .
i
k 1, 2r 29
分别求出各部分分式的z反变换（可查 P39 表2-1-1），然后相加即得X(z)的z反变换。
[例2-5]利用部分分式法，求X ( z) 1 (1 2 z 1 ) (1 0.5z 1 ) , z 2 的z反变换。 解：
1 z X ( z) 1 1 (1 2 z )(1 0.5 z ) ( z 2)( z 0.5) X ( z) z A1 A2 z ( z 2)( z 0.5) z 2 z 0.5
对采样信号 进行拉普拉斯变换
x a (t )
n
x (nT ) (t nT )
第02章 离散时间信号和系统(上)
As ω increases from 0 toward ω = π , x [ n ] oscillates more and more rapidly. However, as ω increases from ω = π toward ω = 2 π , the oscillations become slower. This is called alias （混叠） and can be proved by mathematics.
∞
∑
δ [k ]
用于表示因果序列
δ [ n ] = u [ n ] − u [ n − 1]
3．The rectangular sequence （矩形序列）
⎧1 RN [n] = ⎨ ⎩0 0 ≤ n ≤ N −1 other
R[n] 1 ... 0 N-1 n
用于表示有限长序列
4. Exponential sequence（指数序列）
x = {x [ n ]} − ∞ < n < +∞
where n is an integer. EXAMPLE
一串按序排列的数据
函数法表 示序列
x[ n] = 0.9 n cos( 0.2πn + π / 2),0 ≤ n < 10
枚举法表 示序列
x [ n ] = {1 , 2 ,1 . 2 , 0 , − 1 , − 2 , − 2 . 5 }, − 1 ≤ n ≤ 5
EXAMPLE
| x[ n ] |= 0.5 n ,
x[n] = (0.5e j 0.5π )n
real ( x[ n ]) = 0.5 n cos( 0.5πn ), imag ( x[ n ]) = 0.5 n sin( 0.5πn ) arg( x[ n ]) = 0.5πn
精品课件-数字信号处理(第四版)-第2章 时域离散信号和系统的频域分析-3
图2.6.2 H(z)=z－1的频响19特
【例2.6.3】 设一阶系统的差分方程为y(n)=by(n－1)+x(n)
解
由系统差分方程得到系统函H数(为z)
1 1 bz1
z
z b
| z || b |
式中，0<b<1。系统极点z=b，零点z=0，当B点从ω=0逆时针 旋转时，在ω=0点，由于极点向量长度最短，形成波峰；在 ω=π点形成波谷；z=0处零点不影响幅频响应。极零点分布 及幅度特性如图所示。
如果-1<b<0，则峰值点出现在ω=π处，形成高通滤波 器。
20
【例2.6.4】已知H(z)=1－z－N，试定性画出系统的幅频特性。
H(z) 1 zN z N 1 zN
H(z)的极点为z=0，这是一个N阶极点，它不影响系统的幅频响 应。零点有N个，由分子多项式的根决定
z N 1 0 即 z N e j2πk
小结 单位圆附近的零点位置对幅度响应波谷的位置和深度有明
显的影响，零点可在单位圆外。 在单位圆内且靠近单位圆附近的极点对幅度响应的波峰的
位置和高度则有明显的影响，极点在单位圆上，则不稳定。 利用直观的几何确定法，适当地控制零、极点的分布，就
能改变系统频率响应的特性，达到预期的要求，因此它是 一种非常有用的分析系统的方法。
根据其形状，称之为梳状滤波器。
例2.6.4的梳状滤波器的极零点分布及幅频、相频特性
22
2.6.4 几种特殊系统的系统函数及其特点 全通滤波器 梳状滤波器 最小相位系统
23
1 全通系统（全通网络，全通滤波器）
定义：如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或1.
