概率论 5.2-5.3矩阵对角化,实对称矩阵的相似标准形分解
合集下载
线性代数矩阵的相似对角化
第 一、相似矩阵的基本概念与性质
五 章
1. 相似矩阵的概念
2. 相似矩阵的性质
相 似 性质 (1) 反身性 A ~ A;
矩 阵
P144
(2) 对称性 若 A ~ B , 则 B ~ A;
(3) 传递性 若 A ~ B , B ~ C , 则 A ~ C .
P144 (4) 若 A ~ B , 则 r( A) r(B) .
的主对角线上的元素由 A 的全部特征值构成。
8
§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
五 章
1. 问题分析
(2) P 如何构成？
相 似
设 P ( p1, p2 , , pn ), 则由 P 1 AP Λ 有 AP PΛ, 即
矩 阵
A( p1, p2 , , pn ) ( p1, p2 , , pn ) Λ,
11
§5.2 矩阵的相似对角化
第 三、矩阵相似对角化的方法步骤
五 章
步骤
(4) 若 ti si (i 1, 2, , r),
则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P，
相
似
从而有 P 1 AP Λ;
矩
阵
s1个
其中
Λ
s2
个
sr 个
12
§5.2 矩阵的相似对角化
第 三、矩阵相似对角化的方法步骤
§5.2 矩阵的相似对角化
第 五
§5.2 矩阵的相似对角化
章
一、相似矩阵的基本概念与性质
相 似
二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
矩 阵
三、矩阵相似对角化的方法步骤
四、矩阵相似对角化的应用
1
§5.2 矩阵的相似对角化
5.3 实对称矩阵的正交相似对角化幻灯片
1
2
s
要注意矩阵 Q的列与对角矩 阵 主对角线上的元素
( A 的特征值 ) 之间的对应关系.
2020/3/22
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化 6
四、举例
例1 设
1 2 A2 2
2 4
2 4 2
求正交矩阵 Q , 使 Q-1AQ 为对角矩阵.
2020/3/22
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化 7
2020/3/22
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化 8
解之得基础解系 2
0
1 0 , 2 1.
1
1
第三步 将特征向量正交化
将 1 , 2 正交化：令
1 1 (2, 0,1)T ;
2
2
[[11,,12]]1
(0,1,1)T
1 (2, 5
0,1)T
( 2,1, 5
4 ); 5
5.3 实对称矩阵的正交相似对角化
主要内容
实对称矩阵的性质 实对称矩阵相似对角化的步骤 举例
2020/3/22
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化 1
一、问题的提出
上一节我们讨论了矩阵能对角化的充要条
件: n 阶方阵 A 能对角化的充要条件是 A 有 n 个
线性无关的特征向量. 通过前面的学习我们知道,
p1 (1,1,1)T .
解 设特征值 3 对应的特征向量为
x = (x1 , x2 , x3)T , 由于实对称矩阵的不同的特征
值所对应的特征向量正交, 故
2020/3/22
[ p1,x] x1 x2 x3 0, 黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化 16
2020/3/22
专题4------实对称矩阵的对角化
专题：实对称矩阵的对角化一、实对称矩阵的定义：如果矩阵A 满足：①A 是对称矩阵，即T A A =；②矩阵A 中所有元素都是实数（事实上，我们目前接触到的矩阵的元素都是实数，全体实数与全体虚数（如a bi +，0b ≠就是虚数）组成复数集）。
那么，称矩阵A 就是实对称矩阵。
注意，因为实对称矩阵就是对称矩阵，而对称矩阵是对方阵而言的，故实对称矩阵必须是方阵。
二、实对称矩阵的性质：① 实对称矩阵必可对角化。
（一般的矩阵，也就是非实对称矩阵，可对角化是有条件的，全书P372页说的很清楚）② 特征值全是实数，特征向量都是实向量。
（关于这一点是没有考点，这只是单纯地作为一条性质提出来的）③ 不同特征值的特征向量相互正交。
（这一点很重要，对于一般矩阵而言，不同特征值的特征向量线性无关，不能保证不同特征值的特征向量正交。
注意向量正交的定义：设12,a a 为n 维列向量，1212211212,(,)0,T Ta a a a a a a a a a ⇔===⇒正交线性无关）④ 假设i λ是实对称矩阵A 的k 重特征值，那么对应于特征值i λ必有k 个线性无关的特征向量，即齐次线性方程组()0i E A x λ-=的基础解系的向量个数为k ，()i n r E A k λ--=。
（对于一般矩阵，若i λ是该矩阵（非实对称矩阵）的k 重特征值，那么对应于特征值i λ的线性无关向量最多为k 个，即齐次线性方程组()0i E A x λ-=（这里的A 为非实对称矩阵）的基础解系的向量个数最多为k 个，即()i n r E A k λ--≤）三、基本情况说明：考虑到考研数三的实际情况，加上为了更加清晰地阐述该问题，我这里论述的实对称矩阵是一个4阶矩阵，在此就不长篇大论一般情况（即A 为n 阶矩阵），希望你从这个特殊例子中看出一般情况。
A 为4阶矩阵，其特征值为1λ、2λ、3λ（3λ为二重特征值）。
特征值1λ对应的特征向量为1a ，即111Aa a λ=，明显11k a （10k ≠）也为1λ对应的特征向量；特征值2λ对应的特征向量为2a ，即222Aa a λ=，明显22k a （20k ≠）也为2λ对应的特征向量； 特征值3λ对应的两个线性无关的特征向量为3a 、4a （因为3λ为二重特征值，所以它必有2个线性无关的特征向量），明显3a 、4a 的线性组合3344l a l a +（34,l l 不全为0）也是特征值3λ对应的特征向量。
相似对角化矩阵及其求法
是A的 特 征 值.
由(1)可知 i aii a11 ,所以
1
9 7 3
A
P
3
4
P 1
1 2
3 3
1 2
3 8
1 A1 P 3
1 P 1
4
1 P
1 3
1 4
P
1
1 24
1 9 2
25 33 2
0 0 . 1
即矩阵P 的列向量和对角矩阵中特征值的
位置要相互对应．可见 P 未必唯一。
例3 三阶方阵A的三个特征值 1 1,2 3,3 4,
且对应的特征向量分别是 X1 1,1,0T , X2 1,0,1T , X3 1,1, 2T ,求A和A1.
