幂的运算(提高)知识讲解

幂的运算（提高）

【要点梳理】

要点一、同底数幂的乘法性质

+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、

多项式.

（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，

即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.

（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数

与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即

m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.

要点二、幂的乘方法则

()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.

要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a

(0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘

方运算能将某些幂变形，从而解决问题.

要点三、积的乘方法则

()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n n

abc a b c (n 为正整数).

（2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010

101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

要点四、注意事项

（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.

（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要

遗漏.

（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.

（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.

（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.

（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.

【典型例题】

类型一、同底数幂的乘法性质

1、计算：

(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+；

(2)23(2)(2)x y y x -⋅- ．

【答案与解析】

解：（1）353519(2)(2)(2)(2)

(2)b b b b b +++⋅+⋅+=+=+． （2）23235(2)(2)(2)[(2)](2)x y y x x y x y x y -⋅-=-⋅--=--．

【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．

（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：

()()(),n n n a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数 ()()()()()

n n n b a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数． 类型二、幂的乘方法则

2、计算：

（1）23[()]a b --； （2）32235()()2y y y

y +-； （3）22412()()m m x x -+⋅； （4）3234()()x x ⋅．

【答案与解析】

解：（1）23[()]a b --236()

()a b a b ⨯=--=--． （2）32235()()2y y y y +-⋅666662220y y y y y =+-=-=．

（3）22412()()m m x x -+⋅4(22)2(1)8822106m m m m m x x x x x -+-+-=⋅=⋅=．

（4）3234()()x x ⋅61218x x x =⋅=．

【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．

3、已知2x =8y+2，9y =3x ﹣9，求x+2y 的值．

【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x 、y 的值，然后代入求解．

【答案与解析】

解：根据2x =23（y+2），32y =3x ﹣9， 列方程得：， 解得：， 则x+2y=11．

【总结升华】本题考查了幂的乘方，解题的关键是灵活运用幂的乘方运算法则． 举一反三：

【变式】已知322,3m m a b ==，则()()()36322m

m m m a b a b b +-⋅＝ ． 【答案】－5；

提示：原式()()()()23223232m m m m a

b a b =+-⋅ ∵

∴ 原式＝23222323+-⨯＝－5. 类型三、积的乘方法则

4、计算：

（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅-

【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.

【答案与解析】

解：（1）24442448(2)(1)2()16xy x y x y -=-⋅⋅⋅=-．

（2）24333[()]a a b -⋅-231293636274227()()()a a b a a b a b =-⋅-=-⋅-⋅=．

【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．

举一反三：

【变式1】下列等式正确的个数是( )．

①()3236926x y x y -=- ②()326m m a a -= ③()3

6933a a = ④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

【答案】A ；

提示：只有⑤正确；()3236928x y x y -=-；()326m m a a -=-；()3

618327a a =；()()5712135107103510 3.510⨯⨯⨯=⨯=⨯

【变式2】计算：

（1）a 4•（3a 3）2＋（﹣4a 5）2

（2）（2）20•（）21．

【答案】

（1）a 4•（3a 3）2＋（﹣4a 5）2

=a 4•9a 6＋16a 10

=9a 10＋16a 10

=25a 10；

（2）（2）20•（）21．

=（×）20•

=1× =． 5、已知x 2m =2，求（2x 3m ）2﹣（3x m ）2

的值．

【思路点拨】根据积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得已知条件，根据已知条件，可得计算结果．

【答案与解析】解：原式=4x 6m ﹣9x 2m