高考三角函数试题分析
三角函数、解三角形——2024届高考数学试题分类汇编(解析版)
2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。
高考数学三角函数试题及解析
三角函数与解三角形一．选择题1．（2014•广西）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣2．（2014•广西）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．3．（2014•河南）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞04．（2014•河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④ D．①③5．（2014•四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度6．（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π7．（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增8．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．9．（2014•福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数 B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称10．（2014•安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．二．填空题11．函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为_________ ．12．（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）= _________ ．13．（2014•上海）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于_________ ．14．（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ= _________ ．15．（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为_________ ．16．（2014•湖北）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B= _________ ．17．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于_________ ．18．（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c= _________ ；sinA= _________ ．三．解答题19．（2014•广西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．20．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．21．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．22．（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．23．（2014•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．24．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．25．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．26．（2014•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．三角函数与解三角形一．选择题1．（2014•广西）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：任意角的三角函数的定义专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．2．（2014•广西）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角专题：空间角．分析：由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．解答：解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在△CEF中，由余弦定理得：=．故选：B．点评：本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．3．（2014•河南）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0考点：三角函数值的符号专题：三角函数的求值．分析：化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．解答：解：∵tanα＞0，∴，则sin2α=2sinαcosα＞0．故选：C．点评：本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题．4．（2014•河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③考点：三角函数的周期性及其求法专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．解答：解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为=π，②y=丨cosx丨的最小正周期为=π，③y=cos（2x+）的最小正周期为=π，④y=tan（2x﹣）的最小正周期为，故选：A．点评：本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．5．（2014•四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换专题：三角函数的图像与性质．分析：直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案．解答：解：∵由y=sinx到y=sin（x+1），只是横坐标由x变为x+1，∴要得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度．故选：A．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是基础题．6．（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．解答：解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是π，故选：B．点评：本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．7．（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换专题：三角函数的图像与性质．分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B．点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．8．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．考点：余弦定理；正弦定理专题：解三角形．分析：根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．解答：解：∵3a=2b，∴b=，根据正弦定理可得===，故选：D．点评：本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．9．（2014•福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数图象的平移法则得到函数y=f（x）的图象对应的解析式为f（x）=cosx，则可排除选项A，B，再由cos=cos（﹣）=0即可得到正确选项．解答：解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得y=sin（x+）=cosx．即f（x）=cosx．∴f（x）是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；∵cos=cos（﹣）=0，∴y=f（x）的图象关于点（﹣，0）、（，0）成中心对称．故选：D．点评：本题考查函数图象的平移，考查了余弦函数的性质，属基础题．10．（2014•安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换专题：三角函数的求值．分析：利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．解答：解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，当k=﹣1时，φ的最小正值是．故选：C．点评：本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．二．填空题11．函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为．考点：三角函数的最值专题：三角函数的求值．分析：展开两角和的正弦，合并同类项后再用两角差的正弦化简，则答案可求．解答：解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ﹣2sinφcosx=sinxcosφ﹣sinφcosx=sin（x﹣φ）．∴f（x）的最大值为1．故答案为：1．点评：本题考查两角和与差的正弦，考查了正弦函数的值域，是基础题．12．（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）= ．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换专题：三角函数的图像与性质．分析：哟条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx，可得2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈z，由此求得ω、φ的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（）的值．解答：解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2ωx+φ）的图象．再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin[2ω（x﹣）+φ）]=sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx的图象，∴2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈z，∴ω=，φ=，∴f（x）=sin（x+），∴f（）=sin（+）=sin=．故答案为：．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．13．（2014•上海）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象专题：三角函数的求值．分析：由三角函数公式可得sin（x+）=，可知x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，结合x∈[0，2π]，可得x值，求和即可．解答：解：∵sinx+cosx=1，∴sinx+cosx=，即sin（x+）=，可知x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，又∵x∈[0，2π]，∴x=，或x=，∴+=故答案为：点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．14．（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ= ．考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的数量积公式求得 2sinθcosθ﹣cos2θ=0，再利用同角三角函数的基本关系求得tan θ解答：解：∵=sin2θ﹣cos2θ=2sinθcosθ﹣cos2θ=0，0＜θ＜，∴2sinθ﹣cosθ=0，∴tanθ=，故答案为：．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．15．（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期解答：解：∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为=π，故答案为：π．点评：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．16．（2014•湖北）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B= ．考点：余弦定理专题：三角函数的求值．分析：利用正弦定理列出关系式，将a，sinA，b的值代入求出sinB的值，即可确定出B的度数．解答：解：∵在△ABC中，A=，a=1，b=，∴由正弦定理=得：sinB===，∵a＜b，∴A＜B，∴B=或．故答案为：或点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．17．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于．考点：余弦定理；正弦定理专题：三角函数的求值．分析：利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosA的值代入即可求出AB的长．解答：解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=4+c2﹣2c，解得：c=1，则AB=c=1，故答案为：1点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．18．（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c= ；sinA= ．考点：余弦定理专题：三角函数的求值；解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，将a，b，以及cosC的值代入求出c的值，由cosC的值求出sinC的值，再由a，c的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．解答：解：∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即c=2；∵cosC=，C为三角形内角，∴sinC==，∴由正弦定理=得：sinA===．故答案为：2；点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．三．解答题19．（2014•广西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用专题：解三角形．分析：由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）即可得出．解答：解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=点评：本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．考点：余弦定理；正弦定理专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值．解答：解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣（a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．考点：正弦定理；两角和与差的余弦函数专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．22．（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性专题：三角函数的求值．分析：（1）令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈z．