| H (ej ) | 1 0 2π
【例2.6.3】 设一阶系统的差分方程为y(n)=by(n－1)+x(n)
解
由系统差分方程得到系统函H数(为z)
1 1 bz1
z
z b
| z || b |
式中，0<b<1。系统极点z=b，零点z=0，当B点从ω=0逆时针 旋转时，在ω=0点，由于极点向量长度最短，形成波峰；在 ω=π点形成波谷；z=0处零点不影响幅频响应。极零点分布 及幅度特性如图所示。
如果-1<b<0，则峰值点出现在ω=π处，形成高通滤波 器。
20
【例2.6.4】已知H(z)=1－z－N，试定性画出系统的幅频特性。
H(z) 1 zN z N 1 zN
H(z)的极点为z=0，这是一个N阶极点，它不影响系统的幅频响 应。零点有N个，由分子多项式的根决定
z N 1 0 即 z N e j2πk
小结 单位圆附近的零点位置对幅度响应波谷的位置和深度有明
显的影响，零点可在单位圆外。 在单位圆内且靠近单位圆附近的极点对幅度响应的波峰的
位置和高度则有明显的影响，极点在单位圆上，则不稳定。 利用直观的几何确定法，适当地控制零、极点的分布，就
能改变系统频率响应的特性，达到预期的要求，因此它是 一种非常有用的分析系统的方法。
根据其形状，称之为梳状滤波器。
例2.6.4的梳状滤波器的极零点分布及幅频、相频特性
22
2.6.4 几种特殊系统的系统函数及其特点 全通滤波器 梳状滤波器 最小相位系统
23
1 全通系统（全通网络，全通滤波器）
定义：如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或1.
| H (ej ) | 1 0 2π
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Aancosn0jsinn0
当 a 1 称为复指数序列
ω0是复正弦（复指数）序列数字域的频率，反映序列变 化快慢的速率。
是相位。 实数：sin 、cos为其特例。
两个重要现象
• 2 模糊
x n A j 0 2 e r n A j n 0 e e j 2 rn
– 无法区分周期
0和 02r
统。离散时间系统中最重要、最常用的是“线性、 时不变系统”。
2.2.1 无记忆系统
• 如果每个n值上的输出y[n]只决定于同一n值
的输入x[n]，那么该系统为无记忆系统
• 例如：
y[n]=(x[n])2
2.2.2 线性系统
若y系1(统n的)和输y入2(n为)x，1(n)和x2(n)时，输出分别为 即 y1(n) =T{[x1(n)]}， y2(n)
2.0 引言
• 信号：信息的载体。
– 连续时间信号：时间、幅度都连续。 – 离散时间信号：时间离散、幅度连续。 – 数字信号：时间、幅度都离散。
• 信号处理系统同样分为上述三类
2.1 离散时间信号:序列
离散时间信号——时间上不连续的一个序列。 通常定义为一个序列值的集合{x(n)}，n为整数，
u(n) (n k)
k0
(n) u (n) u (n 1)
RN
(n)
u
(n)
u
(n
N
)
（4） 指数序列
xnAan
例如
an n 0 x(n)
0 n 0
|a|>1时，序列发散，|a|<1序列收敛，a<0时， 序列有正有负，是摆动的。
（5）复指数序列
AAej,aaej0
xnAej anejn0 Aanejn0
非因果系统：如果系统的输出y(n)取决于x(n+1)， x(n+2)，…，即系统的输出取决于未来的输入，则是 非因果系统，也即不现实的系统（不可实现）
– 因此在数字信号处理中一般只考虑 2 区间内
的信号。 ,或 0 ,2
2 . 周期现象：
连续时间信号的周期： T 2 0
离散时间信号的周期：x[n] = x[n+N] 对所有的n必须满 足：
• 1. N 必须为整数 • 2. 若为离散正弦序列：
A c o s (0 n ) A c o s (0 n 0 N )
2.1.1 几种典型序列
（1） 单位脉冲序列
(n)
1, n 0, n
0 0
只有n=0处有一单位值1，其余点上
为0
数字系统中， δ(n)序列也称为离散时间脉冲，或简称脉 冲，这是一种最常用也最重要的序列，它在离散时间系 统中的作用类似于连续时间系统中单位冲激函数δ(t) 。 连续时间系统中， δ(t)的脉宽为零，幅度为∞，是一种 数学极限，并非现实的信号，而离散时间系统中的δ(n)
一个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列x(n)映射成 输出序列y(n)的变换或运算（算子）。它的输入是一个序 列，输出也是一个序列，其本质是将输入序列转变成输出 序列的一个运算。
T[·]表示这种运算关系，即 y(n)= T[x(n)]
x[n]
y[n]
