第三章力学位移和应变分析
第三章 变形几何理论
弹塑性力学
第三章 变形几何理论 （续1）
第三章概述与学习指导： ★ 第三章概述与学习指导：
本章介绍了弹塑性力学基本理论中的几何变形 的应变理论。 的应变理论。 在应变理论的研究过程中， 在应变理论的研究过程中，仅在连续性假设和 小变形的前提条件下研究变形， 小变形的前提条件下研究变形，而没有涉及到材料 具体的变形性质。 具体的变形性质。 因此， 因此，几何变形的应变理论是对固体力学各分 支学科普遍适用的理论。 支学科普遍适用的理论。 本章应变理论的学习可分成以下三部分进行学 习：
◆ 考察单元体在xy平面上投影 ABCD 的变形。 考察单元体在xy平面上投影 的变形。 xy ◆ 当微分体
变形并出现位 移后， 移后，其在xoy 平面上的投影
ABCD 就移至
新的位置： 新的位置：
A′B′C ′D′
如图所示。 如图所示。
弹塑性力学
位移、应变、应变状态、几何方程、 §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续5）
位移
｛
刚性位移：反映物体整体位置的变动； 刚性位移：反映物体整体位置的变动； 变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化； 变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化；
研究物体在外力作用下的变形规律， 研究物体在外力作用下的变形规律，只 需研究物体内各点的相对位置变动情况， 需研究物体内各点的相对位置变动情况，即 研究变形位移。 研究变形位移。
弹塑性力学
位移、应变、应变状态、几何方程、 §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续1）
通常物体内各点的位移应是点的位置坐标函数， 通常物体内各点的位移应是点的位置坐标函数， 坐标即为： 参照 oxyz 坐标即为：
u = u (x , y , z) ； v = v (x , y , z) ； w = w (x , y , z)
《弹塑性力学》第三章 应变分析
而 ij 表示变形体的形变，ij 表示了刚体转动。
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§3-2 应变张量和转动张量
以在平面x1 —x2的两个垂直线段PQ、PR 的相对位移来说明并直观看一下ij，ij二阶张
量表示了形变和刚体转动。
x2
R
dx2=1
P
Q
dx1=1
x1
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§3-2 应变张量和转动张量
x2 R
此处c为一个很小的常数，求应变张量ij 和转 动张量 ij 。
2. 将直角坐标系绕x3轴转动角，求新坐标系 应变分量的转换关系。
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作业：
3. 假定体积不可压缩，位移 u1(x1,x2) 与
u2(x1,x2) 很小， u3=0。在一定区域内已知
u1=c(1-x22)(a+bx1+cx12) ,其中a、b、c为 常数，且12=0，求 u2(x1,x2)。
1 2
eijkijek
为转动张量的对偶矢量。
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§3-2 应变张量和转动张量
比较工程应变定义和应变张量，可得：
11 12 13 11 212 213
21
22
23
2
21
22
2
23
31 32 33 231 232 33
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§3-3 应变张量和转动张量的坐 标变换式
于为一由个，纯沿其刚大x体3小轴转方动3向: 可的见转，动矢12=量-231e，3，正方好向相当e3
3
1 2
(12
21 )
1 2
(e12312
e213 21 )
【原创】位移、变形、应变基本概念
【原创】位移、变形、应变基本概念
力学分析中最重要的是基本概念。
开始之前先重新认识一下最常见的几个力学基本概念：
1.位移：物体位置的变化（分为刚体位移和变形两部分）
2.变形：物体受外力作用而产生体积或形状的改变
3.应变：外力作用下物体局部的相对变形
4.应力：单位面积上的内力
5.强度：材料在外力作用下抵抗永久变形和断裂的能力，表征的是承载能力
6.刚度：材料在载荷作用下抵抗弹性变形的能力
小变形假设
