概率论 5.2-5.3矩阵对角化,实对称矩阵的相似标准形分解
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证明 A与B相似 可逆阵P,使得P 1 AP B
B E P1AP P1EP P1A EP
P1 A E P A E .
A与B相似 可逆阵P,使得P 1 AP B
定理1ຫໍສະໝຸດ Baidu若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项 式相同,从而A与B的特征值亦相同.
B E A E .
推论 若 n 阶方阵A与对角阵
1
2
n
相似,则1, 2 , , n即是A的n个特征值.
三、利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶方阵 A ,若可找到可逆矩阵P ,使 P 1 AP 为对角阵,这就称为把方阵A对角化 .
定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n个特征值互不相等， 则 A与对角阵相似．
1 2 p1T p2 0.
1 2 , p1T p2 0. 即p1与p2正交.
由定理2知对称矩阵对应于不同特征值的特征向量正交.
定理3 设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P,使
P 1 AP ,其 中 是 以A的 n 个 特征 值为 对角 元 素 的 对 角 矩 阵.（此定理不证）
推论：设 A为 n阶对称矩阵, 是A的特征方程的r 重根,则矩阵 A E 的秩 R( A E) n r,从而 对应特征值 恰有r 个线性无关的特征向量.
2 2 0
4 0 0
(1)A 2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1)第一步 求 A 的特征值
2 2 0
A E 2 1 2 4 1 2 0
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
解
1 2
2
(1)由 A E 2 2 4
2
4 2
22 7 0
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入A 1E 0,得方程组
2xx1124xx2224xx33
0 0
2x1 4x2 4x3 0
解之得基础解系
2
0
1 0 , 2 1.
1
1
1,2 线性无关.
1
0 2
所以A的特征值为1 2 3 1.
把 1代入A E x 0, 解之得基础解系
(1,1,1)T ,
故A 不能化为对角矩阵.
例2
设A
4 3
6 5
0 0
3 6 1
A能否对角化？若能对角 化,则求出可逆矩阵P,
使P 1 AP为对角阵.
解
4 6
A E 3 5
0
0 12 2
作业
• P200 8，9，10 • P203 13
6.3 实对称矩阵的相似标准形 分解（即对角化）
一、对称矩阵的性质
A为对称阵,即A AT . 说明：本节所提到的对称矩阵均指实对称矩阵．
例如
12 A 6
6 8
1 0
为对称阵.
1 0 6
对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.
定理1 对称矩阵的特征值为实数.
解系
3 1,1,1T .
由于 1,2 ,3 线性无关. 所以 A 可对角化.
2 0 1
令
P
1
,
2
,
3
1
0
1
0 1 1
1 0 0
则有
P 1 AP
0
1
0.
0 0 2
注意
1 2 0
若令P
3 ,1 ,2
1
1
0
,
1 0 1
则有
P 1 AP
2 0
0 1
0 0 .
0 0 1
5.2 矩阵对角化
一、相似矩阵与相似变换的概念
定义1 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使 P1 AP B,
则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.对A进 行运算P1 AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵.
A与B相似 可逆阵P,使得P 1 AP B
定理1 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项 式相同,从而A与B的特征值亦相同.
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
2 (2) A 5
1 3
2 3
能否对角化？
1 0 2
2 1
2
A E 5 3 3 13
1
0 2
所以A的特征值为1 2 3 1.
把 1代入A E x 0, 解之得基础解系
(1,1,1)T ,
故A 不能化为对角矩阵.
定理2 设1 , 2 是对称矩阵A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量,若1 2 ,则p1与p2正交. 证明 1 p1 Ap1, 2 p2 Ap2 , 1 2 ,
A对称, A AT ,
1 p1T 1 p1 T Ap1 T p1T AT p1T A,
于是 1 p1T p2 p1T Ap2 p1T 2 p2 2 p1T p2 ,
二、利用正交矩阵将对称矩阵 对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，即 P1AP PT AP ，其具体步骤为：
1. 求A的特征值;
2. 由A i Ex 0,求出A的特征向量;
3. 将特征向量正交化（; 若特征向量不正交） 4. 将特征向量单位化.
例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P， 使 P1AP为对角阵.
同理, 对3 7,由A E x 0, 求得基础解系 3 1,2,2T
由于
201 0 1 2 0,
112
所以 1,2 ,3线性无关.
即A有3个线性无关的特征向量,因而A可对角 化.
2 1 2
(2) A 5 3 3
1 0 2
2 1
2
A E 5 3 3 13
如果 A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能 对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， A 还是能对角化．
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1 0 2
3 6 1
所以A的全部特征值为1 2 1, 3 2.
将1 2 1代入A E x 0得方程组
3 x1 6 x2 0 3 x1 6 x2 0
3 x1 6 x2 0
解之得基础解系
2
1 1 ,
0
0
2 0.