例如
，A
1 0
0 1 1, B 0
1 1.
容易算出
A与B的 特征 多项 式 均为 (1 )2
但 A是 一个 单位 阵， 对 任给的 可逆 阵P, 有
P1AP P1IP P1P I
因此，若B与A相似，则B必是单位阵. 而现在
B不 是 单 位 阵.
把 1代入A Ex 0, 解之得基础解系
(1,1,1)T , 几何重数 < 代数重数,
故 A不能化为对角矩阵.
例2
设
A
4 3
6 5
0 0,
3 6 1
A能否对角化？若能对角化，
则求出可逆矩阵P, 使 P 1 AP为 对 角 阵.
解 (1) A 可对角化的充分条件是 A有 n 个互异的
由(1)可知 i aii a11 ,所以
1
9 7 3
A
P
3
4
P 1
1 2
3 3
1 2
3 8
1 A1 P 3
1 P 1
4
1 P
1 3
1 4
P
1
1 24
1 9 2
25 33 2
0 0 . 1
即矩阵P 的列向量和对角矩阵中特征值的
位置要相互对应．可见 P 未必唯一。
例3 三阶方阵A的三个特征值 1 1,2 3,3 4,
且对应的特征向量分别是 X1 1,1,0T , X2 1,0,1T , X3 1,1, 2T ,求A和A1.
例如
，A
1 0
0 1 1, B 0
1 1.
容易算出
A与B的 特征 多项 式 均为 (1 )2
但 A是 一个 单位 阵， 对 任给的 可逆 阵P, 有
P1AP P1IP P1P I
因此，若B与A相似，则B必是单位阵. 而现在
B不 是 单 位 阵.
把 1代入A Ex 0, 解之得基础解系
(1,1,1)T , 几何重数 < 代数重数,
故 A不能化为对角矩阵.
例2
设
A
4 3
6 5
0 0,
3 6 1
A能否对角化？若能对角化，
则求出可逆矩阵P, 使 P 1 AP为 对 角 阵.
解 (1) A 可对角化的充分条件是 A有 n 个互异的
线性代数 第5.2节 矩阵相似对角化
2 2 得基础解系 p1 1 , p2 0 . 0 1 当 3 7 时，齐次线性方程组为 A 7 E X 0 1 8 2 2 1 0 2 2 5 4 0 1 1 A 7E 0 0 0 2 4 5
求矩阵 A.
22
解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 A 是3 阶方阵。
因为 A 有 3 个不同的特征值，所以 A 可以对角化。 即存在可逆矩阵 P , 使得 P 1 AP
1 1 1 其中 P 1 0 2 , 1 1 1
求得 P 1
1 3 1 2 1 6 1 3 0 1 3
A 可以对角化。
当 1 1 时， 齐次线性方程组为
A Ex 0
5 5 1 1 系数矩阵 A E 2 2 0 0
x1 x2
1 令 x2 1 得基础解系: p1 1
25
当
2 2 时， 齐次线性方程组为 A 2 E x 0 2 5 2 5 系数矩阵 A 2 E 2 5 0 0
x1 2 x2
2 得基础解系 p1 1 , 0
0 0. p2 1
当 3 2 时，齐次线性方程组为 A 2 E X 0
6 A 2 E 3 3 6 3 6 0 1 0 0 3 0 0 1 0 1 1 0
可对角化的矩阵主要有以下几种应用： 1. 由特征值、特征向量反求矩阵 例3：已知方阵 A 的特征值是
1 0, 2 1, 3 3, 1 1 1 1 , 0 , 2 , 相应的特征向量是 1 2 3 1 1 1
矩阵对角化,实对称矩阵的相似标准形分解共37页
实对称矩阵的相似标准形分 解
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
实对称矩阵的相似对角化
但因x 但因 ≠ 0,所以 ,
x′x = ∑ x i x i = ∑ | x i | ≠ 0,
i =1 i =1 n n 2
这就说明λ为实数. 故 λ λ = 0 ,即 λ = λ ,这就说明λ为实数.
定理2 是实对称阵A的两个特征值 定理 设λ1,λ2是实对称阵 的两个特征值, , 是实对称阵 的两个特征值, p1,p2是对应的特征向量.若λ1 ≠ λ2,则p1,p2 是对应的特征向量. , 是对应的特征向量 , , 正交. 正交. 证 λ1 p1 = A p1,λ2p2 = Ap2,λ1 ≠ λ2. , , . 对称, 因A对称,故 对称 λ1p1′ = (λ1p1)′ = (A p1)′ = p1′A′ = p1′A, ′ λ ′ ′ ′ ′ ′ , 于是, 于是, λ1p1′p2 = p1′Ap2 = p1′ (λ2p2) = λ2p1′p2, ′ ′ ′ λ ′ , λ1) ′ 即 (λ2λ p1′p2 = 0 λ λ 正交. 但λ1 ≠ λ2,故p1′p2 = 0,即p1与p2正交. , ′ , 与 正交
例2 设
1 1 1 0 1 0 1 1 A= 1 1 0 1 1 1 1 0
求一个正交阵P, 求一个正交阵 ,使P1AP=∧为对角阵. ∧为对角阵. 解 A的特征多项式为 的特征多项式为
λ 1 1 1 1 1 λ A λE = 1 1 λ 1 λ 1 1 1 1 = (λ 1) 3 (λ + 3)
对ξ1,ξ2,ξ3应用施密特正交化方法,得 应用施密特正交化方法, , , 应用施密特正交化方法
1 1 ζ 2 = ξ1 = 0 0
1 1 1 0 1 1 1 1 [ξ 2 , ζ 2 ] ζ3 = ξ2 ζ2 = = 1 2 0 2 2 [ζ 2 , ζ 2 ] 0 0 0
矩阵对角化,实对称矩阵的相似标准形分解37页PPT
矩阵对角化,实对称矩阵的相似标准形 分解
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝之易安源自。16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝之易安源自。16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
第四节：实对称矩阵的对角化
。
−1 1 p1 = −1 3 1
对应
λ2 = λ3 = 1 ，解方程 ( A− I )x = 0
