质点动力学.
质点动力学
a2 b2
可见，质点的运动轨迹是以
a、b 为半轴的椭圆。对运动方
程求二阶导数，得加速度
13
aaxy
x a 2 cost y b 2 sint
2x 2 y
即
a axi ay j 2r
将上式代入公式中，得力在直角坐标轴上的投影
FFxy
max may
m 2x m 2 y
dv dt
积分。
如力是位置的函数，需进行变量置换
d v v d v , 再分离变量积分。 dt ds
16
[例3] 质量为m的质点沿水平x轴运动，加于质点上的水平为
F F0 cos t ，其中 F0， 均是常数，初始时 x0 0，v0 0 。
求质点运动规律。
解 研究质点在水平方向受力作用。建立质点运动微分方程
再积分一次
19
代入初始条件得 :
c1 v0 cos0 , c2 v0 sin 0 , c3 c4 0
则运动方程为:
则轨迹方程为:
xv0tcos0,yv0tsin0
y
xtg
0
1 2
g
v0
2
x02
c os2
0
1 2
gt
2
代入最高点A处值，得： d y dt
v0
sin 0
gt
0,
即
t v0 sin0
即 F Fxi Fy j m 2r
可见，F和点M的位置矢径r方向相反，F始终指向中心，其
大小与r的大小成正比，称之为向心力。
14
第二类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积 分问题）。
已知的作用力可能是常力，也可能是变力。变力可能是时 间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 解题步骤如下： ① 正确选择研究对象。 ② 正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力
质点动力学教案
量子质点动力学中，波函数是描述粒子状态的基本工具， 通过薛定谔方程描述粒子随时间的演化。
量子质点动力学对于理解量子计算、量子通信和量子传 感等领域具有重要意义。
质点动力学的其他重要理论
哈密顿力学
哈密顿力学是经典质点动力学的 一个重要分支，它通过引入广义 坐标和广义动量，将动力学问题 转化为哈密顿方程的求解问题。
质点动力学教案
• 质点动力学的定义与基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 质点动力学的应用实例 • 质点动力学的扩展与深化
01
质点动力学的定义与基本概念
质点的定义与特性
总结词
质点是一个理想化的物理模型，用于描述具有质量的点状物体在空间中的运动。质点不具有大小和形状，只具有 质量、位置和运动状态等属性。
VS
详细描述
自由落体运动是质点动力学中最简单的一 种运动形式，其基本特点是初速度为零， 仅受重力作用。在自由落体运动中，物体 的加速度等于地球的重力加速度，方向竖 直向下。自由落体运动的公式包括位移公 式、速度公式和时间公式等，这些公式在 解决实际问题中具有广泛的应用。
抛体运动
总结词
抛体运动是质点在重力作用下沿抛物线轨迹 的运动，其加速度与质量有关，方向时刻改 变。
描述质点相对于参照物作加速运动的 状态，其加速度保持不变。
相对匀速运动
描述质点相对于参照物作匀速运动的 状态，其速度和方向均保持不变。
03
质点的动力学方程
牛顿第二定律
总结词
描述物体运动状态变化与作用力之间关系的定律。
详细描述
牛顿第二定律指出，物体运动的加速度与作用在物体上的力成正比，与物体的 质量成反比。公式表示为F=ma，其中F表示作用力，m表示物体的质量，a表示 物体的加速度。
理论力学第10章 质点动力学
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律分别是：牛顿运动定律，动量定理和动量守恒定律，角动量定理和角动量守恒定律。
牛顿运动定律第一定律(惯性定律):任何质点如不受力的作用，则将保持原来静止或匀速直线运动状态。
第二定律:质点的质量与加速度的乘积等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
第三定律:对应每个作用力必有一个与其大小相等、方向相反且在同一直线上的反作用力。
物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量(用字母I表示)，即力与力作用时间的乘积，数学表达式为：
I=FΔt=Δp=mΔv=mv2-mv1
式中F指物体所受的合外力，mv1与mv2为发生Δt的初末态动量。
该式为矢量式，列式前一定要规定正方向！
动量守恒定律是现代物理学中三大基本守恒定律之一，若一个系统不受外力或所受合外力为零时，该系统的总动量保持不变。
角动量守恒定律是物理学的普遍定律之一，反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律；反映不受外力作用或所受诸外力对某定点（或定轴）的合力矩始终等于零的质
点和质点系围绕该点（或轴）运动的普遍规律。
角动量守恒定律是对于质点，角动量定理可表述为质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结1. 引言质点动力学是物理学中研究质点运动规律的分支，它是经典力学的基础。
本文档旨在总结质点动力学的核心知识点，包括牛顿运动定律、动量、动能、势能、功以及守恒定律等。
2. 牛顿运动定律2.1 牛顿第一定律（惯性定律）一个质点若未受外力，将保持静止状态或匀速直线运动。
