正余弦型函数图像性质

的
方法二：先伸缩变换后平移变换 伸缩变换： 纵坐标不变， 将 y sin x 图像上所有点的横坐标缩短 ( 1) 或伸长 (0 1) 到原来的 所得函数 y sin x 的图像，此时函数的周期为 T 平移变换：将 y sin x 图像向左 ( 0) 或向右 ( 0) 平移

2


6
) sin[ 2( x

4
)

6
] ，故选 C
知识点睛二：正弦型函数 y A sin(x ) B ( A 0, 0) 的性质总结 最 值：当 sin(x ) 1 时， y 取到最大值 A B ；当 sin(x ) 1 时， y 取到最小值 A B 单调性：根据复合函数单调性的“同增异减”原则，不难理解函数 y A sin(x ) 的单调性求法 令 2k 令 2k
【例 4】(1)函数 f ( x) sin(2 x ) (0 ) 是 R 上的偶函数，则 的值是_______ (2)已知函数 f ( x) sin(x
的最小正周期为 ,则函数 f ( x) 的图像( )
3
) D．关于 x
A．关于 ( , 0) 对称 3
3 ) ，xR 2 6 (1)求函数 f ( x) 的最小正周期；

(2)求函数 f ( x) 的最小值，并求函数 f ( x) 取得最小值时的 x 的集合； (3)求函数 f ( x) 在区间 [
, ] 上的最小值； 4 4 (4)求函数 f ( x) 的单调增区间； , ] 上的单调增区间； 4 4 (6)求函数 f ( x) 的所有对称轴和对称中心；

6
) 0 得 2x

6
∴函数 f ( x) 的对称中心为 (
k 3 , ) ，k Z 2 12 2
(7)将函数 y sin 2 x 的图像向左平移 上平移

12
个单位，得到 y sin(2 x

6
) 的图像，再将所得图像向
3 3 个单位，就得到函数 y sin(2 x ) 的图像。 2 2 6

2
x 2k x 2 k

2
可求得函数 y A sin(x ) B 的单调增区间；

2
3 可求得函数 y A sin(x ) B 的单调减区间 2
周 期：最小正周期是 T
2

对称性：函数 y A sin(x ) B 的图像仍然是波形图，它有无数条对称轴和无数个对称中心 令 sin(x 0 ) 1 ，可求得函数的所有对称轴 x x 0 ； 令 sin(x 0 ) 0 ，可求得函数的所有对称中心 ( x 0 , B ) (注意：与函数 y A sin(x ) B 有关的奇偶性问题可利用对称性结论解决) 【例 3】已知函数 f ( x) sin( 2 x
2x

6
2k

2
(k Z ) ，解得 k

3
x k

6
，k Z
∴函数 f ( x) 的单调增区间为 [k

3
, k

6
]，k Z
(5)∵ x [

2 , ] ，∴ 2 x [ , ] ，令 2 x [ , ] ，解得 x [ , ] 4 4 6 3 2 4 6 6 3 3
当 k 2 时， 取到最小值

6
，选 A
【例 5】已知函数 f ( x) sin(x

) ( 0) ， f ( ) f ( ) ，且 f ( x) 在区间 ( , ) 上有最小值，无 3 6 3 6 3



最大值，则 ________ 解析：由题意， x 即
正余弦型函数的图像性质
正弦型函数 y A sin(x ) B 的图像与性质是三角函数的绝对重要内容，在考查三角函数性质 时，我们总习惯进行三角恒等变换（如降幂公式，幅角公式） ，将已知函数转化为 y A sin(x ) B 形式，因此这里专题介绍正弦型函数 y A sin(x ) B 的图像与性质的求法：
B．关于 x

3
对称
C．关于 ( , 0) 对称 4

3
对称
(3)若函数 y 3 cos(2 x ) 的图像关于点 (
4 , 0) 中心对称，那么 的最小值为_______ 3
解析： （1）由题意， f (0) sin 1 ， 又∵ 0 ， ∴
, ] 上的单调增区间为 [ , ] 4 4 4 6
∴函数 f ( x) 在区间 [ (6)令 sin( 2 x


6
) 1 得 2 x

6
k

2
，即 x
k ，k Z 2 6
∴函数 f ( x) 的对称轴为 x 令 sin(2 x
k ，k Z 2 6 k ，即 x k ，k Z 2 12

2
选B
1 2 （2）由题意， f ( ) (a 1) a 2 1 ，即 (a 1) 2 a 2 1 ，解得 a 1 4 2 2 8 8 13 （3）由题意， cos( ) 0 ，即 k ，解得 k 3 3 2 6
1 2 倍，得到 y sin(x ) 的图像，此时函数周期为 T (注意：伸缩变换只会改变 x 的系数) 振幅变换：横坐标不变，将 y sin(x ) 图像上所有点的纵坐标伸长 ( A 1) 或缩短 (0 A 1) 到原来 的 A 倍，得到 y A sin(x ) 的图像，此时函数的值域为 [ A, A]
2 2

6
2k

2
，即 x k

3
， k Z 时，函数 f ( x) 取到最小值 1
3 1 2 2
此时 x 的集合为 {x | x k (3)∵ x [ (4)令 2k

3
, k Z } （要注意写成集合形式）

2
3 3 2 , ] ，∴ 2 x [ , ] ，∴当 2 x 时，函数 f ( x) 取到最小值 6 3 3 4 4 6 3 2
2
1
倍，


；
个单位，得到 y sin(x ) 的图像
(注意：左右平移变换时要看发生在自变量 x 上的变化) 振幅变换：同上
【例 1】怎么由函数 y sin( x

3
) 的图像变换到函数 y sin(2 x
2 ) 的图像 3
解析：方法一：先平移变换后伸缩变换 先将函数 y sin( x 的

3
) 的图像向左平移

3
个单位，再将所得的图像上所有点的横坐标变到原来
1 2 倍(纵坐标不变)，得到函数 y sin(2 x ) 的图像 2 3
方法二：先伸缩变换后平移变换 先将函数 y sin( x 象向左平移

3
) 的图像上所有点的横坐标变为原来的 2 ) 的图像 3
1 倍(纵坐标不变)，再将所得的图 2

4
是函数 f ( x) 的一条对称轴，且 f ( ) sin( ) 1 ， 4 4 3
2

4


3
2k
，解得 8k
10 ，k Z 3
又∵

3


4

12

T 2 ， ∴T ，即 0 12 2 6
故当 k 1 时 8
10 14 3 3

6
个单位，得到函数 y sin(2 x
【例 2】要得到 y sin(2 x A．向左平移 解析： y sin( 2 x

3
) 的图像，只需将函数 y sin(2 x

6
) 的图像(
) D．向右平移

4
单位
B．向左平移

2
单位
C．向右平移

4
单位

2
单位

3
) sin( 2 x

(5)求函数 f ( x) 在区间 [
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(7)函数 f ( x) 的图像可以由函数 y sin 2 x ， x R 的图像经过怎样的变换得到； 解析：通过这一题就能基本掌握三角函数性质问题的解法，同学要注意第（3） （5）小题的做法， 做题不在多，关键要做出效率 (1)函数 f ( x) 的最小正周期 T (2)当且仅当 2 x
知识点睛一：正弦型函数 y A sin(x ) B ( A 0, 0) 的图像 方法一：先平移变换后伸缩变换 平移变换：将 y sin x 图像向左 ( 0) 或向右 ( 0) 平移 个单位，得到 y sin( x ) 的图像； 伸缩变换：纵坐标不变，将 y sin( x ) 图像上所有点的横坐标缩短 ( 1) 或伸长 (0 1) 到原来