−1 −1 1 1 1 −1 ( A − I ) = −1 −1 1 → 0 0 0 1 1 −1 0 0 0
− P = ( p1 , p 2 , p 3 ) = −
有
−2 0 0 P −1 AP = PT AP = ∧ = 0 1 0 0 0 1
。
，便有
P AP = P AP = ∧
T
−1
∧ 中对角元的排列次序应与
P中列向量的排列次序相对应。 中列向量的排列次序相对应。 中列向量的排列次序相对应
，注意
例1。设 。
0 −1 1 A = −1 0 1 1 1 0
，
求一个正交阵P 使 P−1AP =∧ 求一个正交阵 解：由
( A + 2I ) x = 0
2 −1 1 1 0 1 ( A + 2 I ) = −1 2 1 → 0 1 1 1 1 2 0 0 0
ξ
− 1 = − 1 1
，
得基础解系
1
，将
ξ λi I ) x = 0 的基础解系。得 的基础解系。
个线性无关的特征向量。 个线性无关的特征向量。再把它们 正交化、单位化，因 正交化、单位化，
k1 + L + k s = n
故可得n个两两正交的单位特征向量。 故可得 个两两正交的单位特征向量。 个两两正交的单位特征向量
（3）将这 个两两正交的单位特征向量 ）将这n个两两正交的单位特征向量 构成正交矩阵P， 构成正交矩阵 ，便有
−1 1 p1 = −1 3 1
对应
λ2 = λ3 = 1 ，解方程 ( A− I )x = 0
−1 −1 1 1 1 −1 ( A − I ) = −1 −1 1 → 0 0 0 1 1 −1 0 0 0
− P = ( p1 , p 2 , p 3 ) = −
有
−2 0 0 P −1 AP = PT AP = ∧ = 0 1 0 0 0 1
。
，便有
P AP = P AP = ∧
T
−1
∧ 中对角元的排列次序应与
P中列向量的排列次序相对应。 中列向量的排列次序相对应。 中列向量的排列次序相对应
，注意
例1。设 。
0 −1 1 A = −1 0 1 1 1 0
，
求一个正交阵P 使 P−1AP =∧ 求一个正交阵 解：由
( A + 2I ) x = 0
2 −1 1 1 0 1 ( A + 2 I ) = −1 2 1 → 0 1 1 1 1 2 0 0 0
ξ
− 1 = − 1 1
，
得基础解系
1
，将
ξ λi I ) x = 0 的基础解系。得 的基础解系。
个线性无关的特征向量。 个线性无关的特征向量。再把它们 正交化、单位化，因 正交化、单位化，
k1 + L + k s = n
故可得n个两两正交的单位特征向量。 故可得 个两两正交的单位特征向量。 个两两正交的单位特征向量
（3）将这 个两两正交的单位特征向量 ）将这n个两两正交的单位特征向量 构成正交矩阵P， 构成正交矩阵 ，便有
5.3实对称矩阵的对角化
1 1 例 试求一个非零向量与向量 a1 1, a2 2 都正交。 1 1
x1 x1 x2 x3 0 解 设所求向量为 X x2 , 使它满足 x1 2 x2 x3 0 x3
证(4) α +β ( α +β , α+β ) ( α, α) 2( α, β ) ( β , β ) ( α, α) 2 ( α, β ) ( β , β ) α 2 α β β =( α β ) 所以，
2 2 2
2
Hale Waihona Puke α +β α β
若向量α ≠0 , 则 是单位向量 。（单位化） 向量的夹角： 向量α, β的夹角为满足条件
实对称矩阵的对角化
1、正交向量组
定义 （1）向量内积的定义和性质
a1 b1 a b 2 2 设有 n 维实向量 , , a n bn
称a1 b1 + a2 b2 + …… + an bn 为向量α与β 的内积，记为(α, β). 注: （α, β）=a1 b1 + a2 b2 + …… + an bn = αTβ =βTα. 内积具有下列性质: 设 α,β, 为 n 维(实)向量，k 为实数，则有
( , ) cos( ) | | | | (0 )
1
的角度θ，记为 , 定义 如果 , =
2
，则称向量α与β 垂直或者正交。
零向量与任何向量正交。 性质 当且仅当（α,β）=0，向量α与β 正交。
（3） 正交向量组
定义 如果非零向量组中的向量两两正交，则称 该向量组为正交向量组．
x1 x1 x2 x3 0 解 设所求向量为 X x2 , 使它满足 x1 2 x2 x3 0 x3
证(4) α +β ( α +β , α+β ) ( α, α) 2( α, β ) ( β , β ) ( α, α) 2 ( α, β ) ( β , β ) α 2 α β β =( α β ) 所以，
2 2 2
2
Hale Waihona Puke α +β α β
若向量α ≠0 , 则 是单位向量 。（单位化） 向量的夹角： 向量α, β的夹角为满足条件
实对称矩阵的对角化
1、正交向量组
定义 （1）向量内积的定义和性质
a1 b1 a b 2 2 设有 n 维实向量 , , a n bn
称a1 b1 + a2 b2 + …… + an bn 为向量α与β 的内积，记为(α, β). 注: （α, β）=a1 b1 + a2 b2 + …… + an bn = αTβ =βTα. 内积具有下列性质: 设 α,β, 为 n 维(实)向量，k 为实数，则有
( , ) cos( ) | | | | (0 )
1
的角度θ，记为 , 定义 如果 , =
2
，则称向量α与β 垂直或者正交。
零向量与任何向量正交。 性质 当且仅当（α,β）=0，向量α与β 正交。
（3） 正交向量组
定义 如果非零向量组中的向量两两正交，则称 该向量组为正交向量组．
实对称矩阵对角化
b a
1 1
0
1
解 A~ ,
1 1 1
4
a 2 trA tr 5, a 3,
| A | | | 0
1b1 1 b 1
A b 3 1 b 3 1 (1 b)2 0
1 1 1 0 1b 0
b 1,
A的特征值：1 0 , 2 1 , 3 4
35
第35页，本讲稿共61页
1 1 1
A 1 3 1 , 1 0 , 2 1 , 3 4 .