（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cos2α﹣sin2α）•（sinα﹣cosα），即（sinα﹣cosα）=•（cosα﹣sinα）2•（sinα+cosα），又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，此时cosα﹣sinα=﹣．当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．点评：本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．23．（2014•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质专题：三角函数的求值．分析：（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．解答：解：（1）f（）=﹣（a+1）sinθ=0，∵θ∈（0，π）．∴sinθ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f（x）为奇函数，∴f（0）=（a+2）cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．（2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣，∴f（）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα==﹣，∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=．点评：本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．24．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．考点：余弦定理的应用；正弦定理专题：解三角形．分析：（Ⅰ）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．（Ⅱ）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）设α=∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得，则sinα=，即sin∠CED=．（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos（）=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=．点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．25．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：两角和与差的正弦函数专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，直接求A的值；（2）利用函数的解析式，通过f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求出cosθ，利用两角差的正弦函数求f（﹣θ）．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，∴f（）=Asin（+）=Asin=，∴．（2）由（1）可知：函数f（x）=3sin（x+），∴f（θ）﹣f（﹣θ）=3sin（θ+）﹣3sin（﹣θ+）=3[（）﹣（）]=3•2sinθcos=3sinθ=，∴sinθ=，∴cosθ=，∴f（﹣θ）=3sin（）=3sin（）3cosθ=．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查．26．（2014•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA 与a的值．考点：余弦定理的应用专题：计算题；解三角形．分析：利用三角形的面积公式，求出sinA=，利用平方关系，求出cosA，利用余弦定理求出a的值．解答：解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．点评：本题考查三角形的面积公式、余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．。
2024年高考数学真题分类汇编(三角函数篇,解析版)
专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cos αcos β,sin αsin β的关系，结合tan αtan β的值可求前者，故可求cos α-β 的值.【详解】因为cos α+β =m ，所以cos αcos β-sin αsin β=m ，而tan αtan β=2，所以=12×2b ×kb ×sin A 2+12×kb ×b ×sin A2，故cos αcos β-2cos αcos β=m 即cos αcos β=-m ，从而sin αsin β=-2m ，故cos α-β =-3m ，故选：A .2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π 上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y =sin x 的的最小正周期为T =2π，函数y =2sin 3x -π6 的最小正周期为T =2π3，所以在x ∈0,2π 上函数y =2sin 3x -π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.22024年高考数学真题分类汇编——三角函数篇【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A ：当x ∈-π8,π3 时，2x -π3∈-7π12,π3，由函数y =sin x 在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8,π3上不为单调递增，故A 错误；对B ：当x =5π6时，2x -π3=4π3，由x =4π3不是函数y =sin x 的对称轴，故x =5π6不是f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当x ∈-π6,π4 时，2x -π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,12，故C 错误；对D ：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y =sin 2x +2×5π12-π3 =sin 2x +π2=cos2x ，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D .8(2024·广东广州·二模)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由f π4=1，得sin π4ω+φ =22，又点π4,1 及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2k π,k ∈Z ，由f 5π8 =0，点5π8,0 及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2k π,k ∈Z ，联立解得ω=2，φ=-π4+2k π,k ∈Z ，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f (x )=2sin 2x -π4，若将函数f (x )的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y =sin 2x -2θ-π4，则-2θ-π4=π2-k π,k ∈Z ，而θ>0，因此θ=-3π8+k π2,k ∈N ，所以当k =1时，θ取得最小值为π8.故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。
论文《高考三角函数试题分析》
高考三角函数试题分析摘要：本文主要研究近三年高考中出现的三角函数题，其目的是加深自身对高中三角函数这部分内容的认识和理解，并通过对试题的分类、整理、分析、总结出一些关于高考中对三角函数试题的解题方法、技巧和应对策略，希望这些解题方法、技巧和应对策略能够对执教老师和应试学生起到一定的帮助和启发.同时，选择研究高考三角函数这部分内容也是想为将来的教学工作做一个充分的知识储备.关键词：高考;三角函数;解题技巧;应对策略 .三角函数在高中数学中有着较高的地位，尤其是在函数这一块，它属于基本初等函数，同时，它还是描述周期现象的重要数学模型.通过整理、统计可以看出，每年高考中三角函数试题分值所占比例基本都在10％～15％之间.从近三年的课标卷、全国卷和自主命题卷以及实行课改省份的高考三角函数题的分类、整理、分析知，高考三角函数这一知识点，主要还是考查学生的基础知识和基本技能，难度一般不大.但是，三角函数这部分内容考查的题型比较灵活，并且考查面较广.在选择题、填空题、解答题中均有考查，在前两类题型中多考查三角函数的基础知识，属于基础题；对于解答题则具有一定的综合性.从总体上看，高考三角函数对文、理科学生能力的考查要求差异不大，但在考查题型上，文科方向的解三角形题量有所减少.从课改前后看，对三角函数考查的内容和范围没有明显变动，仍然是对三角函数的基础知识、三角函数与向量、与三角恒等变换等综合考查，但难度均不大.一、考点分析1.命题形式纵观近几年高考试题，三角函数仍占有举足轻重的位置，其命题形式呈现多样化趋势.并且考查面较广，在选择题、填空题、解答题中均有考查，在前两题中多考查三角函数的基础知识，考生只要能够灵活运用三角函数的概念，灵活变通三角函数的基本关系及掌握特殊角的三角函数值便能轻松得分；另外，三角函数的图象与性质也是一个考查的重点，但此类题目的难度不大，只要熟悉并做到灵活运用各种函数的图象、性质及定理，也能够顺利解决这类问题。
高考三角函数经典解答题及答案
1在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.21222ac b c a =-+ （1）求B CA 2cos 2sin 2++的值； （2）若b=2，求△ABC 面积的最大值． 解：(1) 由余弦定理：conB=14sin 22A B++cos2B= -14（2）由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b=2， a 2+c 2=12ac+4≥2ac,得ac ≤38,S △ABC =12acsinB ≤315(a=c 时取等号) 故S △ABC 的最大值为3152在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cosB 的值；（II ）若2=⋅，且22=b ，求c a 和b 的值.解：（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，因此.31cos =B（II ）解：由2cos ,2==⋅B a 可得，所以a ＝c ＝ 63已知向量m =()B B cos 1,sin -, 向量n = （2，0），且m 与n 所成角为π3， 其中A 、B 、C 是ABC ∆的内角。
(1)求角B 的大小;(2)求 C A sin sin +的取值范围。
解：（1） m =()B B cos 1,sin -，且与向量n = （2，0）所成角为3π，又 π<<B 0 （2）由（1）知，32π=B ，∴A+C= 3π ∴C A sin sin +=)3sin(sin A A -+π=A A cos 23sin 21+=)3sin(A +π30π<<A ，∴)3sin(A +π⎥⎦⎤ ⎝⎛∈1,23，∴ C A sin sin +⎥⎦⎤⎝⎛∈1,23 4已知向量(1,2sin )m A =，(sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值.解：（1）由mcos 1sin 22=--A A 01cos cos 22=-+A A 1cos 21cos -==∴A A 或1cos ,-=∆A ABC A 的内角是 3π=∴A ac b 3=+ 23sin 3sin sin ==+A C B π32=+C B 23)32sin(sin =-+∴B B π43cos =A B C cos ,cos 227=⋅81116921cos 22cos cos 2=-⨯=-==A A C 24,227cos ,227=∴=∴=⋅ac B ac a A a c A C C c A a 23cos 2,2,sin sin ==∴==5=∴b 6已知A B 、是△ABC 的两个内角，向量2cos, sin 22A B A Ba +-=（），若6||a =. （Ⅰ）试问B Atan tan ⋅是否为定值若为定值，请求出；否则请说明理由； （Ⅱ）求C tan 的最大值，并判断此时三角形的形状. 解：（Ⅰ）由条件223(||22a == ∴1cos()cos()2A B A B +=-∴3sin sin cos cos A B A B = ∴1tan tan 3A B ⋅=为定值.（Ⅱ）tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B +=-+=--由（Ⅰ）知1tan tan 3A B ⋅=，∴tan ,tan 0A B >从而3tan (tan tan )2C A B =-+≤322-⋅=∴取等号条件是tan tan A B ==， 即6A B π== 取得最大值， 7在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a+b=5，c =7，且.272cos 2sin 42=-+C B A (1) 求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积. 解：(1) ∵A+B+C=180°由272cos 2cos 4272cos 2sin 422=-=-+C C C B A 得 ∴27)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C整理，得01cos 4cos 42=+-C C解 得：21cos =C ……5分 ∵︒<<︒1800C ∴C=60°（2）解：由余弦定理得：c 2=a 2+b 2－2abcosC ，即7=a 2+b 2－ab∴ab b a 3)(72-+=由条件a+b=5得 7=25－3abab=6……10分∴23323621sin 21=⨯⨯==∆C ab S ABC8已知角C B A ,,为ABC ∆的三个内角，其对边分别为c b a ,,，若)2sin ,2cos (A A -=m ，)2sin ,2(cos A A =n ，32=a ，且21=⋅n m ．（1）若ABC ∆的面积3=S ，求c b +的值．（2）求c b +的取值范围．解：（1）)2sin ,2cos (A A m -=，)2sin ,2(cos A A n =，且21=⋅n m .212sin 2cos 22=+-∴A A ，即21cos =-A ，又),0(π∈A ，32π=∴A ………..2分 又由3sin 21=⋅=∆A bc S ABC ，4=∴bc由余弦定理得：bc c b bc c b a ++=⋅-+=2222232cos 2π2)(16c b +=∴，故4=+c b（2）由正弦定理得：432sin 32sin sin sin ====πA a C c B b ，又3ππ=-=+A C B ，30π<<B ，则3233πππ<+<B .则1)3sin(23≤+<πB ，即c b +的取值范围是].4,32(…10分9在锐角△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且(tanA －tanB)＝1＋tanA ·tanB ．(1)若a 2－ab ＝c 2－b 2，求A 、B 、C 的大小；(2)已知向量m ＝(sinA ，cosA)，n ＝(cosB ，sinB)，求｜3m －2n ｜的取值范围． 10在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，(2,)b c a =-m ，(cos ,cos )A C =-n ，且⊥m n 。
高考中数学三角函数的试题分析
高考中数学三角函数的试题分析
一、总体结构：
1. 基本三角函数的试题：题目涉及函数概念、值、性质、图形、关系、等值图等；
2. 三角函数应用题：求解直角三角形，求解一般三角形等；
3. 三角变换概念题：求解不同角度变换时三角函数的变化；
4. 三角函数间关系题：涉及三角函数之间等比、等差、倒数等关系。
二、做题要点：
1. 熟记基本三角函数值，如正弦、余弦和正切的值；
2. 能够正确应用和推理三角函数的值关系；
3. 正确绘制三角函数等值图；
4. 对于应用题或变换概念题要熟悉三角函数的基本定义及其基本性质；
5. 对于三角函数间关系，要充分利用其特性来推理和解决问题。
历年高考三角函数真题解析精选