小变形假设，是指构件因外力作用而产生的变形量远远小于其原始尺寸，这样在研究平衡问题时，就可忽略构件的变形，按其原始尺寸进行分析，使计算得以简化。
在弹性力学中，小变形假设指物体在外力作用下产生的变形与其本身几何尺寸相比很小，可以不考虑因变形而引起的尺寸变化。
这样，就可以用变形以前的几何尺寸来建立各种方程。
此外，应变的二阶微量可以忽略不计，从而使得几何方程线性化。
△小变形假设是弹性力学几何方程成立的前提条件
△小变形假设也是线弹性有限元分析的前提条件
位移、变形及应变
以下面所示一维杆为例，原始构型为AB，变形后构型为A'B'。
u位移：矢量AA’代表的是A点的位移，矢量BB’代表B点的位移，杆AB上任意一点的位移可以有A点和B点的位移插值得到。
u变形：杆的伸长量，定义为
u应变：局部的相对变形，材料力学或者弹性力学中的定义为：二维问题中，定义为：
小变形假设下应变的推导
有关有限变形下的应变表示以后再补充。
应变和位移之间计算公式
应变和位移之间计算公式应变和位移是材料力学中的两个重要概念，它们之间的关系可以用一定的计算公式来描述。
在这篇文章中，我们将探讨应变和位移之间的计算公式，并解释它们的物理意义。
我们来了解一下应变的概念。
应变是描述物体变形程度的物理量，它表示单位长度的变化量。
在弹性材料中，应变可以分为线性应变和剪切应变两种。
线性应变是指物体在受力作用下沿着受力方向发生的长度变化，通常用拉伸或压缩的形式表示。
剪切应变是指物体在受力作用下沿着切面发生的形变，通常用剪切的形式表示。
位移是描述物体位置变化的物理量，它表示物体从一个位置到另一个位置的距离。
在弹性材料中，位移可以分为线性位移和旋转位移两种。
线性位移是指物体在受力作用下沿着受力方向发生的位置变化，通常用平移的形式表示。
旋转位移是指物体在受力作用下发生的旋转变化，通常用旋转的形式表示。
应变和位移之间的计算公式可以根据具体情况而定。
下面我们将分别介绍线性应变和剪切应变与线性位移和旋转位移之间的计算公式。
对于线性应变和线性位移的关系，我们可以用胡克定律来描述。
胡克定律是指在弹性材料中，线性应变与线性位移之间存在线性关系。
具体而言，线性应变等于线性位移与材料的弹性模量之积。
弹性模量是材料的一种力学性质，反映了材料的刚度。
公式可以表示为：线性应变 = 线性位移× 弹性模量其中，线性应变的单位是无量纲的，线性位移的单位是长度单位，弹性模量的单位是压力单位。
对于剪切应变和旋转位移的关系，我们可以用剪切模量来描述。
剪切模量是材料的另一种力学性质，反映了材料抵抗剪切变形的能力。
剪切应变等于旋转位移与剪切模量之积。
公式可以表示为：剪切应变 = 旋转位移× 剪切模量其中，剪切应变的单位是无量纲的，旋转位移的单位是弧度单位，剪切模量的单位是压力单位。
需要注意的是，计算应变和位移之间的关系时，要根据具体的力学模型和材料性质选择适当的公式。
不同材料的力学性质和变形方式不同，因此计算公式也会有所差异。
弹性力学_第三章 应变
x m xy xz eij yx y m yz zy z m zx 应变偏张量
该应变状态只有形状 畸变而没有体积改变。
应变张量分解和应变偏量不变量
1 2
xy y 1 2 zy
1 2 1 2
xz yz z
主应变和应变张量不变量
考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n） 斜平面上应变向量qN的三个分量： qNi=ij lj
q N 1 11 12 q N 2 21 22 q N 3 31 32
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
w u x z
该式表明了一点处的 位移分量和应变分量 所应满足的关系，称 为几何方程，也称为 柯西(Cauchy)关系。
几何方程是用位移导数表示应变，应变描述一点的变 形，但还不足以完全描述弹性单元体的位移变化，因为没 有考虑单元体位置的改变，即单元体的刚体位移。
应变张量
应变分量 x 、 y 、 z 、 xy 、 yz 、 zx 满足张量的性 质，构成一个二阶应变张量。 以 xi 记 x，y，z ; 以 ui 记 u，v，w
弹性力学-第三章-应变状态分析
第三章应变状态分析位移与变形正应变纯变形位移与刚性转动位移应变分量坐标转轴公式主应变齐次方程组体积应变变形协调方程变形协调方程证明变形与应变分量切应变几何方程与应变张量位移增量的分解应变张量应变状态特征方程变形协调的物理意义变形协调方程的数学意义多连域的变形协调一、内容介绍本章讨论弹性体的变形，物体的变形是通过应变分量确定的。