1 1 1
求1 0的特征向量：
1
1I A 1
1
1 3 1
1 1 1 0 1 0
0 1 0
1 0 0
1 1, 0, 1 T,
同样可得 2 1的特征向量为：2 1, 1, 1T
3 4 的特征向量为：3 1, 2, 1T .
令i
i i
,i 1,2,3.
得
2 3
1 2 3 ,
2 3 2 1 3 ,
1 3
2 3
1 3 3 2 3 .
2 3
17
第17页，本讲稿共61页
1 4, 2 1, 3 2.
得
2 3
2 3
1 2 3 , 2 1 3 ,
1 3
使C 1 AC CT AC 为对角阵
8
第8页，本讲稿共61页
三、实对称矩阵的相似对角化
定理3 对任一实n阶对称矩阵 A , 都存在一个
n阶正交矩阵C , 使
1
C T AC
C 1 AC
2
n
其中 , 1, 2 , , n 是矩阵 A的特征值.
证明略
9
第9页，本讲稿共61页
实对称矩阵的对角化.ppt
的个数恰好是 λ i作为A的特征值的重数；
（3）将 λ i (i 1,2,,r) 的所有标准正交的特征向 量构成一组Rn的标准正交基 p1,p2,,pn;
（4）取p (p1,p2,,pn ), 则P为正交矩阵且使得 pTAp p1Ap为对角阵，对角线上的元素为 相应特征向量的特征值。
例13
1, 1
再单位化得
1
2
p2
1 3
1,p3 1
1
6
1 , 1
0
取
p p1,p,p3
1 2
1 2
1 3
2 6
1 3
1 6
,
1 3
1 6
2
可以验证，仍有
p1Ap
4
.
4
此例说明所求正交矩阵不唯一。
2 0
0 1
0 x1 0 1 x2 0,
解得基础解系为
0 1
,
0 1 1 x3 0
1
0
单位化得单位特征向量 p1
1 2
.
1 2
对于 λ 2 λ 3 4, 由 (A λ 2E)x 0, 即
0 0 0 1
0 1
x1 x2
0 0,
解得基础解系为
1 0,
把它们标准正交化， 就可得到 ri 个单位正交的 特征向量组，由 r1 r2 rs n 知，这样的 特征向量共有n个，又由性质2知，A的属于不同 特征值的特征向量是正交的，故这n个单位特征 向量两两正交，以它们为列向量构成正交矩阵P， 并有p1Ap p1p diag(λ 1,λ 2,,λ n ), 其中 λ 1,λ 2,,λ n 为A的n个特征值。
0 1 .
0 1 1 x3 0
0 1
（3）将 λ i (i 1,2,,r) 的所有标准正交的特征向 量构成一组Rn的标准正交基 p1,p2,,pn;
（4）取p (p1,p2,,pn ), 则P为正交矩阵且使得 pTAp p1Ap为对角阵，对角线上的元素为 相应特征向量的特征值。
例13
1, 1
再单位化得
1
2
p2
1 3
1,p3 1
1
6
1 , 1
0
取
p p1,p,p3
1 2
1 2
1 3
2 6
1 3
1 6
,
1 3
1 6
2
可以验证，仍有
p1Ap
4
.
4
此例说明所求正交矩阵不唯一。
2 0
0 1
0 x1 0 1 x2 0,
解得基础解系为
0 1
,
0 1 1 x3 0
1
0
单位化得单位特征向量 p1
1 2
.
1 2
对于 λ 2 λ 3 4, 由 (A λ 2E)x 0, 即
0 0 0 1
0 1
x1 x2
0 0,
解得基础解系为
1 0,
把它们标准正交化， 就可得到 ri 个单位正交的 特征向量组，由 r1 r2 rs n 知，这样的 特征向量共有n个，又由性质2知，A的属于不同 特征值的特征向量是正交的，故这n个单位特征 向量两两正交，以它们为列向量构成正交矩阵P， 并有p1Ap p1p diag(λ 1,λ 2,,λ n ), 其中 λ 1,λ 2,,λ n 为A的n个特征值。
0 1 .
0 1 1 x3 0
0 1
线性代数第12讲 实对称矩阵的对角化
P
1 AP
1
0
b B
由于P1= PT , (P 1A P)T= PTAT(P1)T= P1AP,
所以P1AP是实对称矩阵。
P
1 AP
1
0
b B
1
bT
0 BT
(
P
1
AP
)T
因此, b=0，B= B T为n 1阶实对称矩阵。 由归纳假设,存在n 1阶正交矩阵Q ，使得
Q1 B Q =1。
1 S 0
0 Q
，
STS I
令
S为正交阵.
S
1(P
1
AP)S
1 0
0 1
Q
1
0
0 1 0
B 0
Q
1
0
0
Q11BQ1
1
0
0
Λ1
=diag(1,2,,n)
0 C
P 0
0 Q
P
1 A 0
P
0 Q1CQ
B 0
D0
xT AT x xT x , xT AT x xT x , xT Ax xT x ,
xTx xT x ,
( )xT x 0,
由于x 0 时， ( x)T x 0,
故得 = ， 即都是实数。证毕。
定理5.11 实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量 是正交的。
于是
T2 T11 A T1 T21= B
13第十三次课 相似矩阵与方阵的对角化+实对称矩阵的对角化
特征值所对应的线性无关的特征向量的最大个数等 (P148定理5.3.6) 于该特征值的重数。
2013年7月14日星期日 4
对每个 i ，求对应的 A i E X 0的非零解 Step2： （基础解系）作为对应于 i 的特征向量 i
3.方阵A相似对角化的步骤 求 Step1： A E 0 的根 1 , 2 ,n 作为特征值
1．def： n 阶方阵 A 和 B ，若存在可逆矩阵 P 使得
P 1 AP B ，称 A 与 B 相似，或称 A 相似于 B ，记作
A ~ B 。可逆矩阵 P 称为相似变换矩阵。
注：相似一定等价，但等价不一定相似
A (1)：反身性： ~ A
E 1 AE A
(2)：对称性： ~ B B ~ A A
2、实对称矩阵正交相似对角化的步骤 求 Step1： A E 0 的根 1 , 2 ,n 作为特征值
Step3： 取正交矩阵Q 1 ,2 , ,n ，则有
1 Q -1 AQ Q T AQ
2013年7月14日星期日 13
2
第十三次课
教学内容 §5.3 相似矩阵与方阵的对角化 §5.4 实对称矩阵的对角化 教学目标及基本要求
了解相似矩阵的概念和性质 了解矩阵对角化的充要条件和对角化的方法 会求实对称矩阵的相似对角形矩阵 重 点 实对称矩阵的相似对角化 难 点
矩阵的相似对角化
§5.3相似矩阵与方阵的对角化
一、相似矩阵及其性质 (P143定义5.3.1)
2013年7月14日星期日
6
例1
判断下列矩阵可否对角化：
1 2 2 1 1 0 2 1 2 , (2) A 4 3 0 (1) A 2 2 1 1 0 2 1 若能，求一可逆矩阵 P ，使 P AP .