三角函数和平面向量（2011广东文）16．（本小题满分12分）已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ．（1）求(0)f 的值； （2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求sin()αβ+的值． （2011北京文）15．（本小题共13分）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期： （Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. （2011四川文）18．（本小题共l2分）已知函数73()sin()cos()44f x x x ππ=++-，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知4cos()5βα-=，4cos()5βα+=-，02παβ<<≤．求证：2[()]20f β-=．（2011福建文）21．（本小题满分12分）设函数f （θ）cos θθ+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P （x,y ），且0θπ≤≤。
（1）若点P 的坐标为1(2，求f ()θ的值； （II ）若0.2πθ≤≤，求函数()f θ的最小值和最大值。
（2010上海文数19）.（本题满分12分）已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin))]lg(1sin 2)22x x x x x π⋅+-+--+.（2010浙江文数18） (本题满分l4分)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知1cos 24C =- (I)求sinC 的值；(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC 时，求b 及c 的长．（2010北京文数15）（本小题共13分）在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长. （2010重庆文数18） (本小题满分13分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分.)设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且32b +32c -32a bc .(Ⅰ) 求sinA 的值； (Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C Aππ+++-的值.（2010浙江文数18）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC 的面积，满足222()4S a b c =+-。
高考三角函数历年真题汇总以及解析
1.若34cos,sin ,2525θθ==则角θ的终边落在直线（ ）上A. 2470x y -=B. 2470x y +=C. 7240x y +=D. 7240x y -=2.已知在△ABC 中，22tan tan A a B b =，判断△ABC 的形状为（ ）.A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形3.已知函数()()cos 20,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移6π个单位后得函数()cos2g x x =的图象，则函数()f x 的图象（ ）A. 关于直线23x π=对称 B. 关于直线6x π=对称C. 关于点2-03π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 D. 关于点5-012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 4.已知2sin 1cos αα=+，其中α是第一象限角，则tan2α=（ ）A.12- B. 2C.12D.135.已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，且函数()12f x π+是偶函数，则下列判断正确的是（ ）A. 函数f (x )的最小正周期为2πB. 函数f (x )在区间3[,]4ππ上单调递增 C. 函数f (x )的图象关于直线712x π=-对称 D. 函数f (x )的图象关于点7(,0)12π对称 6.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C()sin sin A B A B+=+，3cos 5C =，且4ABCS=，则c =（ ）B. 4C.3D. 57.在△ABC 中，4ABC π∠=，AB =，3BC =，则sin BAC ∠=（ ）8.将函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的12，再把所得图象上的所有点向右平移4π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3x π=处取得最大值，则函数()f x 的图象（ ）A 关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B. 关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 关于直线512x π=-对称 D. 关于直线6x π=对称9.当[,]33x ππ∈-时，函数2()cos 444x x x f x =+ ）A. C. 110.若1cos 44πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ）A. 78- B.78C. 18-D.1811.函数()sin()sin()36f x x a x ππ=++-的一条对称轴方程为2x π=，则a =（ ）A. 1C. 2D. 312.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，4A π=，12B π=，c =，则a =（ ）A. 2B. 22C. 32D. 4213.在直角坐标系xOy 中，如果相异两点()(),,,A a b B a b --都在函数()y f x =的图象上，那么称A ，B 为函数()f x 的一对关于原点成中心对称的点对(A ，B 与B ，A 为同一对).函数()6sin ,02log ,0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩图象上关于原点成中心对称的点对有（ ）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对14.将函数()sin 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移()0m m >个单位长度，得到函数()g x 的图象．若()g x 为奇函数，则m 的最小值为_______． 15.给出下列四个命题正确的是______________： ①函数()ln 2f x x x =-+在区间(1,)e 上存在零点； ②将函数cos()6y x π=-的图象的横坐标变为原来的12倍得到函数cos(2)3y x π=-； ③若1m ≥-，则函数22log (2)y x x m =--的值域为R ；④“1a =”是“函数()1xxa e f x ae-=+在定义域上是奇函数”的充分不必要条件； 16.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos sin a B b A c A +=，则△ABC 的形状为_____________. 17.正弦型函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图所示，则()f x 的解析式为_______________.18.用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ≥，则[0,]a M =________；a 的取值范围为________．19.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，22a bc =且sin 2sin A C =，则cos C ________．20.△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b sin A a cos B +a sin B ． （1）求B ；（2）设b ＝，a ＝4，D 为线段BC 上一点，若S △ABD ，求AD 的长． 21.已知函数()()22sin cos f x x x x =++-（1）求它的单调递增区间； （2）若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求此函数的值域. 22.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且22sin 30C C -++=． （1）求角C 的大小；（2）若b =，△ABC 的面积为sin 2A B ，求sin A 及c 的值． 23.已知函数()2cos 2sin 2x x f x x πωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0>ω）的最小正周期为π.（1）求ω的值和函数f (x )的单调增区间； （2）求函数f (x )在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 24.已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1cos 2a c Bb =+. （1）求cos C ；（2）若c =，求+a b 的取值范围.25.已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =+-（x ∈R ）. （1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间；（2）若06()5f x =，0[,]42x ππ∈，求0cos2x 的值. 26.已知a ，b ，c 分别为说角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，满足222sin sin sin sin sin 0.A B C B C --+=（1）求A ；（2）若b =2，求△ABC 面积的取值范围. 27.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足下列3个条件中的2个条件：①函数f (x )的周期为π；②6x π=是函数f (x )的对称轴；③04f π⎛⎫=⎪⎝⎭且在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调； （Ⅰ）请指出这二个条件并说明理由，求出函数f (x )的解析式； （Ⅱ）若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数f (x )的最值.试卷答案1.B【详解】由条件可知2724cos 2cos1,sin 2sin cos 2252225θθθθθ=-=-==， 24tan 7θ-=．又24tan 7y x θ==-， 所以247x y =-，即2470x y +=. 故选：B ． 2.C 【分析】22tan tan A a B b=左边切化弦，右边用正弦定理化边为角可解 【详解】22tan tan A a B b =，22sin cos sin sin cos sin A B AB A B∴=cos sin cos sin B A A B∴=，sin cos sin cos A A B B ∴= sin 2sin 2A B ∴=22A B ∴=或2+2=A B πA B ∴=或+=2A B πABC 是等腰或直角三角形故选：C ． 3.D 由题意得22ππω=，故1ω=， ∴()cos(2)f x x ϕ=+， ∴()cos[2()]cos(2)cos 263g x x x x ππϕϕ=-+=-+=，∴3πϕ=，∴()cos(2)3f x x π=+．∵2251()cos(2)cos 133332f ππππ=⨯+==≠±，21()cos(2)cos 166332f ππππ=⨯+==-≠±， ∴选项A,B 不正确． 又22()cos(2)cos()10333f ππππ-=-⨯+=-=-≠， 55()cos(2)cos()0121232f ππππ-=-⨯+=-=， ∴选项C,不正确，选项D 正确．选D ． 4.C 【分析】由二倍角公式和平方关系可得22sincoscos 222ααα=，再由商数关系即可得解.【详解】因为2sin 1cos αα=+，所以224sin cos1cos sin 2222αααα=+-，所以22sincoscos 222ααα=，又α是第一象限角，所以cos02α≠，所以2sincos1222cos 2ααα=即1tan 22α=.故选：C.【点睛】本题考查了二倍角公式及同角三角函数关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 5.B图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，即三角函数的周期为22,,22ππππωω⨯=∴==,所以sin 2sin 212126f x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,又12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，,62k k Z ππϕπ∴+=+∈,即,3k k Z πϕπ=+∈,又2πϕ<,解得3πϕ=,所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.A项,最小正周期T π=,错误;B 项, 由222,232k x k k Zπππππ-≤+≤+∈,解得单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣∈⎦,k=1时成立,故正确;;C 项, 2,32x k k Z πππ+=+∈,解得对称轴是,212k x k Z ππ=+∈,错误;D 项, 由2,3x k k Z ππ+=∈,解得对称中心是,0,26⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭k k Z ππ,错误;综上所述,应选B. 6.B 【分析】由三角函数的基本关系式和4ABCS=，求得10ab =，再由正弦定理，得到a b =+，根据余弦定理，列出方程，即可求解.【详解】因3cos 5C =，则(0,)2C π∈，所以4sin 5==C ，又因为4ABCS=，即114sin 4225ab C ab =⨯=，解得10ab =，sin sin C A B =+a b =+， 由余弦定理，可得22222223162cos 2()33255c a b ab C a b ab a b ab c =+-=+-⨯=+-=-，整理得216c =，即4c =.故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档题． 7.C试题分析：由余弦定理得22923cos5,4b b π=+-⋅==.由正弦定理得3sin sin 4BAC π=∠，解得sin BAC ∠=考点：解三角形. 8.C 【分析】根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，得到sin 2)2(x g x πϕ⎛⎫-+ ⎝=⎪⎭，函数()g x 在3x π=处取得最大值，求得3πϕ=，再求函数()f x 的对称轴和对称中心即可．【详解】由题意得，12sin 2sin (4)222x x x g ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=， 由函数()g x 在3x π=处取得最大值，得max sin 2sin 13326()g x g ππππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴262k ππϕπ+=+，k Z ∈，23k πϕπ=+，k Z ∈，∵0ϕπ<<，∴3πϕ=，∴2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由23x k ππ+=，k Z ∈，得26k x ππ=-，k Z ∈， ∴函数()f x 的图象关于,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈对称， 故A ，B 选项错误； 由232x k πππ+=+，k Z ∈，得212k x ππ=+，k Z ∈， ∴函数()f x 的图象的对称轴方程为212k x ππ=+，k Z ∈， 显然当1k =-时，函数()f x 的图象的对称轴为直线512x π=-， 故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，三角函数的最值，三角函数图象的对称性等，考查的数学核心素养是数学运算、直观想象． 9.B【分析】由二倍角公式降幂，然后由两角和的正弦公式化简函数为一个角一个三角函数形式，再利用正弦函数性质可得最小值． 