动能定理(多过程)

1.如图5－2－12所示，AB 是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD 是光滑的圆弧轨道，AB 恰好在B 点与圆弧相切，圆弧的半径为R .一个质量为m 的物体(可以看作质点)从直轨道上的P 点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动．已知P 点与圆弧的圆心O 等高，物体与轨道AB 间的动摩擦因数为μ.求：

(1)物体做往返运动的整个过程中在AB 轨道上通过的总路程； (2)最终当物体通过圆弧轨道最低点E 时，对圆弧轨道的压力； (3)为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D ，释放点距B 点的距离L ′应满足什么条件．

解析：(1)因为摩擦始终对物体做负功，所以物体最终在圆心角为2θ的圆弧上往复运动．

对整体过程由动能定理得：mgR ·cos θ－μmg cos θ·s ＝0，所

以总路程为s ＝R

μ

.

(2)对B →E 过程mgR (1－cos θ)＝12

mv 2

E ①

F N －mg ＝mv 2E

R

②

由①②得对轨道压力：F N ＝(3－2cos θ)mg .

(3)设物体刚好到D 点，则mg ＝mv 2D

R

③

对全过程由动能定理得：mgL ′sin θ－μmg cos θ·L ′－mgR (1

＋cos θ)＝12mv 2

D ④

由③④得应满足条件：L ′＝3＋2cos θ

2(sin θ－μcos θ)

·R .

答案：(1)R

μ(2)(3－2cos θ)mg(3)

3＋2cos θ

2(sin θ－μcos θ)

·R

2．在2008年四川汶川大地震抗震救灾活动中，为转移被困群众动用了直升飞机．设被救人员的质量m＝80 kg，所用吊绳的拉力最大值F m＝1 200 N，所用电动机的最大输出功率为P m＝12 kW，为尽快吊起被困群众，操作人员采取的办法是，先让吊绳以最大的拉力工作一段时间，而后电动机又以最大功率工作，被救人员上升h＝90 m时恰好达到最大速度(g取10 m/s2)，试求：

(1)被救人员刚到达机舱时的速度；

(2)这一过程所用的时间．

解析：(1)第一阶段绳以最大拉力拉着被救人员匀加速上升，当电动机达到最大功率时，功率保持不变，被救人员变加速上升，速度增大，拉力减小，当拉力与重力相等时速度达到最大．由P m＝

F T v m＝mgv m得v m＝P m

mg ＝

12×103

80×10

m/s＝15 m/s

(2)a1＝F m－mg

m

＝

1 200－80×10

80

m/s2＝5 m/s2

匀加速阶段的末速度v1＝P m

F m

＝

12×103

1 200

m/s＝10 m/s，时间t1＝

v1

a1

＝

10

5

s＝2 s

上升的高度h1＝v1

2

t1＝

10

2

×2 m＝10 m

对于以最大功率上升过程，由动能定理得：P m t2－mg(h－h1)＝1

2 mv2m

－1

2

mv21

代入数据解得t2＝ s，所以此过程所用总时间为t＝t1＋t2＝(2＋s＝ s.

答案：(1)15 m/s (2) s

3.如图5－2－18所示，质量m ＝0.5 kg 的小球从距离地面高H ＝5 m 处自由下落，到达地面时恰能沿凹陷于地面的半圆形槽壁运动，半圆形槽的半径R ＝0.4 m ，小球到达槽最低点时速率恰好为10 m/s ，并继续沿槽壁运动直到从槽左端边缘飞出且沿竖直方向上升、下落，如此反复几次，设摩擦力大小恒定不变，取g ＝10 m/s 2，求：

(1)小球第一次飞出半圆形槽上升到距水平地面的高度h 为多少 (2)小球最多能飞出槽外几次

解析：(1)在小球下落到最低点的过程中，设小球克服摩擦力做功为W f ，由动能定理得： mg (H ＋R )－W f ＝12

mv 2

－0

从小球下落到第一次飞出半圆形槽上升到距水平地面h 高度的过程中，

由动能定理得mg (H －h )－2W f ＝0－0

联立解得：h ＝v 2g －H －2R ＝102

10

m －5 m －2×0.4 m＝4.2 m.

(2)设小球最多能飞出槽外n 次，则由动能定理得：mgH －2nW f ＝0

－0

解得：n ＝mgH

2W f

＝

mgH

2⎣

⎢⎡⎦

⎥

⎤mg (H ＋R )－12

mv 2＝gH

2g (H ＋R )－v 2

＝ 故小球最多能飞出槽外6次． 答案：(1)4.2 m (2)6次 4．如图5－2－19甲所示，一竖直平面内的轨道由粗糙斜面AD 和光滑圆轨道DCE 组成，AD 与DCE 相切于D 点，C 为圆轨道的最低点，将

一小物块置于轨道ADC 上离地面高为H 处由静止下滑，用力传感器测出其经过C 点时对轨道的压力F N ，改变H 的大小，可测出相应的F N 的大小，F N 随H 的变化关系如图乙折线PQI 所示(PQ 与QI 两直线相连接于Q 点)，QI 反向延长交纵轴于F 点(0, N)，重力加速度g 取10 m/s 2，求：

(1)小物块的质量m ；

(2)圆轨道的半径及轨道DC 所对应的圆心角θ.(可用角度的三角函数值表示)

(3)小物块与斜面AD 间的动摩擦因数μ.

解析：(1)如果物块只在圆轨道上运动，则由动能定理得mgH ＝12

mv

2

解得v ＝2gH ；

由向心力公式F N －mg ＝m v 2R ，得F N ＝m v 2R ＋mg ＝2mg

R

H ＋mg ；

结合PQ 曲线可知mg ＝5得m ＝0.5 kg.

(2)由图象可知2mg

R

＝10得R ＝1 m ．显然当H ＝0.2 m 对应图中的D

点，

所以cos θ＝1－

1

＝，θ＝37°.

(3)如果物块由斜面上滑下，由动能定理得：mgH －μmg cos θ错误!＝12

mv 2 解得mv 2

＝2mgH －8

3

μmg (H －

由向心力公式F N －mg ＝m v 2R 得F N ＝m v 2

R

＋mg ＝

2mg －83

μmg

R

H ＋错误!

μmg ＋mg