一次函数图像与面积问题 (新)
八年级数学下册 一次函数专题 一次函数与面积结合问题课件 (新版)冀教版
典例精讲
解：根据题意，设与y轴交点坐标
为（0，b）
则
，
解得|b1|=43，∴| bb|=±64
①当b=24时，与y轴交点为（0，4）
，解得
3k b 0
b
4
k
4 3
b 4
∴函数解析式为 y 4 x 4 ②当b=-4时，与y轴的交3 点为（0，-4）
解得：
3k b 0
b
4
∴函数解析式为
初中数学知识点精讲课程
一次函数与面积结合问题
解题步骤归纳
解析式 由面积
求出与坐标轴交点的坐标 求出与点的坐标
根据面积公式求出面积 待定系数法求解析式
设出点的坐标
由面积求点的坐标
由解的情况判定存在与否
典例精讲
类型一：知解析式或坐标求面积
y
如图，一次函数y＝﹣2x＋4图象分别与y轴、 A
x轴交于A、B两点． 求一次函数图象与两坐标轴围成的三角形 AOB的面积。
O
B
x
典例精讲
解：当x＝0时，y＝4， 当y＝0时，-2x+4＝0，解得x＝2， ∴点A（0，4），B（2，0）， ∴OA＝4，OB＝2，
。
SAOB12OAOB12424
y A
O
B
x
典例精讲
类型二：知面积求解析式或坐标
已知y=kx+b的图象经过（3，0），且 与坐标轴围成的三角形的面积为6， 求这个一次函数的解析式。
∵△OAP的面积为4，
∴
，
∴tS=±21，2|2t |4 ∴P点2坐标为（2，4）或（-2，-4）。
说明
P在一次函数图像上，可 设P点坐标为（t，2t）， △OAP的高为点P的纵坐标 的绝对值，底为A的横坐 标的绝对值，求出t值存 在，求不出t值不存在。
一次函数面积问题专题(含答案解析)
一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与X轴交于点B (- 6 , 0),交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ ABC的面积为15，求直线OA的解析式。
2、直线y=x+3的图像与X轴、y轴分别交于A B两点，直线a经过原点与线段AB 交于。
，把厶ABO勺面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。
3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m (m>n>0的图像，(1) 用m n表示A、B、P的坐标(2) 四边形PQoB勺面积是'，AB=2求点P的坐标4、A AOB的顶点0( 0, 0) A (2, 1)、B (10, 1),直线CDL X 轴且△ AOB面积二等分，若D (m, 0),求m的值5、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A(2, 0)、0(0, 0),A ABo 的面积为2,求点B的坐标。
6直线y=- x+1与X轴y轴分别交点A B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ ABC N BAC=90 ,点P( a,])在第二象限，△ ABP勺面积与△ ABC7、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与X轴交于A、B两点，这两直线的交点为P(1)求点P的坐标(2)求厶PAB的面积8、已知直线y=ax+b (b>0)与y轴交于点N,与X轴交于点A且与直线y=kx交于点M (2, 3)，如图它们与y轴围成的厶MoN勺面积为5,求(1)这两条直线的函数关系式(2)它们与X轴围成的三角形面积9、已知两条直线y=2x-3和y=5-x(1)求出它们的交点A的坐标(2)求出这两条直线与X轴围成的三角形的面积10、已知直线y=x+3的图像与X轴、y轴交于A B两点，直线I经过原点，与线段AB 交于点。
，把厶AoB的面积分为2：1的两部分，求直线I的解析式。
11、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A B（1）求两直线交点C的坐标（2）求厶ABe的面积（3）在直线BC上能否找到点P,使得△ APC的面积為6,求出点P的坐标,12、已知直线y=-x+2与X轴、y轴分别交于点A和点B,另一直线y=kx+b（k≠ 0）经过点C（1，0）,且把△ AOB分为两部分，（1）若厶AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值（2）若厶AOB被分成的两部分面积为1：5,求k和b的值13、直线y=- x+3交X, y坐标轴分别为点A B,交直线y=2x-1于点P,直线-Iy=2x-1交X, y坐标轴分别为C。
一次函数的图象专题练习题(最新版) 含答案
一次函数的图象专题练习题1．画函数图象的方法．可以概括为_______，__ __，__ __三步，通常称为__ __．2．如果点M 在函数y ＝x －1的图象上，则M 点的坐标可以是( )A ．(－1，0)B ．(0，1)C ．(1，0)D ．(1，－1)3．(1)若点A(a ，－3)在函数y ＝－3x的图象上，则a ＝____； (2)下列各点M (1，2)，N (3，32)，P (1，－1)，Q (－2，－4)中，在函数y ＝2x x ＋1的图象上的点是__________. 4. 小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s 关于时间t 的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是( )5. 小明的父亲从家走了20分钟到一个离家900米的书店，在书店看了10分钟书后，用15分钟返回家，下列图中表示小明的父亲离家的距离与时间的函数图象是( )6. 某星期六上午，小明从家出发跑步去公园，在公园停留了一会儿打车回家．图中折线表示小明离开家的路程y(米)和所用时间x(分)之间的函数关系，则下列说法中错误的是()A．小明在公园休息了5分钟B．小明乘出租车用了17分C．小明跑步的速度为180米/分D．出租车的平均速度是900米/分7. 一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y(千米)与时间x(小时)函数关系的图象是()8. 李老师为锻炼身体一直坚持步行上下班．已知学校到李老师家总路程为2000米．一天，李老师下班后，以45米/分的速度从学校往家走，走到离学校900米时，正好遇到一个朋友，停下又聊了半小时，之后以110米/分的速度走回了家．李老师回家过程中，离家的路程s(米)与所用时间t(分)之间的关系如图所示．(1)求a，b，c的值；(2)求李老师从学校到家的总时间．9. 如果两个变量x，y之间的函数关系如图，则函数值y的取值范围是() A．－3≤y≤3 B．0≤y≤2C．1≤y≤3 D．0≤y≤310. 如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是()A．乙前4秒行驶的路程为48米B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒C．两车到第3秒时行驶的路程相等D．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度11. 甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s(单位：千米)，甲行驶的时间为t(单位：小时)，s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米；③出发3小时时，甲、乙同时到达终点；④甲的速度是乙速度的一半．其中，正确结论的个数是()A．4B．3C．2D．112. 有一个水箱，它的容积是500升，水箱内原有水200升，现需将水箱注满，已知每分钟注入水10升．(1)写出水箱内水量Q(升)与时间t(分)的函数关系式；(2)求自变量t的取值范围；(3)画出函数的图象．13.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B)，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是()14. 如图①，底面积为30 cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)圆柱形容器的高为____cm，匀速注水的水流速度为____cm3/s；(2)若“几何体”的下方圆柱的底面积为15 cm2，求“几何体”上方圆柱的高和底面积．答案：1. 描点 连线 描点法2. C3. (1) 1 (2) 点N4. D5. B6. B7. A8. (1)李老师停留地点离他家路程为：2000－900＝1100(米)，900÷45＝20(分)．a ＝20，b ＝1100，c ＝20＋30＝50 (2)20＋30＋1100110＝60(分)．答：李老师从学校到家共用60分钟 9. D10. C11. B 点拨：①②④正确12. (1)Q ＝200＋10t (2)令200≤Q≤500，则0≤t≤30 (3)图略13. B14. (1) 14 5(2) “几何体”下方圆柱的高为a ，则a·(30－15)＝18×5，解得a ＝6，所以“几何体”上方圆柱的高为11 cm－6 cm ＝5 cm ，设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm 2，根据题意得5(30－S )＝5×(24－18)，解得S ＝24，即“几何体”上方圆柱的底面积为24 cm 2。
一次函数面积问题专题(含答案)
一次函數面積問題1、如图,一次函数得图像与x轴交于点B（-6，０),交正比例函数得图像于点A,点A得横坐标为－4,△ＡBC得面积为15,求直线OA得解析式。
２、直线y=ｘ+3得图像与ｘ轴、y轴分别交于Ａ、B两点,直线ａ经过原点与线段AB交于C,把△ABO得面积分为2:１得两部分,求直线a得函数解析式。
3、直线PA就就是一次函数y=x＋n得图像,直线PB就就是一次函数y=-2x+ｍ(m>n>0）得图像,(1）用m、n表示A、Ｂ、P得坐标(2)四边形PQOＢ得面积就就是,ＡB=2,求点P得坐标4、△AOB得顶点O（0,０）、A(2，１)、Ｂ(１０,1),直线ＣD⊥x轴且△AOB面积二等分,若D(m,0)，求m得值5、点B在直线ｙ=-x+1上，且点B在第四象限，点A(2,０)、Ｏ（0,0),△AＢO 得面积为2,求点B得坐标。
6、直线y＝－x＋1与x轴y轴分别交点Ａ、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC, BＡC=9０°，点P(a,)在第二象限,△ABP得面积与△ABＣ面积相等,求a得值、7、如图,已知两直线ｙ=0、5ｘ+2、５与ｙ＝-ｘ+1分别与x轴交于A、B两点,这两直线得交点为P（1)求点P得坐标(２)求△PAB得面积8、已知直线y=ａx+ｂ（b>0）与y轴交于点N,与x轴交于点A且与直线y=kx 交于点Ｍ(2,3),如图它们与y轴围成得△MＯN得面积为5,求(1)这两条直线得函数关系式(2)它们与x轴围成得三角形面积９、已知两条直线y=2x-３与y=5-ｘ(1)求出它们得交点A得坐标(2)求出这两条直线与x轴围成得三角形得面积10、已知直线y＝x＋3得图像与ｘ轴、ｙ轴交于A、Ｂ两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C,把△AＯB得面积分为２：1得两部分,求直线l得解析式。
11、已知直线y=２x+3与直线y=－2x-１与y轴分别交于点A、B(１)求两直线交点C得坐标（2)求△ABC得面积（3)在直线BC上能否找到点Ｐ,使得△ＡPＣ得面积為６,求出点P得坐标,若不能请说明理由。
一次函数与面积的关系动点问题PPT
2
3
2
3
2x 18
∵点P在第二象限内,且在直线EF上运动
∴- 9＜x＜0
3
如图,直线y = kx+6与x轴y轴分别相交于点E,F. 点E的 坐标为(- 9, 0), 点A的坐标为(- 6,0). 点P（x,y）是 第二象限内的直线上的一个动点。 (3)探究：当△OPA的面积为3.6时，求P的坐标
成两部分。
x
(1)求△ABO的面积。 y1 B P
(2)若△ABO被直线CP分成 的两部分面积相等，求点
C
Ay
P的坐标及直线CP的函数表达式。
y2
11
3.如图，一次函数y=kx+1.5 的图象过点M（2，0），与 正比例函数y= —1.5x的图象交于点A，过点A作AB垂直 于x轴于点B。 （1）求k的值并计算y=kx+1.5图象与坐标轴围成的三角 形的面积；
一次函数与面积的关系 动点问题
1
例1.如图,直线y=kx+6与x轴y轴分别相交于点E,F.点E的
坐标为(- 9, 0),点A的坐标为(-6,0),点P(x,y)是第二
象限内的直线上的一个动点。
(1)求k的值；
(2)当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数
关系式，并写出自变量x的取值范围；
2
x
6)
(x,y)p F
∵点P在第二象限
3
PH 2 x 6 2 x 6
3
3
E
A(-6,0) H O
x
∵ A(6,0) OA 6
S△OPA
1 OA PH 2
1 6（2 x 6） 2x 18
OA=__6__,PH=_|_2|_yx_|_6_|。
一次函数与几何图形面积问题含答案