【详解】21()cos sin 4442222223x x x x x x x x f x π⎫⎛⎫=-=+==+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 当,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，,2362x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以236x ππ+=，即3x π=-时，min ()2f x =． 故选：B ．【点睛】本题考查求正弦型函数的最值，解题关键是利用二倍角公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式． 10.A 【分析】 根据1cos 44πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，将sin 2α，利用诱导公式和二倍角的余弦公式转化为2sin 22cos 14παα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求解.【详解】因为1cos 44πα⎛⎫-=⎪⎝⎭， 所以27sin 2cos 22cos 1448ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题. 11. B 【详解】试题分析：()f x 的对称轴是2x π=2f π⎛⎫∴= ⎪⎝⎭cos cos 36a ππ+=a =考点：三角函数性质点评：利用对称轴处取最值求解 12.C 【分析】先求得C ，然后利用正弦定理求得a . 【详解】因为,412A B ππ==，所以23C A B ππ=--=，所以sin sin c Aa C===故选：C【答案】 13.C 【分析】作出函数6log y x =，作出sin ,02y x x π=≤关于原点的对称图像，由图象交点个数即可得到结论.【详解】若()6sin ,02log ,0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩图象上有关于原点成中心对称的点， 则6log y x =与sin,02y x x π=≤关于原点对称图像有交点，作出6log y x =，sin(),02y x x π=--≥图象如图，由图象可知，有3个交点，从而()f x 有3对关于原点对称的点. 故选：C【点睛】本题主要考查了对数函数、正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，属于中档题. 14.3π 【分析】利用图象变换求得函数()y g x =的解析式，由函数()y g x =为奇函数，可得出关于m 的代数式，进而可求得正数m 的最小值. 【详解】将函数()sin 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数11sin 3sin 6626y x x ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 再将所得函数图象向右平移()0m m >个单位长度，得到()()111sin sin 26262g x x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，由于函数()y g x =为奇函数，则()162m k k Z ππ-=∈，()23m k k Z ππ∴=-∈， 当0k =时，正数m 取得最小值3π. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求函数解析式，同时也考查了利用正弦型函数的奇偶性求参数，考查计算能力，属于中等题.①③④ 【分析】根据零点存在定理，三角函数图象变换，对数函数的性质，充分不必要条件的定义判断各选项．【详解】①()ln 2f x x x =-+，(1)10f =-<，()10f e e =->，由零点存在定理得()f x 在(1,)e 上有零点，①正确；②函数cos()6y x π=-的图象的横坐标变为原来的12得到函数cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，②错误；③1m ≥-时，440m ∆=+≥，故函数值域为R ，③正确；④()1x x a e f x ae -=+是奇函数，则1()11x x xx x xa e ae a e f x ae e a ae------===-+++，22(1)(1)0xa e --=，1a =±，因此“1a =”是“函数()1xxa e f x ae-=+在定义域上是奇函数”的充分不必要条件，④正确． 故答案为：①③④【点睛】本题考查命题的真假判断，掌握零点存在定理，三角函数图象变换，对数函数的性质，充分不必要条件的定义是解题基础． 16. 直角三角形 【分析】利用正弦定理边角互化思想求得sin A 的值，可求得角A 的值，进而可判断出ABC 的形状. 【详解】cos cos sin a B b A c A+=，由正弦定理得sin cos cos sin sin sin A B A B A C +=，即()()sin sin sin sin sin A C A B C C π=+=-=，0C π<<，则sin 0C >，sin 1A ∴=，0A π<<，2A π∴=.因此，ABC 为直角三角形. 故答案为：直角三角形.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想判断三角形的形状，考查计算能力，属于基17.()2sin(2)3f x x π=+【分析】由最值求得A ，由周期求得ω，由最高点或零点横坐标及ϕ的范围求得ϕ，得解析式．【详解】由题意1A =，4312T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，∴22πωπ==， 由正弦函数性质得，22122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，∵2πϕ<，∴3πϕ=．∴()2sin(2)3f x x π=+．故答案为：()2sin(2)3f x x π=+【点睛】本题考查求三角函数的解析式，掌握“五点法”作正弦函数的图象是解题关键． 18. 1； 513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据三角函数的有界性易得[0,]1a M =，通过作图分析可得a 的取值范围. 【详解】作出函数sin y x =的图象，如图所示：显然，[0,]a M 的最大值为1，[0,][,2]2a a a M M ≥，∴[,2]a a M 的最大值为12， 作出直线12y =与sin y x =相交于,,A B C 三点，且151131(,)(,),(,)626262A B C πππ，由图形可得：5,513613662,6a a a ππππ⎧≤⎪⎪⇒≤≤⎨⎪≤⎪⎩， 故答案为：513[,]66ππ. 【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意结合图象进行分析求解. 19.78【分析】根据正弦定理将角化成边得2a c =，结合2b c =，将边统一用c 表示，再利用余弦定理，即可得答案； 【详解】sin 2sin 2A C a c =⇒=，又22a bc =，∴2b c =，∴2222277cos 2248a b c c C ab c +-===⋅⋅， 故答案为：78. 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将边统一用c 进行表示，进而求得角的余弦值. 20. （1）3π；（2） 【分析】（1）根据2b sin Aa cos B +a sin B ,利用正弦定理得到sin sin cos B A A B =,再根据sin 0A ≠求解.（2）在△ABC 中，利用余弦定理求得c ，再由S △ABD，求得BD ，然后 在△ABD 中，由余弦定理求解.【详解】（1）因为2b sin Acos B +a sin B ,所以2sin sin sin cos sin sin B A A B A B =+,sin sin cos B A A B =,sin 0A ≠tan B =()0,B π∈ 3B π=（2）在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，解得6c =或2c =-（舍去），因为S △ABD ＝1sin 22⨯⨯=BD c B ， 解得 3BD =，在△ABD 中，由余弦定理得：2222cos 27AD BD c BD c B =+-⨯⨯⨯=，解得AD =.【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21.（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）；（2）(1⎤⎦.【分析】（1）化简()f x ，再根据正弦函数的单调增区间代入求解即可． （2）根据（1）的结果()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求出23x π+的范围结合sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的值域为,12⎛⎤-⎥⎝⎦，即可求出结果．【详解】（1）())21sin 22cos 1f x x x =+-1sin 212sin 23x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭由222232k x k πππππ-+≤+≤+，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈.故此函数的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）.（2）由02x π<<，得42333x πππ<+<.sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域为⎛⎤ ⎥⎝⎦.()12sin 23f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的值域为(1⎤⎦，故此函数的值域为(1⎤-⎦【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，常考三角函数的性质有：对称轴、单调性、最值、对称中心．属于中档题． 22.（1）34C π=；（2）sin 1A c ==. 【分析】（1）由三角恒等变形可得cos 2C =-，0C π<<又，即34C π=．（2）由余弦定理得c =，再由正弦定理及三角形面积公式可得：2sin ()sin sin sin sin a b c C C A B C==，即1c ==，得解.【详解】解：（1）22sin 30C C -++=，可得：22(1cos )30C C --++=，22cos 10C C ∴++=， cos C ∴=0C π<<，34C π∴=． （2）2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=，c ∴，sin C A ∴，sinA C ∴==，1sin sin 2ABC S ab C A B ∆=，∴1sin sin 2ab C A B =，∴2sin ()sin sin sin sin a b c C C A B C=1c ∴=．【点睛】本题考查了三角恒等变形及正余弦定理，属中档题. 23.（1）1ω=；单调增区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）[]0,3. 【分析】（1）先将函数解析式整理，得到()2sin 216f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭πω，根据最小正周期，即可求出1ω=，由正弦函数的单调性，列出不等式求解，即可得出单调增区间； （2）先由3x ππ≤≤，得到7132666x πππ≤+≤，根据正弦函数的性质，即可求出结果. 【详解】（1）()2cos 2sin cos 1cos 22x x x x x f x x ⎛⎫=++=-+- ⎪⎝⎭πωωωωωω2cos 212sin 216x x x ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭πωωω，∵函数()f x 的最小正周期为22T ππω==， ∴1ω=；∴()2sin 216f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 由3222262k x k πππππ+≤+≤+()k ∈Z ，得263k x k ππππ+≤≤+()k ∈Z ，∴函数()f x 的单调增区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . （2）由2x ππ≤≤得7132666x πππ≤+≤， 所以1sin 21,62x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()[]2sin 210,36f x x ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭π. 即()f x 的取值范围为[]0,3.【点睛】本题主要考查由正弦型函数的周期求参数，考查求正弦型函数的单调区间，考查求正弦型函数在给定区间的值域，属于常考题型. 24.（1）12；（2）3【分析】（1）利用余弦定理将角转化为边，再利用余弦定理求得结果；（2）由已知结合正弦定理将边转化角，再利用三角形内角和定理、辅助角公式转化为求6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的取值范围.【详解】（1）由1cos 2a c Bb =+，可得222222cos a ab ac B a c b -==+-， 整理得222a b c ab +-=，所以222cos 122a b c C ab +-==.（2）由（1）得1cos 2C =，0C π<<,3C π=，,sin 2C =，c = 由正弦定理得2sin sin sin a b cA B C===， ∴22sin 2sin 2sin 2sin 3a b A B A A π⎛⎫+=+=+-⎪⎝⎭3sin 6A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，∵3C π=,∴203A π<<，5666A πππ<+<， 1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭6A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭∴+a b 的取值范围是3.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题. 25.（1）最小正周期是π，增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，减区间是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2 【分析】（1）应用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求解； （2）由（1）求得0sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再求出0cos 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭，然后用两角差的余弦公式求解．【详解】（1）1()2cos 222cos 22sin 2326f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以最小正周期为22T ππ==， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由2662x πππ≤+≤，得06x π≤≤， 由72266x πππ≤+≤得62x ππ≤≤， 所以()f x 的增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，减区间是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）由（1）得062sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为0,43x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0252,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以04cos 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以0000cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦431552=-+⨯=【点睛】本题考查求三角函数的周期与单调区间，考查两角和与差的正弦、余弦公式，二倍角公式，同角间的三角函数关系．解题关键是把三角函数化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解． 26.（1）3A π=；（2）(2【分析】 （1）利用正弦定理的边角互化可得222a b c bc =+-，再利用余弦定理即可求解. （2）利用正弦定理可得2sin sin C c B=，再利用三角形的面积公式可得12sin 2sin 2sin ABC C S A B=⨯⨯，根据三角形的内角和性质以及两角差的正弦公式可将式子312tan B ⨯，结合B 的取值范围即可求解. 【详解】解：（1）由已知及正弦定理得， 222,a b c bc =+- 由余弦定理可得2221cos .22b c a A bc +-== 又0A π<<，.3A π∴=（2） 由已知及正弦定理得， 2sin ,sin C c B =由2,3B C π+=得12sin 2sin 2sin ABC C S A B=⨯⨯2sin()313.sin 2tan B B Bπ-==+⨯ ABC 是锐角三角形，得20,0,232B B πππ<<<-<得.62B ππ<<tan B >∴10tan B ∴<<ABC S <<所以ABC面积的取值范围是,2 【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、余弦定理解三角形、三角形的面积公式、两角差的正弦公式，属于中档题.27.（Ⅰ）①②成立，理由见解析，()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭；（Ⅱ）f (x )的最大值为1；最小值为12.【分析】（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案. （Ⅱ）03x π≤≤得到52666x πππ≤+≤，得到函数值域，即可得出最值. 【详解】（Ⅰ）由①可得，22ππωω=⇒=. 由②得：6226k k πωπππωϕπϕπ+=+⇒=+-，k Z ∈ 由③得，44m m πωπωωπϕπ+=⇒=-，m Z ∈220322633T πππππωω≥-=⇒≥⇒<≤ 若①②成立，则2ω=，6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭. 若①③成立，则42m m πωπϕππ=-=-，m Z ∈，不合题意. 若②③成立，则()1266264k m m k ππωπωππω+-=-⇒=--≥，k Z ∈与③中的03ω<≤矛盾，所以②③不成立.所以，只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭. （Ⅱ）由题意得，()5102136662x x f x ππππ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤. 所以，当6x π=时，函数()f x 取得最大值1；当0x =或3x π=时，函数()f x 取得最小值12.。