T[·]
• 上图所示为一个离散时间系统，
• 对T[·]加以种种约束,可定义出各类离散时间系
• 3. 0N2k
若没有任何整数N，使得信号x[n]对所有的n满足 x[n] = x[n +N]，则信号x[n]为非周期的。
2.1.3 序列运算
数字信号处理中常遇到序列的相加、相乘以及延时等序列 运算。如有两个序列{x(n)}，{y(n)}，则 (1)序列相加:z(n) = x(n)+y(n) 表示两个序列的值 逐项相加以形成的新序列；
第二章 离散时间信号与系统
• 2.0 引言 • 2.1 离散时间信号：序列 • 2.2 离散时间系统 • 2.3 线性时不变系统 • 2.4 线性时不变系统的性质 • 2.5 线性常系数差分方程 • 2.6 离散时间信号与系统的频域表示 • 2.7 用傅立叶变换表示序列 • 2.8 傅立叶变换的对称性质 • 2.9 傅立叶变换定理
时不变系统是指输入序列的移位或延迟将引起输 出序列相应的移位或延迟
如果 T{x(n)}=y(n)பைடு நூலகம்则 T{x(n-n0)}=y(n-n0) （n0为任意整数）
即系统的特性不随时间而变化。
2.2.4 因果性
因果系统： 系统的输出y(n)只取决于此时以及此时以前的 输入， 即x(n)，x(n-1)，x(n-2)……
(2)序列相乘:f(n) = x(n)y(n) 表示两序列值逐项相 乘以形成的新序列；
(3)序列延时:w(n) = x(n-m) 指原序列逐项依次延 时m位(m>0)以形成的新序列；
(4)序列数乘: z(n) = a·x(n) 序列与一个数相乘； 有时要用到序列的能量，序列能量定义为：
S x(n) 2 n
是一个现实的序列，其脉冲幅度为1（有限值）。
（2） 单位阶跃序列
u(n)
1, n 0, n
0 0
在大于等于0的离散时间点上有无穷个幅度为1的数值， 类似于连续时间信号中的单位阶跃脉冲。
（3） 矩形序列
1 0nN1 RN(n)0 n0或nN
此序列从n=0开始，含有N个幅度为1的数值，其余为零。 以上三个序列彼此间的关系：
=T{[x2(n)]}
如a果y系1(统n)输+入b为y2a(nx1)(，n其) +中bax，2(bn为) 任时意，常输数出，为则 该系统为线性系统。所以，线性系统的条件 为： T{ax1(n) + bx2(n)}=aT{x1(n)} + bT{x2(n)} = ay1(n) + by2(n)
2.2.3 时不变系统
2.1.4 一般序列表示方法
• 设{x(m)}是一个序列值的集合，其中任意一个值x(n)
可表示为
•
x(n) x(m)(nm)
m
•
由于
(nm)
10
mn mn
因此
x(m)(nm)0x(n)
mn mn
• 它表明任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加
权和：
x[n] x[k][nk]
k
2.2 离散时间系统
x(n)表示序列中第n个样值，{·}表示全部样本值 的集合。 离散时间信号可以是通过采样得到的采样序列x(n) = xa(nT)，也可以不是采样信号，如有些系统的 输入可能直接就是离散时间信号或数字信号，有 些系统内部有时也产生一些数字信号，这些都是 离散时间信号，但不属于采样信号。 T为采样周期，其倒数为采样频率。
当 a 1 称为复指数序列
ω0是复正弦（复指数）序列数字域的频率，反映序列变 化快慢的速率。
是相位。 实数：sin 、cos为其特例。
两个重要现象
• 2 模糊
x n A j 0 2 e r n A j n 0 e e j 2 rn
– 无法区分周期
0和 02r
统。离散时间系统中最重要、最常用的是“线性、 时不变系统”。
2.2.1 无记忆系统
• 如果每个n值上的输出y[n]只决定于同一n值
的输入x[n]，那么该系统为无记忆系统
• 例如：
y[n]=(x[n])2
2.2.2 线性系统
若y系1(统n的)和输y入2(n为)x，1(n)和x2(n)时，输出分别为 即 y1(n) =T{[x1(n)]}， y2(n)
2.0 引言
• 信号：信息的载体。
– 连续时间信号：时间、幅度都连续。 – 离散时间信号：时间离散、幅度连续。 – 数字信号：时间、幅度都离散。
• 信号处理系统同样分为上述三类
2.1 离散时间信号:序列
离散时间信号——时间上不连续的一个序列。 通常定义为一个序列值的集合{x(n)}，n为整数，
u(n) (n k)
k0
(n) u (n) u (n 1)
RN
(n)
u
(n)
u
(n
N
)
（4） 指数序列
xnAan
例如
an n 0 x(n)
0 n 0
|a|>1时，序列发散，|a|<1序列收敛，a<0时， 序列有正有负，是摆动的。
（5）复指数序列
AAej,aaej0