2.2 牛顿第二定律（动力定律）质点的加速度与作用在其上的合外力成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。
2.3 牛顿第三定律（作用与反作用定律）两个相互作用的质点之间的作用力和反作用力大小相等、方向相反。
3. 动量3.1 定义动量是质点的质量与其速度的乘积，是矢量量，表示为\( \vec{p} = m\vec{v} \)。
3.2 动量守恒定律在一个封闭系统中，若没有外力作用，系统内所有质点的动量之和保持不变。
4. 动能4.1 定义动能是质点由于运动而具有的能量，计算公式为\( K =\frac{1}{2}mv^2 \)。
4.2 动能定理合外力对质点所做的功等于质点动能的变化量。
5. 势能5.1 定义势能是质点由于位置或状态而具有的能量，与参考点的选择有关。
5.2 重力势能在重力场中，质点的重力势能计算公式为\( U = mgh \)，其中\( h \)是质点相对于参考点的高度。
6. 功6.1 定义功是力在物体上作用时，由于物体的位移而对物体所做的工作，计算公式为\( W = \vec{F} \cdot \vec{d} \)，其中\( \vec{F} \)是力，\( \vec{d} \)是在力的方向上的位移。
6.2 功的守恒在一个封闭系统中，若没有非保守力做功，系统内所有质点的机械能（动能与势能之和）保持不变。
7. 守恒定律7.1 机械能守恒定律在没有非保守力作用的封闭系统中，机械能守恒。
7.2 角动量守恒定律在一个封闭系统中，若没有外力矩作用，系统内所有质点的角动量之和保持不变。
8. 结论质点动力学是理解和描述宏观物体运动的基础。
《理论力学》第九章质点动力学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结基本概念：质点：具有质量但没有体积和形状的物体模型。
力：质点动力学研究的核心内容，包括恒力、变力和约束力。
运动方程：描述质点在外力作用下的运动规律的基本方程。
动量：描述质点运动状态的重要物理量，等于质点的质量乘以速度。
动能：描述质点运动状态的另一个重要物理量，等于质点的质量乘以速度的平方再乘以1/2。
势能：描述质点在外力场中的势能状态的物理量，势能的大小与质点所处位置有关。
角动量和角动量定理：与质点的旋转运动相关的物理量和定理。
基本理论：牛顿运动定律：描述了质点在作用力作用下运动的规律，即F=ma，其中F表示合外力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
动量定理：通过动量的概念揭示了力与运动之间的内在联系，即合外力的冲量等于物体动量的变化量，表达式为Ft=mV-mv。
动能定理：引入动能的概念，建立了力学与能量之间的关系，即合外力做的功等于物体的动能的改变量，表达式为W=1/2mV^2-1/2mv^2。
分析方法：矢量方法：利用矢量运算符对问题进行矢量分析。
微分方程方法：将运动方程化为微分方程，然后求解微分方程获得运动规律。
能量方法：利用能量守恒定律等能量原理分析运动问题。
实际应用：军事方面：应用在导弹、卫星、航天器和飞机等领域，研究其受力情况和运动规律，从而提高军事制式的效率和效果。
经济方面：应用在金融市场和交通运输领域，分析市场变化和流动性，以及货运运输的效益和优化策略。
社会方面：研究城市交通拥堵问题、人口迁移以及城市规律，以提高城市的运作效率和质量。
总的来说，质点动力学涉及到质点的运动规律、动量、动能、势能等基本物理量的研究，以及相关的理论和实际应用。
通过学习和掌握质点动力学的知识，可以更好地理解物体在外力作用下的运动规律，以及如何利用这些规律解决实际问题。
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中非常重要的一个分支，它研究的是质点在力的作用下的运动规律。
在质点动力学中，我们通常假设质点的大小可以忽略不计，只考虑它的位置和速度，这样我们就可以用简单的数学模型描述质点的运动。
在本文中，我们将系统地总结质点动力学的一些基本知识点，包括质点的运动方程、牛顿运动定律、动量和能量等。
希望本文可以帮助读者更好地理解质点动力学的基本概念和原理。
一、质点的运动方程质点的运动可以用位置矢量 r(t) 来描述，它随时间 t 的变化可以用速度矢量 v(t) 来表示。
根据牛顿第二定律 F=ma，质点的运动方程可以写成：m*a = F，其中 m 是质点的质量，a 是质点的加速度，F 是作用在质点上的力。
根据牛顿运动定律，我们可以利用力学原理得到质点在外力作用下的运动规律。
二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点动力学的基础，它包括三条定律：1. 第一定律：物体静止或匀速直线运动时，外力平衡。
这是牛顿运动定律中最基本的一条定律，也是质点动力学的基础。
2. 第二定律：力的大小与加速度成正比，方向与加速度的方向相同。
这条定律描述了质点在外力作用下的加速度与力的关系，是质点动力学的重要定律之一。
3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且作用在不同物体上。
这条定律描述了两个物体之间的相互作用，也是质点动力学中不可或缺的定律之一。
三、动量动量是质点运动的另一个重要物理量，它定义为质点的质量 m 乘以它的速度 v，即 p=m*v。
根据牛顿第二定律 F=dp/dt，我们可以推导出动量的变化率与外力的关系，从而得到动量守恒定律。