高考数学三角函数试题分析
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高考数学三角函数典型综合题型题库 含详解
1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =设内角B x =,面积为y .(1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值.解：（1）ABC ∆的内角和A B C π++=3A π=203B π∴<<sin 4sin sin BCAC B x A== 12sin sin()23y AB AC A x x π∴=⋅=- 2(0)3x π<<（2）y = 21sin()sin )32x x x x x π-=+26sin cos x x x =+7)2)6666x x ππππ=--<-<当262x ππ-=即3x π=时，y 取得最大值………………………14分2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0＜α＜β＜π．(1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 的长度相等，求β－α的值(k 为非零的常数)． 解：(1)由题意得：a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β) a －b ＝(cos α－cos β， sin α－sin β) ∴(a ＋b )·(a －b )＝(cos α＋cos β)(cos α－cos β)＋(sin α＋sin β)(sin α－sin β)＝cos 2α－cos 2β＋sin 2α－sin 2β＝1－1＝0 ∴a ＋b 与a －b 互相垂直．(2) 方法一：k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)， a －k b ＝(cos α－k cos β， sin α－k sin β)| k a ＋b |＝1)cos(22+-+αβk k ，| a －k b |＝1)cos(22+--αβk k 由题意，得4cos (β－α)＝0，因为0＜α＜β＜π ，所以β－α＝2π．方法二：由| k a ＋b |＝| a －k b |得：| k a ＋b |2＝| a －k b |2即(k a ＋b )2＝( a －k b )2，k 2| a |2＋2k a ⋅b ＋| b |2＝| a |2－2k a ⋅b ＋k 2| b |2由于| a |＝1，| b |＝1∴k 2＋2k a ⋅b ＋1＝1－2k a ⋅b ＋k 2，故a ⋅b ＝0，即(cos α，sin α)⋅ (cos β，sin β)＝0 10分 ⇒ 0)cos(0sin sin cos cos =-⇒=+αββαβα 因为0＜α＜β＜π ，所以β－α＝2π．3、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知3sin 22B A ++cos 22B A -=2, (cosA •cosB ≠0)，求tanAtanB 的值。
2023届高考数学《三角函数与解三角形》典型例题讲解
2023届高考数学《三角函数与解三角形》典型例题讲解【典型例题】例1．（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知函数2()cos cos )sin f x x x x x =+−.(1)求函数f (x )的单调递增区间和最小正周期；(2)若当ππ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的不等式. (),f x m ≥求实数m 的取值范围. 请选择①恒成立，②有解，两条件中的一个，补全问题(2)，并求解.注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分.【解析】（1）222()cos cos )sin cos cos sin f x x x x x x x x x =+−=+−π2cos22sin(2)6x x x +=+． 所以函数()f x 的最小正周期πT =． 由πππ2π22π,Z 262k x k k −+++∈剟，解得ππππ,Z 36k x k k −++∈剟． 所以函数()f x 的单调增区间为ππ[π,π],Z 36k k k −++∈，（2）若选择①由题意可知，不等式()f x m …恒成立，即min ()m f x …． 因为ππ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π2366x +剟． 故当π7π266x +=，即π2x =时，()f x 取得最小值，且最小值为1π2f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭． 所以1m −…，实数m 的取值范围为(],1−∞−．若选择②由题意可知，不等式()f x m …有解，即max ()m f x …． 因为ππ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π2366x +剟．故当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值，且最大值为π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 所以2m …，实数m 的取值范围(],2−∞．例2．（2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，若ABC 同时满足下列四个条件中的三个：①a 2b =；③sin sin sin ++=−B C a c A b c ；④21cos sin sin 24−⎛⎫−= ⎪⎝⎭B C B C ． (1)满足有解三角形的序号组合有哪些？(2)请在（1）所有组合中任选一组，求对应ABC 的面积．【解析】（1）对于③，()22212π,0,223b c a c a c b B B a b c ac π+++−=⇒=−∈∴=−； 对于④，()()1cos 11sin sin cos 2sin sin 242B C B C B C B C +−−=⇒−−=−， 即()1cos 2B C +=−，且π,0,,πA B C A B C ++=<<，则π3A =，故③，④不能同时存在，则满足有解三角形的序号组合为①②③，①②④．（2）选①②③：2π2,3a b B ===时， 由余弦定理：22221cos22a c b B ac +−=⇒−=整理得：210c −=且0c >，则c =，ABC ∴的面积为31sin 28ABC S ac B ==．选①②④：π2,3a b A ===时， 由余弦定理：2222143cos 224b c a c A bc c+−+−=⇒=， 整理得：2210c c −+=，则1c =，ABC ∴的面积1sin 2ABC S bc A ==． 例3．（2022春·浙江·高二期中）在①(sin sin )()(sin sin )c A C a b A B −=−+，②2cos 2b A a c +=，222sin B a c b =+−三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．(1)求角B 的大小； (2)如图所示，当sin sin A C +取得最大值时，若在ABC 所在平面内取一点D （D 与B 在AC 两侧），使得线段2,1DC DA ==，求BCD △面积的最大值．【解析】（1）若选①(sin sin )()(sin sin )c A C a b A B −=−+，由正弦定理得，()()()c a c a b a b −=−+，整理得222a c b ac +−=， 所以2221cos 222a cb ac B ac ac +−===，又0πB <<，所以π3B =； 若选②2cos 2b A a c +=， 由余弦定理得222222b c a b a c bc+−+=，化简得222a c b ac +−= 所以2221cos 222a cb ac B ac ac +−===，又0πB <<，所以π3B =；222sin B a c b =+−，sin 2cos B ac B =， 化简得tan B 0πB <<，所以π3B =；（2）由（1）得2π3A C +=，故2π03A <<，所以2π3πsin sin sin sin sin 326A C A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+−==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由ππ5π666A <+<，所以当ππ62A +=即π3A =时，sin sin A C + 令,ACD ADC θα∠=∠=，AB AC BC a ===， 在ACD 中由正弦定理可得，1sin sin a αθ=，所以sin sin a αθ=， 由余弦定理可得22221221cos 54cos a αα=+−⨯⨯⨯=−，所以()2222222cos 1sin sin a a a a θθθ=−=−()22254cos sin cos 4cos 42cos ααααα=−−=−+=−， 因为1,2DA DC ==，可得π02θ<<，所以cos 2cos a θα=−，1π12sin cos sin 232BCD S a a θθθ⎛⎫=⨯⨯⨯+=+ ⎪⎝⎭)1π2cos sin sin 23ααα⎛⎫=−+=− ⎪⎝⎭ 当且仅当ππ=32α−即5π=6α时,等号成立， 所以BCD △．本课结束。
《三角函数》高考真题理科大题总结和答案解析
《三角函数》大题总结1.【2015高考新课标2，理17】ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(Ⅰ) 求sin sin BC∠∠；(Ⅱ)若1AD =，DC =BD 和AC 的长． 2.【2015江苏高考，15】在ABC ∆中，已知 60,3,2===A AC AB .（1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.3.【2015高考福建，理19】已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p 个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ． （1)求实数m 的取值范围；（2)证明：22cos ) 1.5m a b -=-( 4.【2015高考浙江，理16】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c .（1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为7，求b 的值.5.【2015高考山东，理16】设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.6.【2015高考天津，理15】已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈(I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p-上的最大值和最小值.7.【2015高考安徽，理16】在ABC ∆中，3,6,4A AB AC π===,点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.8.【2015高考重庆，理18】 已知函数()2sin sin 2f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期和最大值； （2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.9.【2015高考四川，理19】 如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角. （1）证明：1cos tan ;2sin A A A-= （2）若180,6,3,4,5,A C AB BC CD AD +=====o 求tantan tan tan 2222A B C D+++的值.10.【2015高考湖北，理17】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象 时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解 析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值.11．【2015高考陕西，理17】（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．（I ）求A ；（II ）若a =2b =求C ∆AB 的面积．12.【2015高考北京，理15】已知函数2()cos 222x x xf x =-．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．13.【2015高考广东，理16】在平面直角坐标系xoy 中，已知向量2m ⎛= ，()sin ,cos n x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值．14.【2015高考湖南，理17】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角.（1）证明：2B A π-=；（2）求sin sin A C +的取值范围.《三角函数》大题答案1.【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)1． 【解析】(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2ABD ADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以BD =ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．2.【答案】（1（23.【答案】(Ⅰ) f()2sin x x =，(k Z).2x k pp =+?；(Ⅱ)（1）(-；（2）详见解析．【解析】解法一：(1)将()cos g x x =的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y 2cos x =的图像，再将y 2cos x =的图像向右平移2p个单位长度后得到y 2cos()2x p=-的图像，故f()2sin x x =，从而函数f()2sin x x =图像的对称轴方程为(k Z).2x k pp =+?