质点动力学.

第七章质点动力学

静力学研究了作用于物体上力系的简化和平衡条件。运动学从几何方面分析了物体在非平衡力系作用下的运动规律，但没有涉及运动和作用力之间的关系。静力学和运动学所研究的内容相互独立，只是物体机械运动的一种特殊情况。动力学则对物体的机械运动进行全面地分析，研究作用于物体的力与物体运动之间的关系，建立物体机械运动的普遍规律。

动力学以牛顿定律为基础，属于经典力学。实践证明经典力学适用范围在两方面受到限制，一是研究的物体运动的速度远小于光速(3×105 km /s)，二是研究的运动对象不能太小，系统作用量(能量⨯时间)远大于普朗克常数(6.626⨯10-34J⋅s)。在通常的工程问题中，遇到的物体大都是宏观物体，而且其运动的速度也远小于光速。有关的力学问题用经典力学的理论分析和解决已足够精确。

动力学中研究的物体模型分为质点和质点系。质点是具有一定质量但几何尺寸大小可以忽略的物体。如果物体的形状和大小在所研究的问题中不可忽略，则物体应抽象为质点系。有限或无限个有某种联系的质点所组成的系统称为质点系。它包括了刚体、固体、流体以及由几个物体组成的机构。

动力学可分为质点动力学和质点系动力学，而前者是后者的基础。本章首先根据动力学基本定律建立质点动力学模型，然后分析和求解一个质点的动力学问题，最后讨论在非惯性系中质点的运动。

§7.1 质点运动的动力学建模

1 动力学基本定律

质点动力学的基础是牛顿三定律，这些定律是牛顿在总结了前人、特别是伽利略研究成果的基础上提出来的。这三个定律描述了动力学的最基本的规律，是经典力学的核心。

第一定律：不受力作用的质点，将保持静止或匀速直线运动。

这个定律说明任何物体都具有保持静止或匀速直线运动状态的特性，物体的这种保持运动状态不变性质称为惯性，而匀速直线运动也称为惯性运动。第一定律阐述了物体作惯性运动的条件，所以又成为惯性定律。

第二定律：质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同，即

m(7.1.1)

a=

F

上述方程建立了质点的加速度a、质量m与作用力F之间的关系，称为质点动力学的基本方程。若质点受到多个力作用时，则力F应为此汇交力系的合力。

第二定律表明了质点运动的加速度与其所受力之间的瞬时关系，同时说明加速度矢量不仅取决于作用力矢量，而且加速度的大小与质点的质量成正比。这说明支点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大。因此，质量是质点惯性的度量。

在地球表面，任何物体都受到重力的作用。在重力的作用下，物体的加速度用g表示，

称为重力加速度。设物体重量为P ，质量为m ，则根据式（7.1.1）有

g P m = 或 g

P m =

(7.1.2)

应该注意，虽然物体的质量和重量存在着上述关系，但是它们的意义却有本质的区别。

在经典力学中，作为物体惯性的度量，质量是常量，而重量是物体所受重力的大小，由于地球表面各处的重力加速度的数值略有不同，因此物体的重量在地面各处也有所不同，在工程实际计算中，一般取g = 9.80 m / s 2。

在国际单位制（SI ）中，长度、质量和时间的单位是基本单位，分别取为m （米）、kg （千克）和s （秒）；力的单位是导出单位。质量为1kg 的质点，获得1 m / s 2的加速度时，作用于该质点的力为1 N （牛顿），即1 N = 1kg ×1 m / s 2。 第三定律：两个物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。

这一定律在静力学中曾作为公里叙述过，它不仅适用于平衡的物体，而且也适用于任何运动的物体。在动力学中，第三定律仍然是分析两个物体相互作用关系的依据。

必须指出，质点动力学的三个基本定律是人们在观察天体运动和生产实践中的一般机械运动的基础上总结出来的，并且被实践证明在一定的范围内适用。第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系，这就是惯性参考系。有了第一定律作为基础，才能进一步谈及第二定律。我们在讲述运动学时，可以选择任意的参考系，完全取决于求解问题的方便。但是在动力学中，因为要用到牛顿定律，必须严格区分惯性参考系和非惯性参考系。只有对于惯性参考系，式（7.1.1）才成立。对于非惯性系，不能简单的运用方程（7.1.1），详细讨论见本章§7.3节。