动量守恒定律是质点动力学中非常重要的一个定律，它描述了在没有外力作用下，质点的动量将保持不变。
根据动量守恒定律，我们可以在实际问题中很方便地利用动量守恒来解决问题。
四、能量能量是质点动力学中另一个重要的物理量，它定义为质点的动能和势能的总和。
动能是质点由于速度而具有的能量，它和质点的质量和速度有关；势能是质点由于位置而具有的能量，它和质点的位置和作用力有关。
20第5章第二十讲 质点动力学
第五章质点动力学动力学的任务•研究物体机械运动一般规律动力学基本线索动力学内容•质点动力学、动力学普遍定理、刚体动力学、动静法、分析力学物体机械运动状态改变量力对物体机械作用量动力学两类问题第一类问题•已知运动，求力第二类问题•已知力，求运动舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞若已知初速度、飞离甲板的速度，则需要弹射器施加多大推力，或者确定需要多长的跑道。
若已知推力和跑道长度，则需要多大的初速度和多长时间才能达到飞离甲板所需速度。
ABv1v2载人飞船的交会与对接质点动力学(dynamics of a particle)本章研究质点在惯性与非惯性系中的运动微分方程。
1.惯性系质点动力学基本方程2.非惯性系质点动力学基本方程3.地球自转对质点运动的影响1.惯性系质点动力学基本方程质点动力学基本方程（牛顿第二定律）（1683-1727）1. 惯性系质点动力学基本方程•矢量形式•直角坐标形式xy质点运动微分方程∑∑∑===iizi iyi ixF zm F ym F xm1.惯性系质点动力学基本方程•自然坐标形式•极坐标形式？质点运动微分方程∑∑∑===bi ni τi FF sm F s m 02ρ1. 惯性系质点动力学基本方程求解质点动力学问题的过程与步骤大致如下1.确定研究对象，选择适当的坐标系；2.进行受力分析，画受力图；3.进行运动分析，计算运动参数；4.列出质点的运动微分方程，分清是第一类问题还是第二类问题，分别用微分或积分法求解；对第一类问题，需要确定加速度，对第二类问题，加速度方向要和投影轴方向一致，并写出初条件。
5.根据需要对结果进行必要的分析讨论。
【例】圆锥摆。
质量为1kg 的重物，被绳限制在水平面内作圆周运动，成为锥摆形状；绳长l =30cm ，与铅垂线角度θ=60°。
求：速度v 及张力T 的大小。
1. 惯性系质点动力学基本方程G解：以小球为研究的质点，作用力：重力G ，绳子拉力T 。
动力学中的质点和刚体质点和刚体的运动规律与特性是什么
动力学中的质点和刚体质点和刚体的运动规律与特性是什么动力学中的质点和刚体运动规律与特性动力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动原因、规律以及运动过程中的相互作用。
在动力学中，质点和刚体是常见的研究对象，它们具有不同的特性和运动规律。
本文将就质点和刚体的运动特性和规律进行探讨。
一、质点的运动规律与特性在动力学中，质点是一个理想化的物体，假设它的质量集中于一个点，不考虑其大小和形状。
质点的运动规律可以通过牛顿力学中的运动定律来描述。
1. 质点的第一定律：质点将保持静止或以匀速直线运动，除非受到外力的作用。
这一定律也被称为惯性定律，它说明了质点的惯性属性。
2. 质点的第二定律：当质点受到合外力作用时，它的加速度与所受力成正比，与质点的质量成反比。
具体而言，质点的加速度等于作用在质点上的合外力与质点的质量的比值。
3. 质点的第三定律：对于任意两个相互作用的物体，彼此之间的作用力大小相等、方向相反。
这一定律也被称为作用反作用定律，它将物体的运动视作相互作用的结果。
质点的运动特性包括速度、加速度和位移等。
速度是质点在单位时间内所改变的位置，加速度是质点在单位时间内所改变的速度。
通过运动学方程可以计算质点在运动过程中的速度和加速度，进而得到位移的大小和方向。
二、刚体的运动规律与特性刚体是指在运动过程中，各个质点间的相对位置保持不变的物体。
刚体运动的研究同样遵循牛顿力学中的定律，但相对于质点，刚体又具有一些特殊的运动规律和性质。
1. 刚体的运动学性质：刚体的运动可以通过绕固定轴旋转和平动两种方式进行。
绕固定轴旋转时，刚体上的各个质点围绕轴线进行圆周运动；平动则是刚体的质心沿着直线运动。
2. 刚体的运动动力学性质：刚体的运动规律与质点不同，因为刚体上的各个质点之间存在相互作用力。
在描述刚体运动时，除了质点的运动定律，还需要考虑刚体的转动惯量、角速度和角加速度等概念。
3. 刚体的转动定律：刚体绕固定轴的转动可以通过转动惯量和角动量来描述。
动力学质点的运动规律
动力学质点的运动规律动力学是物体运动的研究，而质点又是理想化的物体模型。
在动力学中，质点是一个没有大小和形状的物体，它的运动规律可以用简洁的数学表达式来描述。
本文将从牛顿第二定律和动力学方程的角度来探讨动力学质点的运动规律。
一、牛顿第二定律牛顿第二定律是描述物体运动的基本定律之一。
它的数学表达式为：F = ma。
其中，F代表作用在质点上的力，m代表质点的质量，a代表质点的加速度。
根据牛顿第二定律，我们可以推导出质点的运动方程。
假设质点的初始速度为v0，位置为x0，时间为t。
令a为质点的加速度，那么根据运动学的公式v = v0 + at，x = x0 + v0t + 0.5at²，可以得到质点的运动方程。
二、运动学方程在牛顿力学中，我们常用运动学方程来描述质点的运动规律。