(2)1) f()g()2sin cos )x x x x x x +=+=)x j +（其中sinj j ==） 依题意，sin(x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解,a b 当且仅当|1<，故m 的取值范围是(-.2)因为,a b )=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解， 所以sin()=a j +sin(b j +.当1£+=2(),2();2pa b j a b p b j --=-+当-时, 3+=2(),32();2pa b j a b p b j --=-+所以2222cos )cos 2()2sin ()11 1.5m a b b j b j -=-+=+-=-=-( 解法二：(1)同解法一. (2)1) 同解法一.2) 因为,a b )=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解， 所以sin()=a j +sin(b j +.当1£+=2(),+();2pa b j a j p b j -=-+即当-时, 3+=2(),+3();2pa b j a j p b j -=-+即 所以cos +)cos()a j b j =-+(于是cos )cos[()()]cos()cos()sin()sin()a b a j b j a j b j a j b j -=+-+=+++++(22222cos()sin()sin()[1] 1.5mb j a j b j=-++++=--+=-4.【答案】（1）2；（2）3b=.又∵4Aπ=，1sin32bc A=，∴bc=，故3b=.5.【答案】（I）单调递增区间是(),44k k k Zππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Zππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（II）ABC∆【解析】（I）由题意知()1cos2sin2222xxf xπ⎛⎫++⎪⎝⎭=-sin21sin21sin2222x xx-=-=-由222,22k x k k Zππππ-+≤≤+∈可得,44k x k k Zππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Zππππ+≤≤+∈可得3,44k x k k Zππππ+≤≤+∈所以函数()f x的单调递增区间是(),44k k k Zππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦6.【答案】(I)π; (II) max ()f x =,min 1()2f x =-.【解析】(I) 由已知，有1cos 21cos21113()cos22cos222222x x f x x x x π⎛⎫-- ⎪⎛⎫-⎝⎭=-=+- ⎪⎝⎭112cos2sin 2426x x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. (II)因为()f x 在区间[,]36p p --上是减函数，在区间[,]64p p-上是增函数，11(),(),()34624f f f πππ-=--=-=，所以()f x 在区间[,]34p p -，最小值为12-. 7.【解析】如图，设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理得2222232cos 626cos1836(36)904a b c bc BAC π=+-∠=+-⨯⨯=+--=，所以a =又由正弦定理得sin sinb BAC B a ∠===.由题设知04B π<<，所以cos B ===在ABD ∆中，由正弦定理得sin 6sin 3sin(2)2sin cos cos AB B B AD B B B Bπ⋅====-8.【答案】（1）最小正周期为p ，（2）()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减.当223x πππ≤-≤时,即52123x ππ≤≤时，()f x 单调递减， 综上可知，()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减.9.【答案】（1）详见解析；（2.【解析】（1）2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222A AA A A A A A-===. （2）由180A C +=，得180,180C A D B =-=-. 由（1），有tantan tan tan 2222A B C D +++ 1cos 1cos 1cos(180)1cos(180)sin sin sin(180)sin(180)A B A B A B A B ------=+++--22sin sin A B=+ 连结BD ，在ABD ∆中，有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅， 在BCD ∆中，有2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅，所以 222cos AB AD AB AD A +-⋅222cos BC CD BC CD A =++⋅，则2222222265343cos 2()2(6534)7AB AD BC CD A AB AD BC CD +--+--===⋅+⋅⨯+⨯，于是sin A ===. 连结AC ，同理可得2222222263541cos 2()2(6354)19AB BC AD CD B AB BC AD CD +--+--===⋅+⋅⨯+⨯，于是sin B ===所以tan tan tan tan 2222A B C D+++ 22sin sin A B=+=10.【答案】（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π6.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=， 解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6.11.【答案】（I ）3π；（II【解析】（I ）因为//m n ，所以sin cos 0a B A -=，由正弦定理，得sinAsinB A 0-=又sin 0B ≠，从而tan A =，从而sin B ，又由a b >，知A B >，所以cos B故()sinC sin A B sin sin cos cos sin 333B B πππ⎛⎫=+=B +=+= ⎪⎝⎭所以C ∆AB 的面积为1bcsinA 212.【答案】（1）2π，（2）1-- 【解析】 ：211cos ()sincossin sin 22222xxxxf x x -=-=⋅-⋅=sin cos x x =+-sin()4x π=+- (1)()f x 的最小正周期为221T ππ==； (2)30,444x x ππππ-≤≤∴-≤+≤，当3,424x x πππ+=-=-时，()f x取得最小值为：1--13.【答案】（1）1；（2）512x π=． 【解析】（1）∵2m ⎛=，()sin ,cos n x x =且m n⊥， ∴()2sin ,cos sin 04m n x x x x x π⎛⎛⎫⋅=⋅==-= ⎪⎝⎭，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ ,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴ 04x π-=即4x π=，∴ tan tan 14x π==； （2）由（1）依题知 sin 4cos sin 34x m n x m nπππ⎛⎫-⋅⎛⎫===- ⎪⎝⎭⋅⎛，∴ 1sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ∴ 46x ππ-=即512x π=． 14.【答案】（1）详见解析；（2）9]8.(2)2022A A πππ-+=->，∴(0,)4A π∈，于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-2219sin cos 22sin sin 12(sin )48A A A A A =+=-++=--+，∵04A π<<，∴0sin A <<，因此21992(sin )488A <--+≤，由此可知sin sin A C +的取值范围是9]8.。
高考数学三角函数练习题及答案解析_图文.docx
高考数学三角函数练习题及答案解析(2010 ±海文数)19.(本题满分12分)TT已知Ovxv —,化简：2lg(cos x • tan x +1 - 2 sin 2 + lg[V2 cos(x 一 彳)]一 lg(l + sin 2x). 解析：原式=lg(sin_r+cosx)+lg(cosx+siru)-lg(sinx+cosx)2=0.(2010湖南文数)16.(本小题满分12分) 已知函数 f (x) = sin 2x-2sin 2 x （I ）求函数/（x ）的最小正周期。
（II ）求函数/（X ）的最大值及/（X ）取最大值时X 的集合。
解(I )因为/(x) = sin2x-(l-cos2x)= s/2sin(2r + -J)-l t所以函数/（x ）的最小正周期为卩=夸=兀（II ）由（I ）知，当2x +于=2A 卄号，即+晋（kZ ）时，/（X ）取最大值 7?-1・因此函数/（X ）取址大值时;c 的集合为{职“后+罟”G Z}・O（2010浙江理数）（18）（本题满分14分）®AABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c, 已知 cos2C =4⑴求sinC 的值;（11）当8=2, 2sinA=sinC 吋，求 b 及 c 的长.解析：木题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。
（I ） 解：因为 cos2C=l-2sin 2C=--,及 0<C< 兀4 所以 sinC=——.4（II ） 解：当 a=2, 2sinA=sinC 吋，由正弦定理一-—=—-—,得sin A sinC c=4/x4 * it口 ■由COS2C=2COS2C-1=一一，J 及0<C<H得4cosC=±由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC,得 b 2± V6 b-12=0所以rb=>/6V、c=4 或（2010全国卷2理数）（17）（本小题满分10分）53 \ABC 中，D 为边 BC 上的一点，BD = 33, sin5 = —, cosZADC = -f 求 AD. 13 5【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形小的 应用，考查考牛对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】3 R由 cosZADeJ? >0,知 B< 2.12 4[fl 已知I 得 cosB=l 13 , sinZADC=5 .从而 sinZBAD=sin ( ZADC-B) =s【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近儿年高考的热点，在高考试题屮频繁出现. 这类题型难度比鮫低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保超, 不会冇太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角 或将边角互化.（2010陕西文数）17.（本小题满分12分）在AABC 屮，已知B=45° ,。
高考数学专题《三角函数的图象与性质》习题含答案解析
专题5.3 三角函数的图象与性质1．（2021·北京市大兴区精华培训学校高三三模）下列函数中，既是奇函数又以π为最小正周期的函数是（）A ．cos 2y x =B ．sin2y x=C ．sin cos y x x=+D ．tan 2y x=【答案】B 【解析】由三角函数的奇偶性和周期性判断即可得出答案.【详解】解：A 选项：cos 2y x =是周期为π的偶函数，故A 不正确；B 选项：sin2y x =是周期为π的奇函数，故B 正确；C选项：sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，周期为2π且非奇非偶函数，故C 不正确；D 选项：tan 2y x =是周期为2π的奇函数，故D 不正确.故选：B.2．（2021·海南高三其他模拟）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A ．ln y x =B ．21y x =+C ．sin y x=D ．cos y x=【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y lnx =，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于B ，21y x =+，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，对于C ，sin y x =，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，对于D ，cos y x =，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，故选：D ．练基础3．（2021·浙江高三其他模拟）函数y =sin tan x e xx在[-2，2]上的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】利用同角三角函数的商数关系并注意利用正切函数的性质求得函数的定义域，可以化简得到()cos ,2x k f x e x x k Z π⎛⎫=≠∈ ⎪⎝⎭，考察当x 趋近于0时，函数的变化趋势，可以排除A,考察端点值的正负可以评出CD.【详解】()sin cos ,tan 2x x e x k f x e x x k Z x π⎛⎫==≠∈ ⎪⎝⎭,当x 趋近于0时，函数值趋近于0cos 01e =,故排除A;()22cos 20f e =<,故排除CD,故选：B4．（2021·全国高三其他模拟（理））函数y =tan(3x +6π)的一个对称中心是（ ）A ．(0，0)B ．(6π，0)C ．(49π，0)D ．以上选项都不对【答案】C 【解析】根据正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)求出函数y =tan(3x +6π)图象的对称中心，即可得到选项.【详解】解：因为正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)，k ∈Z ；令3x +6π=2k π，解得618k x ππ=-，k ∈Z ；所以函数y =tan(3x +6π)的图象的对称中心为(618k ππ-，0)，k ∈Z ；当k =3时,C 正确，故选：C.5．（2019年高考全国Ⅱ卷文）若x 1=，x 2=是函数f (x )=(>0)两个相邻的极值点，则=（ ）A ．2B ．C ．1D ．【答案】A【解析】由题意知，的周期，解得．故选A ．6．（2021·临川一中实验学校高三其他模拟（文））若函数cos (0)y x ωω=>的图象在区间,24ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个对称中心，则ω的取范围为（ ）A ．12ω<≤B ．ω1≤<2C ．13ω<≤D ．13ω≤<【答案】A 【解析】根据题意可得422πππω≤<，即可求出.【详解】4π43πsin x ωωω3212()sin f x x ω=232()44T ωπππ==-=π2ω=由题可知，cos (0)y x ωω=>在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上只有一个零点，又2x πω=，2x πω=，所以422πππω≤<，即12ω<≤.故选：A.7.(2019年高考北京卷文)设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】时，，为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，即，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.8．（2021·青海西宁市·高三二模（文））函数()cos 218f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为（ ）A ．,14π⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．,14π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据余弦函数的对称中心整体代换求解即可.【详解】令2()82x k k πππ-=+∈Z ，可得5()216k x k ππ=+∈Z ．