一次函数与几何图形面积问题解析课时小练一、新课导入（一）学习目标学会运用数形结合思想，能根据题意处理与面积有关的一次函数问题，依据函数性质及图形特征学会面积转化，建立相应的数式关系，运用方程或不等式的知识来解决问题．（二）预习导入如图，已知A（0，2），B（6，0），C（2，m）），当S△ABC=1时，m=______．．二、典型问题知识点一：与静态图形有关的面积问题例1如图，点A，B的坐标分别为（0，2），（1，0），直线y=12x−3与y轴交于点C、与x 轴交于点D．（1）直线AB解析式为y=kx+b，求直线AB与CD交点E的坐标；（2）四边形OBEC的面积是________；分析：（1）运用待定系数法即可得到直线AB解析式，再根据方程组的解，即可得到直线AB 与CD交点E的坐标；（2）根据坐标轴上点的特征求出C、D两点的坐标，然后根据S四边形OBEC=S△DOC−S△DBE 面积公式计算即可；知识点二：与动态图形有关的面积问题例2如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A，交x轴于点B，S△AOB=8．（1）求点B的坐标和直线AB的函数解析式；（2）直线a垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线a上一动点，且在点D 的上方，设点P的纵坐标为m．①用含m的代数式表示△ABP的面积；②当S△ABP=6时，点P的坐标为；③在②的条件下，在坐标轴上，是否存在一点Q，使得△ABQ与△ABP面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．分析：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，结合S△AOB=8即可求出b值，进而可得出点B的坐标和直线AB的函数表达式；（2）①由OB的长度结合直线a垂直平分OB，可得出OE、BE的长度，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可用含m的代数式表示出DP的值，再利用三角形的面积公式即可用含m的代数式表示△ABP的面积；②由①的结论结合S△ABP=6，即可求出m值，此题得解；③分点Q在x轴及y轴两种情况考虑，利用三角形的面积公式即可求出点Q的坐标，此题得解．三、阶梯训练A组：基础练习1．直线y=kx－4与两坐标轴所围成三角形的面积是4，则k=．2.已知直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P（﹣1，m）为平面直角坐标系内一动点，若△ABP面积为1，则m的值为．3．如图，过点A（2，0）的两条直线l1，l2分别交y轴于B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB=13.（1）则点B的坐标为；（2）若△ABC的面积为4，求l2的解析式为．4．如图,直线y=12x+2分别与x轴、y轴相交于点A，B两点．（1）求点A和点B的坐标；（2）若点P是y轴上的一点，设△AOB、△ABP的面积分别为S△AOB与S△ABP，且S△ABP=2S△AOB，求点P的坐标．5．如图，点N（0，6），点M在x轴负半轴上，ON＝3OM，A为线段MN上一动点，AB ⊥x轴，垂足为点B，AC⊥y轴，垂足为点C．（1）点M的坐标为；（2）求直线MN的解析式；（3）若点A的横坐标为﹣1，求四边形ABOC的面积．6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l1：y=12x与直线l2：y=−x+6交于点A，l2与x轴交于B，与y轴交于点C．（1）求△OAC的面积；（2）若点M在直线l2上，且使得△OAM的面积是△OAC面积的34，求点M的坐标．B组：拓展练习7．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点(不包括端点)，过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数解析式是()．A.y＝x＋5B.y＝x＋10C.y＝－x＋5D.y＝－x＋108．如图，直线AB：y=12x+1分别与x轴、y轴交于点A.点B,直线CD：y=x+b分别与x轴、y 轴交于点C.点D．直线AB与CD相交于点P，已知S△ABD=4，则点P的坐标是.9.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（4，0），C（0，3），直线y＝﹣32x+92交OA于点D，交BC于点E，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿OA﹣AB运动，到点B停止，设△PDE的面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒）．（1）求点D和点E的坐标；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）当点P在边AB上运动，且PD+PE的值最小时，直接写出直线EP的解析式．四、归纳小结方法、规律解决有关图形面积问题，着眼于相应条件在环境下的集中和转化，利用函数的性质及图形特征，运用全等、勾股及方程等相关知识进行处理，如何建立相应的方程或进行相应的计算，从而确定点的坐标，灵活运用条件是处理问题的关键．一次函数与几何图形面积问题解析课时小练答案预习导入1或53.例1（1）点A，B的坐标分别为(0，2)，（1，0），∴k+b=0，b=2.解得k=−2，b=2.∴直线AB的解析式是y=－2x+2．∴y=−2x+2，y=12x−3.解得x=2，y=−2.∴E(2，－2).（2直线CD的解析式为y=12x−3.当x=0时，y=-3，当y=0时，x=6，则点C的坐标是（0，-3），点D的坐标是（6，0）.S四边形OBEC=S△DOC−S△DBE=12×6×3−12×5×2=4.例2（1）∵直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A，交x轴于点B，∴点A的坐标为（0，b），点B的坐标为（b，0）．∵S△AOB=12b2=8，∴b=±4．∵点A在y轴正半轴上，∴b=4．∴点B的坐标为（4，0），直线AB的函数解析式为y=﹣x+4；（2）①∵直线a垂直平分OB，OB=4，∴OE=BE=2．当x=2时，y=﹣x+4=2．∴点D的坐标为（2，2）．∵点P的坐标为（2，m）（m＞2），∴PD=m﹣2．∴S△ABP=S△APD+S△BPD=12DP•OE+12DP•BE=12×2（m﹣2）+12×2（m﹣2）=2m﹣4；②∵S△ABP=6，∴2m﹣4=6．∴m=5．∴点P的坐标为（2，5）；③假设存在．当点Q在x轴上时，设其坐标为（x，0）．∵S△ABQ=12AO•BQ=12×4×|x﹣4|=6，∴x1=1，x2=7．∴点Q的坐标为（1，0）或（7，0）；当点Q在y轴上时，设其坐标为（0，y）．∵S△ABQ=12BO•AQ=12×4×|y﹣4|=6，∴y1=1，y2=7．∴点Q的坐标为（0，1）或（0，7）．综上所述：假设成立，即在坐标轴上，存在一点Q，使得△ABQ与△ABP面积相等，且点Q 的坐标为（1，0）或（7，0）或（0，1）或（0，7）．1.±2.2.由y＝2x+4，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝﹣2∴点A（﹣2，0），点B（0，4）．如图，过点P作PE⊥x轴，交线段AB于点E．∴点E横坐标为﹣1．∴y＝﹣2+4＝2．∴点E（﹣1，2）．＝12×PE×2＝1，∴|m﹣2|＝1．∴m＝3或1．∵S△ABP故答案为3或1.3.（1）（0，3）；（2）y=12x−1．4（1）在y=12x+2中，令y=0，则12x+2=0，解得x=-4，∴点A的坐标为（-4，0）．令x=0，则y=2，∴点B的坐标为（0，2）；（2）∵点P是y轴上的一点，∴设点P的坐标为（0，y）．又∵点B的坐标为（0，2），∴BP=y−2．∵S△AOB=12OA·OB=12×4×2=4，S△ABP=12BP·OA=12|y-2|×4=2|y-2|，又∵S△ABP=2S△AOB，∴2y−2=2×4．解得y=6或y=-2．∴点P的坐标为（0，6）或（0，-2）．5.（1）（﹣2，0）；（2）设直线MN的函数解析式为y＝kx+b，把点（﹣2，0）和（0，6）分别代入上式，得−2k+b=0，b=6.解得k＝3，b＝6.∴直线MN的函数解析式为y＝3x+6；（3）把x＝﹣1代入y＝3x+6，得y＝3×（﹣1）+6＝3．∴点A（﹣1，3）．∴点C（0，3）．∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，∠BOC＝90°，∴四边形ABOC为矩形，OB＝1，OC＝3．∴四边形ABOC的面积＝1×3＝3．6.（1）联立{y=12x，y=−x+6，解之得{x=4，y=2．∴A（4，2）由y=-x+6，当x=0，y=6，∴C（0，6）．∴S△OAC=12×6×4=12；（2）当△OMC的面积是△OAC的面积的34时，∴M点的横坐标是34×4=3，当点M在线段OA上时，把x=3代入y=12x得y=32，则此时M（3，32）；当点M在线段AC上时，把x=3代入y=-x+6得y=3，则此时M（3，3）．综上所述，M的坐标为（1，32）或（3，3）．7.C.8.(8，5).9.（1）由y＝﹣32x+92，当y＝0时，x＝3．∴点D（3，0），当y＝3时，x＝1．∴点E（1，3）．（2）如图1，①当点P在OD段时，此时0≤t≤32，S ＝12×PD ×OC ＝12×3t −2t ×3＝﹣3t +92；②当点P 在DA 段时，此时32＜t ≤2，同理可得S ＝3t ﹣92；③当点P （P ′）在AB 段时，此时2＜t ≤72，S ＝S 梯形DABE ﹣S △ADP ′﹣S △BEP ′＝6﹣12×1×（2t ﹣4）﹣12×3×（7﹣2t ）＝2t ﹣52；故S ＝−3t +92，0≤t ≤323t −92，32＜t ≤22t −52，2＜t ≤72；（3）在x 轴上取点D 的对称点D ′（5，0），连接D ′E 交AB 于点P ，则此时PD +PE 的值最小，将点E ，D ′的坐标代入一次函数解析式y ＝kx +b ，得5k +b =0，k +b =3．解得k =−34，b =154．故直线EP 的解析式为y ＝﹣34x +154．。
一次函数与面积问题
一次函数与面积问题一次函数与面积问题结合起来一起考查，是一类常考题型，它要求学生充分理解点的坐标的几何意义，能在坐标系中表示出线段的长度，会将面积问题转化为线段、坐标的关系问题，同时对于较复杂的问题能够依据题意画出图象，并借助图象进行分析与解答.一次函数与面积问题的相关类型如下.三角形的底在坐标轴上 三角形的底在坐标轴上时，利用点到坐标轴的距离求出高后直接求面积即可，注意点到坐标轴的距离要带绝对值． 如图①，S △OAC =21·OA ·CH=21·︱x A ︱·︱y C ︱； 如图②，S △OBC =21·OB ·CH=21·︱y B ︱·︱x A ︱三角形的底平行于坐标轴三角形的底平行于坐标轴时，利用平行于坐标轴的直线上的两点间距离求出底和高，最后用面积公式求出面积 如图①，S △ABC =21·AB ·CH=21·︱x B -x A ︱·︱y C -y H ︱；如图②，S △ABC =21·AB ·CH=21·︱y B -y A ︱·︱x C -x H ︱补形法或分割法如果三角形的边都不平行于坐标轴，可以采用补形法构造出有边平行于坐标轴的三角形或四边形后再求解． 如图①，S △ABC = S △OBC + S △OAC + S △AOB ； 如图②，S △ABC = S 梯形OACD + S △BCD + S △AOB ；如图③，S △ABC = S 梯形BOEC + S △ACE -S △AOB ； 如图④，S △ABC = S 矩形OAFD - S △BCD - S △ACF - S △AOB ；通过作平行于坐标轴的直线将三角形分成左右两个三角形或上下两个三角形来求解面积.作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法.如图①，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽a ”，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高h ”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =0.5ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.图①中，S △ABC =21·︱x A -x B ︱·︱y C -y M ︱，如图②，S △ABC = S △ACM + S △BCM ；如图③，S △ABC = S △ABN + S △BCN 平行线转移法通过作平行线，利用平行线间的距离处处相等和底高关系转移三角形面积．如图④，AB ∥CG ，S △ABC =S △ABG例题1：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，2）和点B（0，4）．（1）求出这个一次函数的解析式；（2）画出一次函数图象；（3）求一次函数图象与x轴、y轴所围成的三角形的面积？分析：（1）将两点坐标代入函数表达式中，用待定系数法求解即可；（2）用两点法画函数的图象（确定两点，描点，连线）．（2）利用交点点坐标求出三角形面积可．解：（1）依题意得：，解得，所以该一次函数的解析式为y＝2x+4；（2）画出一次函数图象；（3）一次函数图象与x轴、y轴所围成的三角形的面积为：S＝×2×4＝4．例题2：已知直线y＝﹣3x+6与x轴交于A点，与y轴交于B点．