计算方法课件_易大义主编
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计算方法第一章数值计算方法.ppt
x1
a22b1
a12b2 D
S4 输出计算的结果 x1, x2
x2
a11b2
a21b1 D
开始
输入
a11, a12 , a21, a22 ,b1,b2
D=a11a22-a12a21
Yes D=0
No
x1 (b1a22 b2a12 ) / D x2 (b2a11 b1a21) / D
输出无解信息
…
…
第一章计算方法与误差
本章内容
§1 引言 §2 误差的来源及分类 §3 误差的度量 §4 误差的传播 §5 减少运算误差的原则
小结
第一章计算方法与误差
要求掌握的内容
概念 包括有效数字、绝对误差、绝对误差限、 相对误差、相对误差限等
误差 截断误差、舍入误差的详细内容，误差种 类等
分析运算误差的方法和减少运算误差的若 干原则
常用的两种复杂性有：计算时间复杂性和空间复杂性。
二、算法的优劣
➢ 计算量小 例：用行列式解法求解线性方程组:
n阶方程组，要计算n + 1个n阶行列式的值，
总共需要做n! (n - 1) (n + 1) 次乘法运算。
n=20 需要运 算多少次？
n=100?
计算量大小是衡量算法优劣的一项重要标准。
在估计计算量时，我们将区分主次抓住计算过程中费时较多的 环节。比如，由于加减操作的机器时间比乘除少得多，对和式
例：求解二元一次联立方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
用行列式解法：首先判别
D a11a22 a21a12
是否为零，存在两种可能：
（1）如果 D 0，则令计算机计算
计算方法易大义主编 ppt课件
29
§1.4 有效数字及其与误差的关系
例3： 设x*＝0.0270是 某 数x经 “ 四 舍 五 入 ” 所 得 ， 则 误 差e(x*)不 超 过x*末 位 的 的 半 个 单 位 ，：即 x x * 1 104 2 又 x* 101(0.270) 故 该 不 等 式 又 可 写 为 x x * 1 1013 2 由 有 效 数 字 定 义 可, x知* 有3位 有 效 数 字 ,分 别 是2，7，0。
解决科学技术和工程问题的步骤:
实际问题 数学问题 提供计算方法 程序设计 上解的数学模 型简化成一系列算术运算和逻辑运算, 以便 在计算机上求解, 并对算法的稳定性、收敛 性和误差进行分析。
计算方法——09计11、61
17
§1.1 引言
简单地说，就是研究如何用计算机有效地 解决一个数学问题。
值班军官对连长: 根据营长的命令, 明晚8点哈雷彗 星将在操场上空出现。如果下雨的话, 就让士兵穿 着野战服列队前往礼堂, 这一罕见的现象将在那里 出现。
计算方法——09计11、61
26
§1.2 误差的种类及其来源
连长对排长: 根据营长的命令, 明晚 8 点, 非凡的哈 雷彗星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上 下雨, 营长将下达另一个命令, 这种命令每隔 76 年 才会出现一次。
若x*x 110mn 2
(P101.4.2)
则 说x*具 有 n位 有 效 数 字 ，a分 1,a2别 ,,是 an
若n＝p， 则 称 x*为 有 效 数 。
➢ 一定要从规格化后的数来判断其位数
➢ 有效位数与第一个非 0 项后的数字个数是不 一致的。 四舍五入所得到的数是一致的。
计算方法——09计11、61
计算方法
1 3 1 2 ≈ n + n − n. 3 3
►高斯消元法(Gauss)： 运算量(乘除)
取 n = 20,
Gauss: 3060次；
Cramer: ( 20+ 1) ≈ 5. × 1019 ≈ 16200年(108 次 / 秒) ! 1
2011-2-25 5
本课程的任务： 本课程的任务：
● 建立各种数学问题的数值计算算法的方法和理论。 通俗地讲，就是为各种实际问题提供有效的数值近似 解方法。 ● 提供在计算机上实际可行的、理论可靠的、计算复杂 性好的各种常用算法。
绝对误差限不超过该近似数末位的半个单位。
2011-2-25
13
相对误差
先看两种产品的不合格率： 8/1000=0.8% ； 12/2000=0.6% （相对误差的值） 定义：设 x* 为精确值，x 为近似值，相对误差为
e x * −x er = = . x* x*
当绝对误差 e 较小时，相对误差可写为
一、防止相近的两数相减
(会耗失许多有效数字,可以用数学公式化简后再做).
例1: 各有五位有效数字的23.034与22.993相减. 23.034-22.993=0.041 0.041只有两位有效数字,有效数字的耗失,说明准确度减小,因此, 在计算时需要加工计算公式,以免这种情况发生. 例2:当较大时,计算 x +1 − x
2011-2-25
11
误差的概念
(绝对)误差 设 x* 为精确值（或准确值），x 为 x* 的近似值，称 e = x*－ x 为近似值x的(绝对)误差。 (绝对)误差限 （ ε ） 如果精确值 x* 与近似值 x 的误差的绝对值不超过某个正 数 ε，即 | e |= | x*－ x |≤ ε。 于是，精确值也可表示为 x* = x ± ε， 或
►高斯消元法(Gauss)： 运算量(乘除)
取 n = 20,
Gauss: 3060次；
Cramer: ( 20+ 1) ≈ 5. × 1019 ≈ 16200年(108 次 / 秒) ! 1
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本课程的任务： 本课程的任务：
● 建立各种数学问题的数值计算算法的方法和理论。 通俗地讲，就是为各种实际问题提供有效的数值近似 解方法。 ● 提供在计算机上实际可行的、理论可靠的、计算复杂 性好的各种常用算法。
绝对误差限不超过该近似数末位的半个单位。
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相对误差
先看两种产品的不合格率： 8/1000=0.8% ； 12/2000=0.6% （相对误差的值） 定义：设 x* 为精确值，x 为近似值，相对误差为
e x * −x er = = . x* x*
当绝对误差 e 较小时，相对误差可写为
一、防止相近的两数相减
(会耗失许多有效数字,可以用数学公式化简后再做).