综上所述，惯性参考系就是不受外力作用的质点在其中保持静止或匀速直线运动的参考系。在一般的实际工程问题中，把固定在地面的坐标系或相对于地面作匀速直线平动的坐标系作为惯性系，可以得到相当精确的结果。如果物体运动的尺度很大，所研究的问题精度要就又很高，比如人造卫星的运动轨道，那末地球自转的影响就必须考虑，应该取地心系作为惯性参考系。在进一步，研究天体的运动时，地心运动的影响也不可忽略，必须取日心系作为惯性参考系。在本书中，如无特殊说明，我们均取固定在地球表面的坐标系为惯性参考系。

2 质点运动微分方程

质点动力学第二定律，建立了质点的加速度与作用力之间关系的方程式，是质点动力学

的基本模型。当质点受到n 个力F i (i=1,2,…,n )作用时，式（7.1.1）应写为

∑==n

i i m 1

F a

(7.1.3)

或

∑===n

i i m t m 1

22d d F r r

(7.1.4)

其中r 为质点矢径，上标“⋅⋅”表示对时间的二阶导数，以后将在动力学中使用，不另行说明。 式（7.1.4）是矢量形式的微分方程，也称为质点动力学基本方程。在分析和计算实际问题时，可根据不同的坐标系将基本方程表示为相应形式的微分方程组，以便应用。

(1) 直角坐标形式的质点运动微分方程

设矢径r 在直角坐标轴上的投影分别为x , y , z ，力F i (i = 1, 2,…, n )在坐标轴上的投影分别

为F xi ，F yi ，F zi ，则基本方程（7.1.4）在直角坐标轴上的投影形式为

∑∑∑======n

i zi

n i yi n i xi F t z m F t y m F t x m 1

22122122d d d d d d ，，

(7.1.5)

(2) 自然坐标形式的质点运动微分方程

如果质点M 的运动轨迹已知，则在质点上建立其运动轨迹的局部自然坐标系M τnb ，如图

7-1所示。设s 为质点沿已知轨迹的弧坐标，并将基本方程（7.1.4）投影到自然轴系上，得

∑∑∑======n i i n i i n i i F F v m F t s m 1

b 1n 2

1τ220,,d d ρ (7.1.6)

式中F τ，F n 和F b 分别是作用于质点的各力F i 在切线、主法线和副法线上的投影；ρ为运动轨迹在该点处的曲率半径；v 是质点的速度。 式（7.1.5）和（7.1.6）是质点运动微分方程两种常用的投影形式。

§7.2 质点运动的动力学分析

1 质点动力学的两类基本问题

质点动力学问题可分为两类：一类是已知质点的运动，求作用于质点的力；另一类是已

知作用于质点的力，求质点的运动。这两类问题构成了质点动力学的两类基本问题。求解质点动力学第一类基本问题比较简单，因为已知质点的运动方程，所以只需求两次导数得到质点的加速度，代入到质点运动方程中，得到一代数方程组，即可求解。求解质点动力学第二类基本问题相对比较复杂。因为求解质点的运动，一般包括质点的速度和质点的运动方程。在数学上归结为求解微分方程的定解问题。在用积分方法求解微分方程时应注意根据已知的初始条件确定积分常数。因此，求解第二类基本问题时，除了要知道作用于质点上的力，还应知道运动的初始条件。此外，有些质点动力学问题是第一类和第二类问题的综合。

一般的解题步骤可归纳如下：(1) 根据题意选取某质点作为研究对象；(2) 分析作用在质点上的主动力和约束反力；(3) 根据质点的运动特征，建立适当的坐标系。如果需要建立运动微分方程，应对质点的一般位置做出运动分析；(4) 利用动力学关系进行求解。

例7.2-1：质点M 在固定平面Oxy 内运动，如图所示。已知质点的质量为m ，运动方程为

例7.2-1图