2013年7月14日星期日 4
对每个 i ，求对应的 A i E X 0的非零解 Step2： （基础解系）作为对应于 i 的特征向量 i
3.方阵A相似对角化的步骤 求 Step1： A E 0 的根 1 , 2 ,n 作为特征值
1．def： n 阶方阵 A 和 B ，若存在可逆矩阵 P 使得
P 1 AP B ，称 A 与 B 相似，或称 A 相似于 B ，记作
A ~ B 。可逆矩阵 P 称为相似变换矩阵。
注：相似一定等价，但等价不一定相似
A (1)：反身性： ~ A
E 1 AE A
(2)：对称性： ~ B B ~ A A
2、实对称矩阵正交相似对角化的步骤 求 Step1： A E 0 的根 1 , 2 ,n 作为特征值
Step3： 取正交矩阵Q 1 ,2 , ,n ，则有
1 Q -1 AQ Q T AQ
2013年7月14日星期日 13
2
第十三次课
教学内容 §5.3 相似矩阵与方阵的对角化 §5.4 实对称矩阵的对角化 教学目标及基本要求
了解相似矩阵的概念和性质 了解矩阵对角化的充要条件和对角化的方法 会求实对称矩阵的相似对角形矩阵 重 点 实对称矩阵的相似对角化 难 点
矩阵的相似对角化
§5.3相似矩阵与方阵的对角化
一、相似矩阵及其性质 (P143定义5.3.1)
2013年7月14日星期日
6
例1
判断下列矩阵可否对角化：
1 2 2 1 1 0 2 1 2 , (2) A 4 3 0 (1) A 2 2 1 1 0 2 1 若能，求一可逆矩阵 P ，使 P AP .
线性代数第五章第三节 实对称矩阵的相似矩阵(2014版)
§5.3 实对称矩阵的相似矩阵
一、复矩阵与复向量
定义1：元素为复数的矩阵和向量，称为复矩阵 和复向量
定义2: 当 A = (aij) 为复矩阵时, 用aij表示aij 的共轭 复数, 记A (aij ), 称 A 为A 的共轭矩阵.
由定义和复数的运算性质可知： (1)A A；(2)
T
A
AT
（3）当A为实对称矩阵时，AT A.
解：1）当k=1时，A是实对称矩阵，则A一定有
三个线性无关的特征向量，从而必可对角化，也 必存在正交矩阵T，使 T 1AT 为对角矩阵。不唯
一。 2）当k=0时，由 | A I | ( 1)2( 1) ,A 的特征值为 1 2 1,3 1 ，又 r(A I ) 2 故A的对应于 1 2 1 特征向量只有一个，故
作矩阵
0 1 0
P
(1,2
,3
)
1 1
0 0
11
则有
1
P1
AP
1
1
于是
0 1 0 1
0 1 0 1
A
PP1
1 1
0 0
11
1Байду номын сангаас
1
1 1
0 0
11
0 1 0 1
0
1 2
1 2
1 1
0 0
11
1
1
1 0
0
1 2
0
1 2
1 0 0
0 0
0 1
01
例6 设三阶实对称矩阵A的秩为2，1 2 6 是A的二 重特征值，若 1 (1,1,0)T ,2 (2,1,1)T ,3 (1,2, 3)T
( i = 1, 2, … , m ) .
一、复矩阵与复向量
定义1：元素为复数的矩阵和向量，称为复矩阵 和复向量
定义2: 当 A = (aij) 为复矩阵时, 用aij表示aij 的共轭 复数, 记A (aij ), 称 A 为A 的共轭矩阵.
由定义和复数的运算性质可知： (1)A A；(2)
T
A
AT
（3）当A为实对称矩阵时，AT A.
解：1）当k=1时，A是实对称矩阵，则A一定有
三个线性无关的特征向量，从而必可对角化，也 必存在正交矩阵T，使 T 1AT 为对角矩阵。不唯
一。 2）当k=0时，由 | A I | ( 1)2( 1) ,A 的特征值为 1 2 1,3 1 ，又 r(A I ) 2 故A的对应于 1 2 1 特征向量只有一个，故
作矩阵
0 1 0
P
(1,2
,3
)
1 1
0 0
11
则有
1
P1
AP
1
1
于是
0 1 0 1
0 1 0 1
A
PP1
1 1
0 0
11
1Байду номын сангаас
1
1 1
0 0
11
0 1 0 1
0
1 2
1 2
1 1
0 0
11
1
1
1 0
0
1 2
0
1 2
1 0 0
0 0
0 1
01
例6 设三阶实对称矩阵A的秩为2，1 2 6 是A的二 重特征值，若 1 (1,1,0)T ,2 (2,1,1)T ,3 (1,2, 3)T
( i = 1, 2, … , m ) .
实对角矩阵的相似对角化
T
T
T
T
1 2 1T 2 0 ,
1 , 2 1 2 0 .
T
1 2 0 ,
例
设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1, 2, 3,
A 对应于特征值 1, 2 的特征向量分别是 ：
求 1 A 对应于特征值 3 的特征向量,
1 1, 1, 1 , 2 1, 2, 1 .