（1）求A，B两点的坐标；（2）求直线y ＝﹣3x+6与坐标轴围成的三角形的面积．分析：（1）分别令x＝0、y＝0求解即可得到与坐标轴的交点；（2）根据三角形的面积公式列式计算即可得解：（1）当x＝0时，y＝﹣3x+6＝6，当y＝0时，0＝﹣3x+6，x＝2．所以A（2，0），B（0，6）；（2）直线与坐标轴围成的三角形的面积＝S△ABO＝×2×6＝6．例题3：求一次函数y＝x+、一次函数y＝﹣2x+6与x轴围成的三角形面积．分析：分别设一次函数y＝x+、一次函数y＝﹣2x+6与x轴的交点为A、B，两函数图象的交点为C，则可分别求得A、B、C的坐标，则可求得△ABC的面积．解：设一次函数y＝x+、一次函数y＝﹣2x+6与x轴的交点为A、B，两函数图象的交点为C，在y＝x+中，令y＝0可解得x＝﹣1，故A（﹣1，0），在y＝﹣2x+6中，令y＝0可解得x＝3，故B（3，0），∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，联立两函数解析式可得，解得，故C（2，2），∴在△ABC中，AB边上的高为2，∴S△ABC ＝×4×2＝4，即一次函数y＝x+、一次函数y＝﹣2x+6与x轴围成的三角形面积为4．例题4：已知一次函数的图象与x轴交于点A（6，0），又与正比例函数的图象交于点B，点B在第一象限，且横坐标为4，如果△AOB（O为坐标原点）的面积为15，求这个一次函数与正比例函数的函数关系式．分析:如图作BC⊥OA于C，先根据三角形面积公式求出BC＝5，则B点坐标为（4，5），然后利用待定系数法分别求正比例函数和一次函数解析式．解：如图，作BC⊥OA于C，∵S△OAB＝OA•BC，∴×6×BC＝15，∴BC＝5，∴B点坐标为（4，5），设正比的解析式为y＝kx+b，把A（6，0）、B（4，5）代入得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x+15．例题5：如图，已知一次函数图象交正比例函数图象于第二象限的A点，交x轴于点B（﹣6，0），△AOB的面积为15，且AB＝AO，求正比例函数和一次函数的解析式分析：作AC⊥OB于C点，如图，根据等腰三角形的性质得BC＝OC＝BC＝3，则C（﹣3，0），再利用三角形面积公式得×6•AC＝15，解得AC＝5，所以A（﹣3，5），然后利用待定系数法分别求直线OA的解析式和直线AB的解析式即可．解：作AC⊥OB于C点，如图，∵AB＝AO，∴BC＝OC＝BC＝3，∴C（﹣3，0），∵△AOB的面积为15，∴OB •AC＝15，即×6×AC＝15，解得AC＝5，∴A（﹣3，5），设直线OA的解析式为y＝kx，把A（﹣3，5）代入得﹣3k＝5，解得k＝﹣，∴直线OA的解析式为y＝﹣x；设直线AB的解析式为y＝ax+b，把A（﹣3，5）、B （﹣6，0）分别代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝x+10，即正比例函数和一次函数的解析式分别为y＝﹣x，y＝x+10例题6：已知函数y＝（m+1）x+2m﹣6，（1）若函数图象过（﹣1，2），求此函数的解析式．（2）若函数图象与直线y＝2x+5平行，求其函数的解析式．（3）求满足（2）条件的直线与直线y＝﹣3x+1的交点，并求出这两条直线与y轴所围成三角形的面积．分析：（1）将点（﹣1，2）代入函数解析式求出m即可；（2）根据两直线平行即斜率相等，即可得关于m 的方程，解方程即可得；（3）联立方程组求得两直线交点坐标，再求出两直线与y轴的交点坐标，根据三角形面积公式列式计算即可．解：（1）∵函数y＝（m+1）x+2m﹣6的图象过（﹣1，2），∴2＝（m+1）×（﹣1）+2m﹣6，解得：m＝9，故此函数的解析式为：y＝10x+12；（2）由函数图象与直线y＝2x+5平行知二者斜率相等，即m+1＝2，解得：m＝1，故函数的解析式为：y＝2x﹣4；（3）如图，由题意，得：，解得：，∴两直线的交点A（1，﹣2），y＝2x﹣4与y轴交点B（0，﹣4），y＝﹣3x+1与y轴交点C（0，1）∴S△ABC＝×5×1＝．例题7：如图，直线y＝kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（﹣3，0），点A的坐标为（﹣2.5，0）．（1）求k的值；（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究：当点P运动到什么位置（求点P 的坐标）时，△OPA的面积为5，并说明理由．分析:（1）由直线与x 轴的交点的坐标，代入即可求出k 的值；（2）过点P 作x 轴的垂线段，能够发现P 点到x 轴的距离为P 点的纵坐标，代入直线方程用x 表示出来P 点的纵坐标，再套用三角形面积公式即可得出结论，再由点P 在第二象限，即可确定x 的取值范围；（3）分两种情况，一种P 点在x 轴上方，一种在x 轴下方，分类讨论即可得出结论．解：（1）∵点E （﹣3，0）在直线y ＝kx+6的图象上，∴有0=-3k+6，解得：k ＝2．故k 的值为2．（2）过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为点B ，如图1．∵点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，∴P 点横坐标介于E 、F 的横坐标之间，∴﹣3＜x ＜0．∵点P 在直线y ＝2x+6上，∴y ＝2x+6．∵PB ⊥x 轴，且P 点在第二象限，且点A 的坐标为(-2.5,0)，∴PB ＝y ＝2x+6，OA ＝2.5．∴△OPA 的面积S ＝21·OA •PB ＝2.5x+7.5．故△OPA 的面积S 与x 的函数关系式为S ＝2.5x+7.5（-3＜x ＜0）．（3）∵令（2）中的关系式中x ＝0，解得S ＝7.5＞5，∴若点P 在x 轴上方时，必在第二象限，点P 在x 轴下方时，必在第三象限．①当点P 在x 轴上方时，有△OPA 的面积S ＝2.5x+7.5，令S ＝5，即2.5x+7.5，解得：x=-1．此时点P 的坐标为(-1,4)；②当点P 在x 轴下方时，如图2，此时PB=-y=-2x-6，△OPA 的面积S ＝21·OA •PB ＝0.5·×2.5×（﹣2x ﹣6）＝﹣2.5x ﹣7.5＝5，解得：x=-5．此时点P 的坐标为（-5，-4）．综上可知：点P 运动到(-1,4)或(-5,-4)时，△OPA 的面积为5．例题8：如图，已知l 1：y ＝2x+m 经过点（﹣3，﹣2），它与x 轴，y 轴分别交于点B 、A ，直线l 2：y ＝kx+b 经过点（2，﹣2）且与y 轴交于点C （0，﹣3），与x 轴交于点D ．（1）求直线l 1，l 2的解析式；（2）若直线l 1与l 2交于点P ，求S △ACP ：S △ACD 的值分析:（1）利用待定系数法求得两直线的解析式即可；（2）观察两个三角形，它们具有相同的底边，因此它们面积的比就是它们高的比，即点P 和点D 横坐标绝对值的比．解：（1）∵l 1：y ＝2x+m 经过点（﹣3，﹣2），∴﹣2＝2×（﹣3）+m ，解得：m ＝4，∴l 1：y ＝2x+4；∵l 2：y ＝kx+b 经过点（2，﹣2）且与y 轴交于点C （0，﹣3），∴，解得：k ＝，b ＝﹣3，∴l 2：y ＝x ﹣3；（2）令，解得：，∴点P （﹣，），∵△ACP 和△ABD 同底，∴面积的比等于高的比，∴S ：S ＝PM ：DO ＝：6＝7：9．例题9：如图，已知直线y＝x+4与x轴、y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，并把△AOB的面积分为2：3两部分，求直线l的解析式．分析:根据直线y＝x+4的解析式可求出A、B两点的坐标，当直线l把△ABO的面积分为S△AOC：S△BOC＝2：3时，作CF⊥OA于F，CE⊥OB于E，可分别求出△AOB与△AOC的面积，再根据其面积公式可求出两直线交点的坐标，从而求出其解析式；当直线l把△ABO的面积分为S△AOC：S△BOC＝2：3时，同（1）．解：直线l的解析式为：y＝kx，对于直线y＝x+4的解析式，当x＝0时，y＝4，y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0）、B（0，4），∴OA＝4，OB＝4，∴S△AOB＝×4×4＝8，当直线l把△AOB的面积分为S△AOC：S△BOC＝2：3时，S△AOC＝，作CF⊥OA于F，CE⊥OB于E，∴×AO•CF＝，即×4×CF＝，∴CF＝．当y＝时，x＝﹣，则＝﹣k，解得，k＝﹣，∴直线l的解析式为y＝﹣x；当直线l把△ABO的面积分为S△AOC：S △BOC＝3：2时，同理求得CF＝，解得直线l的解析式为y＝﹣x．故答案为y＝﹣x或y＝﹣x．例题10：如图，直线l1的解析表达式为：y＝﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标分析:（1）已知l1的解析式，令y＝0求出x的值即可；（2）设l2的解析式为y＝kx+b，由图联立方程组求出k，b的值；（3）联立方程组，求出交点C的坐标，继而可求出S△ADC；（4）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，△ADC高就是点C到AD的距离．解：（1）由y＝﹣3x+3，令y＝0，得﹣3x+3＝0，∴x＝1，∴D（1，0）；（2）设直线l2的解析表达式为y＝kx+b，由图象知：x＝4，y＝0；x＝3，，代入表达式y＝kx+b，∴，∴，∴直线l2的解析表达式为；（3）由，解得，∴C（2，﹣3），∵AD＝3，∴S△ADC＝×3×|﹣3|＝；（4）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，△ADC高就是点C到直线AD的距离，即C纵坐标的绝对值＝|﹣3|＝3，则P到AD距离＝3，∴P纵坐标的绝对值＝3，点P不是点C，∴点P纵坐标是3，∵y＝1.5x ﹣6，y＝3，∴1.5x﹣6＝3x＝6，所以P（6，3）．跟踪练习1.如图，一次函数的图像与x轴交于点B（-6,0），交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABO的面积为15，求直线OA的解析式2.点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A（2，0）、O（0，0），△ABO的面积为2，求点B的坐标3.如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与x轴交于A、B两点，这两直线的交点为P.(1)求点P的坐标；(2)求△PAB的面积4.已知直线y=ax+b（b>0）与y轴交于点N，与x轴交于点A且与直线y=kx交于点M（2，3），如图它们与y轴围成的△MON的面积为5．（1）求这两条直线的函数关系式（2）求它们与x轴围成的三角形面积5.已知两条直线y=2x-3和y=6-x.(1)求出它们的交点A的坐标；(2)求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积6.已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A、B．（1）求两直线交点C的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）在直线BC上能否找到点P，使得△APC的面积为6，求出点P的坐标，若不能请说明理由.7.如图，已知直线y＝x+6的图象与x轴、y轴交于A、B两点．（1）求点A、点B的坐标和△AOB的面积．（2）求线段AB的长．（3）若直线l经过原点，与线段AB交于点P（P为一动点），把△AOB的面积分成2：1两部分，求直线L的解析式．8.已知如图，直线l1：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，另一直线l2：y＝kx+b（k≠0）经过点C（4，0），且把△AOB分成两部分．（1）若l1∥l2，求过点C的直线的解析式．（2）若△AOB被直线l2分成的两部分面积相等，求过点C的直线的解析式．9.已知：如图，直线y＝kx+6与x轴y轴分别交于点E，F．点E的坐标为（8，0），点A的坐标为（6，0）．（1）求k的值；（2）若点P（x，y）是第一象限内的直线y＝kx+6上的一个动点，当点P运动过程中，试写出△OPA 的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究：当P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由10.如图，直线y＝kx+12与x轴y轴分别相交于点E，F．点E的坐标（16，0），点A的坐标为（12，0）．点P （x，y）是第一象限内的直线上的一个动点（点P不与点E，F重合）．（1）求k的值；（2）在点P运动的过程中，求出△OPA的面积S与x的函数关系式．（3）是否存在点P（x，y），使△OPA的面积为△OEF的面积的？若存在，求此时点P的坐标；若不存在请说明理由．11.已知正比例函数y＝k1x和一次函数y＝k2x+br的图象如图所示，它们的交点A（﹣3，4），且OB＝OA．（1）求正比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积和周长．12.直线PA 是一次函数y=x+n 的图像，直线PB 是一次函数y=-2x+m （m ＞n ＞0）的图像，（1）用m 、n 表示A 、B 、P 的坐标（2）直线PB 交y 轴于点Q ，四边形PQOB 的面积是65，AB=2，求直线PA 、直线PB 的解析式13.