因此，首先确定位移与应变分量的基本关系－几何方程。
由于应变分量和刚体转动都是通过位移导数表达的，因此必须确定刚体转动位移与纯变形位移的关系，才能完全确定一点的变形。
对于一点的应变分量，在不同坐标系中是不同的。
因此，应变状态分析主要是讨论不同坐标轴的应变分量变化关系。
这个关系就是应变分量的转轴公式；根据转轴公式，可以确定一点的主应变和应变主轴等。
当然，由于应变分量满足二阶张量变化规律，因此具体求解可以参考应力状态分析。
应该注意的问题是变形协调条件，就是位移的单值连续性质。
假如位移函数不是基本未知量，由于弹性力学是从微分单元体入手讨论的，因此变形后的微分单元体也必须满足连续性条件。
这在数学上，就是应变分量必须满足变形协调方程。
在弹性体的位移边界，则必须满足位移边界条件。
二、重点1、应变状态的定义：正应变与切应变；应变分量与应变张量；2、几何方程与刚体转动；3、应变状态分析和应变分量转轴公式；4、应变状态特征方程和应变不变量；主应变与应变主轴；5、变形协调方程与位移边界条件。
§3.1 位移分量与应变分量几何方程学习思路:知识点由于载荷的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位置将发生变化，就是产生位移。
这一移动过程，弹性体将同时发生两种可能的变化：刚体位移和变形位移。
变形位移是与弹性体的应力有着直接的关系。
弹性体的变形通过微分六面体单元描述，微分单元体的变形分为两个部分，一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化，分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。
由于是小变形问题，单元变形可以投影于坐标平面分析。
弹性力学-第三章 应变分析
(3.9)
α xy
% dr2
% dr1
dr2
α yx
dr1
x
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
由式(3.12)得 由式(3.12)得dr1和dr2间直角的减小量为 (3.12)
∆ϕ = 22ε ij nm j j = 2ε 12 = 2ε xy ∆ϕ = ε ij ni i m
上式表示剪应变是角度变化的一半 图中: 图中:
% dr 2 = dr 2 + 2dr ⋅ G ⋅ dr = (1 + 2n ⋅ G ⋅ n)dr 2
第三章 应变分析 §3-2
变形状态和应变张量
只讨论小变形问题,忽略高阶项 只讨论小变形问题 忽略高阶项 式(3.6) 为 其中
∇u ⋅ u∇
(3.7)
% dr 2 = (1 + 2n ⋅ ε ⋅ n)dr 2
ε x 1 γ ε ij = 2 yx 1 γ zx 2
εy
1 γ zy 2
对称张量 张量的剪切应变分量 ≠ 实际的剪切应变
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
应变与位移的关系（几何方程） 点的位移是u(x+dx，y)、 应变与位移的关系（几何方程） A点的位移是 点的位移是 ， 、 v(x+dx，y)， ， ，
分别为Y 分别为Y和Z方向的正应变 如图, 如图, 设n为x轴向的单位基矢量即n=e1 轴向的单位基矢量即n=e n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0 设m为y轴向的单位基矢量即m=e2 轴向的单位基矢量即m=e O m1 = 0, m2 = 1, m3 = 0
y
ε nn = εijni⋅ ε ⋅ n11 =ε ijxni n j ε = n nj = ε = ε
第3[1].2章+应变分析
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rz
华侨大学模具技术研究中心
二、应变状态和应变张量
2. 在x面、y面和z面内，单元体发生角度偏转，其剪应变为
1 1 1 xy yx xy yx ( xy yx ) 2 2 2 1 1 1 yz zy yz zy ( yz zy ) 2 2 2 1 1 1 zx xz zx xz ( zx xz ) 2 2 2
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二、应变状态和应变张量
x xy xz eij yx y yz zx zy z
相对位移张量为一个非对称张量，张量性质：任意非对称张量可以分 解为一个对称张量和一个反对称张量。
将非对称张量 eij叠加上一个零张量
ui ui ui dx j ui ui xj