例1: 各有五位有效数字的23.034与22.993相减. 23.034-22.993=0.041 0.041只有两位有效数字,有效数字的耗失,说明准确度减小,因此, 在计算时需要加工计算公式,以免这种情况发生. 例2:当较大时,计算 x +1 − x
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误差的概念
(绝对)误差 设 x* 为精确值（或准确值），x 为 x* 的近似值，称 e = x*－ x 为近似值x的(绝对)误差。 (绝对)误差限 （ ε ） 如果精确值 x* 与近似值 x 的误差的绝对值不超过某个正 数 ε，即 | e |= | x*－ x |≤ ε。 于是，精确值也可表示为 x* = x ± ε， 或
计算方法_6.ppt
随
时
孕
间育
呈
S长期形变化饱和。
例如：反应过程中的产物浓期度、相变过期程
中新相的含量、植物的生长量、市场某产
品的销售量等与时间的关系都为S形曲线。
S形生长反映了一个动力学过程中“孕 育期”、“生长期”和“饱和期”的发展 规律，是材料研究中经常涉及到的模型。
第六章 非线性拟合问题
硬度，HV 再结晶体积分数，%
▪ 取对数分离变量，如： y axb , y aebx 取对数，分别得：ln y = ln a + b ln x、 ln y = ln a + b x 再通过变量替换，转换为线性模型
v=a+bu
第六章 非线性拟合问题
“非线性” 问题
但是在许多情况下，拟合模型过于复杂。直接采用 最小二乘法，“法方程组” (p.90, 4.56式) 可能是不可解 的，或者是没有相应的解析表达式的。
算模型参数：s、EF
300
200
rapidly solidified FeSi2 100 950°C 50MPa 30’ HUP
800°C 20hr annealed
00
100 200 300 400 500
Temperature, °C
问题： Fermi 积分中包含模型参数 Fermi 积分无解析解 不能给出最小二乘“法方程组”
xi b
x
2 i
g
yi
xi a
x
2 i
b
x
3 i
g
xi yi
x
2 i
a
x
3 i
b
x
4 i
g
x
2 i
yi
已证明这个关于 a、b、g 的线性方程组有唯一解。
计算方法 易大义 陈道琦
主要内容
插值法 数值逼近 数值积分 数值微分 解线性方程组 非线性方程（组）数值解法 矩阵特征值与特征向量的计算 常微分方程数值解法
基础知识
高等数学（一元微积分） 线性代数（多项式、矩阵、线性方程组）
第一章 数值计算引论
§1 数值分析研究对象
实际问题 程序设计
则乘法次数仅为n.
2.防止大数“吃掉”小数
当|a|远远大于|b|时，尽量避免a+b 。例如，假设 计算机 只能存放10位尾数的十进制数，则
108 0.04 109 0.1 109 0.00000000004 108
3.尽量避免相近数相减
例如，当x很大时，应
，
x1 x
ex / y 1 ex x ey
y
y2
er x / y er x er y 3. f x, y x y
ex y ex ey
er x
y
x
x
y
er x
x
y
y
er y
例1.3：测得某桌面的长a的近似值a*=120cm,宽b的
a
b
b * e(a*) a * e(b*)
| e(s*) || b* || e(a*) | | a* || e(b*) | 60 0.2 120 0.1 24cm2
相对误差限为
e(s*) 24
| er (s*) ||
s*
|
0.33%
120 60
§5 数值计算中应该注意的几个问题
1
101n
，则
x* 至少有n位有效数字。
§4 求函数值的误差估计
1. 一元函数情形
插值法 数值逼近 数值积分 数值微分 解线性方程组 非线性方程（组）数值解法 矩阵特征值与特征向量的计算 常微分方程数值解法
基础知识
高等数学（一元微积分） 线性代数（多项式、矩阵、线性方程组）
第一章 数值计算引论
§1 数值分析研究对象
实际问题 程序设计
则乘法次数仅为n.