△AOB 的顶点O （0，0）、A （2，1）、B （10，1），直线CD⊥x 轴且△AOB 面积二等分，若D （x ，0），求x 的值14.如图，已知由x 轴、一次函数y ＝kx+4（k ＜0）的图象及分别过点C （1，0）、D （4，0）两点作平行于y 轴的两条直线所围成的图形ABDC 的面积为7，试求这个一次函数的解析式．15.已知长方形ABCD 的边长AB ＝9，AD ＝3，现将此长方形置于平面直角坐标系中，使AB 在x 轴的正半轴上，经过点C 的直线y ＝x ﹣2与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ．（1）求点E 、B 的坐标；（2）求四边形AECD 的面积；（3）在y 轴上是否存在一点P ，使△PEF 为等腰三角形？若存在，则求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16.正方形ABCD 的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB 边落在X 轴的正半轴上，且A 点的坐标是（1，0）．（1）直线y ＝x经过点C ，且与x 轴交与点E ，求四边形AECD 的面积；（2）若直线l 经过点E ，且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分，求直线l 的解析式；（3）若直线l 1经过点F （﹣，0），且与直线y ＝3x 平行，将（2）中直线l 沿着y 轴向上平移个单位交轴x 于点M ，交直线l 1于点N ，求△NMF 的面积．17.直线L 1：y=kx+b 过点B （-1,0）与y 轴交于点C,直线L 2：y=mx+n 与L1交于点P （2,5）,且过点A （6,0）,过点C 与L 2平行的直线交x 轴与点D ．（1）求直线CD 的函数解析式（2）求四边形APCD 的面积．18.直线y=-33x+1与x 轴y 轴分别交点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC， BAC=900，点P （a ，1／2）在第二象限，△ABP 的面积与△ABC 面积相等，求a 的值.19.已知直线y=-x+2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，另一直线y=kx+b （k ≠0）经过点C （1，0），且把△AOB 分为两部分，（1）若△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 和b 的值；（2）若△AOB 被分成的两部分面积为1：5，求k 和b 的值20.直线y=-32x+3交x 、y 两坐标轴分别于点A 、B ，交直线y=2x-1于点P ，直线y=2x-1交x ，y 坐标轴分别为C 、D ，求△PAC 和△PBC 的面积各是多少？21.如图，直线l 1的解析式为y ＝3x ﹣3，且l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A 、B ，直线l 1，l 2相交于点C ．（1）求点D 的坐标；（2）求△ADC 的面积．22.已知直线l 1：y ＝k 1x+b 1经过点（-1,6）和（1，2），它和x 轴、y 轴分别交于B 和A ；直线l 2：y ＝-0.5x-3，它和x 轴、y 轴的交点分别是D 和C ．（1）求直线l 1的解析式；（2）求四边形ABCD 的面积；（3）设直线l 1与l 2交于点P ，求△PBC 的面积23.如图，直角坐标系xoy 中，一次函数y=-0.5x+5的图像l 1分别与x ，y 轴交于A 、B 两点，正比例函数的图像l 2与l 1交于点C （m ，4）.（1）求m 的值及l 2的解析式；（2）求S △AOC -S △BOC 的值；（3）一次函数y=kx+1的图像为l 3，且l 1，l 2，l 3不能围成三角形，直接写出k 的值一次函数与面积问题答案1.解：过点A 作AC ⊥OB 于点C ，设AC ＝m （m ＞0）由△AOB 的面积为15，OB ＝6得21OB ×m ＝15，即21×6×m ＝15，∴m ＝5，得A （－4，5）．设正比例函数解析式y ＝k 1x （k 1≠0）把x ＝－4，y ＝5代入得k 1＝−45，∴y ＝−45x ．设一次函数解析式y ＝k 2x ＋b （k 2≠0），把x ＝－4，y ＝5和x ＝－6，y ＝0代入得：⎩⎨⎧+-=+-=b k b k 226045，解得k 2=25,b=15．∴y ＝25x+15． 2.点B 在直线y=-x+1上，且点B 在第四象限，点A （2，0）、O （0，0），△ABO 的面积为2，求点B 的坐标解：过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，∵△ABO 的面积为2，∴21OA ×BC=2，OA ×BC=4,∵OA=2,∴BC=2,∵B 点在第四象限，∴B 点的纵坐标是-2，∵B 点在y=-x+1上，∴当y=-2时，-x+1=-2，x=3，∴B 的坐标是（3，-2）3.分析:（1）联立两个解析式，组成方程组，再解方程即可得到P 点坐标；（2）分别利用函数解析式计算出A 、B 两点的坐标，在求△APB 的面积即可．解：（1），解得，故P （﹣1，2）；（2）∵函数y ＝（）x+2.5中，当y ＝0时，x ＝﹣5，∴A （﹣5，0），∵函数y ＝﹣x+1中，当y ＝0时，x ＝1，∴B （1，0），∴S △APB ＝×6×2＝6．4.(1)y=kx 过M(2,3),∴3=2k,k=32,∴y=32x.∵y=ax+b 过M(2,3),则2a+b=3,b=3-2a,∴y=ax+(3-2a),∵S ΔOMN =21×|3-2a|×2=|3-2a|=5,∴2a-3=±5,a=4或a=-1,∴直线y=ax+b 的解析式为y=4x+5或y=-x-5；(2)①当y=4x+5时,令y=0得x=-5/4,∴y=4x+5与x 轴交于A(-5/4,0),S ΔOAM =21×45×3=15/8；②当y=-x-5时,令y=0得x=-5,∴y=-x-5与x 轴交于B(-5,0),S ΔOBM =21×5×3=15/2 5.分析:（1）根据两直线相交的问题，通过解方程组即可得到两直线的交点坐标；（2）先根据x 轴上点的坐标特征求出两直线与x 轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解．解：（1）解方程组得，所以两直线的交点坐标为（3，3）；（2）当y ＝0时，2x ﹣3＝0，解得x ＝，则直线y 1＝2x ﹣3与x 轴的交点坐标为（，0）；当y ＝0时，6﹣x ＝0，解得x ＝6，则直线y 2＝6﹣x 与x 轴的交点坐标为（0，6）；所以这两条直线与x 轴所围成的三角形面积＝×（6﹣）×3＝． 6.分析:（1）解方程组即可得出交点坐标；（2）分别求出A ，B 的坐标即可求出三角形的面积；（3）假设在直线y ＝﹣2x ﹣1上存在点P 使得S △APC ＝6，设点P （x ，y ），分类讨论x 的取值后即可得出答案；解：（1）解方程组解得：x ＝﹣1，y ＝1，所以点C 的坐标为（﹣1，1）；（2）直线y ＝2x+3与y 轴的交点A 的坐标为（0，3），直线y ＝﹣2x ﹣1与y 轴的交点B 的坐标为（0，﹣1），所以AB ＝4，S △ABC ＝×4×|﹣1|＝2；（3）假设在直线y＝﹣2x﹣1上存在点P使得S△APC＝6，设点P（x，y），则①当x＜﹣1时，有S△APB﹣S △ABC＝6，即×4×|x|﹣2＝6,解得x＝4（舍去）或x＝﹣4，把x＝﹣4代入y＝﹣2x﹣1，得y＝7,②当x＞0时，有S△APB+S△ABC＝6，即×4×x+2＝6,解得x＝2，把x＝2代入y＝﹣2x﹣1得y＝﹣5,所以在直线y＝﹣2x﹣1上存在点P（﹣4，7）和P（2，﹣5），使得S△APC＝6．7.分析:（1）把x＝0，和y＝0代入解析式y＝x+6解答即可，再利用三角形的面积公式计算即可；（2）利用两点间的距离公式计算即可；（3）设P点的坐标为（m，m+6），然后分两种情况求得P的坐标，进而利用待定系数法即可求得直线L的解析式．解：（1）∵直线y＝x+6的图象与x轴、y轴交于A、B两点，∴A（0，6）B（﹣6，0），∴OA＝6，OB＝6，∴S△AOB ＝OA•OB＝×6×6＝18；（2）∵A（0，6）B（﹣6，0），∴AB＝＝6；（3）设P点的坐标为（m，m+6），∴S△POB＝OB•（m+6）＝3（m+6），∵把△AOB的面积分成2：1两部分，∴S△POB：S△AOB＝2：3或1：3，∴＝或，解得m＝﹣2或﹣4，∴P（﹣2，4）或（﹣4，2），设直线L的解析式为y＝kx，∴4＝﹣2k或2＝﹣4k，解得k＝﹣2或k＝﹣，∴直线L的解析式为或y＝﹣2x．8.分析:（1）当l1∥l2时，k＝﹣，然后将C（4，0）代入l2的解析式中即可求出b的值．（2）容易求得C（4，0），且C是OA的中点，所以直线l2是△AOB的中线，从而求出C的直线解析式．解：（1）由题意可知：k＝﹣,∴直线的解析式为：y＝﹣x+b,把（4，0）代入上式，∴b＝2,∴直线的解析式为：y＝﹣x+2;（2）令y＝0代入y＝﹣x+4，∴x＝8，∴点A（8，0）,令x＝0代入y＝﹣x+4，y＝4，∴B （0，4）,∴C是OA的中点,若△AOB被直线l2分成的两部分面积相等，则直线l2与△AOB的中线重合，即直线l2过点B把（0，4）和（4，0）代入y＝kx+b，∴,解得：,∴直线l2的解析式为：y＝﹣x+4 9.分析:（1）直接把E的坐标为（8，0）代入y＝kx+6就可以求出k的值；（2）根据三角形的面积公式S△OPA＝，然后把y转换成x，△OPA的面积S与x的函数关系式就可以求出了；（3）直接把S＝9代入（2）中的解析式里．就可以求出x，然后确定P的坐标．解：（1）把点E（8，0）代入y＝kx+6，得8k+6＝0，解得，k＝；（2）∵点P（x，y）在第一象限内的直线y＝x+6上,∴点P的坐标为（x，x+6）且x＞0，x+6＞0,过点P作PD⊥x轴于点D，则△OPA的面积＝OA×PD,即.∴（0＜x＜8）；（3）由S＝9得，，解得x＝4，把x＝4代入y＝x+6，得y＝×4+6＝3,这时，P有坐标为（4，3）；即当P运动到点（4，3）这个位置时，△OPA的面积为9．10.分析:（1）直接把点E的坐标代入直线y＝kx+12求出k的值即可；（2）过点P作PD⊥OA于点D，用x表示出PD的长，根据三角形的面积公式即可得出结论；（3）把△OPA的面积为△OEF的面积的，得出△OPA的面积代入（2）中关系式，求出x的值，把x的值代入直线y＝﹣x+12即可得出结论．解：（1）∵直线y＝kx+12与x轴交于点E，且点E的坐标（16，0）,∴16k+12＝0，解得k＝﹣，∴y＝﹣x+12；（2）过点P作PD⊥OA于点D，∵点P（x，y）是第一象限内的直线上的一个动点,∴PD＝﹣x+12．∵点A的坐标为（12，0）,∴S＝×12×（﹣x+12）＝﹣x+72；（3）∵y＝﹣x+12，∴当y＝0时，x＝16，∴OF＝16，OE＝16，∵△OPA的面积为△OEF的面积的，∴△OPA的面积＝，∴﹣x+72＝36，解得x＝8，将x＝8代入y＝﹣x+12得y＝6，∴P（8，6）．11.分析：（1）先利用两点间的距离公式计算出OA＝5，易得OB＝3，则B（3，0），然后利用待定系数分别求正比例函数和一次函数的解析式；（2）先利用两点间的距离公式计算出AB，然后根据三角形面积公式和周长的定义求解．解：（1）∵点A（﹣3，4），∴OA＝＝5，而OB＝OA，∴OB＝3，∴B（3，0），把A（﹣3，4）代入y＝k1x得﹣3k1＝4，解得k1＝﹣，∴自变量函数解析式为y＝﹣x；把A（﹣3，4）、B（3，0）分别代入y＝k2x+b得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x+2；（2）AB＝＝2，△AOB的面积＝×3×4＝6，△AOB的周长＝3+5+2＝8+2．12.分析:二元一次方程组与一次函数的综合运用，再加上四边形的面积．首先根据一次函数求出点的坐标，求第（2）问时，设PB与y轴交于一点M，四边形面积等于三角形MOB的面积﹣三角形MQP的面积，从而得出结果．解：（1）设A（a，0），B（b，0），P（x，y）．由题意得：a+n＝0①，﹣2b+m＝0②，由①②得a＝﹣n，b＝．解方程组，得．故A（﹣n，0），B（，0），P（，）；（2）设PB与y轴交于一点M，则M（0，m），Q（0，n）．则S MOB＝m＝，S MQP＝＝．所以＝③，又＝2④,由③④联立，解得．∴点P的坐标为（，），直线PA的解析式为y＝x+1，直线PB的解析式为y＝﹣2x+2．13.分析：先用待定系数法求出直线OB的解析式，再设CD交AB于点E，交OB于点F，故可得出F点的坐标及EF、EB、AB的长，再根据S△BEF＝S△AOB即可得出x的值，进而得出结论．解：设直线OB的解析式为y＝kx（k≠0），∵B（10，1），∴1＝10k，解得k＝，∴直线OB的解析式为y＝x，∵D（x，0），∴F（x，），∴EF＝1﹣，EB＝10﹣x，AB＝10﹣2＝8，∴S△BEF＝××（10﹣x）＝，∴S△AOB＝×8×1＝2×，解得x＝10﹣2．14.分析：根据点A、B在一次函数y＝kx+4的图象上得出A（1，k+4），B（4，4k+4）且k+4＞0，4k+4＞O，根据四边形ABDC的面积为7代入即可求出k的值．解：∵点A、B在一次函数y＝kx+4的图象上，∴A（1，k+4），B（4，4k+4）且k+4＞0，4k+4＞O，∵四边形ABDC 的面积为7，∴[（k+4）+（4k+4）]•3＝7，∴k＝﹣，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+4．