xnAej anejn0 Aanejn0
非因果系统：如果系统的输出y(n)取决于x(n+1)， x(n+2)，…，即系统的输出取决于未来的输入，则是 非因果系统，也即不现实的系统（不可实现）
– 因此在数字信号处理中一般只考虑 2 区间内
的信号。 ,或 0 ,2
2 . 周期现象：
连续时间信号的周期： T 2 0
离散时间信号的周期：x[n] = x[n+N] 对所有的n必须满 足：
• 1. N 必须为整数 • 2. 若为离散正弦序列：
A c o s (0 n ) A c o s (0 n 0 N )
2.1.1 几种典型序列
（1） 单位脉冲序列
(n)
1, n 0, n
0 0
只有n=0处有一单位值1，其余点上
为0
数字系统中， δ(n)序列也称为离散时间脉冲，或简称脉 冲，这是一种最常用也最重要的序列，它在离散时间系 统中的作用类似于连续时间系统中单位冲激函数δ(t) 。 连续时间系统中， δ(t)的脉宽为零，幅度为∞，是一种 数学极限，并非现实的信号，而离散时间系统中的δ(n)
一个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列x(n)映射成 输出序列y(n)的变换或运算（算子）。它的输入是一个序 列，输出也是一个序列，其本质是将输入序列转变成输出 序列的一个运算。
T[·]表示这种运算关系，即 y(n)= T[x(n)]
x[n]
y[n]
T[·]
• 上图所示为一个离散时间系统，
• 对T[·]加以种种约束,可定义出各类离散时间系
• 3. 0N2k
若没有任何整数N，使得信号x[n]对所有的n满足 x[n] = x[n +N]，则信号x[n]为非周期的。
2.1.3 序列运算
数字信号处理中常遇到序列的相加、相乘以及延时等序列 运算。如有两个序列{x(n)}，{y(n)}，则 (1)序列相加:z(n) = x(n)+y(n) 表示两个序列的值 逐项相加以形成的新序列；
第二章 离散时间信号与系统
• 2.0 引言 • 2.1 离散时间信号：序列 • 2.2 离散时间系统 • 2.3 线性时不变系统 • 2.4 线性时不变系统的性质 • 2.5 线性常系数差分方程 • 2.6 离散时间信号与系统的频域表示 • 2.7 用傅立叶变换表示序列 • 2.8 傅立叶变换的对称性质 • 2.9 傅立叶变换定理
时不变系统是指输入序列的移位或延迟将引起输 出序列相应的移位或延迟
如果 T{x(n)}=y(n)பைடு நூலகம்则 T{x(n-n0)}=y(n-n0) （n0为任意整数）
即系统的特性不随时间而变化。
2.2.4 因果性
因果系统： 系统的输出y(n)只取决于此时以及此时以前的 输入， 即x(n)，x(n-1)，x(n-2)……
(2)序列相乘:f(n) = x(n)y(n) 表示两序列值逐项相 乘以形成的新序列；
(3)序列延时:w(n) = x(n-m) 指原序列逐项依次延 时m位(m>0)以形成的新序列；
(4)序列数乘: z(n) = a·x(n) 序列与一个数相乘； 有时要用到序列的能量，序列能量定义为：
S x(n) 2 n
是一个现实的序列，其脉冲幅度为1（有限值）。
（2） 单位阶跃序列
u(n)
1, n 0, n
0 0
在大于等于0的离散时间点上有无穷个幅度为1的数值， 类似于连续时间信号中的单位阶跃脉冲。
（3） 矩形序列
1 0nN1 RN(n)0 n0或nN
此序列从n=0开始，含有N个幅度为1的数值，其余为零。 以上三个序列彼此间的关系：
=T{[x2(n)]}
如a果y系1(统n)输+入b为y2a(nx1)(，n其) +中bax，2(bn为) 任时意，常输数出，为则 该系统为线性系统。所以，线性系统的条件 为： T{ax1(n) + bx2(n)}=aT{x1(n)} + bT{x2(n)} = ay1(n) + by2(n)
2.2.3 时不变系统
2.1.4 一般序列表示方法
• 设{x(m)}是一个序列值的集合，其中任意一个值x(n)
可表示为
•
x(n) x(m)(nm)
m
•
由于
(nm)
10
mn mn
因此
x(m)(nm)0x(n)
mn mn
• 它表明任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加
权和：
x[n] x[k][nk]
k
2.2 离散时间系统
x(n)表示序列中第n个样值，{·}表示全部样本值 的集合。 离散时间信号可以是通过采样得到的采样序列x(n) = xa(nT)，也可以不是采样信号，如有些系统的 输入可能直接就是离散时间信号或数字信号，有 些系统内部有时也产生一些数字信号，这些都是 离散时间信号，但不属于采样信号。 T为采样周期，其倒数为采样频率。