实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的特征值与特征向量定理1实对称矩阵的特征值都是实数的共轭矩阵称为a可以是复数定理1实对称矩阵的特征值都是实数是实对称矩阵推论2实对称矩阵个实特征值阶实对称矩阵有重根按重数计算推论1的非零解向量的特征向量都是这是因为是实数的特征值定理2实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交的特征向量对应于特征值求矩阵的特征向量是
1 2, 1, 0 , 2 2, 0, 1 .
T T
将 1， 2 正交化： 1 1 2, 1, 0 ,
T
2 , 1 2 2 , 1 1 1
T
1 4 T 2, 4, 5T . 2, 1, 0 2, 0, 1 5 5
i
i
4 令 C 11 1r
i 1 , i 2 , , ir ;
i
k 1 krk , 1
则C 为正交矩阵且
C T AC C 1 AC diag1 , 2 , , n .
例
2 2 2 A 2 5 4 2 4 5
T
T T T T T
则 A A ,
取转置 A , 即 A ,
两边右乘 , A ,
T
T
T
1 2 1T 2 0 ,
1 , 2 1 2 0 .
T
1 2 0 ,
例
设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1, 2, 3,
A 对应于特征值 1, 2 的特征向量分别是 ：
求 1 A 对应于特征值 3 的特征向量,
1 1, 1, 1 , 2 1, 2, 1 .
实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的特征值与特征向量定理1实对称矩阵的特征值都是实数的共轭矩阵称为a可以是复数定理1实对称矩阵的特征值都是实数是实对称矩阵推论2实对称矩阵个实特征值阶实对称矩阵有重根按重数计算推论1的非零解向量的特征向量都是这是因为是实数的特征值定理2实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交的特征向量对应于特征值求矩阵的特征向量是
1 2, 1, 0 , 2 2, 0, 1 .
T T
将 1， 2 正交化： 1 1 2, 1, 0 ,
T
2 , 1 2 2 , 1 1 1
T
1 4 T 2, 4, 5T . 2, 1, 0 2, 0, 1 5 5
i
i
4 令 C 11 1r
i 1 , i 2 , , ir ;
i
k 1 krk , 1
则C 为正交矩阵且
C T AC C 1 AC diag1 , 2 , , n .
例
2 2 2 A 2 5 4 2 4 5
T
T T T T T
则 A A ,
取转置 A , 即 A ,
两边右乘 , A ,
实对称矩阵的相似对角化
准正交向量组，而它们之间是等价的.
定理5.3.2 (施密特正交化定理) 设 α1,α2,…,αm(m≤n)是Rn中线性无关向量组， 则必存在标准正交组β1,β2,…,βm ，使βi是 α1,α2,…,αi,(i=1,2,…,m)的线性组
合.
证 首先，令γ1=α1，再令
2
2
2,1 1, 1
1
由于α1,α2线性无关，故γ2 ≠0， 且
1
1, 3
1, 3
1 3
2
1
2
2
1 , 0, 2
1 2
3
1
3
3
1 , 6
2, 6
1 6
则β1,β2, β3 是α1,α2, α3的标准正交组.
5.3.2 实对称矩阵的特征值与特征向量
在第二章的2.2.3中已经知道了对称 矩阵的概念. 当n阶矩阵A=(aij)nn 满足
aij=aji，且aij全为实数时，称为n阶实对称
故得 即 由于
0 T 0 T
(0 0 ) T 0
a1
T
a1, a2 ,, an
a2
an
a1a1 a2a2 anan
a1 2 a2 2 an 2
且α≠0，故|a1|2+|a2|2+…+|an|2>0,由此推出 0 0 =0.这样 0 0，故λ0是实数.证毕.
定理5.3.4指出，实对称矩阵的属于 不同特征值的特征向量不仅是线性无关
的，而且是互相正交的.这为寻找实对称 矩阵的正交特征向量组提供了可能.
5.3.3 实对称矩阵的相似对角化
现在来讨论，实对称矩阵是否可相似 于一个对角形矩阵? 与此等价的问题是，
n阶实对称矩阵是否有n个线性无关的特征 向量? 答案是肯定的，n阶实对称矩阵不 仅有n个线性无关的特征向量，更进一步， 它还可以有n个相互正交的单位向量作为 特征向量.大家知道，若Q为正交矩阵，则
定理5.3.2 (施密特正交化定理) 设 α1,α2,…,αm(m≤n)是Rn中线性无关向量组， 则必存在标准正交组β1,β2,…,βm ，使βi是 α1,α2,…,αi,(i=1,2,…,m)的线性组
合.
证 首先，令γ1=α1，再令
2
2
2,1 1, 1
1
由于α1,α2线性无关，故γ2 ≠0， 且
1
1, 3
1, 3
1 3
2
1
2
2
1 , 0, 2
1 2
3
1
3
3
1 , 6
2, 6
1 6
则β1,β2, β3 是α1,α2, α3的标准正交组.
5.3.2 实对称矩阵的特征值与特征向量
在第二章的2.2.3中已经知道了对称 矩阵的概念. 当n阶矩阵A=(aij)nn 满足
aij=aji，且aij全为实数时，称为n阶实对称
故得 即 由于
0 T 0 T
(0 0 ) T 0
a1
T
a1, a2 ,, an
a2
an
a1a1 a2a2 anan
a1 2 a2 2 an 2
且α≠0，故|a1|2+|a2|2+…+|an|2>0,由此推出 0 0 =0.这样 0 0，故λ0是实数.证毕.
定理5.3.4指出，实对称矩阵的属于 不同特征值的特征向量不仅是线性无关
的，而且是互相正交的.这为寻找实对称 矩阵的正交特征向量组提供了可能.
5.3.3 实对称矩阵的相似对角化
现在来讨论，实对称矩阵是否可相似 于一个对角形矩阵? 与此等价的问题是，
n阶实对称矩阵是否有n个线性无关的特征 向量? 答案是肯定的，n阶实对称矩阵不 仅有n个线性无关的特征向量，更进一步， 它还可以有n个相互正交的单位向量作为 特征向量.大家知道，若Q为正交矩阵，则
矩阵对角化,实对称矩阵的相似标准形分解
定理2 设1 , 2 是对称矩阵A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量,若1 2 ,则p1与p2正交. 证明 1 p1 Ap1, 2 p2 Ap2 , 1 2 ,
A对称, A AT ,
1 p1T 1 p1 T Ap1 T p1T AT p1T A,
于是 1 p1T p2 p1T Ap2 p1T 2 p2 2 p1T p2 ,
上述由线性无关向量组a1 ,,ar构造出正交 向量组b1 ,,br的过程,称为施密特正交化过程 .
