偏微分方程数值解法

《偏微分方程数值解法》

课程设计

题目：六点对称差分格式解热传导方程的初边值

问题

姓名：王晓霜

学院：理学院

专业：信息与计算科学

班级：0911012

学号：091101218

指导老师：翟方曼

2012年12月14日

一、题目

用六点对称差分格式计算如下热传导方程的初边值问题

222122,01,01(,0),01

(0,),(1,),01x

t t u u

x t t x u x e x u t e u t e t +⎧∂∂=<<<≤⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩

已知其精确解为

2(,)x t u x t e +=

二、理论 1．考虑的问题

考虑一维模型热传导方程

(1.1) )(22x f x

u

a t u +∂∂=∂∂，T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类：

第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件：

（1.2） ()()x x u ϕ=0,, ∞<<∞-x

第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件：

()13.1 ()()x x u ϕ=0,, l x l <<-

及边值条件

()23.1 ()()0,,0==t l u t u ，

T t ≤≤0

假定()x f 和()x ϕ在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。

现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取 N l h =

为空间步长，M

T

=τ为时间步长，其中N ，M 是自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0Λ=； τk y y k ==, ()M k ,,1,0Λ=

将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 ()j i y x ,表示网格节点；

h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；

h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。

k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。

注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系（(,)k

j k j u u x t t t

∂∂⎛⎫

≡ ⎪∂∂⎝⎭）：

()()

()ττ

O t u t x u t x u k

j k j k j +⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂=-+,,1 ()()

()

2112,,ττ

O t u t x u t x u k j

k j k j +⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂=--+ ()()()h O x u h t x u t x u k

j k j k j +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=-+,,1

()()

()h O x u h

t x u t x u k

j k j k j +⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂=--,,1 ()()

()

2112,,h O x u h

t x u t x u k j

k j k j +⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂=--+ ()()()

()

2

222

11,,2,h O x u h

t x u t x u t x u k

j

k j k j k j +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+--+ 2．区域网格剖分

取空间步长l

h N

=和时间步长T M τ=，其中,N M 都是正整数。用两族平

行直线(0,1,,)j x x jh j N ===L 和(0,1,,)k t t k k M τ===L 将矩形域

{}0;0G x l t T =≤≤≤≤分割成矩形网格，网格节点为(,)j k x t 。以h G 表示网格内

点集合，即位于开矩形的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形G 的网点集合；

h h h G G -=Γ是网格界点集合。

其次，用k j u 表示定义在网点(,)j k x t 的函数，M k N j ≤≤≤≤0,0

3．建立相应差分格式

数值分析中，Crank-Nicolson 方法是有限差分方法中的一种，用于数值求解热方程以及形式类似的偏微分方程。它在时间方向上是隐式的二阶方法，数值稳定。该方法诞生于20世纪，由John Crank 与Phyllis Nicolson 发展。 ①向前差分格式

()14.1

=-+τ

k j

k j u u 1

j k

j k j k j f h

u u u a

++--+2

1

12 ()()j j x f f =

()24.1 ()j j j x u ϕϕ==0， k u 0=k

N u =0

② 向后差分格式

()15.1

=-+τ

k j

k j u u 1

j k j k j k j f h

u u u a

++-+-+++2

1

1

1112 ()()j j x f f =

()25.1 ()j j j x u ϕϕ==0， k u 0=k

N u =0

将向前差分格式和向后差分格式做算术平均，得到的差分格式称之为六点对称格式，也称为Grank-Nicholson 格式：

()16.1

=-+τ

k j

k j u u 1

j k j k j k j k j k j k j f h u u u h u u u a +⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+-++-+-+++-+2

1

1111211222 ()()j j x f f = ()26.1 ()j j j x u ϕϕ==0， k u 0=k

N u =0

进一步，

()36.1 2

r

-11++k j u +()r +11

+k j

u 2r -11+-k j u =2r k j u 1++()r -1k j

u 2

r +k

j u 1-+j f τ 按层计算：首先，取0=k ，则利用初值()j

j j x u ϕϕ==0和边值k u 0=k

N u =0，来确定出第一层的1j u ，1,,1,0-=N j Λ，即求解方程组：

2r -

11+j u +()r +11j u 2r -11-j u =2r 01+j u +()r -10

j

u 2

r +01-j u +j f τ 1,,1,0-=N j Λ，k u 0=k

N u =0。求出1j u ，在由()18.1',取1=k ，可利用1j u ，解出2j u ，

1,,1,0-=N j Λ。如此下去，即可逐层算出所有k j u ，1,,1,0-=M k Λ。

若记