15.分析：（1）对于直线y＝x﹣2，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出E与F坐标，根据四边形ABCD为矩形，得到对边相等，求出BC的长，即为C纵坐标，代入直线解析式求出C横坐标，即可确定出B坐标；（2）由B与E的横坐标之差求出EB的长，四边形AECD面积＝矩形ABCD面积﹣三角形ECB面积，求出即可；（3）在y轴上存在一点P，使△PEF为等腰三角形，如图所示，分三种情况考虑：若P1F＝EF；若EF＝P2F；若P3F＝P3E；分别求出P的坐标即可．解：（1）对于直线y＝x﹣2，令x＝0，得到y＝﹣2；令y＝0，得到x＝4，∴E（4，0），F（0，﹣2），∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ＝AD ＝3，DC ＝AB ＝9，把y ＝3代入直线y ＝x ﹣2，得：x ＝10，即B （10，0）；（2）∵E （4，0），B （10，0），∴EB ＝10﹣4＝6，∴S 四边形AECD ＝S 矩形ABCD ﹣S △ECB ＝9×3﹣×6×3＝27﹣9＝18；（3）存在，如图所示，分三种情况考虑：若P 1F ＝EF ＝＝2，∴OP 1＝OF+P 1F ＝2+2，此时P 1（0，﹣2﹣2）；若EF ＝P 2F ＝2，∴OP 2＝P 2F ﹣OF ＝2﹣2，此时P 2（0，2﹣2）；若P 3F ＝P 3E ，此时P 3在线段EF 垂直平分线上，线段EF 垂直平分线为y+1＝﹣2（x ﹣2），即y ＝﹣2x+3，令x ＝0，得到y ＝3，此时P 3（0，3），综上，在y 轴上存在一点P ，使△PEF 为等腰三角形，此时P 的坐标为（0，﹣2﹣2）或（0，2﹣2）或（0，3）．16.分析：（1）求得C 的坐标，以及E 的坐标，则求得AE 的长，根据直角梯形的面积公式即可求得四边形的面积；（2）经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分的直线与CD 的交点F 到C 的距离一定等于AE ，则F 的坐标可以求得，利用待定系数法即可求得直线EF 的解析式；（3）根据直线l 1经过点F （﹣，0）且与直线y ＝3x 平行，知k ＝3，把F 的坐标代入即可求出b 的值即可得出直线11，同理求出解析式y ＝2x ﹣3，进一步求出M 、N 的坐标，利用三角形的面积公式即可求出△MNF 的面积．．解：（1）在y ＝x 中，令y ＝4，即x ＝4，解得：x ＝5，则B 的坐标是（5，0）；令y ＝0，即x ＝0，解得：x ＝2，则E 的坐标是（2，0）．则OB ＝5，OE ＝2，BE ＝OB ﹣OA ＝5﹣2＝3，∴AE ＝AB ﹣BE ＝4﹣3＝1，边形AECD ＝（AE+CD ）•AD ＝（4+1）×4＝10；（2）经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分，则直线与CD 的交点F ，必有CF ＝AE ＝1，则F 的坐标是（4，4）．设直线的解析式是y ＝kx+b ，则，解得．则直线l 的解析式是：y ＝2x ﹣4；（3）∵直线l 1经过点F （﹣，0）且与直线y ＝3x 平行，设直线11的解析式是y 1＝kx+b ，则k ＝3，代入得：0＝3×（﹣）+b ，解得b ＝，∴y 1＝3x+，已知将（2）中直线l 沿着y 轴向上平移个单位，则所得的直线的解析式是y ＝2x ﹣4+，即：y ＝2x ﹣3，当y ＝0时，x ＝，∴M （，0），解方程组得：，即：N （﹣7，﹣19），S △NMF ＝×[﹣（﹣）]×|﹣19|＝．答：△NMF 的面积是．17.将B 和P 点带入y=kx+b 中,得：0=-k+b,5=2k+b 即：k=b=35，所以L1为：y=35 x+35，C 的坐标：(0,5/3) 将P 和A 带入y=mx+n 中，得5=2m+n ，0=6m+n ，解得：m=-5/4,n=15/2，即L 2的方程为：y=-45x+215，∵CD ∥AP ， ∴CD 直线的解析式可以设为：y=-45x+b ′，∵x=0时，y=35×0+35=35，∴C 的坐标是（0，35），把C 的坐标带入CD 的解析式中，得b ′=35，∴CD 的直线解析式为y=-45x+35，由y=-45x+35与x 轴交于点D ，得D 坐标为：(4/3,0)，由P 做PM ⊥x 轴于M ，则PM=5，∵A 的坐标是（6,0），B 的坐标是（-1,0），D 的坐标是(4/3,0)，C 的坐标是（0，35），∴AB=7，BD=37，OC=35，∴四边形APCD 的面积=三角形BAP 面积-三角形BDC 面积=21×7×5-21×37×35=9140 18.分析：由已知求出A 、B 的坐标，求出三角形ABC 的面积，再利用S △ABP ＝S △ABC 建立含a 的方程，把S △ABP 表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差，通过解方程求得答案．解：连接OP ，∵直线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，∴A （，0），B （0，1），AB ＝＝2，∴S △ABP ＝S △ABC ＝2，又S △ABP ＝S △OPB +S △OAB ﹣S △AOP ，∴﹣a ×1+×1﹣＝4，解得a ＝．答：a 的值为a ＝．19.分析：（1）△AOB 被分成的两部分面积相等，那么被分成的两部分都应该是三角形AOB 的面积的一半，那么直线y ＝kx+b （k ≠0）必过B 点，因此根据B ，C 两点的函数关系式可得出，直线的函数式．（2）若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，那么被分成的两部分中小三角形的面积就应该是大三角形面积的，已知了直线过C 点，则小三角形的底边是大三角形的OA 边的一半，故小三角形的高应该是OB 的，即直线经过的这点的纵坐标应该是．那么这点应该在y 轴和AB 上，可分这两种情况进行计算，运用待定系数法求函数的解析式．解：（1）由题意知：直线y ＝kx+b （k ≠0）必过C 点，∵C 是OA 的中点，∴直线y ＝kx+b 一定经过点B ，C ，如图（1）所示，把B ，C 的坐标代入可得：，解得k ＝﹣2，b ＝2；（2）∵S △AOB ＝×2×2＝2，∵△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，那么直线y ＝kx+b （k ≠0）与y 轴或AB 交点的纵坐标就应该是：2×2×＝，①当y ＝kx+b （k ≠0）与直线y ＝﹣x+2相交时，交点为D ，如图（2）所示，当y ＝时，直线y ＝﹣x+2与y ＝kx+b （k ≠0）的交点D 的横坐标就应该是﹣x+2＝，∴x ＝，即交点D 的坐标为（，），又根据C 点的坐标为（1，0），可得：，∴，②当y ＝kx+b （k ≠0）与y 轴相交时，交点为E ，如图（3）所示，∴交点E 的坐标就应该是（0，），又有C 点的坐标（1，0），可得：，∴，因此：k ＝2，b ＝﹣2或k ＝﹣，b ＝．20.解：过P 分别向x 轴、y 轴分别做PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ，由y=-32x+3和y=2x-1联立可得x=23，y=2，∴p 的坐标是（23，2），∴PM=23，PN=2，易求得A 、B 、C 、D 的坐标分别为（29，0），（0,3），（21，0），（0，-1），∴AC=4，BD=4，OC=21，∴S △PAC =21AC ·PM=3，S △PBC =S △PBD -S △BCD =21BD ·PN-21BD ·OC=4-1=3. 21.分析：（1）利用直线l 1的解析式令y ＝0，求出x 的值即可得到点D 的坐标；（2）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法求出直线l 2的解析式，得到点A 的坐标，再联立直线l 1，l 2的解析式，求出点C 的坐标，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解．解：（1）∵直线l 1的解析式为y ＝3x ﹣3，且l 1与x 轴交于点D ，∴令y ＝0，得x ＝1，∴D （1，0）；（2）设直线l 2的解析式为y ＝kx+b （k ≠0），∵A （4，0），B （3，），∴，解得，∴直线l 2的解析式为y ＝﹣x+6．由，解得，∴C （2，3）．∵AD ＝4﹣1＝3，∴S △ADC ＝×3×3＝．22.分析:（1）因为点（﹣1，6）和（1，2）在直线l 1：y ＝k 1x+b 1，所以把这两点的坐标代入解析式求出k 1、b 1的值就可以了．（2）知道直线l 2的解析式就可以求出C 、D 的坐标，根据l 1的解析式就可以求出A 、B 的坐标就可以求出BD 、OA 、OC 的长利用三角形的面积公式求出四边形ABCD 的面积．（3）利用l 1、l 2的解析式求出交点坐标P ，就可以求出△PDB 的面积，然后求出三角形DCB 的面积，这两个三角形的面积之差就是△PBC 的面积． 解：（1）∵直线l 1：y ＝k 1x+b 1经过点（﹣1，6）和（1，2）,∴，解得，∴直线l 1的解析式为：y ＝﹣2x+4；（2）∵直线l 1的解析式为：y ＝﹣2x+4,当x ＝0时，y ＝4，∴A （0，4）,∴OA ＝4,当y ＝0时，x ＝2，∴B （2，0）,∴OB ＝2,∵直线l 2：y ＝﹣x ﹣3,当x ＝0时，y ＝﹣3，即C （0，﹣3）.∴OC ＝3,当y ＝0时，x ＝﹣6，即D （﹣6，0）,∴OD ＝6,∴BD ＝8,∴S 四边形ABCD ＝+＝12+16＝28；（3）过点P 作PE ⊥BD 于E ，由l 1、l 2的解析式得：解得：，∴P （，﹣）,∴OE ＝，PE ＝,∴S △PBC ＝﹣＝﹣12＝．23.分析：（1）先求得点C 的坐标，再运用待定系数法即可得到l 2的解析式；（2）过C 作CD ⊥AO 于D ，CE ⊥BO 于E ，则CD ＝4，CE ＝2，再根据A （10，0），B （0，5），可得AO ＝10，BO ＝5，进而得出S △AOC ﹣S △BOC 的值；（3）分三种情况：当l 3经过点C （2，4）时，k ＝1.5；当l 2，l 3平行时，k ＝2；当11，l 3平行时，k ＝﹣0.5；故k 的值为1.5或2或﹣0.5．解：（1）把C （m ，4）代入一次函数y ＝﹣0.5x+5，可得4＝﹣0.5m+5，解得m ＝2，∴C （2，4），设l 2的解析式为y ＝ax ，则4＝2a ，解得a ＝2，∴l 2的解析式为y ＝2x ；（2）如图，过C 作CD ⊥AO 于D ，CE ⊥BO 于E ，则CD ＝4，CE ＝2，y ＝﹣0.5x+5，令x ＝0，则y ＝5；令y ＝0，则x ＝10，∴A （10，0），B （0，5），∴AO ＝10，BO ＝5，∴S △AOC ﹣S △BOC ＝0.5×10×4﹣0.5×5×2＝20﹣5＝15；（3）一次函数y ＝kx+1的图象为l 3，且11，l 2，l 3不能围成三角形，∴当l 3经过点C （2，4）时，k ＝1.5；当l 2，l 3平行时，k ＝2；当11，l 3平行时，k ＝﹣0.5；故k 的值为1.5或2或﹣0.5．。
一次函数图象中的面积问题(初二)
一次函数图象中的面积问题(初二)在函数图象面积问题中，要理解函数的原理和定义，才能更有效地计算函数图象的面积。
函数是用来表示定义域和值域之间一对一关系的经典数学工具。
一般来说，函数定义域被称为“自变量”，值域被称为“因变量”。
在函数图象中，通常情况下我们可以利用自变量和因变量之间的函数关系来计算函数图象中的面积。
计算函数图象面积有多种方法可选，分为定积分法和分段法。
定积分法是最常用的一种计算方法，涉及到用定积法来求解，主要在求解积分上应用。
它利用定积分的概念，将要求的面积分解成无数个小的长方形，它们的横轴代表自变量，纵轴代表因变量，面积的总和就是我们要求的函数图象的面积。
一般当函数为直线时，定积分法容易计算，因此称为简化积分法。
另外，还有一种计算方法叫做分段法，它要求我们将函数图象分成若干段，然后分别求解每一段的函数图象面积。
这里分段的方法有以下几种：①直接分段法，即在边界点处断开函数；②折线法，即将把函数分解成连续的折线；③隐式分段法，即将函数定义上的定义域和值域都分成若干段。
经过上述分段后，对每一段具体函数图象面积可以用定积分法或其他方法来计算，最后将每一段面积求和即为整体函数图象面积。
总之，函数图象面积计算一般常用的方法有定积分法和分段法，各有优缺点。
由于定积分法要求将函数面积分解成无限小的矩形块，对于函数的连续性要求非常高，而分段法需要把函数分解成若干段，并且需要精细分析函数的上升段，下降段等，但同时也可以在给定的范围内计算函数的面积，从而获得较精确的结果，可以根据具体情况取舍。
一次函数的图象与面积
练一练
已知直线y=kx+b过点A（－1，5）， 且平行于直线y=－x+2．
一．求直线y=kx+b的关系式； 若B（m，－5）在这条直线上，O为原点， 求m的值及S△AOB。
二、由面积关系求一次函数关系式
例题精讲
已知直线y=kx+b与x轴交于点(4，
y
分析：
o
x
y=–x+4
４. 如图，在同一坐标系中，关于x的一次函数
y = x+ b与 y = b x+1的图象只可能是C（
）
(A)
y
(B)
y
ox
ox
y (C)
ox
(D)
y
ox
1 2x + 1 与 直 线 a 关 于 y 轴 对 称 ， 在 同
一
坐标系中画出它们的图象，并求
已
知 直 线 出 直 线 a 的 解 析 式 .