根据质点的匀加速直线运动和匀速圆周运动的特点，运动学方程可以分为匀速直线运动和变速直线运动的情况。
1. 匀速直线运动当质点在直线上做匀速运动时，它的速度保持恒定，加速度为零。
因此，质点的运动方程可以简化为x = x0 + vt，其中x代表质点的位置，x0代表初始位置，v代表质点的速度，t代表时间。
2. 变速直线运动当质点在直线上做变速运动时，它的加速度不为零。
根据牛顿第二定律的推导，可以得到质点的运动方程为x = x0 + v0t + 0.5at²。
3. 匀速圆周运动当质点做匀速圆周运动时，它的速度大小保持不变，但方向不断变化，这意味着质点的加速度不为零且垂直于速度方向。
根据运动学的知识，我们知道圆周运动的速度与半径之间存在关系v = ωr，其中v代表速度，ω代表角速度，r代表半径。
而角速度则可以表示为ω = 2πf，其中f代表频率。
通过上述关系，我们可以得到质点的运动方程为x = rcos(ωt)，y = rsin(ωt)。
三、应用示例为了更好地理解动力学质点的运动规律，我们举一个简单的应用示例。
假设一个质点以15 m/s的速度沿x轴正方向运动，开始时位于原点。
质点系统动力学知识点总结
质点系统动力学知识点总结质点系统动力学（Particle System Dynamics）是研究多个质点之间相互作用和受力导致的运动规律的学科。
它在物理学、机械工程、天体物理学等领域有广泛的应用。
本文将对质点系统动力学中的主要知识点进行总结。
一、质点系统的质心质点系统是由多个质点组成的结构系统。
其中，质心是质点系统的一个重要概念。
质心是指质点系统中所有质点的质量加权平均位置，用于描述整个系统的运动状态。
质心的位置可以通过质点的质量和位置来计算。
二、牛顿第二定律质点系统动力学中的牛顿第二定律适用于质点系统中的每个质点。
牛顿第二定律表明，质点所受的合力与质点的加速度成正比，且方向相同。
这个定律可以用以下公式表示：F = ma其中，F表示合力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
三、质点系统的相互作用力质点系统中的质点之间存在相互作用力。
常见的相互作用力有万有引力、电磁力、弹簧力等。
这些相互作用力决定了质点系统的整体运动规律。
四、动量守恒定律在不受外力作用的封闭系统中，质点系统的总动量保持不变。
这就是动量守恒定律。
动量是质点的质量乘以其速度，用于描述质点运动的惯性特性。
五、动能守恒定律在没有非弹性碰撞和外力作用的封闭系统中，质点系统的总动能保持不变。
动能是质点的质量乘以其速度的平方的一半，用于描述质点的运动能量。
六、弹性碰撞和非弹性碰撞在质点系统中，碰撞可以分为弹性碰撞和非弹性碰撞。
弹性碰撞指碰撞后，质点的总动能保持不变；非弹性碰撞指碰撞后，质点的总动能发生改变。
了解碰撞类型对于研究质点系统的运动轨迹非常重要。
七、两质点系统的行星运动行星运动是质点系统动力学中的一个重要研究领域。
根据引力定律，行星对太阳有万有引力作用，同时太阳对行星也有引力的反作用。
利用牛顿运动定律，可以研究行星围绕太阳的椭圆轨道运动。
八、多质点系统的卫星运动多质点系统的卫星运动也是质点系统动力学的一个重要研究内容。
卫星绕地球（或其他星球）运动时，既受到地球的引力作用，也受到其他因素（如轨道形状、轨道倾角等）的影响。
第二章--质点动力学2
W W1 W2
o
r
r1 dr r2
（3）功是过程量：功总是和质点旳某个运
动过程相联络
W dW F dr F cos d r
2、重力、引力、弹性力旳功
（1）重力作功
物体m沿途径 A 过B程中重力
旳功
W
B
dW
B mg dr
y2 mgdy
W
A
mgy2A
mgy1
y1
t1
i1 若 Fi合 0
i 1 n
则 P
mivi
恒矢量
i 1
动量守恒定律：
当系统合外力为零时，系统
旳总动量保持不变。t2
nn
讨论：
Fi合dt mivi mivi0
t1
i 1
i 1
（1）合外力为零或不受外力作用系统总
动量保持不变。
（2）合外力不为零，但合力在某方向分量 为零，则系统在该方向上旳动量守恒。
W mgy2 mgy1 重力势能 Ep mgh
W
G
m'm rB
G
m'm rA
W
1 2
kx22
1 2
kx12
引力势能 弹性势能
Mm
Ep G r
Ep
1 2
kx2
所以能够得到保守力旳功与势 能旳关系式
W Ep2 Ep1 Ep
（2）势能旳讨论 势能是属于存在保守内力旳系统旳， 具有保守力才干引入势能旳概念。 势能是状态旳函数。 势能值旳相对性与势能差旳绝对性。
式
（2）直角坐标系中，定理分量式 t2
I x Fxdt px2 px1
t1 t2
I y Fydt py2 py1
大学物理-质点动力学学(2024版)
在同一直线上。
(2) 分别作用于两个物体上，不能抵消。
F F
(3) 属于同一种性质的力。 (4) 物体静止或运动均适用。
四、牛顿定律的应用 例2-1. 质量为m的物体被竖直上抛，初
解题步骤： (1) 确定研究对象。隔离
速度为v0，物体受到的空气阻力数值与 其速率成正比，即f = kv，k为常数，求
曲线下面的面积表示。
F
A F dx
O xa
xb x
力 位移曲线下的面积表示力F 所作的功的大小。
一、功
元功
dA F dr
dA F dr
Fxdx Fydy Fzdz
例2-1、一质点做圆周运动 ，有一力 F F0 xi yj
作用于质点，在 质点由原点至P(0， 2R)点过程中，F 力做的功为多少？
