哈尔滨工业大学工科数学分析期末考试试卷

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登录 －＞论坛－＞文档下载区－＞（搜索想要的文档）工科数学分析期末考试试卷（答案）试题卷（A）考试形式（开、闭卷）：闭答题时间：150（分钟）本卷面成绩占课程成绩70%

题号一二三四五六七八卷面

总分

平时

成绩

课程

总成

绩

分

数

一．选择题（每题2分，共10分）

1．下列叙述中不正确者为（D）

（A）如果数列收敛，那么数列一定有界。

（B）如果，则一定有。

（C）在点处可导的充要条件是在点处可微。

（D）如果函数在点处导数为，则必在该点处取得极值。

得分

2．设在[0，1]上则下列不等式正确者为（ B ）

（A）（B）

（C）（D）

3．若在上可积，则下列叙述中错误者为（D）

（A）连续（B）在上可积

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（C）在上由界（D）在上连续

4．若，则（D）

（A）

（B）

（C）

（D）

5．（D）

（A ）（B ）

（C ）（D ）

得分

二．填空题（每题2分，共10分）

1．的间断点为：，其类型为：第一类间断点。2．的全部渐近线方程为：。

3．摆线处的切线方程为：。4．=： 1 。

5．设在上可导，，

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则=：

三．计算下列各题：（每小题4分，本题满分20分）

得分

1．若，求

解：2，

则

2．，

解：，

3.

解：

=

=

4．

解：

第3页（共7页）

5. 已知，求

解：

=，

所以。故

四．解答下列各题：（每小题5分，本题满分10分）

得分

1.已知数列，，

求证：收敛，并且

证明：1)证有界

因为,所以。假设，

则。故有界。

2）证单调

因为，故为单调上升数列。

由1）和2）知道收敛。设，由，所以

有解得。而且为单调递增数列，所以。故。

第4页（共7页）

2．设，曲线与三条直线所围平面部分绕x轴旋转成的旋转体的体积为取何值时，最大？

解：，

由得，。当

时，

故当时，达到极大值，且为最大值。

五：证明下列各题：（1，2题各4分，3，4题各6分，本题满分20分）

得分

1.证明方程至少有一个不超过的

正根。

证明：设，显然它在上连续。

（i）若，则即为满足条件的根。

（ii）若，则。而，

由零点定理知存在，使得。即为满足条件的根。

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2.设函数且，试证：

证明：由知道，所以。

因为，故由积分中值定理知：，使得

，即。

3.设在区间上有二阶导数。，证明：在区间内至

少存在一点，使

证明：将在与处展成一阶泰勒公式

(1)

(2)

令，注意到，(1),(2)有

(3)

(4)

(4)- (3) 得：

所以：

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取，即有。

4. 设在区间上连续，且

证明：存在一个使得

证明：令，显然在上连续，在内可导，又，即。在由罗尔定理知，存在使得，即

第7页（共7页）

=