的△ABP的面积s关于时间t的函数图象
如图乙。若AB=6cm，试回答下列问题
A
F bs
6cm
D Ea
B2cm/Ps C
图甲
o 46 9 t 图乙
A
6cm
B2cm8m/Psc
F
D 6cmE 4cm
4b 22a 4
s
C
o 46
·M 9· N·t
问题： 图甲
图乙
（坐的（的（际7标函面123意564）））是数积义MP图否关是？点点甲乙可系怎ab在坐中的以式样整标BC值D的求呢变个DC是E是ab出？的化的的在否多？长的长移图可少M是？是动甲以？N多多过中求所少少程具出在？？中有？直什△N线A么点B实P
专题07 一次函数中的面积问题精讲(解析版)
专题07 一次函数中的面积问题精讲一、平面直角坐标系中面积的几种求法面积问题是中考的一个重点知识点，考查方式灵活多样，很多题目有创新性，能很好考查学生的灵活运用知识的能力.我们除了要熟知常见图形的面积公式外，在平面直角坐标系中还要懂得以下几种面积的方法： 方法一、割补法割补方法不仅仅只有一种，要灵活使用.方法二、铅垂高、水平宽法=21=2ABC ABC S CD OAS CE OB⨯⨯⨯⨯△△ 二、典型例题选讲题1. 如图1-1所示，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°，BC =5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y =2x ﹣6上时，线段BC 扫过的面积为（ ）图1-1A ．4B ．8C ．16D ．12 【答案】C .【解析】如图1-2所示．图1-2设C 点移动到直线y =2x ﹣6上的点为C ’. ∵点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）， ∴AB =3．∵∠CAB =90°，BC =5，∴在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC =4． ∴A ′C ′=4．∵点C ′在直线y =2x -6上， ∴2x -6=4，解得 x =5．即OA ′=5， ∴CC ′=5-1=4．∴四边形BB ’C ’C 是平行四边形，面积 =4×4=16． 即线段BC 扫过的面积为16，故答案为：C .题2. 已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图象都经过A （2-，0），且与y 轴分别交于B 、C 两点，则△ABC 的面积为 （ ）．A ． 4B ． 5C ． 6D ． 7 【答案】C .【解析】因为y =2x +a 与y =-x +b 的图象都经过A (-2,0), 所以0=2×（-2）+a ， 解得：a =4， 又因为0=2+b 解得：b =-2y =2x +4、y =-x -2与y 轴分别交于B 、C 两点 ∴B (0.4)，C (0,-2)，三角形ABC 的面积=2×6÷2=6. 故答案为：C .题3. (河北中考)如图3-1所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (0，5)，直线x ＝－5与x 轴交于点D ，直线y ＝－38x －398与x 轴及直线x ＝－5分别交于点C ，E .点B ，E 关于x 轴对称，连接AB . (1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的解析式； (2)若S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ，求S 的值；(3)在求(2)中S 时，嘉琪有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积，如此不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S △AOC ≠S ，请通过计算解释他的想法错在哪里．图3-1【答案】见解析【解析】解：（1）y ＝－38x －398，令y ＝0，有0＝－38x －398，解得：x ＝－13，即C (－13，0)．令x ＝－5，则有y ＝－38×(－5)－398＝－3，即E (－5，－3)．∵点B ，E 关于x 轴对称， ∵B (－5，3)． ∵A (0，5)，∵设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋5， ∵－5k ＋5＝3， ∵k ＝25，∵直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5.（2）由（1）知E (－5，－3)， ∵DE ＝3. ∵C (－13，0)，∵CD ＝－5－(－13)＝8， ∵S ∵CDE ＝12CD ·DE ＝12.由题意知OA ＝5，OD ＝5，BD ＝3， ∵S 四边形ABDO ＝12(BD ＋OA )·OD ＝20，∵S ＝S ∵CDE ＋S 四边形ABDO ＝12＋20＝32.（3）由（2）知S ＝32，在∵AOC 中，OA ＝5，OC ＝13， ∵S ∵AOC ＝12OA ·OC ＝652＝32.5，∵S ≠S ∵AOC .理由：由(1)知直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5，令y ＝0，则0＝25x ＋5，∵x ＝－252≠－13，∵点C 不在直线AB 上，即点A ，B ，C 不在同一条直线上， ∵S ∵AOC ≠S .题4. 已知一次函数的图象过点(0,3)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为3, 则其表达式为( ) A . y ＝1.5x ＋3B . y ＝－1.5x ＋3C . y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3D . y ＝1.5x －3或y ＝－1.5x －3【答案】C .【解析】解：设该一次函数与x 轴的交点坐标为（a ,0）， 由题意得：1332a ⨯⨯=， 解得：a =±2， 当a =2时，设直线解析式为y =kx +3，将（2,0）代入，求得k =-1.5； 同理求得，当a =-2时，k =1.5.所以函数解析式为：y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3，故答案为C .题5. 如图5-1所示，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A (－2，－1)，B (1，3)两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D .图5-1(1)求该一次函数的解析式；(2)求∵AOB 的面积． 【答案】见解析.【解析】解：(1)把A (－2，－1)，B (1，3)代入y ＝kx ＋b ，得：⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－1，k ＋b ＝3. 解得⎩⎨⎧k ＝43，b ＝53.∵一次函数的解析式为y ＝43x ＋53.(2)把x ＝0代入y ＝43x ＋53，得y ＝53，∵D 点坐标为(0，53)．∵S ∵AOB ＝S ∵AOD ＋S ∵BOD ＝12×53×2＋12×53×1＝52.题6. 已知，一次函数y kx b =+的图像与正比例函数13y x =交于点A ，并与y 轴交于点(0,4)B -，△AOB 的面积为6，则kb = 【答案】203-或4. 【解析】解：因为一次函数y kx b =+的图像与y 轴交于点(0,4)B -， ∴b =－4，OB =4， 设A 点横坐标为a ， 因为△AOB 的面积为6， 所以162a OB ⨯⨯=, 即a =3或－3，点A 的坐标为（3,1）或（－3，－1） 将A 点坐标代入4y kx =-，得： k =53或－1 所以kb = 203-或4. 故答案为：203-或4.题7. 如图7-1所示,点G ，D ，C 在直线a 上,点E ,F ,A ,B 在直线b 上,若a ∥b ,Rt △GEF 从如图所示的位置出发,沿直线b 向右匀速运动,直到EG 与BC 重合.运动过程中△GEF 与矩形ABCD 重合部分的面积（S ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）图7-1A B C D【解析】根据题意可得：①F、A重合之前没有重叠面积；②F、A重叠之后，重叠部分面积逐渐增大，且增加的速度越来越快；③△EFG完全进入且F与B重合之前，重叠部分的面积是三角形的面积，不变，④F与B重合之后，重叠部分的面积逐渐减小，减小的速度越来越慢，直至最后重叠部分的面积为0．综上所述，只有B选项图形符合．故答案为：B．题8. 如图8-1所示，已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1.(1)求两直线交点C的坐标;(2)求∵ABC的面积.(3)在直线BC上能否找到点P,使得S∵APC=6，若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由。
专题：一次函数的图像与坐标轴围成的图形面积问题
专题：一次函数的图像与坐标轴围成的图形面积问题1、填空：一次函数y=0.5x+2的图像与x轴的交点；与y轴的交点；一次函数y=-x-1的图像与x轴的交点为；与y轴的交点；2、直线y=0.5x+2与直线y=-x-1的交点；3、过点〔2，0〕〔0，4〕的直线解析式；例1：直线y=3x-6，1）画出函数图像，并求出一次函数图像与两坐标轴围成的三角形面积2）求直线y=-x-1与y轴围成的三角形面积；3）求直线y=-x-1与x轴围成的三角形面积；1、求直线y=x-2与直线y=-2x+4与x 轴围成的三角形面积？2、作业：直线y =4x －2与直线y =－x +13及x 轴所围成的三角形的面积？3、作业：求直线y =2x －7，直线1122y x =-+与y 轴所围成三角形的面积．例2一次函数的图像过点B〔0，4〕且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求此一次函数的解析式？变形1：直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，求直线解析式；变形2：一次函数的图像经过点A〔2，0〕，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求此一次函数的解析式？例3：一次函数图像交于x轴于点A〔6，0〕，与正比例函数图像交于点B，且点B在第一象限，其横坐标是4，假设△ABO的面积等于15，求这个正比例函数和一次函数的解析式？稳固练习：直线L1经过点A〔-1，0〕与点B〔2，3〕，另一条直线L2经过点B，且与x轴相交于点p〔m，0〕假设假设△APB的面积等于3，求m值和L1、L2的解析式？X直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点，直线L经过原点，与线段AB 交于点C，把△AOB的面积分成1：1两局部，求直线L的解析式；X直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点，直线L经过原点，与线段AB 交于点C，把△AOB的面积分成2：1两局部，求直线L的解析式；X一次函数y=kx+b的图像经过M〔-1，1〕和B〔0，2〕设该图像与x轴交于点A，问在x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形，假设存在，求出符合条件得点P,假设不存在说明理由。
2022中考专项·一次函数中的图形面积问题(解析版)
专题01 一次函数中地图形面积问题【模型展示】一、如何求下列阴影部分三角形地面积二、如何求下面两个阴影三角形地面积【例题精讲】1、如图,直线6y kx =+与x 轴、y 轴分别相交于点,E F ,点E 地坐标为(8,0)-,点A 地坐标为(6,0)-．点(,)P x y 是第二象限内地直线上地一个动点.（1）求k 地值（2）当点P 运动过程中,试写出OPA ∆地面积S 与x 地函数关系式,并写出自变量x 地取值范围；（3）求当P 运动到什么位置（求P 地坐标）时,四边形AOFP 地面积为1838,并说明理由.xx解：（1）∵直线y = kx +6与x 轴相交于点E （﹣8,0） ∵086k =-+ 解得 34k = （2）对于直线364y x =+,∵点P （x ,y ）是第二象限内地直线上地一个动点, ∵可设3,64P x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （－8＜x ＜0）, 则P 点到x 轴得距离为364h x =+, 又A （﹣6,0）, ∵AO=66-= ∵11366224OPA S AO h x ∆⎛⎫=⋅=⨯⨯+ ⎪⎝⎭∵ 9184S x =+（－8＜x ＜0） （3）对于直线364y x =+, 由 x=0,得 6y = ∵F （0,6）, 则OF=6 ∵3,64P x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（－8＜x ＜0）到y 轴地距离为x ＝－x ∵()116322OFP S FO x x x ∆=⋅=⨯⨯-=- ∵OPA OFP AOFP S S S ∆∆+四边形＝ ∵()918318348x x ++-= 解得132x =-,符合题意, 此时37648x += ∵P 137,28⎛⎫- ⎪⎝⎭2、如图,直线y =+与x 轴相交于点A ,与直线y =相交于点P ．（1）求点P 地坐标．（2）请判断OPA ∆地形状并说明理由．（3）动点E 从原点O 出发,以每秒1个单位地速度沿着O P A →→地路线向点A 匀速运动（E 不与点,O A 重合）,过点E 分别作EF x ⊥轴于F ,EB y ⊥轴于B ,设运动t 秒时,矩形EBOF 与OPA ∆重叠部分地面积为S ,求：S 与t 之间地函数关系式．参考答案：（1）点P地坐标为(2,（2）△POA 是等边三角形（3）当0＜t ≤4时,如图,在Rt ∵EOF 中,∵∵EOF=60°,OE=t ,∵EF=32t,OF=12t ,∵212S OF EF =⋅= 当4＜t ＜8时,如图,设EB 与OP 相交于点C ,∵CE=PE=t -4,AE=8-t ,∵AF=4-12t,EF=3(8)2t - ∵OF=OA -AF=12t∵21()28S CE OF EF =+⋅=-+-【针对训练】1、如图,一次函数y ＝k 1x +b 地图象与y 轴交于点B （0,﹣6）,与x 轴交于点C ,且与正比例函数y ＝k 2x 地图象交于点A （1,﹣4）．（1）分别求出这两个函数地表达式及△AOC 地面积；（2）将正比例函致y ＝k 2x 地图象沿y 轴向下平移3个单位长度后得到直线l ,请写出直线l 对应地函数表达式．解：（1）∵一次函数经过点B（0,﹣6）,A（1,﹣4）,得到,∴,∵y＝2x﹣6,∴C（3,0）,∵正比例函数经过A（1,﹣4）,∴k2＝﹣4,∴y＝﹣4x；∴△AOC地面积＝×3×4＝6；（2）将y＝﹣4x沿着y轴向下平移3个单位长度后得到y＝﹣4x﹣3．2、如图,在平面直角坐标系中,把点A（﹣2,3）向右平移4个单位长度,再向下移2个单位长度得到点B．