2.防止大数“吃掉”小数
当|a|远远大于|b|时，尽量避免a+b 。例如，假设 计算机 只能存放10位尾数的十进制数，则
108 0.04 109 0.1 109 0.00000000004 108
3.尽量避免相近数相减
例如，当x很大时，应
，
x1 x
ex / y 1 ex x ey
y
y2
er x / y er x er y 3. f x, y x y
ex y ex ey
er x
y
x
x
y
er x
x
y
y
er y
例1.3：测得某桌面的长a的近似值a*=120cm,宽b的
a
b
b * e(a*) a * e(b*)
| e(s*) || b* || e(a*) | | a* || e(b*) | 60 0.2 120 0.1 24cm2
相对误差限为
e(s*) 24
| er (s*) ||
s*
|
0.33%
120 60
§5 数值计算中应该注意的几个问题
1
101n
，则
x* 至少有n位有效数字。
§4 求函数值的误差估计
1. 一元函数情形
计算方法第二章ppt
当方程组的系数矩阵为非奇异 矩阵（即满秩矩阵）时，高斯 消元法可求得唯一解。
列主元高斯消元法
列主元高斯消元法的 基本思想
在高斯消元法的基础上，每次选取列 中绝对值最大的元素作为主元进行消 元，以避免出现小主元导致的误差放 大问题。
列主元高斯消元法的 步骤
首先选取第一列中绝对值最大的元素 作为主元，通过行交换将其移到第一 行第一列位置，然后进行高斯消元。 在后续的消元过程中，每次均选取当 前列中绝对值最大的元素作为主元进 行消元。
100%
数值解法
通过计算机求解常微分方程的近 似解的方法，主要包括欧拉方法 和龙格-库塔方法等。
80%
离散化与步长
将连续的时间或空间域离散化， 取离散点上的函数值作为近似解 ，步长是相邻离散点间的距离。
欧拉方法
显式欧拉法
一种简单的数值解法，通过前 一步的函数值及其导数来推算 下一步的函数值。
隐式欧拉法
通过求解一个非线性方程来得 到下一步的函数值，具有较高 的精度和稳定性。
改进欧拉法
结合显式欧拉法和隐式欧拉法 的优点，提高算法的精度和效 率。
龙格-库塔方法
龙格-库塔法基本思想
自适应步长龙格-库塔法
通过多步计算并利用泰勒级数展开式， 得到更高精度的近似解。
根据误差估计自动调整步长，实现精 度和计算效率的动态平衡。
标准四阶龙格-库塔法
一种常用的高精度数值解法，具有局 部截断误差为$O(h^5)$的优点。
常微分方程数值解法误差分析
局部截断误差
数值解法在单步计算中所产生的误差，可以通过泰勒级数展开式进行估计。
全局误差
数值解法在整个计算过程中所产生的累积误差，与算法稳定性、步长选择等因素有关。
计算方法课件
x g(x)
（2） 构造迭代公式
xk1 g(xk ), (k 0,1,2,)
在有根区间【a,b】上取一点 x0 (初始近似根)作为方程的近似值，代 入上面公式右端，求得 x1 g(x0 ) ，在把 x1 作为预测值，得到
x2 g(x1), 如此反复进行下去，得到一个近似根的序列
| g(x) | q 1
则迭代公式 xk1 g(xk ) 对于任意初值 x0 [a,b] 均收敛于方程
x g(x) 在区间 [a,b] 上的惟一根 x*, 且有如下误差估计式
q
qk
| x * xk | 1 q | xk xk 1 | 1 q | x1 x0 |
二. 误差
1. 误差的来源 模型误差：由于数学建模过程中往往要忽略一些次要的因 素而产生的，它是实际问题的客观量与其理论数学模型 精确解之间的差。（不讨论）
观测误差：在数学模型中的数据如果是从观测得到的，由 此产生的误差叫做观测误差。（不讨论）
截断误差（方法误差）：数学模型的精确解与近似算法的 解之间的差成为该算法的截断误差。
断 f (x) 的符号，逐步将有根区间缩小，直至有根区间足够的小，便求 出满足精度要求的近似根。
a x*
b
a
x*
b
■
bk
ak
bk 1
ak1 2
ba 2k
令
xk
1 2
(ak
bk ),
则
lim
k
xk
x*
误差估计式： | x * xk | (bk ak ) / 2 (b a) / 2(k1)
（3） 若 | x1 x0 | , 则停止计算；否则 x0 x1, 转（2）。
（2） 构造迭代公式
xk1 g(xk ), (k 0,1,2,)
在有根区间【a,b】上取一点 x0 (初始近似根)作为方程的近似值，代 入上面公式右端，求得 x1 g(x0 ) ，在把 x1 作为预测值，得到
x2 g(x1), 如此反复进行下去，得到一个近似根的序列
| g(x) | q 1
则迭代公式 xk1 g(xk ) 对于任意初值 x0 [a,b] 均收敛于方程
x g(x) 在区间 [a,b] 上的惟一根 x*, 且有如下误差估计式
q
qk
| x * xk | 1 q | xk xk 1 | 1 q | x1 x0 |
二. 误差
1. 误差的来源 模型误差：由于数学建模过程中往往要忽略一些次要的因 素而产生的，它是实际问题的客观量与其理论数学模型 精确解之间的差。（不讨论）
观测误差：在数学模型中的数据如果是从观测得到的，由 此产生的误差叫做观测误差。（不讨论）
截断误差（方法误差）：数学模型的精确解与近似算法的 解之间的差成为该算法的截断误差。
断 f (x) 的符号，逐步将有根区间缩小，直至有根区间足够的小，便求 出满足精度要求的近似根。
a x*
b
a
x*
b
■
bk
ak
bk 1
ak1 2
ba 2k
令
xk
1 2
(ak
bk ),
则
lim
k
xk
x*
误差估计式： | x * xk | (bk ak ) / 2 (b a) / 2(k1)
（3） 若 | x1 x0 | , 则停止计算；否则 x0 x1, 转（2）。
计算方法上课用PPT课件
1. 方程组阶数n很大，例如n=20,计算机运算速度 1亿次/秒,用不好的方法,大约需算30多万年; 好方法不到一分钟。另外，有计算结果可靠性 问题。
2. 特征值定义 A x x ( x 0 ) A xx0(AI)x0 | AI|0
14
3. f ( x) 形式复杂时求根和求积分很困难。
4.线性微分方程易解， 如
“计算方法"研究对象与特点
“计算方法"是计算数学的一个分支，它研究用计算机求解数学问题的数
值计算方法及其软件实现.计算数学几乎与数学科学的一切
分支有联系，它利用数学领域的成果发展了新的更有效的
算法及其理论，反过来很多数学分支都需要探讨和研究适
用于计算机的数值方法.因此，"计算方法"内容十分广泛.但
实际问题 程序设计
数学问题 上机计算
提供计算方法 结果分析
12
基本的数学问题:
1.大型线性代数方程组Ax=b求解;
2.矩阵A的特征值和特征向量计算;
3.非线性方程 f ( x ) 0 求解(求根);
4.积分 b a
f
( x)dx计算;
5.常微分方程初值问题求解;
6.其它。
13
求精确解(值)一般非常困难。例如：
17
截断误差 在求解过程中，往往以近似替代， 化繁为简，这样产生的误差称为截断误差。
舍入误差 在计算机上运算时受机器字长的 限制，一般必须进行舍入，此时产生的误 差称为舍入误差。
18
3. 截断误差，如
sin xxx3 x5 ....,.. 3! 5!