'
式中 ui
ui dx j为位移增量 xj
说明，若已知变形物体内一点 的位移分量，则与其邻近一点 的位移分量可以用该点的位移 分量及其增量来表示。
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一、位移和应变
弹性力学 复习资料(全) 同济大学
第五章
线性弹性本构关系
不考虑热效应，克定律。 1、应变能密度和本构关系： ★格林公式 ij
W ，其中 W 是应变能，指外力在准静态过程中所做的功全部转化为由 ij
于变形而储存在弹性体内的能量。 2、广义胡克定律： ij Eijkl kl ，其中 Eijkl 为一个四阶张量，称为弹性系数或弹性模量张量。 4、各向同性弹性体：材料沿所有方向的弹性性质都是相同的，在数学上，即应力应变关系 的分量形式与坐标系无关。 令 C12 , C11 C12 / 2 ，称为 Lame（拉梅）系数
第八章 平面问题的极坐标解答
ui ui , 在S（位移边界）上 u
3、叠加原理：基本方程和边界条件都是线性的，叠加原理成立。对于大变形问题、材料非 线性问题和边界条件非线性的小变形问题，叠加原理不成立。 4、解的存在性和唯一性：逆解法和半逆解法。 5、★位移解法：以位移作为基本未知函数，在基本方程中消去应变张量和应力张量，可导 出仅用位移表示的方程组。 ,i 2ui fi 0 Lame Navier方程：
u v 1 u v ， y ， xy x y 2 y x
1 x x 1 y E1 1 物理方程： y y 1 x E1 1 1 xy xy E1
4
同济大学 弹性力学复习资料
1150899 陈力畅
第七章 平面问题的直角坐标解答
1、平面应变问题： u u x, y ，v v x, y ，w 0 等截面柱形物体；柱体所受的体积力和侧面所受的面力都平行于 Oxy 平面，且它们的分 布沿 z 方向不变。 几何方程： x
第六章
2 力学位移和应变分析
(l l0 ) / l0
以线段伸长为正.
剪应变以直角的缩小为 正.
位移分量和应变分量以及其间的关系
一.位移分量
物体受力后各点要发生位移，位移一般分为两部分， 一部分是与物体变形相应的位移，称为相对位移； 另一部分是与物体变形无关的位移，称为刚性位移。
B
v v dy y
u u dy y
B
A
u u dy y B v v dy y
注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。
由线应变的定义，可得出线段 PA的相对伸缩量如下（即x方向 的线应变。由于位移微小，y方 向的位移引起的PA伸缩量是高 一阶的微量，忽略不计）： y
即过物体内某点所引沿x及y方向的线元间夹角的改变量。
它与 xy＝ yx的含义不同， xy与 yx并不是同一个剪应力， 它们只是数值相等而已
当微分平行六面体各棱边无限缩小而趋于M点时
x , y , z , xy , yz , zx表示该点处的六个应变分量
某点的应变状态可以由六个应变分量来表示。
PA的正应变：
O P
x
u
P
B
dx A
u u dx x
v
dy
A B
v v dx x
u u dx u u x x x dx 同理：PB的正应变： v v dy v y v y dy y
v v dy y
u u dy y
位移分量是点坐标的单值连续函数。即：
u u ( x, y , z ) v v ( x, y , z ) w w( x, y, z )
由于运算的需要，假定位移分量 具有连续到三阶的偏导数。
弹性力学中的应变能和位移能
弹性力学中的应变能和位移能弹性力学是研究固体物体在外力作用下产生的形变和应力分布的一门学科。
在弹性力学中，应变能和位移能是两个重要的概念，它们在分析物体的弹性行为和能量转化过程中起着关键的作用。
应变能是指物体在外力作用下发生形变时所储存的能量。
当外力作用结束后，物体会恢复到原始形状，而储存的应变能也会被释放出来。
应变能的大小与物体的形变程度有关，一般来说，形变越大，应变能也越大。
应变能可以通过应变能密度来表示，即单位体积内的应变能。
应变能密度与物体的体积有关，体积越大，应变能密度也越大。
应变能密度可以用来计算物体在外力作用下的弹性势能，它是弹性力学中的一个重要参数。
位移能是指物体在外力作用下产生的位移所储存的能量。
当外力作用结束后，物体会恢复到原始位置，而储存的位移能也会被释放出来。
位移能的大小与物体的位移程度有关，一般来说，位移越大，位移能也越大。
位移能可以通过位移能密度来表示，即单位体积内的位移能。
位移能密度与物体的体积有关，体积越大，位移能密度也越大。