（1）求直线AB地解析式；（2）直线AB与x轴交于点C,将直线OB沿BA方向从点B开始平移到点A停止,直线OB在平移过程中交AB于点E,交x轴于点F,记△EFC地面积为S,求S地取值范围．解：（1）∵把点A（﹣2,3）向右平移4个单位长度,再向下移2个单位长度得到点B, ∴B（2,1）,设直线AB地解析式为y＝kx+b,∴,解得,∴直线AB地解析式为y＝﹣+2；（2）由直线AB：y＝﹣x+2可知C（4,0）,∵B（2,1）,∴直线OB地解析式为y＝x,∴设平移后地解析式为y＝x+n,把A（﹣2,3）代入得3＝+n,解得n＝4,∴直线EF经过A时地解析式为y＝+4,令y＝0,则x＝﹣8,∴此时S有最大值,S＝CF•y A＝（8+4）×3＝18,当直线EF与OB重合时,S有最小值,S＝OC•y B＝×2＝4,∴S地取值范围为4≤S≤18．3、如图,在平面直角坐标系中,直线l1与x轴交于点A,与y轴交于点B（0,4）,OA＝OB,点C（﹣3,n）在直线l1上．（1）求直线l1和直线OC地解析式；（2）点D是点A关于y轴地对称点,将直线OC沿y轴向下平移,记为l2,若直线l2过点D,与直线l1交于点E,求△BDE地面积．解：（1）∵点B（0,4）,OA＝OB,∴OA＝OB＝＝2,∴A（﹣2,0）,设AB解析式y＝kx+b,∴解得：,∴直线I1地解析式：y＝2x+4,∵C（﹣3,n）在直线I1上,∴n＝﹣3×2+4n＝﹣2∴C（﹣3,﹣2）设OC地解析式：y＝k1x∴﹣2＝﹣3k1k1＝,∴直线OC解析式y＝x；（2）∵D点与A点关于y轴对称∴D（2,0）设DE解析式y＝x+b′,∴0＝×2+b′,∴b′＝﹣,∴DE解析式y＝x﹣,当x＝0,y＝﹣,解得：,∴E（﹣4,﹣4）,∴S△BDE＝×（2+2）（4+4）＝16．4、如图,直线l1：y＝﹣x与直线l2相交于点A,已知点A地纵坐标为,直线l2交x轴于点D,已知点D横坐标为﹣4,将直线l1向上平移3个单位,得到直线l3,交x轴于点C,交直线l2于点B．（1）求直线l2地函数表达式；（2）求△BOC地面积．解：（1）∵直线l1：y＝﹣x与直线l2相交于点A,已知点A地纵坐标为, ∴A（﹣1,）,设直线l2地函数表达式为y＝kx+b,将A（﹣1,）,D（﹣4,0）代入得, 解得,∴直线l2为y＝x+2；（2）将直线l1向上平移3个单位,得到直线l3为y＝﹣x+3,解得,∴B（,）,在直线l3为y＝﹣x+3中,令y＝0,则x＝2,∴C（2,0）,∴S△BOC＝＝．5、如图,在平面直角坐标系中,一次函数y＝kx+b地图象与x轴交于点A（﹣3,0）,与y轴交于点B,且与正比例函数y＝x地图象交点为C（m,4）．（1）求一次函数y＝kx+b地解析式；（2）求△BOC地面积；（3）若点D在第二象限,△DAB为等腰直角三角形,则点D地坐标为．解：（1）∵点C在正比例函数图象上,∴m＝4,解得：m＝3,∵点C（3,4）、A（﹣3,0）在一次函数图象上,∴代入一次函数解析式可得,解这个方程组得,∴一次函数地解析式为y＝x+2；（2）在中,令x＝0,解得y＝2,∴B（0,2）∴S△BOC＝×2×3＝3；（3）过点D1作D1E⊥y轴于点E,过点D2作D2F⊥x轴于点F,如图, ∵点D在第二象限,△DAB是以AB为直角边地等腰直角三角形,∴AB＝BD2,∵∠D1BE+∠ABO＝90°,∠ABO+∠BAO＝90°,∴∠BAO＝∠EBD1,∵在△BED1和△AOB中,∴△BED1≌△AOB（AAS）,∴BE＝AO＝3,D1E＝BO＝2,即可得出点D地坐标为（﹣2,5）；同理可得出：△AFD2≌△AOB,∴FA＝BO＝2,D2F＝AO＝3,∴点D地坐标为（﹣5,3）,∵∠D1AB＝∠D2BA＝45°,∴∠AD3B＝90°,∴D3（,）,综上可知点D地坐标为（﹣2,5）或（﹣5,3）或（,）．故答案为：（﹣2,5）或（﹣5,3）或（,）．6、如图1,在平面直角坐标系中,OB＝10,F是y轴正半轴上一点．（1）若OF＝2,求直线BF地解析式；（2）设OF＝t,△OBF地面积为s,求s与t地函数关系（直接写出自变量t地取值范围）；（3）如图3,在（2）地条件下,过点B作BA⊥x轴,点C在x轴上,OF＝OC,连接AC,CD⊥直线BF于点D,∠ACB ＝2∠CBD,AC＝13,OF＝OC,AC．BD交于点E,求此时t地值．解：（1）∵OB＝10,OF＝2,∴B（﹣10,0）,F（0,2）,设直线BF地解析式为y＝kx+b,∵直线y＝kx+b经过点B（﹣10,0）,F（0,2）,∴,解得：,∴直线BF地解析式为y＝x+2；（2）△OBF地面积为S＝＝5t（t＞0）；（3）如图,延长AB至点R,使BR＝AB,连接CR,延长CD交y轴于点T,过点T,作TM∥x轴交BA地延长线于点M,过点T作TK⊥CR交RC地延长线于点K,连接RT,∵AB⊥BC,AB＝BR,∴BC垂直平分AR,∴AC＝CR＝13,∴∠ACB＝∠RCB,设∠CBD＝α,则∠ACB＝2α,∵BD⊥CD,∴∠BDC＝90°,∴∠BCD＝90°﹣α,∵∠ACB＝∠RCB＝2α,∴∠ACK＝180°﹣4α,∴∠KCT＝∠BCK﹣∠BCD＝∠BCA+∠ACK﹣∠BCD＝90°﹣α, ∴∠KCT＝∠BCD,∵TK⊥KR,OT⊥OC,∴OT＝TK,∵TC＝TC,∴Rt△OTC≌Rt△KTC（HL）,∴OC＝CK＝TK＝t,∵OF＝OC,∠BOF＝∠TOC,∠FBO＝∠OTC,∴△BOF≌△TOC（AAS）,∴OB＝OT＝10,∴TK＝10,∵∠ABO+∠BOT＝90°+90°＝180°．∴MB∥OT,∵MT∥OB,∴四边形OBMT为平行四边形,∵OB＝OT,∠BOT＝90°．∴四边形OBMT为正方形,∴MB＝MT＝OT＝10,∴MT＝TK,∵RT＝RT,∴Rt△RMT≌Rt△RTK（HL）,∴RK＝RM＝CR+CK＝13+t,∴BR＝RM﹣MB＝3+t,∵BC＝OB+OC＝10+t,在Rt△BRC中,BR2+BC2＝RC2,∴（3+t）2+（10+t）2＝132,解得：t＝2（t＝﹣15舍去）．∴t地值为2．7、如图1．在平面直角坐标系中,一次函数y＝﹣x+2地图象与x轴,y轴分别交于点A．点C,过点1作AB⊥x轴,垂足为点A,过点C作CB⊥y轴,垂足为点C,两条垂线相交于点B．（1）线段OC,OA,AC地长分别为OC＝,OA＝,AC＝,∠ACO＝度．（2）将图1中地△ABC折叠,使点A与点C重合,再将折叠后地图形展开,折痕DE交AB于点D,交AC于点E,连接CD,如图2,求线段AD地长；（3）点M是直线AC上一个动点（不与点A、点C重合）．过点M地另一条直线MN与y轴相交于点N．是否存在点M,使△AOC与△MCN全等？若存在,请求出点M地坐标；若不存在,请说明理由．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+2地图象与x轴,y轴分别交于点A,点C, ∴A（2,0）,C（0,2）,∴OA＝2,OC＝2,∵AB⊥x轴,CB⊥y轴,∠AOC＝90°,∴四边形OABC是矩形,∴AB＝OC＝8,BC＝OA＝4,在Rt△ABC中,根据勾股定理得,AC＝＝＝4, ∴∠ACO＝30°．故答案为：2；2；4；30．（2）由（1）知,BC＝2,AB＝2,由折叠知,CD＝AD,在Rt△BCD中,BD＝AB﹣AD＝2﹣AD,根据勾股定理得,CD2＝BC2+BD2,即：AD2＝4+（2﹣AD）2,∴AD＝；（3）①如图1,MN⊥y轴,若△AOC≌△MNC,则CN＝CO,∴M点地纵坐标为4,代入y＝﹣x+2得,x＝﹣2,∴．②如图2,MN⊥AC,MP⊥y轴,∵S△MCN＝S△AOC＝,∴CN＝AC＝4,∴PM＝,∴M点地橫坐标为或﹣,代入y＝﹣x+2得,y＝﹣3+2或y＝3+2．∴M点地坐标为（）或（﹣）．综合以上可得M点地坐标为（﹣2,4）或（）或（﹣）．8、在平面直角坐标系xOy中,直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,直线BC交x轴负半轴于点C,∠BCA＝30°,如图①．（1）求直线BC地解析式．（2）在图①中,过点A作x轴地垂线交直线CB于点D,若动点M从点A出发,沿射线AB方向以每秒个单位长度地速度运动,同时,动点N从点C出发,沿射线CB方向以每秒2个单位长度地速度运动,直线MN 与直线AD交于点S,如图②,设运动时间为t秒,当△DSN≌△BOC时,求t地值．（3）若点M是直线AB在第二象限上地一点,点N、P分别在直线BC、直线AD上,是否存在以M、B、N、P为顶点地四边形是菱形．若存在,请直接写出点M地坐标；若不存在,请说明理由．解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,∴x＝0时,y＝2,y＝0时,x＝2,∴A（2,0）,B（0,2）,∴OB＝AO＝2,在Rt△COB中,∠BOC＝90°,∠BCA＝30°,∴OC＝2,∴C（﹣2,0）,设直线BC地解析式为y＝kx+b,代入B,C两点地坐标得,,∴k＝,b＝2,∴直线BC地解析式为y＝x+2；（2）分别过点M,N作MQ⊥x轴,NP⊥x轴,垂足分别为点Q,P．（Ⅰ）如图1,当点M在线段AB上运动时,∵CN＝2t,AM＝t,OB＝OA＝2,∠BOA＝∠BOC＝90°,∴∠BAO＝∠ABO＝45°,∵∠BCO＝30°,∴NP＝MQ＝t,∵MQ⊥x轴,NP⊥x轴,∴∠NPQ＝∠MQA＝90°,NP∥MQ,∴四边形NPQM是矩形,∴NS∥x轴,∵AD⊥x轴,∴AS∥MQ∥y轴,∴四边形MQAS是矩形,∴AS＝MQ＝NP＝t,∵NS∥x轴,AS∥MQ∥y轴,∴∠DNS＝∠BCO,∠DSN＝∠DAO＝∠BOC＝90°,∴当DS＝BO＝2时,△DSN≌△BOC（AAS）,∵D（2,+2）,∴DS＝+2﹣t,∴+2﹣t＝2,∴t＝（秒）；（Ⅱ）当点M在线段AB地延长线上运动时,如图2,同理可得,当DS＝BO＝2时,△DSN≌△BOC（AAS）,∵DS＝t﹣（+2）,∴t﹣（+2）＝2,∴t＝+4（秒）,综合以上可得,t＝秒或t＝+4秒时,△DSN≌△BOC．（3）存在以M、B、N、P为顶点地四边形是菱形：M（﹣2﹣2,2+4）或M（﹣2﹣4,2+6）或M（﹣2+2,2）．∵M是直线AB在第二象限上地一点,点N,P分别在直线BC,直线AD上,∴设点M（a,﹣a+2）,N（b,b+2）,P（2,c）,点B（0,2）,（Ⅰ）当以BM,BP为邻边构成菱形时,如图3,∵∠CBO＝60°,∠OBA＝∠OAB＝∠PAF＝45°,∴∠DBA＝∠MBN＝∠PBN＝75°,∴∠MBE＝45°,∠PBF＝30°,∴MB＝ME,PF＝AP,PB＝2PF＝AP,∵四边形BMNP是菱形,∴,解得,a＝﹣2﹣2,∴M（﹣2﹣2,2+4）（此时点N与点C重合）,（Ⅱ）当以BP为对角线,BM为边构成菱形时,如图4,过点B作EF∥x轴,ME⊥EF,NF⊥EF,同（Ⅰ）可知,∠MBE＝45°,∠NBF＝30°,由四边形BMNP是菱形和BM＝BN得：,解得：a＝﹣2﹣4,∴M（﹣2﹣4,2+6）,（Ⅲ）当以BM为对角线,BP为边构成菱形时,如图5,作NE⊥y轴,BF⊥AD,∴∠BNE＝30°,∠PBF＝60°,由四边形BMNP是菱形和BN＝BP得,,解得：a＝﹣2+2,∴M（﹣2+2,2）．综合上以得出,当以M、B、N、P为顶点地四边形是菱形时,点M地坐标为：M（﹣2﹣2,2+4）或M （﹣2﹣4,2+6）或M（﹣2+2,2）．。
一次函数面积问题
一次函数面积问题
一次函数是指形如y = kx + b 的函数，其中k 和 b 是常数。
如果我们将这个函数画成图像，可以得到一条直线。
一次函数的面积问题通常指的是求解一条直线与坐标轴所围成的面积。
具体来说，如果我们有一个一次函数y = kx + b，我们可以将其表示为一条直线。
这条直线与x 轴和y 轴交于两个点，分别为(0, b) 和(-b/k, 0)。
这两个点就是直线所围成的矩形的两个顶点，我们可以计算出这个矩形的面积。
矩形的面积等于矩形的长乘以宽。
在这个问题中，矩形的长就是直线与x 轴的交点的x 坐标的绝对值，即|-b/k|。
矩形的宽就是直线与y 轴的交点的y 坐标的绝对值，即|b|。
因此，我们可以将这个矩形的面积表示为：
```
A = |-b/k| * |b|
```
需要注意的是，如果直线的斜率k 是正数，那么这个矩形的面积就是正值。
如果直线的斜率k 是负数，那么这个矩形的面积就是负值，但是我们通常会取其绝对值。
这就是一次函数面积问题的解法。
需要注意的是，这个问题只适用于一次函数，对于其他类型的函数，可能需要使用其他的方法来计算面积。
初中数学求一次函数图形的面积15道题题专题训练含答案
初中数学求一次函数图形的面积15道题题专题训练含答案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图，平面直角坐标系中，过点(0,6)C 的直线BC 与直线OA 相交于点(4,2)A -，动点M 在线段OA 和射线AC 上运动.(1)求直线BC 的表达式.(2)求OAC ∆的面积.(3)直接写出使OMC ∆的面积是OAC ∆面积的14的点M 坐标.2．已知：2y -与x 成正比例，且2x =时，8y =．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）求函数图像与坐标轴围成的面积．3．已知直线1:33l y x =-和直线23:62l y x =-+相交于点A ． （1）求点A 坐标；（2）若1l 与x 轴交于点B ，2l 与x 轴交于点C ，求ABC 面积．4．在平面直角坐标系中，已知直线l ：y ＝﹣12x+2交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，直线l 上的点P(m ，n)在第一象限内，设△AOP 的面积是S ．（1）写出S 与m 之间的函数表达式，并写出m 的取值范围．（2）当S ＝3时，求点P 的坐标．（3）若直线OP 平分△AOB 的面积，求点P 的坐标．5．直线AC与线段AO如图所示：（1）求出直线AC的解析式；（2）求出线段AO的解析式，及自变量x的取值范围（3）求出△AOC的面积6．在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B（0，4）两点，且点C(2，2）在直线l上．（1）求直线l的解析式；（2）求△AOB的面积；7．在直角坐标系中，一条直线经过A （﹣1，5），P （2，a ），B （3，﹣3）.（1）求直线AB 的函数表达式；（2）求a 的值；（3）求△AOP 的面积.8．如图，直线11:l y x =和直线22:26l y x =-+相交于点A ，直线2l 与x 轴交于点B ，动点P 在线段OA 和射线AB 上运动．（1）求点A 的坐标；（2）求AOB 的面积；（3）当POB 的面积是AOB 的面积的13时， 求出这时点P 的坐标．9．如图，直线1l 的函数解析式为24y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A 、B ，直线1l 、2l 交于点C ．（1）求直线2l 的函数解析式；（2）求ADC ∆的面积；（3）在直线2l 上是否存在点P ，使得ADP ∆面积是ADC ∆面积的1.5倍？如果存在，请求出P 坐标；如果不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线1l ：12y x =与直线，2l ：6y x =-+交于点A ，2l 与x 轴交于B ，与y 轴交于点C .