7
数值计算方法或数值分析主要是研究如何 运用计算机去获得数学问题的数值解的理 论和方法.对那些在经典数学中,用解析方法 在理论上已作出解的存在,但要求出他的解 析解又十分困难,甚至是不可能的这类数学 问题,数值解法就显得不可缺少,同时有十分 有效.
2. 特征值定义 A x x ( x 0 ) A xx0(AI)x0 | AI|0
14
3. f ( x) 形式复杂时求根和求积分很困难。
4.线性微分方程易解， 如
“计算方法"研究对象与特点
“计算方法"是计算数学的一个分支，它研究用计算机求解数学问题的数
值计算方法及其软件实现.计算数学几乎与数学科学的一切
分支有联系，它利用数学领域的成果发展了新的更有效的
算法及其理论，反过来很多数学分支都需要探讨和研究适
用于计算机的数值方法.因此，"计算方法"内容十分广泛.但
实际问题 程序设计
数学问题 上机计算
提供计算方法 结果分析
12
基本的数学问题:
1.大型线性代数方程组Ax=b求解;
2.矩阵A的特征值和特征向量计算;
3.非线性方程 f ( x ) 0 求解(求根);
4.积分 b a
f
( x)dx计算;
5.常微分方程初值问题求解;
6.其它。
13
求精确解(值)一般非常困难。例如：
17
截断误差 在求解过程中，往往以近似替代， 化繁为简，这样产生的误差称为截断误差。
舍入误差 在计算机上运算时受机器字长的 限制，一般必须进行舍入，此时产生的误 差称为舍入误差。
18
3. 截断误差，如
sin xxx3 x5 ....,.. 3! 5!
7
数值计算方法或数值分析主要是研究如何 运用计算机去获得数学问题的数值解的理 论和方法.对那些在经典数学中,用解析方法 在理论上已作出解的存在,但要求出他的解 析解又十分困难,甚至是不可能的这类数学 问题,数值解法就显得不可缺少,同时有十分 有效.
《计算方法第二章》PPT课件
的解的数值方法。
• 迭代法：Iteration
从给定的一个或几个初始近似值x0 , x1 , … , xr 出发，按某种方法产生一个序 列
x0 , x1 , … , xr , xr+1 , … , xk , …
(1.2)
称为迭代序列，使得此序列收敛于方程
f(x)=0 的一个根p, 即
xk→p, (k→∞), 这样，当k足够大时，取xk作为p的一个 近似值。
我们通常的做法：
因为局部收敛方法比大范围 收敛方法收敛的更快。 所以， 一个合理的算法是先用一种 大范围收敛方法求得接近于 根的近似值，再以其作为新 的初始值使用局部收敛方法。
§2 区间分半法[Interval Having]
• 理论依据： • 闭区间上连续函数的零点定理 • 区间套定理 • 根本思想 • 优缺点 • 程序简单，对函数性质要求低，敛
否 则 x 0 p .
s te p 4输 出 （ ‘ M e t h o df a i l e d ’ ） ; 停 机 。
局部收敛定理：（P20 定理 1）
设 g( x) 为定义在有限区间 I=[a, b] 上的
一个实函数，它满足下列条件：
（I） x I, g(x) I ; （映内性）
（II）满足 Lipschitz 条件。即存在正常数 L<1,
step2p (ab)/2.
step3若 f(p)TO 1或 L(ba)/2TO 2L 则 输 出 （ p ） ， 停 机 。
step4若 f(p)f(b)0,则 a p,否b则 p.
step5 输 出 （ ‘ Method failed’ ） ; 停 机 。
区 间 分 半 法 产 生 的 序 列 p n n 1
• 迭代法：Iteration
从给定的一个或几个初始近似值x0 , x1 , … , xr 出发，按某种方法产生一个序 列
x0 , x1 , … , xr , xr+1 , … , xk , …
(1.2)
称为迭代序列，使得此序列收敛于方程
f(x)=0 的一个根p, 即
xk→p, (k→∞), 这样，当k足够大时，取xk作为p的一个 近似值。
我们通常的做法：
因为局部收敛方法比大范围 收敛方法收敛的更快。 所以， 一个合理的算法是先用一种 大范围收敛方法求得接近于 根的近似值，再以其作为新 的初始值使用局部收敛方法。
§2 区间分半法[Interval Having]
• 理论依据： • 闭区间上连续函数的零点定理 • 区间套定理 • 根本思想 • 优缺点 • 程序简单，对函数性质要求低，敛
否 则 x 0 p .
s te p 4输 出 （ ‘ M e t h o df a i l e d ’ ） ; 停 机 。
局部收敛定理：（P20 定理 1）
设 g( x) 为定义在有限区间 I=[a, b] 上的
一个实函数，它满足下列条件：
（I） x I, g(x) I ; （映内性）
（II）满足 Lipschitz 条件。即存在正常数 L<1,
step2p (ab)/2.
step3若 f(p)TO 1或 L(ba)/2TO 2L 则 输 出 （ p ） ， 停 机 。
step4若 f(p)f(b)0,则 a p,否b则 p.
step5 输 出 （ ‘ Method failed’ ） ; 停 机 。
区 间 分 半 法 产 生 的 序 列 p n n 1
《数值分析》PPT课件
它的近似解.
