质点动力学.

第七章质点动力学

静力学研究了作用于物体上力系的简化和平衡条件。运动学从几何方面分析了物体在非平衡力系作用下的运动规律，但没有涉及运动和作用力之间的关系。静力学和运动学所研究的内容相互独立，只是物体机械运动的一种特殊情况。动力学则对物体的机械运动进行全面地分析，研究作用于物体的力与物体运动之间的关系，建立物体机械运动的普遍规律。

动力学以牛顿定律为基础，属于经典力学。实践证明经典力学适用范围在两方面受到限制，一是研究的物体运动的速度远小于光速(3×105 km /s)，二是研究的运动对象不能太小，系统作用量(能量?时间)远大于普朗克常数(6.626?10-34J?s)。在通常的工程问题中，遇到的物体大都是宏观物体，而且其运动的速度也远小于光速。有关的力学问题用经典力学的理论分析和解决已足够精确。

动力学中研究的物体模型分为质点和质点系。质点是具有一定质量但几何尺寸大小可以忽略的物体。如果物体的形状和大小在所研究的问题中不可忽略，则物体应抽象为质点系。有限或无限个有某种联系的质点所组成的系统称为质点系。它包括了刚体、固体、流体以及由几个物体组成的机构。

动力学可分为质点动力学和质点系动力学，而前者是后者的基础。本章首先根据动力学基本定律建立质点动力学模型，然后分析和求解一个质点的动力学问题，最后讨论在非惯性系中质点的运动。

§7.1 质点运动的动力学建模

1 动力学基本定律

质点动力学的基础是牛顿三定律，这些定律是牛顿在总结了前人、特别是伽利略研究成果的基础上提出来的。这三个定律描述了动力学的最基本的规律，是经典力学的核心。

第一定律：不受力作用的质点，将保持静止或匀速直线运动。

这个定律说明任何物体都具有保持静止或匀速直线运动状态的特性，物体的这种保持运动状态不变性质称为惯性，而匀速直线运动也称为惯性运动。第一定律阐述了物体作惯性运动的条件，所以又成为惯性定律。

第二定律：质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同，即

m(7.1.1)

a=

F

上述方程建立了质点的加速度a、质量m与作用力F之间的关系，称为质点动力学的基本方程。若质点受到多个力作用时，则力F应为此汇交力系的合力。

第二定律表明了质点运动的加速度与其所受力之间的瞬时关系，同时说明加速度矢量不仅取决于作用力矢量，而且加速度的大小与质点的质量成正比。这说明支点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大。因此，质量是质点惯性的度量。

在地球表面，任何物体都受到重力的作用。在重力的作用下，物体的加速度用g表示，

称为重力加速度。设物体重量为P ，质量为m ，则根据式（7.1.1）有

g P m = 或 g

P m =

(7.1.2)

应该注意，虽然物体的质量和重量存在着上述关系，但是它们的意义却有本质的区别。

在经典力学中，作为物体惯性的度量，质量是常量，而重量是物体所受重力的大小，由于地球表面各处的重力加速度的数值略有不同，因此物体的重量在地面各处也有所不同，在工程实际计算中，一般取g = 9.80 m / s 2。

在国际单位制（SI ）中，长度、质量和时间的单位是基本单位，分别取为m （米）、kg （千克）和s （秒）；力的单位是导出单位。质量为1kg 的质点，获得1 m / s 2的加速度时，作用于该质点的力为1 N （牛顿），即1 N = 1kg ×1 m / s 2。 第三定律：两个物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。

这一定律在静力学中曾作为公里叙述过，它不仅适用于平衡的物体，而且也适用于任何运动的物体。在动力学中，第三定律仍然是分析两个物体相互作用关系的依据。

必须指出，质点动力学的三个基本定律是人们在观察天体运动和生产实践中的一般机械运动的基础上总结出来的，并且被实践证明在一定的范围内适用。第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系，这就是惯性参考系。有了第一定律作为基础，才能进一步谈及第二定律。我们在讲述运动学时，可以选择任意的参考系，完全取决于求解问题的方便。但是在动力学中，因为要用到牛顿定律，必须严格区分惯性参考系和非惯性参考系。只有对于惯性参考系，式（7.1.1）才成立。对于非惯性系，不能简单的运用方程（7.1.1），详细讨论见本章§7.3节。

综上所述，惯性参考系就是不受外力作用的质点在其中保持静止或匀速直线运动的参考系。在一般的实际工程问题中，把固定在地面的坐标系或相对于地面作匀速直线平动的坐标系作为惯性系，可以得到相当精确的结果。如果物体运动的尺度很大，所研究的问题精度要就又很高，比如人造卫星的运动轨道，那末地球自转的影响就必须考虑，应该取地心系作为惯性参考系。在进一步，研究天体的运动时，地心运动的影响也不可忽略，必须取日心系作为惯性参考系。在本书中，如无特殊说明，我们均取固定在地球表面的坐标系为惯性参考系。