例3 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1),a2 (1,1,0,4),a3 (3,5,1,1) 正交规范化.
解 先正交化，取
b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
b1,a2 b1 , b1
特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，
且对角矩阵对角元素即为特征值．
2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向
量正交化；(4)最后单位化．
思考题
设n阶实对称矩阵A满足A2 A,且A的秩为r,
试求行列式det2E A的值.
1
2
n
相似,则1, 2 ,, n即是A的n个特征值.
三、利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶方阵 A ,若可找到可逆矩阵P ,使 P 1 AP 为对角阵,这就称为把方阵A对角化 .
定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n个特征值互不相等， 则 A与对角阵相似．
1 2 p1T p2 0.
1 2 , p1T p2 0. 即p1与p2正交.
5_2_2实对称矩阵的相似对角化内容
实对称矩阵的特征值和特征向量的性质:
定理 实对称矩阵的特征值都是实数.
因为属于特征值λ的特征向量是齐次线性方程组x A E )(−λ= ο的非零解，当系数都是实数时，它的解也能是实向量，所以实对称矩阵的特征向量都可以取为实向量.
定理 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的.
实对称矩阵必可相似对角化，且能与对角矩阵正交相似，即
定理 设A 为实对称矩阵，则必有正交矩阵Q ，使AQ Q AQ Q T
=−1为对角矩阵.
推论 设0λ是实对称矩阵A 的k 重特征值, 那么属于特征值0λ的线性无关的特征向量恰有k 个.
实对称矩阵正交相似对角化的方法：
由于实对称矩阵A 的k 重特征值恰有k 个线性无关的特征向量，属于不同特征值的特征向量是正交的，用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵，可以按如下步骤进行：
1) 由特征多项式||A E −λ求出A 的全部互异的特征值s λλλ,,,21L .
2) 对于k i 重特征值i λ，求出齐次线性方程组x A E i )(−λ=ο 的基础解系i ik i i ααα,,,21L ，它们是属于i λ的k i 个线性无关的特征向量.
3) 将向量组i ik i i ααα,,,21L 规范正交化得i ik i i ξξξ,,,21L .
4) 向量组s sk s s k ξξξξξξ,,,,,,,,21112111L L L 就构成了欧氏空间n R 的一组规范正交基. 令 ),,,,,,,,(21112111s sk s s k Q ξξξξξξL L L =，
则Q 是正交矩阵, 且
AQ Q T ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛λλλ=s k s k k E E E O 2121。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如果 A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能 对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， A 还是能对角化．
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1 0 2
2 2 0
4 0 0
(1)A 2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1)第一步 求 A 的特征值
2 2 0
A E 2 1 2 4 1 2 0
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
5.2 矩阵对角化
一、相似矩阵与相似变换的概念
定义1 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使 P1 AP B,
则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.对A进 行运算P1 AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵.
A与B相似 可逆阵P,使得P 1 AP B
定理1 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项 式相同,从而A与B的特征值亦相同.
定理2 设1 , 2 是对称矩阵A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量,若1 2 ,则p1与p2正交. 证明 1 p1 Ap1, 2 p2 Ap2 , 1 2 ,
A对称, A AT ,
1 p1T 1 p1 T Ap1 T p1T AT p1T A,
于是 1 p1T p2 p1T Ap2 p1T 2 p2 2 p1T p2 ,
同理, 对3 7,由A E x 0, 求得基础解系 3 1,2,2T
由于
201 0 1 2 0,
112
所以 1,2 ,3线性无关.
即A有3个线性无关的特征向量,因而A可对角 化.
2 1 2
(2) A 5 3 3
1 0 2
2 1
2
A E 5 3 3 13
证明 A与B相似 可逆阵P,使得P 1 AP B
B E P1AP P1EP P1A EP
P1 A E P A E .
A与B相似 可逆阵P,使得P 1 AP B
定理1 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项 式相同,从而A与B的特征值亦相同.
B E A E .
推论 若 n 阶方阵A与对角阵
3 6 1
所以A的全部特征值为1 2 1, 3 2.
将1 2 1代入A E x 0得方程组
3 x1 6 x2 0 3 x1 6 x2 0
3 x1 6 x2 0
解之得基础解系
2
1 1 ,
0
0
2 0.
1
1,2 线性无关.
将3 2代入A E x 0,得方程组的基础
1
2
n
相似,则1, 2 , , n即是A的n个特征值.
三、利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶方阵 A ,若可找到可逆矩阵P ,使 P 1 AP 为对角阵,这就称为把方阵A对角化 .
定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n个特征值互不相等， 则 A与对角阵相似．
1
0 2
所以A的特征值为1 2 3 1.
把 1代入A E x 0, 解之得基础解系
(1,1,1)T ,
故A 不能化为对角矩阵.
例2
设A
4 3
6 5
0 0
3 6 1
A能否对角化？若能对角 化,则求出可逆矩阵P,
使P 1 AP为对角阵.
解
4 6
A E 3 5
0
0 12 2
解系
3 1,1,1T .
由于 1,2 ,3 线性无关. 所以 A 可对角化.
2 0 1
令
P
1
,
2
,
3
1
0
1
0 1 1
1 0 0
则有
P 1 AP
0
1
0.
0 0 2
注意
1 2 0
若令P
3 ,1 ,2
1
1
0
,
1 0 1
则有
P 1 AP
2 0
0 1
0 0 .
0 0 1
作业
• P200 8，9，10 • P203 13
6.3 实对称矩阵的相似标准形 分解（即对角化）
一、对称矩阵的性质
A为对称阵,即A AT . 说明：本节所提到的对称矩阵均指实对称矩阵．
例如
12 A 6
6 8
1 0
为对称阵.
1 0 6
对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.
定理1 对称矩阵的特征值为实数.
