中考数学 直机关操作探究大题操作探究大题 人教新课标版

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26.（12分）25．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；

（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.

①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；

②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.

26（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． ······ 1分

A D E

B F

C 图4（备用） A

D

E B

F C 图5（备用） A D E B F C 图1 图2 A D E B F C P N

M

图3 A D E

B F

C P N

M （第26题）

∵E 为AB 的中点， ∴1

22

BE AB ==．

在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ··· 2分

∴1

12

BG BE EG ====， 即点E 到BC

3分

（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =

，PM EG == 同理4MN AB ==．

如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．

∴12PH PM ==

∴3

cos302

MH PM =︒=．

则35422NH MN MH =-=-=． 在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ············ 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．

类似①，3

2

MR =． ∴23MN MR ==． ················· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．

此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··········· 8分

当

MP MN

=时，如图4，这时

图3

A D E B

F

C

P

N M

图4

A D E

B

F C

P M

N 图5

A D E

B

F （P ） C

M

N G

G

R

G

图1

A D E

B

F C

G

图2 A D E B

F C

P

N

M

G H

MC MN MP ===

此时，615x EP GM ===-= 当

NP NM =时，如图

5，30NPM PMN ==︒∠∠．

则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．

因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=．

此时，6114x EP GM ===--=．

综上所述，当2x =或4或(5-时，PMN

△为等腰三角形．······························ 10分