所以当1k =-时，316x π=-，故3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭满足条件，当0k =时，516x π=，故5,116π⎛⎫-⎪⎝⎭满足条件；故选：D0b =()cos sin cos f x x b x x =+=()f x ()f x ()=()f x f x -x ()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=-sin 0b x =x 0b =0b =()f x9．（2021·全国高一专题练习）设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．()f x 的一个零点为6x π=【答案】C 【解析】根据解析式结合余弦函数的性质依次判断每个选项的正误即可.【详解】函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 正确；22(cos 1333f πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象关于直线23x π=对称，故B 正确；当x ∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()f x 没有单调性，故C 错误；()cos 0663f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的一个零点为6x π=，故D 正确.综上，错误的选项为C.故选：C.10．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=s in 2x +3cosx ―34（x ∈0,__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1―cos 2x+3cos x ―34=―cos 2x +3cos x +14= ―(cos x ―32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cos x ∈[0,1]，当cos x =32时，函数f (x )取得最大值1．练提升1．（2021·河南高二月考（文））已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞＜＜的相邻的两个零点之间的距离是6π，且直线18x π=是()f x 图象的一条对称轴，则12f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A．B ．12-C ．12D【答案】D 【解析】由相邻两个零点的距离确定周期求出6ω=，再由对称轴确定6π=ϕ，代入12x π=可求出结果.【详解】解：因为相邻的两个零点之间的距离是6π，所以26T π=，23T ππω==，所以6ω=，又sin 6sin 118183f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且02πϕ＜＜，则6π=ϕ，所以()sin 66f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 612126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.2.（2020·山东潍坊�高一期末）若函数的最小正周期为，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意，函数的最小正周期为，可得，解得，即，()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(2)(0)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫->> ⎪⎝⎭()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭πwππ=1w =()tan()4f x x π=+令，即，当时，，即函数在上单调递增，又由，又由，所以.故选：C.3．（2021·广东佛山市·高三二模）设()0,θπ∈，则“6πθ<”是“1sin 2θ<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由条件即06πθ<<，由06πθ<<，得1sin 2θ<；反之不成立，可举反例．再由充分必要条件的判定得答案．【详解】由()0,θπ∈，则6πθ<，即06πθ<<所以当06πθ<<时，由正弦函数sin y x =的单调性可得1sin sin62πθ<=，即由6πθ<可以得到1sin 2θ<.反之不成立，例如当56πθπ<<时，也有1sin 2θ<成立，但6πθ<不成立.故“6πθ<”是“1sin 2θ<”的充分不必要条件故选：A4．（2021·四川省华蓥中学高三其他模拟（理））已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈3,44k x k k Z ππππ-+<<+∈1k =544x ππ<<()f x 5(,)44ππ4(0)(),()()()555f f f f f πππππ=-=-+=425ππ>>(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则下列判断不正确的是（）A ．要得到函数()f x 的图象，只需将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位B ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称C ．,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x D ．函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】C 【解析】根据最大值为2，可得A ，根据正弦型函数的周期性，可求得ω，根据对称性，可求得ϕ，即可得()f x 解析式，根据正弦型函数的单调性、值域的求法，逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得A =2，因为其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以22Tπ=，可得2T ππω==，所以2ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，因为,06π⎛⎫-⎪⎝⎭为对称中心，所以2,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭，因为||2ϕπ<，令k =0，可得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.对于A ：将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位，可得2cos 22cos 22cos 22sin 22sin 21266263y x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；对于B ：令2,32x k k Z πππ+=+∈，解得,212k x k Z ππ=+∈，令k =1，可得712x π=，所以函数()f x 的图象关于直线712x π=对称，故B 正确；对于C ：因为,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,363x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ+=时，min ()2sin16f x π==，故C 错误；对于D ：令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令k =0，可得一个单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为57,,6121212ππππ⎡⎤⎡⎤⊂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确.故选：C5．（2021·玉林市第十一中学高三其他模拟（文））已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度得y =g (x )的图象，若函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则a 的取值范围是（ ）A ．[416,)39B ．1620,[)99C ．[208,93D ．[8,4)3【答案】B 【解析】由函数的平移可得()sin 4g x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质可得ω满足的不等式，即可得解.【详解】由题意，()sin sin 44g x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，3,444x πωπωπωω⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因为函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则3542,2433122,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-+-+ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩或3412,2433272,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-++ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩，k Z ∈，又0>ω，所以1620,99ω⎡∈⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．（2020·北京四中高三其他模拟）函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】根据正切函数的图象求出A 、B 两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果．【详解】由图象得,令tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=0,即42x ππ-=kπ，k Z∈k =0时解得x =2，令tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭=1,即424x πππ-=，解得x =3，∴A (2,0),B (3,1)，∴()()()2,0,3,1,1,1OA OB AB ===，∴()()()5,11,1516OA OB AB +⋅=⋅=+=.故选：A .7．（2020·全国高三其他模拟（文））若函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆222:O x y n +=上，则()1f =（ ）A B ．C ．-D ．【答案】A 【解析】首先由题意判断该正弦型函数的大概图象及相邻最高点和最低点与圆的交点情况.从而解得n 的取值，再代入1x =求解.【详解】解：设两交点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则1y =，2y =-又函数()(0)xf x n nπ=>为奇函数，∴12x x =-，当22xnx n ππ=⇒=时，函数取得最大值，∴12n x =-，22nx =，由题，函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆22: O x y n +=上，∴22242n n n ⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭，则(1)4f π==.故选：A.8．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数()2sin(),(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<图象的一条对称轴为23x π=，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，且()f x 在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则以下说法正确的是（ ）A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是其中一个对称中心B ．145ω=C ．()f x 在5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭单増D ．16f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】先根据条件求解函数的解析式，然后根据选项验证可得答案.【详解】∵f (x )关23x π=对称，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，f (x )在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，232232,22643k k ωπωϕπππππϕωϕπ⎧=+=+⎧⎪⎪⎪∴∴⎨⎨=⎪⎪+=+⎩⎪⎩，B 错误；()2sin 2,6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2,6x k k ππ+=∈Z ，可得,,122k x k ππ=-+∈Z 当1k =-时，7,12x π=-即()f x 关于7,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，A 正确；令222,262k x k πππππ-+<+<+得,312k x k ππππ-+<<+∴()f x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递増，即C 错误；2sin 2sin 16366f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 正确，故选：AD.9．【多选题】（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）已知函数()f x 满足x R ∀∈，有()(6)f x f x =-，且(2)(2)f x f x +=-，当[1,1]x ∈-时，)()lnf x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．(2021)0f =B ．(2020,2022)x ∈时，()f x 单调递增C ．()f x 关于点(1010,0)对称D ．(1,11)x ∈-时，方程()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的所有根的和为30【答案】CD 【解析】利用已知条件可知()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且周期为4，即可判断各选项的正误.【详解】由题设知：()))()f x x x f x -===-=-，故()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，又(2)(4)(2)f x f x f x +=-=-，即关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且最小周期为4，A ：(2021)(50541)(1)1)0f f f =⨯+==-≠，错误；B ：(2020,2022)x ∈等价于(0,2)x ∈，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故()f x 不单调，错误；C ：由上知：()f x 关于(2,0)k 对称且k Z ∈，所以()f x 关于(1010,0)对称，正确；D ：由题意，只需确定()f x 与sin 2xy π=在(1,11)x ∈-的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于5x =对称，则16253410x x x x x x +=+=+=，∴所有根的和为30，正确.故选：CD10.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）设函数sin 3xy π=在[,1]t t +上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，则()()M t N t -在3722t ≤≤上最大值为________．