惯性质量:物体惯性大小的量度。 引力质量: 物体间相互作用的“能 力”大小的量度。 思考：什么情况下惯性质量与引 力质量相等？
2. 牛顿第一定律(惯性定律)
任何物体都保持静止
或匀速直线运动态，直至
其它物体所作用的力迫使
它改变这种状态为止。
3. 力的数学描述： 大小、方向、作用
点—矢量
二、牛顿第二定律
L2
路 径 绕 行 一 周 ， 这 些
力所做的功恒为零，
a 若 A
F dr 0,
具有这种特性的力统
L
称为保守力。
若
A
F dr 0,
没有这种特性的力，
L
F 为保守力。 F 为非保守力。
统称为非保守力 或耗
保守力：重力、弹性力、万有引力、
散力。
静电力。
非保守力：摩擦力、爆炸力
五、势能
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中的一个重要分支，研究的是质点在外力作用下的运动规律。
在学习质点动力学的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点，这些知识点对于理解质点的运动规律和解决相关问题非常重要。
本文将对质点动力学的一些重要知识点进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
1. 质点的运动方程。
质点的运动方程是描述质点在外力作用下的运动规律的基本方程。
根据牛顿第二定律，质点所受的合外力等于质点的质量乘以加速度，即。
\[ F = ma \]其中，F表示合外力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
根据质点的运动状态不同，可以得到质点的运动方程，包括匀速直线运动、变速直线运动、曲线运动等。
2. 动量和动量定理。
质点的动量是描述质点运动状态的重要物理量，动量的大小等于质点的质量乘以速度，即。
\[ p = mv \]动量定理则描述了质点所受外力作用下动量的变化规律，即。
\[ F\Delta t = \Delta p \]其中，F表示外力，Δt表示时间间隔，Δp表示动量的变化量。
动量定理对于分析质点的碰撞、反冲等问题非常有用。
3. 动能和动能定理。
质点的动能是描述质点运动状态的另一个重要物理量，动能的大小等于质点的质量乘以速度的平方再乘以1/2，即。
\[ K = \frac{1}{2}mv^2 \]动能定理描述了质点所受外力作用下动能的变化规律，即。
\[ W = \Delta K \]其中，W表示外力所做的功，ΔK表示动能的变化量。
动能定理对于分析质点的机械能守恒等问题非常重要。
4. 势能和势能曲线。
质点的势能是描述质点在外力场中的势能状态的物理量，势能的大小与质点所处位置有关。
势能曲线描述了质点在外力场中势能随位置的变化规律，通过势能曲线可以分析质点的稳定平衡、振动、受力情况等问题。
5. 角动量和角动量定理。
质点的角动量是描述质点绕某一轴旋转运动状态的物理量，角动量的大小等于质点到轴的距离与质点的动量的乘积，即。
动力学的质点
动力学的质点动力学是研究物体运动规律和受力情况的学科，而质点是动力学中研究对象的一种抽象。
质点假设为没有大小、形状和内部结构的物体，只具有质量和位置属性。
本文将深入探讨动力学的质点理论，从基本概念、牛顿力学及其应用等方面进行讨论。
一、基本概念动力学的质点理论中有一些基本概念需要清楚理解。
首先是质点的质量和位置。
质点的质量是指其固有的物质量，通常用符号m表示。
位置是指质点在空间中的位置坐标，通常用符号r表示。
力是质点运动的原因，它改变质点的运动状态。
动力学的基本定律是牛顿第二定律，它描述了质点在力作用下的加速度与所受力的关系，即F=ma，其中F是质点受到的力，a是质点的加速度。
二、牛顿力学牛顿力学是经典力学的重要分支，它涉及了动力学的质点理论。
牛顿力学研究的对象是宏观物体，质点是宏观物体的抽象，通过分析质点的运动状态可以推导出宏观物体的运动规律。
牛顿力学的三大定律是质点运动的基本原理。
1. 牛顿第一定律（惯性定律）：一个物体如果没有外力作用，将保持静止或匀速直线运动。
这意味着质点在受力为零时，速度将保持不变。
2. 牛顿第二定律（运动定律）：质点的加速度与作用在它上面的力成正比，与质点的质量成反比。
这条定律可用公式F=ma表示。
3. 牛顿第三定律（作用与反作用定律）：任何一个力的作用都会有一个与之大小相等、方向相反的力作用在另一个物体上。
三、应用领域动力学的质点理论在工程、天文学、生物学等领域有着广泛的应用。
以下是其中几个应用领域的简要介绍。
1. 空间工程：通过动力学的质点理论，可以对航天器在宇宙中的运动轨迹进行分析和计算，从而确定航天器的轨道和姿态控制。
2. 汽车工程：动力学的质点理论可以应用于汽车的运动学和动力学分析，包括汽车的加速度、速度和位移等参数的计算。
3. 生物力学：生物力学研究生物体的力学特性和运动方式，动力学的质点理论在分析人体运动和身体力学方面具有重要作用。
4. 天体力学：天体力学是研究天体运动和相互作用的学科，动力学的质点理论在行星运动、日食月食等天文现象的预测和解释中发挥着关键作用。
动力学中的质点与刚体的区别
动力学中的质点与刚体的区别在动力学中，质点和刚体是两个重要的概念，它们在运动学和力学中起着不同的作用和描述方式。
本文将就质点和刚体在动力学中的区别进行详细阐述。
1. 质点的定义与特点质点是动力学中最简单的模型，将物体看作一个质点可以忽略物体的大小和形状，只关注其质量和位置。
质点有以下特点：1.1 忽略大小和形状：质点是一个理想化的模型，不考虑物体的实际形态和尺寸，将其简化为一个点。