8
实际问题 数学模型 数值计算方法
上机计算求出结果
近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差.
9
例如，用泰勒(Taylor)多项式
Pn (x)
f (0)
f (0) x 1!
f (0) x2 2!
f (n) (0) xn n!
近似代替函数 f (，x) 则数值方法的截断误差是
4
数值分析的特点： 一、面向计算机，能根据计算机的特点提供切实可行的 有效算法. 二、有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求， 对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行
分析. 三、要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时
间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研 究的问题，它5 关系到算法能否在计算机上实现.
界，即
13
e * x * x *,
则 叫* 做近似值的误差限， 它总是正数.
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 ，x读出和该长度 接近的刻度 ，x * x *是 x的近似值， 它的误差限是 0.5m，m 于是
x * x 0.5mm. 如读出的长度为 765m，m 则有 765 x . 0.5 虽然从这个14 不等式不能知道准确的 是x多少，但可知
19
当准确值 位x数比较多时，常常按四舍五入的原则得 到 x的前几位近似值 ，x * 例如
x π 3.14159265
取3位 取5位
x3* 3.14, 3* 0.002, x5* 3.1416, 5* 0.000008,
它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即
π 3.14 1 102 , 2
定义设1 为准确x 值，
x *为 x的一个近似值， 称
8
实际问题 数学模型 数值计算方法
上机计算求出结果
近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差.
9
例如，用泰勒(Taylor)多项式
Pn (x)
f (0)
f (0) x 1!
f (0) x2 2!
f (n) (0) xn n!
近似代替函数 f (，x) 则数值方法的截断误差是
4
数值分析的特点： 一、面向计算机，能根据计算机的特点提供切实可行的 有效算法. 二、有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求， 对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行
分析. 三、要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时
间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研 究的问题，它5 关系到算法能否在计算机上实现.
界，即
13
e * x * x *,
则 叫* 做近似值的误差限， 它总是正数.
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 ，x读出和该长度 接近的刻度 ，x * x *是 x的近似值， 它的误差限是 0.5m，m 于是
x * x 0.5mm. 如读出的长度为 765m，m 则有 765 x . 0.5 虽然从这个14 不等式不能知道准确的 是x多少，但可知
19
当准确值 位x数比较多时，常常按四舍五入的原则得 到 x的前几位近似值 ，x * 例如
x π 3.14159265
取3位 取5位
x3* 3.14, 3* 0.002, x5* 3.1416, 5* 0.000008,
它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即
π 3.14 1 102 , 2
定义设1 为准确x 值，
x *为 x的一个近似值， 称
计算方法 课件第一章
舍入误差
计算机实现计算时，机器的有限字长所造成
1.2.2 误差与有效数字
x 定义1 设 x 是某量的准确值，* 是 x 的一个 近似值，则称 e* = x* − x为近似值的误差或绝 对误差。 * 的绝对值的上界，即满足 x* − x ≤ ε * 的 ε *， e 称为近似值 x* 的误差限。 误差与精确值的比值称为相对误差。即 * er = ( x* − x) / x ，如果 ( x* − x) / x ≤ ε r*，则 ε r 称 为相对误差限。 实际使用中以 er* = ( x* − x) / x*为相对误差。
*
ε r (s ) ≈
ε (s )
*
s
*
27 = * * ≈ = 0.31% ld 8800
ε (s )
*
1.3 误差定性分析与避免误差危害
前面讨论的误差限的方法是最坏情况 对于千万次的运算可用概率统计的方法 20世纪60年代后提出
向后误差分析法 区间分析法
目前尚无有效方法对误差做出定量分析 本节讨论：
数值分析
Numerical Analysis
主讲教师： 主讲教师： 郭策安
Instructor: GUO CEAN E-mail: guocean@
教材
(Text Book)
TUP & Springer Press
李庆扬、王能超、 李庆扬、王能超、易大义 编
数值分析
参考书目 (Reference)
In = e (x e
I0 = e
−1
−1
n x 1 0
− n ∫ x n −1e x dx) = 1 − nI n −1 (n = 1, 2,L)0来自1∫1
0
计算方法课件 1.4
计算方法第一章绪论§1.4 差分方程§1.4 差分方程,,(),i i i t a ih a b x x t 设为给定函数，记dx a,b C ：i iIx x 1i i Ex x 差分方程：微分方程的离散形式1i i ix x x 在节点x i 处以h 为步长的一阶向前差分:一阶向后差分:1i i i x x x ：：向前差分算子向后差分算子恒等算子位移算子I ：E ： 算子均是线性算子且可两两交换. 这些算子的和的幂可按二项式展开.,,I ,E a t 0t 1t 2...t i-1t it i+1...t N-1t N b0x x 12x ix 1N x -Nx -1i x 1i x +2差分算子的关系及运算11,.mm mm i i i i x x x x1 i i i i i i x x x Ex Ix E I x ,算子之间的关系： ,E I 1=. I E 高阶差分：00100 1=11=1=,,!.!!mmm j j m m ji i i m i j j j m m m m j m j m m ji i i i j m j j m m x E I x E x x j j m m x I E x E x x j j m m j j m j其中 差分的计算:3k 阶差分方程形如10 ;,,,,,,,kdn n n n n n k F n x x x x x x C且均显含于上式中的方程称为k 阶差分方程。