位移能密度可以用来计算物体在外力作用下的弹性势能，它也是弹性力学中的一个重要参数。
应变能和位移能在弹性力学中具有相似的性质和计算方法，但它们所描述的物理现象略有不同。
应变能主要描述了物体的形变过程，而位移能主要描述了物体的位移过程。
在实际应用中，应变能和位移能常常同时存在，相互转化。
例如，当一个物体被拉伸时，它的形变能会转化为位移能，而当物体恢复到原始形状时，位移能会再次转化为形变能。
这种能量的转化过程是弹性力学中的一个基本原理。
应变能和位移能在工程和科学领域中有广泛的应用。
在结构设计中，通过计算物体的应变能和位移能，可以评估结构的稳定性和安全性。
在材料研究中，通过研究物体的应变能和位移能，可以了解材料的弹性性质和破坏机制。
在地震学中，通过研究地震波的传播和物体的应变能和位移能，可以预测地震的破坏程度和影响范围。
总之，应变能和位移能是弹性力学中重要的概念，它们在分析物体的弹性行为和能量转化过程中起着关键的作用。
弹性力学第三章：应变分析
y
x
正应变
微元体棱边的相对伸长度
棱边夹角之间的变化
x y z
剪应变
z
将平行六面体 分别投影到3 个坐标面上
M A o m x a
B
y
b
z
M点在Ox轴的位移分量为
u ( x, y, z )
M点在Oy轴的位移分量为 M A o
v ( x, y , z )
B y A点和B点相应的位移分别为
u ( x dx, y, z )
2 2 z ' xl32 y m3 z n3 xyl3m3 yz m3n3 zxn3l3 3 T 3
x ' y ' 2 xl1l2 2 y m1m2 2 z n1n2 xy (l1m2 m1l2 )
dy u m’
a’ a
u x
同理
v m
o
dx
x
v y y
w z z
u
u dy y
y b
b’’
1 tan 1
v v dx v x u dx dx x
u u dx x
b’
2
dy u m’
a’’ m
o
a’
a dx
x
顺次轮换 x, y, z 和
u , v, w
可得其他两个切应变分量
yz
w v y z
xz
u w z x
当 xy , yz , zx 大于零， 表示角度缩小， 反之则表示角度扩大 综上所述。可以得到以下6个关系式
u w v x , yz x y z v u w y , zx y z x w w u z , xy z x y
弹性力学徐芝纶第三章详解
在数学上，x'，y'，z' 必为x，y，
z的单值连续函数
y
x
位移函数具有三阶连续导数
二、应变
对于微分单元体的变形，将分 为两个部分讨论。
一是微分单元体棱边的伸长和缩短 正应变 二是棱边之间夹角的变化 （剪）切应变
符号规定： 伸长为正，缩短为负 直角变小为正，直角变大为负
正应力 剪应力
正应变 剪应变
v x
u y
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
上式为剪应变的几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
这六式为几何方程（柯西方程）
四、转角方程
x
w y
v z
y
u z
w x
z
v x
u y
3－3 一点应变状态、应变张量
一、应变张量
与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量
则，a点的位移为：
u u dx x
v v dx x
b点的位移为：
u u dy y
v v dy y
x
M
' a' 'Ma Ma
(dx
u dx) x
dx
dx
u x
(dy v dy) dy
y
M 'b''Mb Mb
y dy
v y
同理：
x
u x
y
v y
z
w z
位移场与应变场的力学分析
位移场与应变场的力学分析作为工程学科中的一个基础理论，位移场与应变场的力学分析在工程设计中具有非常重要的意义。
这两个场指的是结构中的物理量，位移场描述了结构在受力作用下的变形情况，而应变场则描述了结构在受力作用下发生的应力变化。
因此，对于掌握位移场与应变场的力学分析方法，既能够提高工程设计师的设计水平，又能够确保结构的安全和可靠性。
一、位移场的力学分析位移场是指结构在受力作用下所发生的变形情况。
如何确定结构的位移场是位移场力学分析的重要任务。
通常，结构的位移场可以通过解析方法、数值模拟方法和实验方法来确定。
1. 解析方法解析方法是通过数学公式推导出结构位移场的一种方法。
这种方法通常适用于简单结构的位移场分析。
其基本思路是利用力学原理和数学方法，推导出结构的位移表达式。
常用的解析方法包括：（1）弹性力学方法弹性力学方法是应用杨氏模量和泊松比等弹性力学参数，直接求解结构的位移场。
