河南中考数学探究题专项训练

河南中考数学 第22题探究题训练

1. （1）问题发现

如图（1）,在△OAB 和△OCD 中,︒=∠=∠==40,,COD AOB OD OC OB OA ,连结AC 、BD ,填空:

①BD

AC 的值为_________; ②AMB ∠的度数为_________; （2）类比探究

如图（2）,在△OAB 和△OCD 中,︒=∠=∠90COD AOB ,=∠=∠OCD OAB

︒30,连结AC ,交BD 的延长线于点M .请判断BD

AC

的值及AMB ∠的度数,并说明理由. （3）拓展延伸

在（2）的条件下,将△OCD 绕点O 在平面内旋转,AC 、BD 所在直线交于点M .若7,1==OB OD ,请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长.

M

O

D C

B A

M D

C

O

B

A

图1 图2

备用图

2. （1）问题发现

如图1,△ACB 和△DCE 均为等边三角形,点A 、D 、E 在同一直线上,连结BE . 填空:

①AEB ∠的度数为_________;

②线段AD 、BE 之间的数量关系为__________. （2）拓展探究

如图2,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,︒=∠=∠90DCE ACB ,点A 、D 、E 在同一直线上,CM 为△DCE 中DE 边上的高,连结BE .请判断AEB ∠的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系,并说明理由. （3）解决问题

如图3,在正方形ABCD 中,2=CD .若点P 满足1=PD ,且︒=∠90BPD ,请直接写出点A 到BP 的距离

.

3. 如图,在等边三角形ABC 中,4=AC ,点D 、E 分别是边AC 、BC 的中点,点D 、E 同时沿射线DE 的方向以相同的速度运动,某一时刻分别运动到点M 、N 处,连结CM 、CN 、AM 、BN . （1）写出图（1）中的一对全等三角形;

（2）如图（2）所示,当点M 在线段DE 的延长线上时,画出示意图,判断（1）中所写的一对三角形是否仍然全等,并说明理由;

（3）在点D 运动的过程中,若△ACM 是直角三角形,请直接写出此时线段CN 的长度.

图（1）

N

E D

C

A

B

M

图（2）

E

D

C

B

A

O

A

B

4. 【问题发现】

（1）如图（1）四边形ABCD 中,若CD CB AD AB ==,,则线段BD 、AC 的位置关系为__________; 【拓展探究】

（2）如图（2）,在Rt △ABC 中,点F 为斜边BC 的中点,分别以AB 、AC 为底边,在Rt △ABC 外部作等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE ,连结FD 、FE ,分别交AB 、AC 于点M 、N .试猜想四边形FMAN 的形状,并说明理由; 【解决问题】

（3）如图（3）,在正方形ABCD 中,22=AB ,以点A 为旋转中心将正方形ABCD 旋转︒60,得到正方形'''D C AB ,请直接写出'BD 的长度.

图（1）

D

B

A

图（2）

N M

F

E

D

C

B

A

图（3）

D

C

B

A

5. 如图（1）,菱形ABCD 的边长为2,︒=∠60BAD ,对角线AC 、BD 交于点O .

（1）操作发现

小芳同学将△CBD 绕点O 旋转得到△CEF ,当CF 落在AD 上时,如图（2）,连结ED ,请直接写出ED 与AC 的位置关系和数量关系; （2）问题解决

小芳同学继续旋转△CEF （A 、C 不重合）,如图（3）,连结ED 、AC ,她认

为（1）中的结论仍然成立,你同意吗?请说明理由; （3）深入思考

若直线ED 与直线AC 的交点为H ,请直接写出BH 的最大值.

图（1）

O

D

C B A

图（2）

O

F

E

C

D

B

A

C

图（3）

O

F

E D

B

A

6. （1）如图（1）,在矩形ABCD 中,︒=∠==90,5,2MPN BC AB ,且MPN ∠的直角顶点在BC 边上,1=BP . ①特殊情形

若MP 过点A ,NP 过点D ,则=PD

PA

_________; ②类比探究

如图（2）,将MPN ∠绕点P 按逆时针方向旋转,使PM 交AB 边于点E ,PN 交AD 边于点F ,当点E 与点B 重合时,停止旋转.在旋转过程中,

PF

PE

的值是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由; （2）拓展探究

如图（3）,在Rt △ABC 中,︒=∠90ABC ,AB AD BC AB ⊥==,2,⊙A 的半径为1, 点E 是⊙A 上一动点, CE CF ⊥,CF 交AD 于点F . 请直接写出当

△AEB 为直角三角形时,

FC

EC

的值. 图（1）

N

M

D

C

B

A F

E

图（2）

N

M

D

C

B

A

图（3）

D

F

B

E

A