1.2 只关注质量和位置：质点的描述主要关注物体的质量，即物体所具有的质量大小；以及物体的位置，即物体所处的空间位置。
1.3 运动轨迹确定：质点的运动轨迹可以用一个点表示，因为质点不具有形状和大小，只有位置的改变。
2. 刚体的定义与特点刚体与质点相比，是一个更复杂的模型。
刚体可以看作是由无数个质点组成的物体，具有一定的形状和大小，刚体有以下特点：2.1 有形状和大小：刚体在运动过程中保持其形状和大小不变，即使受到外力的作用也不会发生形变。
2.2 有自由度：刚体在运动时可以有三个平移自由度和三个旋转自由度，可以沿三个坐标轴做平移运动，同时也可以绕三个坐标轴做旋转运动。
2.3 有转动惯量：刚体的转动惯量是描述其旋转运动惯性的物理量，与刚体的质量以及形状分布有关。
3. 质点和刚体的运动描述质点和刚体的运动描述方式不同：3.1 质点的描述：质点在运动学中可以用坐标系表示其位置，如笛卡尔坐标系或极坐标系，动力学中可以用位矢和速度矢量表示其位置和速度。
3.2 刚体的描述：刚体的运动需要考虑其平移和旋转运动，可以用位矢和角度表示其位置和姿态，以及线速度和角速度表示其运动状态。
4. 质点和刚体的运动方程质点和刚体的运动方程也不同：4.1 质点的运动方程：质点在动力学中的运动方程可以用牛顿第二定律来描述，即F=ma，其中F表示作用在质点上的合力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
4.2 刚体的运动方程：刚体的运动方程分为平移和旋转两部分，平移运动由牛顿第二定律描述，旋转运动由牛顿第二定律的角动量形式来描述。
动力学中的质点运动与位移
动力学中的质点运动与位移动力学（Kinematics）是物理学的一个分支，研究物体的运动、位置和位移。
在动力学中，我们可以通过质点（Point Particle）来描述物体的运动。
质点是一个理想化的模型，将物体的大小、形状以及内部结构抽象化，只关注其位置和质量。
一、质点的位移质点的位移（Displacement）是指物体从一个位置转移到另一个位置之间的变化量，是一个矢量，具有大小和方向。
质点的位移可以用一个箭头表示，箭头的起点表示物体的初始位置，箭头的终点表示物体的最终位置。
在坐标系中，我们可以用坐标系的原点作为参考点，通过坐标值来表示质点的位移。
二、平移运动在动力学中，质点的运动可以分为平移运动（Translation）和旋转运动（Rotation）。
平移运动是指物体以直线或曲线的方式在空间中移动。
在平移运动中，物体的每个点都具有相同的位移（即位移大小和方向相同），这种运动是整体性的。
三、匀速直线运动匀速直线运动是质点的一种特殊运动形式，其中质点在直线上以恒定的速度移动。
在匀速直线运动中，质点的位移与时间的关系可以用以下公式表示：位移（s）= 速度（v）×时间（t）四、匀加速直线运动匀加速直线运动是质点的另一种特殊运动形式，其中质点在直线上以恒定的加速度移动。
在匀加速直线运动中，质点的位移与时间的关系可以用以下公式表示：位移（s）= 初速度（v₀）×时间（t）+ 0.5 ×加速度（a）×时间（t）²五、图像表示除了数学表达式外，我们还可以通过图像来表示质点的运动和位移。
在速度-时间图中，横轴表示时间，纵轴表示速度。
直线斜率的大小表示质点的加速度，而曲线的面积表示质点的位移大小。
在位移-时间图中，横轴表示时间，纵轴表示位移。
不同运动形式的质点在图像上展示出不同的特点，加深了我们对质点运动和位移的理解。
六、实际应用动力学中的质点运动和位移是我们对物体运动的基本研究，它在现实生活和科学研究中都有广泛的应用。
《大学物理》第二章《质点动力学》课件
相对论中的质点动力学
相对论简介
01
相对论是由爱因斯坦提出的理论，包括特殊相对论和广义相对
论，对经典力学和电动力学进行了修正和发展。
质点动力学
02
在相对论中，质点的运动遵循质点动力学规律，需要考虑相对
论效应。
实际应用
03
相对论中的质点动力学在粒子物理、宇宙学和天文学等领域具
有重要意义，如解释宇宙射线、黑洞和宇宙膨胀等现象。
牛顿运动定律的应用
通过牛顿第二定律分析质点在各种力作用下的运动规律。
弹性碰撞和非弹性碰撞
碰撞的定义
两个物体在极短时间内相互作用的过 程。
弹性碰撞
两个物体碰撞后，动能没有损失，只 发生形状和速度方向的改变。
非弹性碰撞
两个物体碰撞后，动能有一定损失， 不仅发生形状和速度方向的改变，还 可能有物质交换。
01
运动分析
火箭发射过程中，需要分析火箭的加速 度、速度和位移等运动参数，以确定最 佳发射时间和条件。
02
03
实际应用
火箭发射的运动分析对于航天工程、 军事和商业发射等领域具有重要意义。Fra bibliotek球自转的角动量守恒
1 2
地球自转
地球绕自身轴线旋转，具有角动量。
角动量守恒
在没有外力矩作用的情况下，地球自转的角动量 保持不变。
相对论和量子力学
随着科学技术的不断发展，相对论和量子力学逐 渐兴起，对质点动力学产生了深远的影响。相对 论提出了新的时空观念和质能关系，而量子力学 则揭示了微观世界的奇特性质。
牛顿时代
牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出了三大运 动定律和万有引力定律，奠定了经典力学的基础 。
现代
现代物理学在继承经典理论的基础上，不断探索 新的理论框架和实验手段，推动质点动力学的发 展和完善。