n n k x x , 110;,,,,,,,.dn n n k n n n k G n x x x x x x C 本课程主要涉及如下k 阶线性差分方程012 (1.19)(),,,,,k jn jn j n a n xb 其中系数00(),,()().j n k a n b C a n a n 且 n x .011k x x x ,,,,若给定其k 个初始值则由方程即可求出其解序列可等价地化为如下k 阶差分方程若则称方程为齐次的，否则称之为非齐次的。
计算方法-第1章
13
一．自然语言法
1. 输入数据a, b, c 2.如果a=0, 转3，否则转4
c 3.如果 b 0，则 x1 ，转7；否则，无解停机 b 2 ， b 4 ac 4. 设 D SD SQRT (| D |)
0 ,x ( b iSD ) / 2 a , 如果 D 1 x ( b iSD ) / 2 a ，转7 2 否则 ， 5. 如果b>0不成立， S 1 b SD ，转7 x S 1 / 2 a , x 2 c / S 1 1 2 S 2 / 2 a , x 2 c / S 2 2 b SD 6. S ，x 1 2 7. 输出x1和x2
x1， x2，……， x100 取为
数值方法
0.1, 0.2, 0.3, ……,10=a
2-1
★ 计算公式不一定都是数值方法。如求
类似地， 求根公式
2 b b 4 ac x 1 ,2 2 a
3 。
不能在计算机 上直接运行
◆ 研究数值方法的任务有三条：
1）将计算机不能直接计算的运算化成计算机上可执行的 运算；利用等价或近似等价的方法转化； 7
1） 数学的发展极大地促进了计算机科学的发展：
★ Leibniz发现二进制编码； ★ Von Neumann提出现代计算机建构理论； ★ Bohm和Jacopini为结构化程序设计奠定了基础。
2）计算机科学为数学提供先进手段，并对数学 发展产生了重大影响。
★ 为利用数学解决实际问题提供了工具； ★ 解决了一些数学难题，并提出了新的研究课题；
x 2 ( b iS D ) / 2 a
输 出 x1, x 2
15
▲ 结构化框图法：N-S图示法
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高等数学、线性代数、程序设计语言
计算方法——09计11、61
5/47
教材
《计算方法》,
易大义等,
浙江大学出版社, 2002年第2版
计算方法——09计11、61
6/47
主要参考书
1.《数值分析引论》,
易大义 陈道琦,
浙江大学出版社, 1998年第1版
计算方法——09计11、61
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主要参考书
简化，抽象问题后建立的数学模型与实际问
2.
观测误差 /* Measurement Error */ 流、温度等）
观测和实验得到的参量（物理量为电压、电
计算方法——09计11、61
21/47
§1.2 误差的种类及其来源
3.
截断误差（方法误差）/*Truncation Error*/ 求和，只能取前面有限项求和来近似代 替）。这种计算方法本身出现的误差，所 以也称为方法误差。如 3 5 x x si n x x ......, 3! 5!
有限过程代替无限过程的误差（无穷级数
右端是截断误差。
x x si n x ( x ) ...... 3! 5!
计算方法——09计11、61
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3
5
§1.2 误差的种类及其来源
4.
舍入误差 /* Roundoff Error */
计算机字长有限，一般实数不能精确存储，于 是产生舍入误差。 例如：在 10 位十进制数限制下：
e( x ) 称 er ( x ) 为 x * 的相对误差。 x * e( x ) 实用中，常用 表示 x 的相对误差。 x 称 er ( x ) 为 x * 的相对误差限。
计算方法——09计11、61
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§1.4 有效数字及其与误差的关系
一．有效数字 /* significant digits */
1、1 3 0.3333333333 (本应1 3 0.3333333333 3 ） 2、(1.000002 ) 2 1.000004 0
2 (本应（ 1.000002 ） 1.000004
1.0000040000 04 1.000004 0.0000000000 04 4 1012）
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联系方式
课程网站
http://202.195.66.5/start/StudyNA/
(校内访问)
E－mail地址
xznuckj@
办公室
泉山9＃701室
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3/47
本课程成绩的组成
平时成绩（占15％）：包括出勤、课堂提 问、讨论情况等。 实验成绩（占25％）：包括出勤、实验报 告（预习报告）等。 期末成绩（占60％）。
一定要从规格化后的数来判断其位数
有效位数与第一个非 0 项后的数字个数是不
一致的。 四舍五入所得到的数是一致的。
计算方法——09计11、61
27/47
§1.4 有效数字及其与误差的关系
例3：设 x * ＝ 0.0270是某数 x经“四舍五入”所得，
则误差 e ( x *) 不超过 x *末位的的半个单位，即： 1 x x * 10 4 2 又 x * 101 (0.270) 故该不等式又可写为 1 x x * 101 3 2 由有效数字定义可知, x * 有3位有效数字, 分别是2， 7， 0。
2.《数值分析基础教程》,
李庆杨,
高等教育出版社,
2001年第1版
Байду номын сангаас
计算方法——09计11、61
8/47
主要参考书
3.《数值方法和MATLAB实现与应用》, （美） Gerald Recktenwald 著 伍卫国 万群 张辉 等译, 机械工业出版社,
2004年第1版
其他各类有关 “数值分析” 和 “计算方法” 的书
排长对班长:
