中考数学专题复习及练习：最值(七)

2020年中考数学复习专题最值问题（费马点问题）

突破与提升策略

问题：在△ABC内找一点P，使得P A+PB+PC最小．

A

P

B C

【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．

其实理论还是上面的理论，本题难点在于有3条线段，我们需要对这三条线段作一些位置上的变化，如果能变换成在一条直线上，问题就能解决了！

若点P满足∠P AB=∠BPC=∠CP A=120°，则P A+PB+PC值最小，P点称为该三角形的费马点．

接下来讨论3个问题：

（1）如何作三角形的费马点？

（2）为什么是这个点？

（3）费马点怎么考？

一.如何作费马点

问题要从初一学到的全等说起：

（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE．（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE．

（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）（4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠P AB=∠BPC=∠CP A=120°．

在图三的模型里有结论：（1）∠BPD =60°；（2）连接AP ，AP 平分∠DPE ． 有这两个结论便足以说明∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！

但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是∠BAC <120°，若120BAC ∠≥︒ ,这个图就不是这个图了，会长成这个样子：

此时CD 与BE 交点P 点还是我们的费马点吗？显然这时候就不是了，显然P 点到A 、B 、C 距离之和大于A 点到A 、B 、C 距离之和．所以咧？是的，你想得没错，此时三角形的费马点就是A 点！当然这种情况不会考的，就不多说了．

二.为什么是这个点

E

B A

C

A

B

C

D

E

为什么P 点满足∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°，P A +PB +PC 值就会最小呢？

归根结底，还是要重组这里3条线段：P A 、PB 、PC 的位置，而重组的方法是构造旋转！

在上图3中，如下有△ADC ≌△ABE ，可得：CD =BE ．

类似的手拉手，在图4中有3组，可得：AF =BE =CD ．

更巧的是，其长度便是我们要求的P A +PB +PC 的最小值，这一点是可以猜想得到的，毕竟最小值这个结果，应该也是个特别的值！

接下来才是真正的证明：

考虑到∠APB =120°，∴∠APE =60°，则可以AP 为边，在PE 边取点Q 使得PQ =AP ，则△APQ 是等边三角形．

△APQ 、△ACE 均为等边三角形，且共顶点A ，故△APC ≌△AQE ，PC =QE ． 以上两步分别转化P A =PQ ，PC =QE ，故P A +PB +PC =PB +PQ +QE =BE ．

E

没有对比就没有差别，我们换个P 点位置，如下右图，同样可以构造等边△APQ ，同样有△APC ≌△AQE ，转化P A =PQ ，PC =QE ，

显然，P A +PB +PC =PB +PQ +QE >BE ．

还剩下第3个问题！如果说费马点以前还算是课外的拓展内容，那现在，已经有人把它搬上了中考舞台！

三.费马点怎么考？

问题背景：如图1，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：P A +PC =PE ．

问题解决：如图2，在△MNG 中，MN =6，∠M =75°，MG

=点O 是△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值是______．

【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，直接来解决就好了！

N

G

图2

图1

A

B

C

D E

P

如图，以MG 为边作等边△MGH ，连接NH ，则NH 的值即为所求的点O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值．（此处不再证明）

过点H 作HQ ⊥NM 交NM 延长线于Q 点，

根据∠NMG =75°，∠GMH =60°，可得∠HMQ =45°， ∴△MHQ 是等腰直角三角形， ∴MQ =HQ =4，

∴NH

==

【练习】如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AB =AC =1，P 是△ABC 内一点，求P A +PB +PC 的最小值．

【分析】如图，以AD 为边构造等边△ACD ，连接BD ，BD 的长即为P A +PB +PC 的最小值．至于点P 的位置？这不重要！

H

G

N M

46

4

Q H

G

N M

C

如何求BD ？考虑到△ABC 和△ACD 都是特殊的三角形，过点D 作DH ⊥BA 交BA 的延长线于H 点，根据勾股定理，222BD BH DH =+即可得出结果．

【练习】如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．

【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段． 分别以AD 、AM 为边构造等边△ADF 、等边△AMG ，连接FG ，

A

B C

D

H

D

C

B A

A

B

C

D

M

E