2 质点运动微分方程

质点动力学第二定律，建立了质点的加速度与作用力之间关系的方程式，是质点动力学

的基本模型。当质点受到n 个力F i (i=1,2,…,n )作用时，式（7.1.1）应写为

∑==n

i i m 1

F a

(7.1.3)

或

∑===n

i i m t m 1

22d d F r r

(7.1.4)

其中r 为质点矢径，上标“??”表示对时间的二阶导数，以后将在动力学中使用，不另行说明。 式（7.1.4）是矢量形式的微分方程，也称为质点动力学基本方程。在分析和计算实际问题时，可根据不同的坐标系将基本方程表示为相应形式的微分方程组，以便应用。

(1) 直角坐标形式的质点运动微分方程

设矢径r 在直角坐标轴上的投影分别为x , y , z ，力F i (i = 1, 2,…, n )在坐标轴上的投影分别

为F xi ，F yi ，F zi ，则基本方程（7.1.4）在直角坐标轴上的投影形式为

∑∑∑======n

i zi

n i yi n i xi F t z m F t y m F t x m 1

22122122d d d d d d ，，

(7.1.5)

(2) 自然坐标形式的质点运动微分方程

如果质点M 的运动轨迹已知，则在质点上建立其运动轨迹的局部自然坐标系M τnb ，如图

7-1所示。设s 为质点沿已知轨迹的弧坐标，并将基本方程（7.1.4）投影到自然轴系上，得

∑∑∑======n i i n i i n i i F F v m F t s m 1

b 1n 2

1τ220,,d d ρ (7.1.6)

式中F τ，F n 和F b 分别是作用于质点的各力F i 在切线、主法线和副法线上的投影；ρ为运动轨迹在该点处的曲率半径；v 是质点的速度。 式（7.1.5）和（7.1.6）是质点运动微分方程两种常用的投影形式。

§7.2 质点运动的动力学分析

1 质点动力学的两类基本问题

质点动力学问题可分为两类：一类是已知质点的运动，求作用于质点的力；另一类是已

知作用于质点的力，求质点的运动。这两类问题构成了质点动力学的两类基本问题。求解质点动力学第一类基本问题比较简单，因为已知质点的运动方程，所以只需求两次导数得到质点的加速度，代入到质点运动方程中，得到一代数方程组，即可求解。求解质点动力学第二类基本问题相对比较复杂。因为求解质点的运动，一般包括质点的速度和质点的运动方程。在数学上归结为求解微分方程的定解问题。在用积分方法求解微分方程时应注意根据已知的初始条件确定积分常数。因此，求解第二类基本问题时，除了要知道作用于质点上的力，还应知道运动的初始条件。此外，有些质点动力学问题是第一类和第二类问题的综合。

一般的解题步骤可归纳如下：(1) 根据题意选取某质点作为研究对象；(2) 分析作用在质点上的主动力和约束反力；(3) 根据质点的运动特征，建立适当的坐标系。如果需要建立运动微分方程，应对质点的一般位置做出运动分析；(4) 利用动力学关系进行求解。

例7.2-1：质点M 在固定平面Oxy 内运动，如图所示。已知质点的质量为m ，运动方程为

例7.2-1图

kt b y kt a x sin ,cos ==

式中a , b , k 均为常量。求作用于质点M 的力F 。 解：本例题属于第一类问题。由运动方程求导可得到质点的加速度在固定坐标轴x , y 上的投影分量，即

y k kt b k y

a x k kt a k x a y x 2222sin ,cos -=-==-=-== (a) 代入到方程（7.1.5）中得

y mk F x mk F y x 22,-=-=

(b)

于是力可表示成

r j i j i F 22)(mk y x mk F F y x -=+-=+=

(c)

可见作用力F 与质点M 的矢径r 方向相反，恒指向固定点O 。这种作用线恒通过固定点的力称为有心力，这个固定点称为力心。

例7.2-2：质量为m 的质点在有阻尼的介质（如空气、水或油等）中无初速地自由下落。已知阻力R 的大小与质点下落的速度成正比，比例系数为c ，求质点的运动规律。

解：本例题属于第二类问题。质点受到重力m g 和阻力R 的作用。由于质点做一维运动，

可建立一维坐标Ox ，坐标原点取为质点的下落点，x 轴竖直向下，那末m g = mg i , R =i x

c -，其中负号表示阻力与速度反向。于是，质点的运动微分方程是

x c mg x

m -= (a)

初始条件是

0)0(,0)0(==x

x (b)

令v * = mg /c ，将(a)式写成

??