这种方法适用于弹性结构的位移场分析。
（2）弹塑性力学方法弹塑性力学方法适用于弹塑性结构的位移场分析。
这种方法是将结构的弹性阶段和塑性阶段分别进行分析，以确定结构的位移场。
（3）有限元方法有限元方法是将结构分成许多小单元进行分析，通过求解每个单元的位移场，得到整个结构的位移场。
有限元法适用于复杂结构的位移场分析。
2. 数值模拟方法数值模拟方法是通过计算机程序模拟结构的受力变形过程，最终确定结构的位移场。
这种方法通常适用于复杂结构的位移场分析。
目前，数值模拟方法主要包括有限元方法、边界元方法和体积单元方法等。
3. 实验方法实验方法是通过实验手段直接测量结构的位移情况，从而确定结构的位移场。
这种方法通常适用于复杂结构的位移场分析。
实验方法有很多种，包括应变片法、拉度计法、位移计法、激光扫描法等。
二、应变场的力学分析应变场是指结构在受力作用下所产生的应变变化。
应变场的力学分析是确定结构所承受的应力状态的重要任务。
通常，结构的应变场可以通过解析方法、数值模拟方法和实验方法来确定。
弹性力学 第三章应变状态理论
w
w
1 2
xz
dx
1 2
yz
dy
z
dz
1 2
y
dx
1 2
xdy
§3-2 相对位移张量 转动分量
0
u u
v
v
1 2
z
w
w
1 2
y
1 2
z
0
1 2
x
1 2
y
dx
1 2
x
dy
dz
0
x
1 2
xy
1 2
xz
dx
1 2
xy
y
1 2
yz
dy
1 2
xz
1 2
yz
dz
x
u x
y
v y
z
w z
yz
w y
v z
zx
u z
w x
xy
v x
u y
1 2
yz
yz
,
1 2
zx
zx ,
1 2
xy
xy
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
§3-2 相对位移张量 转动分量
相对位移张量：
u u u
x
y
z
v v v
x
y
z
w w w
x y z
转动矢量：
u(x dx, y, z) u u dx
a:
x
v(x dx, y, z) v v dx x
u(x, y dy, z) u u dy
b:
y
b a
v(x, y dy, z) v v dy
第三章力学位移和应变分析
x， y，z
称为转动分 量
p, q, r代表此微分体的刚性转角
故六个应变分量和三个转动分量可以使物体内某点变 形的几何形象表示完全。
二、物体内无限邻近两点位置的变化
设物体内无限邻近的两点A和B,它们的坐标分别为：
A （x,y,z） B(x+dx,y+dy,z+dz)
变形后，它们到A’和B’ 若A点的位移矢量用u(x,y,z),v (x,y,z), w(x,y,z)表示 则B点的位移矢量用u’,v’,w’表示
说明：
u
P
B
dx A
u u dx x v v dx x
v
dy y
A B
v v dy y
（1） 反映任一点的位移与该点应变间的
u u dy y
关系，是弹性力学的基本方程之一。
当 u、v 已知，则 x , y , xy 可完全确定；反之，已知 x , y , ， xy （ 2） 不能确定u、v。 （∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）
tan yx
tan xy
v v dx v x v yx dx x
u u dy u y u dy y
xy
1 v u r ( ) 2 x y
r是对角线MQ绕z轴转动的角度。
yx xy , 则r为正号，表示沿逆时针转动；
1 1 1 1 u =u+ x dx xy dy xz dz z dy y dz 2 2 2 2 1 1 1 1 v= v xy dx + y dy yz dz x dz z dx 2 2 2 2 1 1 1 1 w =w zx dx yz dy + z dz y dx x dy 2 2 2 2
3-2-1 应变分析_位移与应变
ui
ui x j
dx j
开 v v dx v dy v dz
即
x y z
为：w w dx w dy w dz
x y z
金属塑性成形原理
二、应变及其分量
应变：表示变形大小的物理量
应变
相对应变（条件应变、名义应变、工程应变）— 仅适用于小变形 真实应变（对数应变）— 适用于大变形
则 B的位移分量为A的位移分量加上各方向的位移增量。即：
ui ui ui
ui 为B点相对于A的位移增量
位移增量各方向的偏导与微分之积。按泰勒级数展开、略去二阶以上的
高阶微量，得：
ui
ui
ui
ui
ui x j
（ ui为 u, v, w ；xj为 x, y, z）