明晚 8 点, 营长将带着哈雷彗星在礼 堂中出现, 这是每隔 76 年才有的事。如果下雨的 话,营长将命令彗星穿上野战服到操场上去。 在明晚 8 点下雨的时候, 著名的 76 岁 哈雷将军将在营长的陪同下身着野战服, 开着他那 “彗星”牌汽车, 经过操场前往礼堂。
计算方法——09计11、61
数值计算方法
数理学院数学系
诚信声明
本课件中大量采用网络及其他渠道搜集的相关文 字信息和图片信息，这些信息因数量较大，无法 一一列明出处，本人在此郑重声明：这些相关资 料的版权归原作者所有，本文引用仅仅用于教学 目的。如有不妥，请与本人联系，联系方式： xznuckj@。 在此对相关资料的作者所付出的辛勤劳动表示衷 心的感谢，并对作者表示诚挚敬意！ 本人郑重承诺：尊重知识，尊重劳动，尊重版权， 学术诚信。
舍入误差很小，本课程将研究它在运算过程中 是否能有效控制。
计算方法——09计11、61
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§1.2 误差的种类及其来源
据说, 美军1910年的一次部队的命令传递是这样的:
营长对值班军官: 明晚大约 8点钟左右, 哈雷彗星将
可能在这个地区看到, 这种彗星每隔 76年才能看见 一次。命令所有士兵着野战服在操场上集合, 我将 向他们解释这一罕见的现象。如果下雨的话, 就在 礼堂集合, 我为他们放一部有关彗星的影片。
设 x (0.a1a 2 a n a p )10m (a1 0, p ) 1 若 x * x 10m n ( P10 1.4.2) 2 则说 x *具有n位有效数字，分别是 a1 , a 2 , , a n 若n＝p，则称 x *为有效数。
插值法 数值逼近 本 课 程 的 内 容 数据拟合的最小二乘法 数值积分和数值微分* 线性方程组的求解 数值代数 非线性方程组的求解 矩阵特征值* 常微分方程的数值方法
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第一章
数值计算中的误差
3 学时
本章内容
§1.1 引言 §1.2 误差的种类及其来源 §1.3 绝对误差和相对误差 §1.4 有效数字及其与误差的关系 §1.5 误差的传播与估计 §1.6 选用算法应遵循的原则 小结 作业与实验
25/47
班长对士兵:
§1.3 绝对误差和相对误差
一．绝对误差 /* absolute error */
设
称
x
——准确值，x * ——近似值。
*
*
e( x ) x x 为 x 的绝对误差(简称误差) | e( x ) | 为 x * 的绝对误差限。
二．相对误差 /* relative error */
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13/47
本章要求
1. 熟悉计算方法在解决实际问题中所处的地位, 熟悉计算方法是以计算机为工具求近似解的数 值方法； 2. 熟悉绝对误差（限），相对误差（限）及有 效数字概念； 3. 熟悉公式；
4. 熟悉选用算法应遵循的原则。
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值班军官对连长: 根据营长的命令, 明晚8点哈雷彗
星将在操场上空出现。如果下雨的话, 就让士兵穿 着野战服列队前往礼堂, 这一罕见的现象将在那里 出现。
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§1.2 误差的种类及其来源
连长对排长:
根据营长的命令, 明晚 8 点, 非凡的哈 雷彗星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上 下雨, 营长将下达另一个命令, 这种命令每隔 76 年 才会出现一次。
例1，例2 的结果的根源 建 立 算 法 截方 断法 误误 差差 ) ( 上 机 计 算 结
果
模 型 误 差
观 测 误 差
初 值 误 差
舍 入 误 差
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)
计算方法——09计11、61
§1.2 误差的种类及其来源
二. 误差分类
1.
模型误差（描述误差）/* Modeling Error */ 题之差。
（P11 1.4.4 ）
1 反之，若 er ( x ) 10 ( n1) 2(a1 1) 则x 至少有n位有效数字。
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§1.4 有效数字及其与误差的关系
证： 因a1 10m x * (a1 1) 10m，故当x *
有n位有效数字时， 0.5 10m n1 1 n1 r 10 a1 10m 2a1 x 反之，由 1 x r (a1 1) 10 10 n1 2(a1 1)
§1.1 引言
解决科学技术和工程问题的步骤:
实际问题 数学问题 提供计算方法
程序设计
上机计算
结果分析
什么是数值计算方法: 将所预求解的数学模 型简化成一系列算术运算和逻辑运算, 以便 在计算机上求解, 并对算法的稳定性、收敛 性和误差进行分析。
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§1.1 引言
计算方法——09计11、61
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§1.4 有效数字及其与误差的关系
二．有效数位与误差的关系 e ( x *)
1. 有效数位n越多，则绝对误差e ( x ) 越小 （由定义1.4.2 ） 2. 定理：若近似数x 具有n位有效数字，则 1 ( n 1 ) er ( x ) 10 2a1
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教材
《计算方法》,
易大义等,
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主要参考书
简化，抽象问题后建立的数学模型与实际问
2.
观测误差 /* Measurement Error */ 流、温度等）
观测和实验得到的参量（物理量为电压、电
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§1.2 误差的种类及其来源
3.
截断误差（方法误差）/*Truncation Error*/ 求和，只能取前面有限项求和来近似代 替）。这种计算方法本身出现的误差，所 以也称为方法误差。如 3 5 x x si n x x ......, 3! 5!
有限过程代替无限过程的误差（无穷级数
右端是截断误差。
x x si n x ( x ) ...... 3! 5!
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§1.2 误差的种类及其来源
4.