二、利用正交矩阵将对称矩阵 对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，即 P1AP PT AP ，其具体步骤为：
1. 求A的特征值;
2. 由A i Ex 0,求出A的特征向量;
3. 将特征向量正交化（; 若特征向量不正交） 4. 将特征向量单位化.
例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P， 使 P1AP为对角阵.
解
1 2
2
(1)由 A E 2 2 4
2
4 2
22 7 0
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入A 1E 0,得方程组
2xx1124xx2224xx33
0 0
2x1 4x2 4x3 0
解之得基础解系
2
Hale Waihona Puke 01 0 , 2 1.
1
1
1,2 线性无关.
1 2 p1T p2 0.
1 2 , p1T p2 0. 即p1与p2正交.
由定理2知对称矩阵对应于不同特征值的特征向量正交.
定理3 设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P,使
P 1 AP ,其 中 是 以A的 n 个 特征 值为 对角 元 素 的 对 角 矩 阵.（此定理不证）
推论：设 A为 n阶对称矩阵, 是A的特征方程的r 重根,则矩阵 A E 的秩 R( A E) n r,从而 对应特征值 恰有r 个线性无关的特征向量.
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
2 (2) A 5
1 3
2 3
能否对角化？
1 0 2
2 1
2
A E 5 3 3 13
1
0 2
所以A的特征值为1 2 3 1.
把 1代入A E x 0, 解之得基础解系
(1,1,1)T ,
故A 不能化为对角矩阵.
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1 0 2
2 2 0
4 0 0
(1)A 2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1)第一步 求 A 的特征值
2 2 0
A E 2 1 2 4 1 2 0
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
5.2 矩阵对角化
一、相似矩阵与相似变换的概念
定义1 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使 P1 AP B,
则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.对A进 行运算P1 AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵.
A与B相似 可逆阵P,使得P 1 AP B
定理1 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项 式相同,从而A与B的特征值亦相同.
定理2 设1 , 2 是对称矩阵A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量,若1 2 ,则p1与p2正交. 证明 1 p1 Ap1, 2 p2 Ap2 , 1 2 ,
A对称, A AT ,
1 p1T 1 p1 T Ap1 T p1T AT p1T A,
于是 1 p1T p2 p1T Ap2 p1T 2 p2 2 p1T p2 ,
同理, 对3 7,由A E x 0, 求得基础解系 3 1,2,2T
由于
201 0 1 2 0,
112
所以 1,2 ,3线性无关.
即A有3个线性无关的特征向量,因而A可对角 化.
2 1 2
(2) A 5 3 3
1 0 2
2 1
2
A E 5 3 3 13
证明 A与B相似 可逆阵P,使得P 1 AP B
B E P1AP P1EP P1A EP
P1 A E P A E .
A与B相似 可逆阵P,使得P 1 AP B
定理1 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项 式相同,从而A与B的特征值亦相同.
B E A E .
推论 若 n 阶方阵A与对角阵
3 6 1
所以A的全部特征值为1 2 1, 3 2.
将1 2 1代入A E x 0得方程组
3 x1 6 x2 0 3 x1 6 x2 0
3 x1 6 x2 0
解之得基础解系
2
1 1 ,
0
0
2 0.
1
1,2 线性无关.
将3 2代入A E x 0,得方程组的基础
1
2
n
相似,则1, 2 , , n即是A的n个特征值.
三、利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶方阵 A ,若可找到可逆矩阵P ,使 P 1 AP 为对角阵,这就称为把方阵A对角化 .
定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n个特征值互不相等， 则 A与对角阵相似．
1
0 2
所以A的特征值为1 2 3 1.
把 1代入A E x 0, 解之得基础解系
(1,1,1)T ,
故A 不能化为对角矩阵.
例2
设A
4 3
6 5
0 0
3 6 1
A能否对角化？若能对角 化,则求出可逆矩阵P,
使P 1 AP为对角阵.
解
4 6
A E 3 5
0
0 12 2
解系
3 1,1,1T .
由于 1,2 ,3 线性无关. 所以 A 可对角化.
2 0 1
令
P
1
,
2
,
3
1
0
1
0 1 1
1 0 0
则有
P 1 AP
0
1
0.
0 0 2
注意
1 2 0
若令P
3 ,1 ,2
1
1
0
,
1 0 1
则有
P 1 AP
2 0
0 1
0 0 .
0 0 1
作业
• P200 8，9，10 • P203 13
6.3 实对称矩阵的相似标准形 分解（即对角化）
一、对称矩阵的性质
A为对称阵,即A AT . 说明：本节所提到的对称矩阵均指实对称矩阵．
例如
12 A 6
6 8
1 0
为对称阵.
1 0 6
对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.
定理1 对称矩阵的特征值为实数.
二、利用正交矩阵将对称矩阵 对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，即 P1AP PT AP ，其具体步骤为：
1. 求A的特征值;
2. 由A i Ex 0,求出A的特征向量;
3. 将特征向量正交化（; 若特征向量不正交） 4. 将特征向量单位化.
例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P， 使 P1AP为对角阵.
解
1 2
2
(1)由 A E 2 2 4
2
4 2
22 7 0
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入A 1E 0,得方程组
2xx1124xx2224xx33
0 0
2x1 4x2 4x3 0
解之得基础解系
2
Hale Waihona Puke 01 0 , 2 1.
1
1
1,2 线性无关.
1 2 p1T p2 0.
1 2 , p1T p2 0. 即p1与p2正交.
由定理2知对称矩阵对应于不同特征值的特征向量正交.
定理3 设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P,使
P 1 AP ,其 中 是 以A的 n 个 特征 值为 对角 元 素 的 对 角 矩 阵.（此定理不证）
推论：设 A为 n阶对称矩阵, 是A的特征方程的r 重根,则矩阵 A E 的秩 R( A E) n r,从而 对应特征值 恰有r 个线性无关的特征向量.
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
2 (2) A 5
1 3
2 3
能否对角化？
1 0 2
2 1
2
A E 5 3 3 13
1
0 2
所以A的特征值为1 2 3 1.
把 1代入A E x 0, 解之得基础解系
(1,1,1)T ,
故A 不能化为对角矩阵.