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第七章质点动力学静力学研究了作用于物体上力系的简化和平衡条件。
运动学从几何方面分析了物体在非平衡力系作用下的运动规律，但没有涉及运动和作用力之间的关系。
静力学和运动学所研究的内容相互独立，只是物体机械运动的一种特殊情况。
动力学则对物体的机械运动进行全面地分析，研究作用于物体的力与物体运动之间的关系，建立物体机械运动的普遍规律。
动力学以牛顿定律为基础，属于经典力学。
实践证明经典力学适用范围在两方面受到限制，一是研究的物体运动的速度远小于光速(3×105 km /s)，二是研究的运动对象不能太小，系统作用量(能量⨯时间)远大于普朗克常数(6.626⨯10-34J⋅s)。
在通常的工程问题中，遇到的物体大都是宏观物体，而且其运动的速度也远小于光速。
有关的力学问题用经典力学的理论分析和解决已足够精确。
动力学中研究的物体模型分为质点和质点系。
质点是具有一定质量但几何尺寸大小可以忽略的物体。
如果物体的形状和大小在所研究的问题中不可忽略，则物体应抽象为质点系。
有限或无限个有某种联系的质点所组成的系统称为质点系。
它包括了刚体、固体、流体以及由几个物体组成的机构。
动力学可分为质点动力学和质点系动力学，而前者是后者的基础。
本章首先根据动力学基本定律建立质点动力学模型，然后分析和求解一个质点的动力学问题，最后讨论在非惯性系中质点的运动。
§7.1 质点运动的动力学建模1 动力学基本定律质点动力学的基础是牛顿三定律，这些定律是牛顿在总结了前人、特别是伽利略研究成果的基础上提出来的。
这三个定律描述了动力学的最基本的规律，是经典力学的核心。
第一定律：不受力作用的质点，将保持静止或匀速直线运动。
这个定律说明任何物体都具有保持静止或匀速直线运动状态的特性，物体的这种保持运动状态不变性质称为惯性，而匀速直线运动也称为惯性运动。
第一定律阐述了物体作惯性运动的条件，所以又成为惯性定律。
第二定律：质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同，即m(7.1.1)a=F上述方程建立了质点的加速度a、质量m与作用力F之间的关系，称为质点动力学的基本方程。
若质点受到多个力作用时，则力F应为此汇交力系的合力。
第二定律表明了质点运动的加速度与其所受力之间的瞬时关系，同时说明加速度矢量不仅取决于作用力矢量，而且加速度的大小与质点的质量成正比。
这说明支点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大。
因此，质量是质点惯性的度量。
在地球表面，任何物体都受到重力的作用。
在重力的作用下，物体的加速度用g表示，称为重力加速度。
设物体重量为P ，质量为m ，则根据式（7.1.1）有g P m = 或 gP m =(7.1.2)应该注意，虽然物体的质量和重量存在着上述关系，但是它们的意义却有本质的区别。
在经典力学中，作为物体惯性的度量，质量是常量，而重量是物体所受重力的大小，由于地球表面各处的重力加速度的数值略有不同，因此物体的重量在地面各处也有所不同，在工程实际计算中，一般取g = 9.80 m / s 2。
在国际单位制（SI ）中，长度、质量和时间的单位是基本单位，分别取为m （米）、kg （千克）和s （秒）；力的单位是导出单位。
质量为1kg 的质点，获得1 m / s 2的加速度时，作用于该质点的力为1 N （牛顿），即1 N = 1kg ×1 m / s 2。
第三定律：两个物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。
这一定律在静力学中曾作为公里叙述过，它不仅适用于平衡的物体，而且也适用于任何运动的物体。
在动力学中，第三定律仍然是分析两个物体相互作用关系的依据。
必须指出，质点动力学的三个基本定律是人们在观察天体运动和生产实践中的一般机械运动的基础上总结出来的，并且被实践证明在一定的范围内适用。
第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系，这就是惯性参考系。
有了第一定律作为基础，才能进一步谈及第二定律。
我们在讲述运动学时，可以选择任意的参考系，完全取决于求解问题的方便。
但是在动力学中，因为要用到牛顿定律，必须严格区分惯性参考系和非惯性参考系。
只有对于惯性参考系，式（7.1.1）才成立。
对于非惯性系，不能简单的运用方程（7.1.1），详细讨论见本章§7.3节。
综上所述，惯性参考系就是不受外力作用的质点在其中保持静止或匀速直线运动的参考系。
在一般的实际工程问题中，把固定在地面的坐标系或相对于地面作匀速直线平动的坐标系作为惯性系，可以得到相当精确的结果。
如果物体运动的尺度很大，所研究的问题精度要就又很高，比如人造卫星的运动轨道，那末地球自转的影响就必须考虑，应该取地心系作为惯性参考系。
在进一步，研究天体的运动时，地心运动的影响也不可忽略，必须取日心系作为惯性参考系。
在本书中，如无特殊说明，我们均取固定在地球表面的坐标系为惯性参考系。
2 质点运动微分方程质点动力学第二定律，建立了质点的加速度与作用力之间关系的方程式，是质点动力学的基本模型。
当质点受到n 个力F i (i=1,2,…,n )作用时，式（7.1.1）应写为∑==ni i m 1F a(7.1.3)或∑===ni i m t m 122d d F r r(7.1.4)其中r 为质点矢径，上标“⋅⋅”表示对时间的二阶导数，以后将在动力学中使用，不另行说明。