舍入误差 /* Roundoff Error */
计算机字长有限，一般实数不能精确存储，于 是产生舍入误差。 例如：在 10 位十进制数限制下：
e( x ) 称 er ( x ) 为 x * 的相对误差。 x * e( x ) 实用中，常用 表示 x 的相对误差。 x 称 er ( x ) 为 x * 的相对误差限。
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§1.4 有效数字及其与误差的关系
一．有效数字 /* significant digits */
1、1 3 0.3333333333 (本应1 3 0.3333333333 3 ） 2、(1.000002 ) 2 1.000004 0
2 (本应（ 1.000002 ） 1.000004
1.0000040000 04 1.000004 0.0000000000 04 4 1012）
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平时成绩（占15％）：包括出勤、课堂提 问、讨论情况等。 实验成绩（占25％）：包括出勤、实验报 告（预习报告）等。 期末成绩（占60％）。
一定要从规格化后的数来判断其位数
有效位数与第一个非 0 项后的数字个数是不
一致的。 四舍五入所得到的数是一致的。
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§1.4 有效数字及其与误差的关系
例3：设 x * ＝ 0.0270是某数 x经“四舍五入”所得，
则误差 e ( x *) 不超过 x *末位的的半个单位，即： 1 x x * 10 4 2 又 x * 101 (0.270) 故该不等式又可写为 1 x x * 101 3 2 由有效数字定义可知, x * 有3位有效数字, 分别是2， 7， 0。
2.《数值分析基础教程》,
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其他各类有关 “数值分析” 和 “计算方法” 的书
排长对班长:
明晚 8 点, 营长将带着哈雷彗星在礼 堂中出现, 这是每隔 76 年才有的事。如果下雨的 话,营长将命令彗星穿上野战服到操场上去。 在明晚 8 点下雨的时候, 著名的 76 岁 哈雷将军将在营长的陪同下身着野战服, 开着他那 “彗星”牌汽车, 经过操场前往礼堂。
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数值计算方法
数理学院数学系
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本课件中大量采用网络及其他渠道搜集的相关文 字信息和图片信息，这些信息因数量较大，无法 一一列明出处，本人在此郑重声明：这些相关资 料的版权归原作者所有，本文引用仅仅用于教学 目的。如有不妥，请与本人联系，联系方式： xznuckj@。 在此对相关资料的作者所付出的辛勤劳动表示衷 心的感谢，并对作者表示诚挚敬意！ 本人郑重承诺：尊重知识，尊重劳动，尊重版权， 学术诚信。
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§1.2 误差的种类及其来源
据说, 美军1910年的一次部队的命令传递是这样的:
营长对值班军官: 明晚大约 8点钟左右, 哈雷彗星将
可能在这个地区看到, 这种彗星每隔 76年才能看见 一次。命令所有士兵着野战服在操场上集合, 我将 向他们解释这一罕见的现象。如果下雨的话, 就在 礼堂集合, 我为他们放一部有关彗星的影片。
设 x (0.a1a 2 a n a p )10m (a1 0, p ) 1 若 x * x 10m n ( P10 1.4.2) 2 则说 x *具有n位有效数字，分别是 a1 , a 2 , , a n 若n＝p，则称 x *为有效数。
插值法 数值逼近 本 课 程 的 内 容 数据拟合的最小二乘法 数值积分和数值微分* 线性方程组的求解 数值代数 非线性方程组的求解 矩阵特征值* 常微分方程的数值方法
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第一章
数值计算中的误差
3 学时
本章内容
§1.1 引言 §1.2 误差的种类及其来源 §1.3 绝对误差和相对误差 §1.4 有效数字及其与误差的关系 §1.5 误差的传播与估计 §1.6 选用算法应遵循的原则 小结 作业与实验
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班长对士兵:
§1.3 绝对误差和相对误差
一．绝对误差 /* absolute error */
设
称
x
——准确值，x * ——近似值。
*
*
e( x ) x x 为 x 的绝对误差(简称误差) | e( x ) | 为 x * 的绝对误差限。
二．相对误差 /* relative error */
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本章要求
1. 熟悉计算方法在解决实际问题中所处的地位, 熟悉计算方法是以计算机为工具求近似解的数 值方法； 2. 熟悉绝对误差（限），相对误差（限）及有 效数字概念； 3. 熟悉公式；
4. 熟悉选用算法应遵循的原则。
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值班军官对连长: 根据营长的命令, 明晚8点哈雷彗
星将在操场上空出现。如果下雨的话, 就让士兵穿 着野战服列队前往礼堂, 这一罕见的现象将在那里 出现。
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§1.2 误差的种类及其来源
连长对排长:
根据营长的命令, 明晚 8 点, 非凡的哈 雷彗星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上 下雨, 营长将下达另一个命令, 这种命令每隔 76 年 才会出现一次。
例1，例2 的结果的根源 建 立 算 法 截方 断法 误误 差差 ) ( 上 机 计 算 结
果
模 型 误 差
观 测 误 差
初 值 误 差
舍 入 误 差
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§1.2 误差的种类及其来源
二. 误差分类
1.
模型误差（描述误差）/* Modeling Error */ 题之差。
（P11 1.4.4 ）
1 反之，若 er ( x ) 10 ( n1) 2(a1 1) 则x 至少有n位有效数字。
计算方法——09计11、61
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§1.4 有效数字及其与误差的关系
证： 因a1 10m x * (a1 1) 10m，故当x *
有n位有效数字时， 0.5 10m n1 1 n1 r 10 a1 10m 2a1 x 反之，由 1 x r (a1 1) 10 10 n1 2(a1 1)
§1.1 引言
解决科学技术和工程问题的步骤:
实际问题 数学问题 提供计算方法
程序设计
上机计算
结果分析
什么是数值计算方法: 将所预求解的数学模 型简化成一系列算术运算和逻辑运算, 以便 在计算机上求解, 并对算法的稳定性、收敛 性和误差进行分析。
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§1.1 引言
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§1.4 有效数字及其与误差的关系
二．有效数位与误差的关系 e ( x *)
1. 有效数位n越多，则绝对误差e ( x ) 越小 （由定义1.4.2 ） 2. 定理：若近似数x 具有n位有效数字，则 1 ( n 1 ) er ( x ) 10 2a1
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