展
u u dx u dy u dz
ry
P1
A1
与PC所夹的直角发生了改变。
棱边PA的线应变为 r1 rx r
o
P
rx
A
x
rx
rx
金属塑性成形原理
PA在x轴方向上的线应变为
棱边 PA 向y轴方向偏转的角度为axy
棱边 PC向x轴方向偏转的角度为ayx 两棱边的夹角减小了axy+ ayx （ axy≠ ayx ）
C点在垂直于PC方向偏移了δrt
Є ln l ln 12 0.1823 l0 10
l l0 12 10 0.2
l0
10
误差：9.7%
Є ln l ln 15 0.4054 l0 10
l l0 15 10 0.5
l0
10
误差：23.3%
金属塑性成形原理
2. 相对应变及其分量
3位移和应变分析
3位移和应变分析位移和应变是材料工程中非常重要的概念，用于描述材料的变形行为和性能。
位移是指物体发生形状、位置或方向的变化，而应变是指物体受到外力作用后发生的长度、形状和体积变化。
位移和应变分析是通过测量和计算物体的位置、形状和力学性质的变化来研究材料的力学性能的一种方法。
本文将详细介绍位移和应变的概念、计算方法和应用。
首先，我们来讨论位移的概念和计算方法。
位移是指物体从初始位置变化到最终位置的距离和方向的变化。
常见的位移表示方法有位移矢量和位移场。
位移矢量是一个有方向和大小的矢量，可以用于描述物体受力作用后发生的位移。
位移场是指在各个空间点上的位移值的分布。
通常情况下，位移可以通过实验测量得到，也可以通过数值模拟计算得到。
如果是二维情况下的位移，可以用平移向量(x,y)或位移矢量(u,v)来表示。
如果是三维情况下的位移，则可以用平移矢量(x,y,z)或位移矢量(u,v,w)来表示。
位移的计算方法有多种，常见的有测量法、数值模拟法和解析计算法。
测量位移的方法主要有激光测距法、相机测距法和全站仪测距法等。
这些方法可以用于测量物体上各个点的位移，并通过数据处理得出位移场的分布情况。
数值模拟法是通过建立物体的数学模型和力学方程，并利用计算机进行求解，得到位移场的分布情况。
数值模拟法可以通过有限元法、边界元法和网格法等进行求解。
解析计算法是指通过已知的物体形状和外力条件，利用物理方程和数学方法直接求解出位移场的分布情况。
解析计算法主要用于简单几何形状和边界条件的情况。
接下来，我们讨论应变的概念和计算方法。
应变是指物体受力后发生的长度、形状和体积变化。
常见的应变表示方法有线性应变和拉伸应变。
线性应变是指在微小变形范围内，物体长度发生的相对变化。
拉伸应变是指单位长度的变化。
应变也可以通过实验测量得到，也可以通过数值模拟计算得到。
应变的计算方法与位移类似，可以通过测量法、数值模拟法和解析计算法来进行。
测量应变的方法主要有光栅拉伸计法、应变计法和应变仪法等。
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由小变形假设，此单元体各投影面的变形情况与 此微分体的变形情况的差别是微小的；
因此，对于此微体，只要研究它在各个坐标面上 投影的变形就可以了。
变形包括：
1.各棱边长度的变化（伸长或缩短）用正应变表示
2.棱边夹角的变化，用剪应变表示。 z
B
考察物体内任意一微小线段
故六个应变分量和三个转动分量可以使物体内某点变 形的几何形象表示完全。
二、物体内无限邻近两点位置的变化
设物体内无限邻近的两点A和B,它们的坐标分别为：
A（x,y,z） B(x+dx,y+dy,z+dz)
变形后，它们到A’和B’ 若A点的位移矢量用u(x,y,z),v (x,y,z), w(x,y,z)表示 则B点的位移矢量用u’,v’,w’表示
应变分量的符号规定： 正应变： 正号的正应变表示沿该方向伸长， 负号的正应变表示沿该方向缩短；
剪应变： 正号表示沿两个坐标轴正向的两条直线间的角
度减小， 负号表示沿两个坐标轴正向的两条直线间的角
度增大。
§3-2 转动分量 物体内无限邻近两点位置的变化
一、转动分量
分析物体内一点任一微分平行六面体的变形，考虑 六个应变分量
w=w+ w dx w dy w dz x y z
变形可以得到：
u=u+ u dx 1 (v u )dy 1 (u w)dz 1 (v u )dy 1 (u w)dz x 2 x y 2 z x 2 x y 2 z x
1 2
z
1 2
y
0
1 2
x
1 2
x
dy dz
0
结论：与A点无限邻近一点B的位移由 三部分组成
B
1、随A点的一个平动位移，
2、绕A点的刚性转动在B点产生的位移，
3、由于A点邻近单元体的变形在B点产
生的位移。
A
§3-3 物体内一点的应变状态