式（7.1.4）是矢量形式的微分方程，也称为质点动力学基本方程。
在分析和计算实际问题时，可根据不同的坐标系将基本方程表示为相应形式的微分方程组，以便应用。
(1) 直角坐标形式的质点运动微分方程设矢径r 在直角坐标轴上的投影分别为x , y , z ，力F i (i = 1, 2,…, n )在坐标轴上的投影分别为F xi ，F yi ，F zi ，则基本方程（7.1.4）在直角坐标轴上的投影形式为∑∑∑======ni zin i yi n i xi F t z m F t y m F t x m 122122122d d d d d d ，，(7.1.5)(2) 自然坐标形式的质点运动微分方程如果质点M 的运动轨迹已知，则在质点上建立其运动轨迹的局部自然坐标系M τnb ，如图7-1所示。
设s 为质点沿已知轨迹的弧坐标，并将基本方程（7.1.4）投影到自然轴系上，得∑∑∑======n i i n i i n i i F F v m F t s m 1b 1n 21τ220,,d d ρ (7.1.6)式中F τ，F n 和F b 分别是作用于质点的各力F i 在切线、主法线和副法线上的投影；ρ为运动轨迹在该点处的曲率半径；v 是质点的速度。
式（7.1.5）和（7.1.6）是质点运动微分方程两种常用的投影形式。
§7.2 质点运动的动力学分析1 质点动力学的两类基本问题质点动力学问题可分为两类：一类是已知质点的运动，求作用于质点的力；另一类是已知作用于质点的力，求质点的运动。
这两类问题构成了质点动力学的两类基本问题。
求解质点动力学第一类基本问题比较简单，因为已知质点的运动方程，所以只需求两次导数得到质点的加速度，代入到质点运动方程中，得到一代数方程组，即可求解。
求解质点动力学第二类基本问题相对比较复杂。
因为求解质点的运动，一般包括质点的速度和质点的运动方程。
在数学上归结为求解微分方程的定解问题。
在用积分方法求解微分方程时应注意根据已知的初始条件确定积分常数。
因此，求解第二类基本问题时，除了要知道作用于质点上的力，还应知道运动的初始条件。
此外，有些质点动力学问题是第一类和第二类问题的综合。
一般的解题步骤可归纳如下：(1) 根据题意选取某质点作为研究对象；(2) 分析作用在质点上的主动力和约束反力；(3) 根据质点的运动特征，建立适当的坐标系。
如果需要建立运动微分方程，应对质点的一般位置做出运动分析；(4) 利用动力学关系进行求解。
例7.2-1：质点M 在固定平面Oxy 内运动，如图所示。
已知质点的质量为m ，运动方程为例7.2-1图kt b y kt a x sin ,cos ==式中a , b , k 均为常量。
求作用于质点M 的力F 。
解：本例题属于第一类问题。
由运动方程求导可得到质点的加速度在固定坐标轴x , y 上的投影分量，即y k kt b k ya x k kt a k x a y x 2222sin ,cos -=-==-=-== (a) 代入到方程（7.1.5）中得y mk F x mk F y x 22,-=-=(b)于是力可表示成r j i j i F 22)(mk y x mk F F y x -=+-=+=(c)可见作用力F 与质点M 的矢径r 方向相反，恒指向固定点O 。
这种作用线恒通过固定点的力称为有心力，这个固定点称为力心。
例7.2-2：质量为m 的质点在有阻尼的介质（如空气、水或油等）中无初速地自由下落。
已知阻力R 的大小与质点下落的速度成正比，比例系数为c ，求质点的运动规律。
解：本例题属于第二类问题。
质点受到重力m g 和阻力R 的作用。
由于质点做一维运动，可建立一维坐标Ox ，坐标原点取为质点的下落点，x 轴竖直向下，那末m g = mg i , R =i xc -，其中负号表示阻力与速度反向。
于是，质点的运动微分方程是x c mg xm -= (a)初始条件是0)0(,0)0(==xx (b)令v * = mg /c ，将(a)式写成⎪⎭⎫ ⎝⎛-=*v x g t x 1d d (c)分离变量x和t ，并求积分，得⎰⎰=-t vt g v x x00*d /1d (d)设x= v < v *，积分后得gt v x v -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-* 1ln *(e)从上式将x解出得()*/*1v gt e v x--= (f)从式(f)可以看出，质点初始时速度为零，以后越来越大，最后当t 趋于无穷时，速度x趋于v *，所以v *称为极限速度。
另外，在得出式(e)时我们曾假定x< v *，这个假定是成立的，所以得到的解有效。
这个解说明质点在下落的过程中，开始时重力大于阻力，因此质点是加速的，随着速度曾大阻力也曾大，加速度就减小了。
因为重力不变，最后阻力实际上与重力相等，质点就不再加速了，几乎以极限速度等速下降。
将关系式(f)进一步进行积分，求得质点的运动方程()*/2**1)(v gt e gv t v x ---=(g)为了便于分析，将式(g)写作量纲一变量的形式()τττ/*1t e t v x ---= (h)其中c m g v //*==τ(i)当t 很小(t <<τ)时，将式(h)右端按变量t /τ展成幂级数，得到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=332*O 21τττt t v x (j)略去高阶小量，并注意到式(i)，得到2/2gt x ≈(k)式(k)表明质点近似作无阻尼的自由落体运动。