【答案】1【解析】依题意可得函数在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦，所以()()cos 36t M t N t ππ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即可求出函数的最大值；【详解】解：函数sin3xy π=的周期为6，函数sin3xy π=在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当3722t ≤≤时，39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦(1)()()sinsin2cos sin cos 3336636tt t t M t N t πππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3722t ≤≤，所以243363t ππππ≤+≤，所以11cos 362t ππ⎛⎫-≤+≤-⎪⎝⎭所以1()()12M t N t ≤-≤当52t =时取最大值1故答案为：11．（2021·全国高考真题（理））已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A 【解析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为真命题；由于0x ≥，所以||e 1x ≥，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．2.（2021·全国高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）练真题A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件.故选：A.3.（2019年高考全国Ⅰ卷文）函数f (x )=在的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D2sin cos ++x xx x[,]-ππ【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又，排除B ，C ，故选D ．4．（2020·全国高考真题（理））设函数()cos π(6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+()f x 22π1π42π2(1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+5．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.6．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx ―π6)(ω>0)，若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以f (π4)取最大值，所以π4ω―π6=2k π(k ∈Z )，∴ω=8k +23(k∈Z )，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23.。
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三角函数、解三角形题型分析及其复习计划本文主要研究近五年高考中出现的三角函数题，其目的是加深自身对高中三角函数这部分内容的认识和理解，并通过对试题的分类、整理、分析、总结出一些关于高考中对三角函数试题的解题方法、技巧和应对策略，希望这些解题方法、技巧和应对策略能够对执教老师和学生起到一定的帮助和启发.同时，选择研究高考三角函数这部分内容也是想为将来的教学工作做一个充分的知识储备.三角函数在高中数学中有着较高的地位，尤其是在函数这一块，它属于基本初等函数，同时，它还是描述周期现象的重要数学模型.通过整理、统计可以看出，每年高考中三角函数试题分值所占比例基本都在10％～15％之间. 从近三年的课标卷、的高考三角函数题的分类、整理、分析知，高考三角函数这一知识点，主要还是考查学生的基础知识和基本技能，难度一般不大.但是，三角函数这部分内容考查的题型比较灵活，并且考查面较广.在选择题、填空题、解答题中均有考查，在前两类题型中多考查三角函数的基础知识，属于基础题；对于解答题则具有一定的综合性.从总体上看，高考三角函数对文科学生能力的考查要求差异不大，但在考查题型上，文科方向的解三角形题量有所减少.从课改前后看，对三角函数考查的内容和范围没有明显变动，仍然是对三角函数的基础知识、三角函数与向量、与三角恒等变换等综合考查，但难度均不大.考题分布下面对近五近全国卷高考中三角函数的考题作一个归类分析，通过这个分析可以从中找到一些高三复习三角函数时的复习方向，能更好的、更精准的把握复习时应注意的方方面面。
近五年全国卷三角函数考题 角的概念及任意角的三角函数1．(2014课标全国Ⅰ，文16)已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α ＝( )C ．－35D ．－45答案．D [解析] 根据题意，cos α＝－4（－4）2＋32＝－45. 三角函数的图象与性质1：(2012大纲卷，文3)若函数[]()sin(0,2)3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则ϕ=( )A ．2πB ．23πC ．32πD ．53π 答案C【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质，。
【解析】由[]()sin(0,2)3x f x ϕϕπ+=∈为偶函数可知，y 轴是函数()f x 图像的对称轴，而三角函数的对称轴是在该函数取得最值时取得，故3(0)sin13()3322f k k k Z ϕϕπππϕπ==±⇒=+⇒=+∈，而[]0,2ϕπ∈，故0k =时，32πϕ=，故选答案C 。
2：(2012大纲卷，文4)已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=( ) A ．2425- B ．1225- C ．1225D ．2425 答案A【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用。
【解析】因为α为第二象限角，故cos 0α<，而3sin 5α=，故4cos 5α==-，所以24sin 22sin cos 25ααα==-，故选答案A 。
3：(2012大纲卷，文15)当函数sin (02)y x x x π=≤<取最大值时，x =．答案：56π【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用，求解值域的问题。
首先化为单一三角函数，然后利用定义域求解角的范围，从而结合三角函数图像得到最值点。
【解析】由sin 2sin()3y x x x π==-由502333x x ππππ≤<⇔-≤-<可知22sin()23x π-≤-≤ 当且仅当332x ππ-=即116x π=时取得最小值，32x ππ-=时即56x π=取得最大值。
4：(2012课标全国2，文9)已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ= （ D ）（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π45：(2013课标全国Ⅰ，文16)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______.5：答案：解析：∵f (x )＝sin x －2cos x x －φ)，其中sin φ＝5，cos φ＝5. 当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )取最大值．即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z )．∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－sin φ＝5-.6：（2014·全国新课标卷Ⅰ，文7)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cosx |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③ B．①③④ C ．②④ D．①③答案．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．7：（16年新课标3，文7）若tanθ=31，则cos2θ=( D )（A ）45-（B ）15-（C ）15（D ）458：(2013课标全国Ⅱ，文16)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像重合，则φ＝__________.8：答案：5π6解析：y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π2个单位得，πcos 22y x ϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝cos(2x －π＋φ)＝ππsin 2π++=sin 222x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而它与函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，令2x ＋φ－π2＝2x ＋π3＋2k π，k ∈Z ，得5π+2π6k ϕ=，k ∈Z . 又－π≤φ＜π，∴5π6ϕ=. 9：（16年新课标3，文科14）函数y =sin x –cos x 的图像可由函数y =2sin x 的图像至少向右平移___3π___个单位长度得到.9：答案：5π610：（16年新课标2，文科3）函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则 ( A )（A ）2sin(2)6y x π=-（B ）2sin(2)3y x π=-（C ）2sin(2+)6y x π= （D ）2sin(2+)3y x π=11：(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )．11： 答案：C解析：由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦时，f (x )＞0，排除A.当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2x ＋cosx ＋1.令f ′(x )＝0，得2π3x =.故极值点为2π3x =，可排除D ，故选C.12：（16年新课标1：文科6）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( B )（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)两角和与差的正弦、余弦、正切1：（2014·新课标2，文科14）函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcosx 的最大值为________．[解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cosx sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.2：（2014·全国新课标卷Ⅰ，文科2） 若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0答案：C [解析]因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C.3：(2013课标全国Ⅱ，文6)已知sin 2α＝23，则2πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝( )．A ．16B ．13C ．12D ．23答案：A解析：由半角公式可得，2πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝π21cos 211sin 21232226αα⎛⎫++-⎪-⎝⎭===. 4：（16年新课标3，文科11）函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为( B )（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）75：(16年新课标1，文科14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=. 5： 答案： 54- 解三角形17．(2012课标全国1，文17) ABC ∆中，内角A ．B ．C 成等差数列，其对边,,a b c 满足223b ac =，求A ．【命题意图】： 本试题主要考查了解三角形的运用。
该试题从整体看保持了往年的解题风格，依然是通过边角的转换，结合了三角形的内角和定理的知识，以及正弦定理求解三角形中的角的问题。
试题整体上比较稳定，思路比较容易想，先利用等差数列得到角B ，然后利用正弦定理与三角求解运算得到答案。
【解析】由A ．B ．C 成等差数列可得2B A C =+，而A B C π++=，故33B B ππ=⇒=且23C A π=- 而由223b ac =与正弦定理可得2222sin 3sin sin 2sin 3sin()sin 33B AC A A ππ=⇒⨯=-所以可得232223(sin cos cos sin )sin sin sin 1433A A A A A A ππ⨯=-⇒+=⇒1cos 2121sin(2)262A A A π-+=⇒-=，由27023666A A ππππ<<⇒-<-<，故266A ππ-=或5266A ππ-=，于是可得到6A π=或2A π=。
（17）(2012课标全国2，文17) 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c = 3a sinC －c cosA(1) 求A(2) 若a =2，△ABC 的面积为3，求b ,c.【解析】解：（1）由c = 3asinC －ccosA 及正弦定理得 0sin cos sin sin sin 3=--C A C C A有0sin ≠C ，所以21)6sin(=-πA ，所以3π=A(2) ⎭⎬⎫=-+=4422bc bc c b ⇒2==c b 3：(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．A ．10B ．9C ．8D ．5答案：D解析：由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝125. ∵A ∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴cos A ＝15. ∵cos A ＝2364926b b +-⨯，∴b ＝5或135b =-(舍)． 故选D.4：(2013课标全国Ⅱ，文4)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，π6B =，π4C =，则△ABC 的面积为( )．A． BC．2 D1 答案：B解析：A ＝π－(B ＋C )＝ππ7ππ6412⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 由正弦定理得sin sin a b A B=，则7π2sinsin 12πsin sin 6b A a B === ∴S △ABC＝11sin 21222ab C =⨯⨯⨯=. 5：[2014·全国卷2，文科17] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ； (2)求四边形ABCD 的面积．解：(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3. 6：（2014·全国新课标卷Ⅰ，文科16）如图13，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.图13答案：150 [解析] 在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°，所以AC＝100 2.在△MAC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，所以∠AMC＝45°，由正弦定理有AMsin∠MCA＝ACsin∠AMC，即AM＝sin 60°sin 45°×1002＝1003，于是在Rt△AMN中，有MN＝sin 60°×1003＝150 . 7：（15年新课标2，文科17）△ABC中D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.（I）求sinsinBC∠∠；（II）若60BAC∠=,求B∠.【答案】（I）12；30.8：（16年新课标3，文科9）在ABC 中，B==A BC BC sin ,31,4则边上的高等于π( D ) (A)3101053109：（16年新课标2，文科15）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =， 5cos 13C =，a =1，则b =_____2113_______. 10：（16年新课标1，文科4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b=（ D ）（A 2 （B 3（C ）2 （D ）3针对近几年三角函数，解三角形的试题分析，我们可以看出，这一部分知识在高考中的分值为15分或17分，考题就是三个小题共15分，或是一个小题加一个大题共17分。