x , y , z , xy , yz , zx表示该点处的六个应变分量 问题：
为了使变形的几何形象表示完全，引入三个分量：转动分量
研究物体内任一点M附近的变形状态，在M点处取立方 微分体。
研究变形后立方微分体中对角线MQ绕z轴的转角：
Q1
R T
S
M Q
Q Q
M1
M
r
1 2
(90o
yx
xy )
yx
45o
1 2
( yx
xy
)
r
1 2
(90o
l
B'
l'
• 长度的相对改变 正（线）应变
A A'
y
l l
x
l
• 方向的相对改变 剪（角）应变
900
x
z
B
l
l'
B'
0
A 90
A'
y
C
C'
沿坐标轴x,y,z方向的正应变分量为：
x
dx dx
;
y
dy dy
;z
dz dz
剪应变分量为微分各面间所夹直角的改变量。（用弧度
A：u u dx, v v dx B：u u dy, v v dy
x
x
y
y
线段的伸长或缩短；
一点的变形
O
线段间的相对转动；
考察P点邻域内线段的变形：
PA dx PB dy
y
u
P
dx
x u u dx x
v P A
dy
v v dx x
B
A
表示）
xy yx yx xy
yz zy zy yz
zx xz xz zx
注意： xy与 yx代表的完全是同一个量
即过物体内某点所引沿x及y方向的线元间夹角的改变量。
它与
xy＝
yx的含义不同，
xy与
并不是同一个剪应力，
物体变形后，微分线段AB变为A’B’，则A’B’在坐标轴 上的投影为(B点的位移分量+AB的长度-A点的位移分量)
dx+u-u=dx+ u dx u dy u dz x y z
dy+v-v=dy+ v dx v dy v dz x y z
dz+w-w=dz+ w dx w dy w dz x y z
u=u(x+dx,y+dy,z+dz) v= v(x+dx,y+dy,z+dz) w=w(x+dx,y+dy,z+dz)
按多元函数泰勒级数展开，根据小变形假设，略去二 阶以上的微分项，可以得到：
u=u+ u dx u dy u dz x y z
v= v+ v dx v dy v dz x y z
反之，则沿顺时针转动。
同理，可以得到立方微分体中对角线MS及MT分别 绕y轴和x轴的转角公式；
通常用两倍的转角表示：x，y，z
R T
S
x
2p
w y
v z
M Q
y
2q
u z
w x
z
2r
v x
u y
x，y，z 称为转动分 量
p, q, r代表此微分体的刚性转角
x , y , z , xy , yz , zx表示该点处的六个应变分量
但是剪应变是相应的两个角的和 xy yx yx xy yz zy zy yz zx xz xz zx
如果两个角的和不变，则剪应变就不变；但是两个 角可能相等，也可能不等，这样变形的几何形象（变位 状态）就不同。
B’
l，m，n
l’，m’，n’
dr’
A’
设A点的位移分量为u，v，w，则B点的位移为：
u=u+ u dx u dy u dz x y z
v= v+ v dx v dy v dz x y z
w=w+ w dx w dy w dz x y z
P
dx
x u u dx x
v P A
dy
v v dx x
y
v
v y
dy
dy
v
v y
P点的剪应变：
y
v v dy y
P点两直角线段夹角的变化 xy
B
A
B
u u dy y
tan
v
v x
dx
v
dx
v x
tan
yx
xy )
yx
45o
1 2
( yx
xy )
tan yx
v
v x
dx
dx
v
v
x
yx
tan xy
u
u y
dy
dy
u
u y
xy
r 1 (v u ) 2 x y
r是对角线MQ绕z轴转动的角度。
yx xy ,则r为正号，表示沿逆时针转动；
u
u y
dy
dy
u
u y
xy
v x
u y
整理得：
O
x
x
u x
y
v y
u
P
dx
v P A
dy
xy
v x
u y
——几何方程
y
B
说明：
v v dy y
B
u u dy
（1） 反映任一点的位移与该点应变间的
y
关系，是弹性力学的基本方程之一。
u=u+
x dx
1 2
xy
dy
1 2
xz
dz
1 2
z
dy
1 2
y dz
v=
v
1 2
xy
dx+
y
dy
1 2
yz
dz
1 2
x
dz
1 2
z dx
w=w
1 2
zx dx
1 2
yz
dy+
z dz
1 2
矩阵表示
x
u u
1 2
xy
1 2
xz
dx
0
1 2
z
1 2
y
dx
v w
v w
1 2 1 2
xy xz
y
1 2
yz
1
2
z
yz