1
1,2 线性无关.
将3 2代入A E x 0,得方程组的基础
B E P1AP P1EP P1A EP
P1 A E P A E .
A与B相似 可逆阵P,使得P 1 AP B
定理1ຫໍສະໝຸດ Baidu若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项 式相同,从而A与B的特征值亦相同.
B E A E .
推论 若 n 阶方阵A与对角阵
1
2
n
相似,则1, 2 , , n即是A的n个特征值.
三、利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶方阵 A ,若可找到可逆矩阵P ,使 P 1 AP 为对角阵,这就称为把方阵A对角化 .
定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n个特征值互不相等， 则 A与对角阵相似．
1 2 p1T p2 0.
1 2 , p1T p2 0. 即p1与p2正交.
由定理2知对称矩阵对应于不同特征值的特征向量正交.
定理3 设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P,使
P 1 AP ,其 中 是 以A的 n 个 特征 值为 对角 元 素 的 对 角 矩 阵.（此定理不证）
推论：设 A为 n阶对称矩阵, 是A的特征方程的r 重根,则矩阵 A E 的秩 R( A E) n r,从而 对应特征值 恰有r 个线性无关的特征向量.
2 2 0
4 0 0
(1)A 2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1)第一步 求 A 的特征值
2 2 0
A E 2 1 2 4 1 2 0
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
解
1 2
2
(1)由 A E 2 2 4
2
4 2
22 7 0
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入A 1E 0,得方程组
2xx1124xx2224xx33
0 0
2x1 4x2 4x3 0
解之得基础解系
2
0
1 0 , 2 1.
1
1
1,2 线性无关.
1
0 2
所以A的特征值为1 2 3 1.
把 1代入A E x 0, 解之得基础解系
(1,1,1)T ,
故A 不能化为对角矩阵.
例2
设A
4 3
6 5
0 0
3 6 1
A能否对角化？若能对角 化,则求出可逆矩阵P,
使P 1 AP为对角阵.
解
4 6
A E 3 5
0
0 12 2
作业
• P200 8，9，10 • P203 13
6.3 实对称矩阵的相似标准形 分解（即对角化）
一、对称矩阵的性质
A为对称阵,即A AT . 说明：本节所提到的对称矩阵均指实对称矩阵．
例如
12 A 6
6 8
1 0
为对称阵.
1 0 6
对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.
定理1 对称矩阵的特征值为实数.
解系
3 1,1,1T .
由于 1,2 ,3 线性无关. 所以 A 可对角化.
2 0 1
令
P
1
,
2
,
3
1
0
1
0 1 1
1 0 0
则有
P 1 AP
0
1
0.
0 0 2
注意
1 2 0
若令P
3 ,1 ,2
1
1
0
,
1 0 1
则有
P 1 AP
2 0
0 1
0 0 .
0 0 1
5.2 矩阵对角化
一、相似矩阵与相似变换的概念
定义1 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使 P1 AP B,
则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.对A进 行运算P1 AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵.
A与B相似 可逆阵P,使得P 1 AP B
定理1 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项 式相同,从而A与B的特征值亦相同.
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
2 (2) A 5
1 3
2 3
能否对角化？
1 0 2
2 1
2
A E 5 3 3 13
1
0 2
所以A的特征值为1 2 3 1.
把 1代入A E x 0, 解之得基础解系
(1,1,1)T ,
故A 不能化为对角矩阵.
定理2 设1 , 2 是对称矩阵A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量,若1 2 ,则p1与p2正交. 证明 1 p1 Ap1, 2 p2 Ap2 , 1 2 ,
A对称, A AT ,
1 p1T 1 p1 T Ap1 T p1T AT p1T A,
于是 1 p1T p2 p1T Ap2 p1T 2 p2 2 p1T p2 ,
二、利用正交矩阵将对称矩阵 对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，即 P1AP PT AP ，其具体步骤为：
1. 求A的特征值;
2. 由A i Ex 0,求出A的特征向量;
3. 将特征向量正交化（; 若特征向量不正交） 4. 将特征向量单位化.
例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P， 使 P1AP为对角阵.
同理, 对3 7,由A E x 0, 求得基础解系 3 1,2,2T
由于
201 0 1 2 0,
112
所以 1,2 ,3线性无关.
即A有3个线性无关的特征向量,因而A可对角 化.
2 1 2
(2) A 5 3 3
1 0 2
2 1
2
A E 5 3 3 13
如果 A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能 对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， A 还是能对角化．
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1 0 2
3 6 1
所以A的全部特征值为1 2 1, 3 2.
将1 2 1代入A E x 0得方程组
3 x1 6 x2 0 3 x1 6 x2 0
3 x1 6 x2 0
解之得基础解系
2
1 1 ,
0
0
2 0.
1
1,2 线性无关.
将3 2代入A E x 0,得方程组的基础