（1）求OAC 的面积；（2）若点M 在直线2l 上，且使得OAM △的面积是OAC 面积的34，求点M 的坐标.11．如图，已知直线:l y ax b =+过点()2,0A -，()4,3D .（1）求直线l 的解析式；（2）若直线4y x =-+与x 轴交于点B ，且与直线l 交于点C .①求ABC ∆的面积；②在直线l 上是否存在点P ，使ABP ∆的面积是ABC ∆面积的2倍，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由.12．如图，直线1l 的解析表达式为3+3y x =-，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A ，点B ，直线1l ，2l 交于点C ．（1）求直线2l 的解析表达式；（2）求ADC 的面积；（3）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △的面积等于ADC 面积，请直接写出点P 的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，过点()60B ，的直线AB 与直线OA 相交于点()42A ，，动点M 在线段OA 和射线AC 上运动．（1）求直线AB 的解析式．（2）求OAC ∆的面积．（3）是否存在点M ，使OMC ∆的面积是OAC ∆的面积的12？若存在求出此时点M 的坐标；若不存在，说明理由．14．点()P x y ，在第一象限，且8x y +=，点A 的坐标为()60，，设OPA ∆的面积为S .(1)用含x 的表达式表示S ，写出x 的取值范围，画出函数S 的图象；(2)当点P 的横坐标为5时，OPA ∆的面积为多少？(3)OPA ∆的面积能否大于24？为什么？15．（本题满分10分） 如图，直线23y x =+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B .(1)求△AOB 的面积；(2)过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ，△ABP 的面积是92，求点P 的坐标.参考答案1．(1) 6y x =+ (2)12 (3) 1(1,)2-、()1,5-、()1,7【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式；(2)利用三角形的面积公式即可求解；(3)当OMC 的面积是OAC 的面积的14,求出M 点的横坐标，分别按照题意代入表达式即可; 【详解】解：(1) 设直线AB 的解析式是y kx b =+，根据题意得： 0642k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得：16k b =⎧⎨=⎩， 则直线的解析式是：6y x =+； (2)164122OAC S ∆=⨯⨯=; (3) 设OA 的解析式是y mx =，则42m -=， 解得：12m =-, 则直线的解析式是：12y x =-， 当OMC 的面积是OAC 的面积的14时， ∴M 的横坐标是±1， 在12y x =-中,当1x =-时,12y = ,则M 的坐标是1(1,)2-； 在6y x =+中, 当1x =-则5,y = 则M 的坐标是()1,5.-在6y x =+中,当1x =时,7y =,则M 的坐标是()1,7.综上所述：M 的坐标是：111),2(M -或()21,5M -或()31,7M .【点睛】本题考查一次函数综合题.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积问题
一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积问题1一次函数y=kx+b与y=3x-5平行，且过点（-1,5）求一次函数表达式？2.求直线y=3x-6与两坐标轴所围成的三角形的面积3.将直线 y=- 34x+3平移，使其经过（4,3)（1)、求平移后的函数解析式（2）求平移后的函数图像与两坐标轴围成的三角形面积4.已知直线l经过点（-2，4），且与坐标轴围成一个等腰三角形，（1）求直线的函数的解析式（2）求所得三角形的周长及面积5.在直角坐标系中，一次函数的图像与直线y=2x-3平行，且图像与两坐标轴围成的三角形面积等于4，求一次函数的解析式。
6.已知正比例函数和一次函数的图像如图所示，其中交点A(3,4),且OA=12OB.求（1）正比例函数和一次函数解析式（2）三角形AOB的面积。
7.如图所示：直线y=kx+b经过点B (0, 32)与点C(-1,3)且与x轴交与点A,经过点E(-2,0)的直线与OC平行，并且与直线y=kx+b交与点D, (1)求BC所在直线的函数解析式；（2）求点D的坐标；（3）求四边形CDEO的面积。
xx如图，已知一次函数y=kx+b 的图象与x 轴、y 轴交于点A 、B ，与函数y=2x 的图象交于点M ，OB=6，点M 的横坐标为2，在x 轴上有一点P （a ，0）（其中a 〉2），过点P 作x 轴的垂线，分别交函数y=kx+b 和函数y=2x 于点C 、D 。
（1）求点M 的坐标（2）求直线AB 的表达式．（3）求△OAM 的面积（4）若OB=CD 求a 的值如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！PCB D。
一次函数中的面积问题ppt课件
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
3、已知一次函数y=2x+6与两坐标轴围成的三 角形面积被一正比例函数分成面积的比为1：2 的两部分，求这个正比例函数的解析式．
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A x
BO
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
1、如图，已知直线y=-x+2与x轴，y轴分别相 交于A、B两点，另一直线y=kx+b经过B和点 C，将△AOB面积分成相等的两部分，求k和 b的值．
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基础问题
1.直线y=3x-6与坐标轴围成的三角形的面
积为
.
2.已知两条直线y=2x-3和y=5-x，求出这 两条直线与x轴围成的三角形的面积.
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形状变式
如图所示：直线y=kx+b经过点B（ 0 ，3 ） 与点C(-
2
1,3)，且与x轴交与点A，经过点E(-2,0)的 直线
一次函数面积问题专题(含答案)
一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与x轴交于点B（-6，0），交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABC的面积为15，求直线OA的解析式。
2、直线y=x+3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线a经过原点与线段AB交于C，把△ABO的面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。
3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m（m>n>0）的图像，（1）用m、n表示A、B、P的坐标（2）四边形PQOB的面积是，AB=2，求点P的坐标4、△AOB的顶点O（0，0）、A（2，1）、B（10，1），直线CD⊥x轴且△AOB面积二等分，若D（m，0），求m的值5、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A（2，0）、O（0，0），△ABO 的面积为2，求点B的坐标。
6、直线y=-x+1与x轴y轴分别交点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC， BAC=90°，点P（a，）在第二象限，△ABP的面积与△A BC 面积相等，求a的值.7、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与x轴交于A、B两点，这两直线的交点为P（1）求点P的坐标（2）求△PAB的面积8、已知直线y=ax+b（b>0）与y轴交于点N，与x轴交于点A且与直线y=kx交于点M（2，3），如图它们与y轴围成的△MON的面积为5，求（1）这两条直线的函数关系式（2）它们与x轴围成的三角形面积9、已知两条直线y=2x-3和y=5-x（1）求出它们的交点A的坐标（2）求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积10、已知直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式。
11、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A、B（1）求两直线交点C的坐标（2）求△ABC的面积（3）在直线BC上能否找到点P，使得△APC的面积為6，求出点P的坐标，若不能请说明理由。
一次函数图象变换与面积问题
一次函数图象变换与面积问题【专题介绍】在平面直角坐标系，如果改变某个一次函数图象的位置，如何求解新的图象解析式呢？这就本节要学习一次函数图象变换问题，图象变换问题主要有平移，对称和旋转。
而这些问题的本质，还是根据点坐标求一次函数解析式的问题。
另外，我们还会学习一次函数与面积的综合问题。
【学习目标】1.掌握一次函数图象变换的方法。
2.学会利用一次函数解决面积问题。
模块一一次函数图象变换一次函数的平移先做出y=2x的图象①将y=2x向上平移1个单位，画图求解析式②将y=2x向下平移1个单位，画图求解析式总结：上加下减（观察y值的变化）③将y=2x向左平移1个单位，画图求解析式④将y=2x向右平移1个单位，画图求解析式总结：左加右减（观察x值的变化）【例1】（1）一次函数y=2x+3的图象沿y轴向下平移2个单位，所得图象的函数解析式是（）A y=2x-3B y=2x+2C y=2x+1D y=2x（2）若把一次函数y=2x-3向上平移3个单位长度，得到图象解析式是（）A y=2xB y=2x-6 C.y=5x-3 D.y=-x-3（3）把函数y=-2x+3的图象向下平移4个单位后的函数图象解析式是（）A. y=2x+7B. y=-6x+3C. y=-2x-1D. y=-2x-5（4）将直线y=-x+2向上平移3个单位，得到直线解析式为【练1】（1）在直角坐标系中，将直线y=kx向左平移两个单位得到y=kx+b,刚好过点（-1,4），则不等式组0<kx+b<-4x的解集为（2）如图，把直线y =-2x 向上平移后得到直线AB ，直线AB 经过点（a , b ） 且2a +b =6,则直线AB 的解析式是（ ）A y =2x -3 B.y =-2x +6 C.y =-2x -3 D.y =-2x -6一次函数的对称【例2】 （1）如果y =kx 与y =4x 的图象关于x 轴对称，则k 的值等于（2）如果y =kx 与y =2x 的图象关于x 轴对称，则k 的值等于（3）一次函数y =(m 2-4)x +(1-m )和y =(m +2)x +(m 2-3)的图象分别与y 轴交于P 、Q.这两点关于x 轴对称，则m 的取值是（ ）A.2B.2或-1C.1或-1D.-1【练2】（1）直线y =2x +5的图象沿y 轴翻折，翻折后图象对应的解析式为（2）已知直线y =-321 x ,则此直线关于y 轴对称的直线为 （3）若直线l :y =kx +b 与直线y =2x -3关于y 轴对称，则直线l 的解析式是（4）一束光沿直线y =-2x +4 照射到x 轴上的平面镜A 被反射，则反射光线所在的直线解析式为 一次函数对称变换一般思想是：“先取特殊点，求出特殊点的对称点，在根据点坐标求新的直线解析式”。
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3
3当x=3 3时，y= ∴C(
(-2， A 0)
B，(2)， 0)
（3）S△ABC ×AB×CD
=
8
3
=
×4×
16
答：△AB3C的面1积6 为
.
=3
回顾反思：
这节课知识方面你收获了什么？ 数学思想方法方面你收获了什么？ 学习习惯方面你又收获了什么？
2、已知直线y=-2x+4与x轴交于点B，该函数图 像上有一动点C，以点B、点C与原点为顶点的三 角形面积为8，求C点的坐标。
y
O
B
x
谢谢大家 ！
令（y31 ）=yS2，△A则BC=-2当x+x=4==2x时-2，,xy==22, -
C(22=0∴C(2，0×) AB×OC
，
0)
×6×2
=
答：△ABC的面积为6. =6
思考提升：
如果一次函数图像与坐标轴围成一个三角形，求该三角形 面积的思路是什么？
1、找出三角形标出顶点字母 2、分析顶点并计算坐标 3、找出三角形的底和高并计算底和高 4、计算三角形的面积
成了一个三角形
（1）请找出这个三角形，标上字母
（2）写出三角形三个顶点的坐标
（2）求该三角形的解面：积 （2）令x=0，则
y=3×0+3=3，∴A（0,3）
A(0
令y=0，则 0=3x+3,x=-1, ∴B(-1，0)
(- B 1
， 3)
（3）S△AOOB （0=,0） ×OB×OA
，
=
0)
×1×3
拓展提升
1：、已知两条直线y1=-2x+4、y2=x+2与x轴围成了一个
三角形，求该三角形的面积。
解： （2）令y2 =0 , 则 0=x+2,x=-2，∴A（2，0）
2,0）
y1
=0，则0
=-2x+4,x=2，∴B（2
令y1 =2y2，则8-23x+42=x8+2,x= ,
28 C(3 3, )
与y轴的交点坐标为(30,,03)。
) (3,0
)(0,6
)
5、已知点A（0，-4）、B（5,0）， O（0,0），
求△ABO的面积
解：S△AOB = ×OB×OA
y
=
×5×4
O
B (5，0)
(0，-4) A
x
=10
答：△AOB的面积为
10.
典例分
析例1、已知：一次函数y=3x+3的图像与坐标轴围
-----803班 王
课前检测：
（一）直角坐标系中的点到x轴和y轴的距离
12、、点点AB（（3-1，,2-）4）到到x轴x轴的的距距离2 离是是
，到y轴的距1 离是
，到y轴的距离是
。 。
43Βιβλιοθήκη （二）一次函数图像与x、y轴的交点坐标
3、直线y=x+3与x轴的交点坐标为
，
与y轴的交点坐标为
。
4、直线y=-2x+6与x轴的交点坐(-标为 ，
答：△AOB的=面1积.5为
例2、已知直线y1=-2x+4、直线y2=x-2与y轴围成了一个三 角形。
（1）请找出这个三角形，标上字母
（2）写出三角形三个顶点的坐标
（3）求该三角解形：的（面2积）令x=0，则y1 =-2×0+4=4，∴A（
0,4）
(0 A ，
4(0) B ，2)
y2=0-2=-2，∴B（0，2）