巧用等腰三角形性质证明

巧用等腰三角形性质证明

等腰三角形是一种特殊的三角形，也是常见的一种基本图形。它除具有三角形的一切性质外，还有其特殊性质，这就是

1.等腰三角形的两个底角相等；

2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合。

灵活巧用这些性质，可帮我们迅捷地证明一些几何问题。

例1如图1，AE是△ABC外角∠DAC的平分线，且AB＝AC。求证：AE∥BC。

证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C。

∴∠DAC＝∠B＋∠C＝2∠B。

∵AE平分∠DAC，

∴∠DAC＝2∠1。

∴2∠B＝2∠1，∠B＝∠1。

∴AE∥BC。

F

B B C

C D

图1图2 例2如图2，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD、△ACD 的高，连EF交AD于G。求证：EG＝FG，AD⊥EF。

证明：∵DE、DF分别是△ABD、△ACD的高，

∴∠DEA＝∠DFA＝90°。

∵∠1＝∠2，AD＝AD,

∴△ADE≌△ADF（AAS）。

∴AE＝AF。

∵AD是△ABC的角平分线，

∴ AG 是等腰三角形△AEF 的顶角平分线。

∴ AG 是等腰三角形△AEF 的底边上的高和底边上的中线。

∴ EG ＝FG ，AD ⊥EF 。

例3 如图3，AB ＝AC ，D 是AB 上一点，延长CA 到E ，使AE ＝AD 。求证：ED ⊥BC 。

证明：过A 作AF ⊥BC 于F 。

∵ AB ＝AC ，AF ⊥BC 于F ，

∴ AF 是等腰△ABC 的底边上的高。

∴ AF 是等腰△ABC 的顶角平分线。

∴ ∠BAC ＝2∠1。

∵ AE ＝AD ，

∴ ∠2＝∠E 。

∴ ∠BAC ＝∠E ＋∠2＝2∠2。

∴ ∠1＝∠2，ED ∥AF 。

∴ ED ⊥BC 。

E B

F B C C D

图3 图4

例4 如图4，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB ＋BD ＝DC 。求证：∠B ＝2∠C 。 证明：在DC 上截取ED ＝BD ，连AE 。

∵ ∠ADE ＝∠ADB ＝90°，AD ＝AD,

∴ △ADE ≌△ADB （SAS ）。

∴ ∠1＝∠B ，AE ＝AB 。

∵ AB ＋BD ＝DC ，

CE ＋ED ＝DC ，

∴ AB ＝CE 。

∴ AE ＝CE ，∠2＝∠C 。

∴∠1＝∠2＋∠C＝2∠C。∴∠B＝2∠C。