概率的统计定义(精)

(4) 设 A 是 A 的对立事件, 则 P( A) 1 P( A).
(5) (加法公式 )对于任意两事件 A, B 有 P ( A B) P ( A) P ( B) P ( AB).
推广 三个事件和的情况
P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 A3 ) P ( A1 A2 A3 ).
例4 已知事件A,B互不相容，P(A)=0.3, P(B) = 0.5 , 则 P( A B) ___, P( A B) ____,
P( A B) ____, P( A B) _______.
例5 已知 求
P( A) 0.5, P( A B) 0.2, P(B) 0.4,
1.3 频率与概率
一、概率的统计定义 二、概率的公理化定义 三、概率的性质
历史上概率的三次定义
① 统计定义
基于频率的定义 概率的最初定义
② 古典定义
③ 公理化定义
1930年后由前 苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出
一、概率的统计定义
（一）、频率的定义与性质
1. 定义
在相同的条件下, 进行了 n 次试验 , 在这 n 次试验中, 事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发 nA 生的频数.比值 称为事件 A 发生的频率, 并记 n 成 f n ( A).
P( AB), P( A B), P( A B), P( A B)
柯尔莫哥洛夫资料
Andrey Nikolaevich Kolmogorov Born: 25 April 1903 in Tambov,Tambov province,Russia Died: 20 Oct 1987 in Moscow,Russia
(2)规范性 : 对于必然事件 , 有 P( ) 1;
(3) 可列可加性 : 设 A1 , A2 ,是两两互不相容的 事件,即对于 i j , Ai A j , i , j 1, 2,, 则有
P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 )
例 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？
例3 已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4 , P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/8 则事件A,B,C 全不发生的概率为 .
2. 性质
设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则
(1) 0 f n ( A) 1; (2) f n () 1, f n () 0;
( 3) 若 A1 , A2 , , Ak 是两两互不相容的事件 ,则 f ( A1 A2 Ak ) f n ( A1 ) f n ( A2 ) f n ( Ak ).
实验者 德.摩根 蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊
n
2048 4040 12000 24000
Байду номын сангаас
nH
1061 2048 6019 12012
f
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
f ( H ) n的增大
1 . 2
重要结论
频率当 n 较小时波动幅度比较大,当 n 逐渐增 大时 , 频率趋于稳定值, 这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的
概率的可列可加性
概率的其他性质 (1) P() 0.
(2) 若A1 , A2 ,, An是两两互不相容的事件, 则有
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
概率的有限可加性
( 3) 设 A, B 为两个事件, 且 A B , 则 P ( A) P ( B ), P ( B A) P ( B ) P ( A).
概率.
（二）、概率的统计定 义
1.定义 在随机试验中,若事件A出现的频率m/n随 着试验次数n的增加,趋于某一常数p, 0 p 1
则定义事件A的概率为p,记作P(A)=p .
性质 (概率统计定义的性质)
(1) 对任一事件A ,有 0 p( A) 1;
( 2) P () 1, P () 0;
(3) 对于两两互斥的有限多 个事件 A1 , A 2 ,, Am , P( A1 A 2 Am ) P( A1 ) P( A 2 ) P( Am )
二、概率的公理化定义
设E是随机试验, 是它得样本空间对于 . E的 每一事件A赋予一个实数, 记为P( A), 称为事件 A的概率.如果集合函数P()满足下列条件 : (1)非负性 : 对于每一个事件 A, 有 P( A) 0;