? ??

-=*v x g t x 1d d (c)

分离变量x

和t ，并求积分，得

??=-t v

t g v x x

00*d /1d (d)

设x

= v < v *，积分后得

gt v x v -=??

? ??

-* 1ln *

(e)

从上式将x

解出得

(

)

*

/*1v gt e v x

--= (f)

从式(f)可以看出，质点初始时速度为零，以后越来越大，最后当t 趋于无穷时，速度x

趋

于v *，所以v *称为极限速度。另外，在得出式(e)时我们曾假定x

< v *，这个假定是成立的，所以得到的解有效。这个解说明质点在下落的过程中，开始时重力大于阻力，因此质点是加速的，随着速度曾大阻力也曾大，加速度就减小了。因为重力不变，最后阻力实际上与重力相等，质点就不再加速了，几乎以极限速度等速下降。 将关系式(f)进一步进行积分，求得质点的运动方程

()

*/2

**

1)(v gt e g

v t v x ---=

(g)

为了便于分析，将式(g)写作量纲一变量的形式

()

ττ

τ/*

1t e t v x ---= (h)

其中

c m g v //*==τ

(i)

当t 很小(t <<τ)时，将式(h)右端按变量t /τ展成幂级数，得到

???? ??+???

??=332

*O 21τττt t v x (j)

略去高阶小量，并注意到式(i)，得到

2/2gt x ≈

(k)

式(k)表明质点近似作无阻尼的自由落体运动。 当t 很大(t >>τ)时，式(h)可写成

)(*τ-≈t v x

(l)

式(l)表明质点几乎作匀速直线运动，速度为v *。这和前面讨论的结果完全吻合。需要指出的是，由式(i)定义的τ称为特征时间。

通过这个例子可以看出，要解决一个力学问题，必须在解题的全过程中结合物理意义及时分析和讨论。本例所涉及的无量纲化方法和幂级数近似展开方法等都是解决实际力学问题的常用基本方法。

有的问题既需要求质点的运动规律，又需要求未知力，是

第一类基本问题与第二类基本问题结合在一起的动力学问题。下面举例说明这类问题的求解方法。

例7.2-3：一圆锥摆，如图所示。质量为m 的小球系于长l

的绳上，绳的另一端系在固定点O 。如小球在水平面内作匀速圆周运动，绳与铅垂线成θ角。求小球的速度v 和绳的拉力F 的大小。 解：一小球为研究的质点，作用于质点上的有重力m g 和绳的拉力F 。建立自然坐标，运动微分方程在自然轴上的投影式

为

例7.2-3图

mg F F v m

-==θθρ

cos 0,sin 2

(a)

因ρ = l sin θ，于是解得

θ

θθ

cos ,cos sin mg

F lg v == (b)

例7.2-4：曲柄连杆机构如图a 所示。曲柄OA 在铅垂面内绕固定轴O 以匀角速度ω转动，

连杆AB 分别与曲柄OA 和滑块B 铰接。设OA = R , AB = L ，滑块的质量为m ，忽略摩擦以及曲柄和连杆的质量。试求作用于滑块B 上的力随角度θ的变化规律。

解：选取滑块为研究对象，可视为质点。由于连杆的质量不计，所以AB 为二力杆，滑块

B 的受力图如图(b 所示。F 为杆AB 作用在滑块B 上的拉力，F N 为滑道作用于滑块上的约束

力。选取直角坐标系Oxy ，由式(7.1.5)并注意到0=y

，可得

mg F F m F x

m N -+=?-=??sin 0,cos (a)

根据几何关系可知

?θcos cos L R x +=，

L

R θ?sin sin =

(b)

可求出

θ?θ?222

sin 1cos ,sin sin R L L

L R -==

(c)

将式(c)代入到(b)式，可得到滑块B 的运动方程

θθ222sin cos R L R x -+=

(d)

其中θ = ωt 。式(d)对时间t 求二阶导数，得

2

/32222224222222

)sin (cos sin 2cos )sin (cos θθθωθθωθωR L R R L R R x -+---=

(e)

将式(c)和式(e)代入到式(a)，可求得

例7.2-4图

(a)

(b)

θ

θθθωθθωθθωsin )sin (cos sin 2cos )sin (sin cos 22222224222222222L

R

F mg F R L R R L R R L R mL F N -=???

???-+-+-=

2 单自由度系统的线性振动

振动是物体运动的一种特殊形式，特点是物体的位移、速度和加速度等物理量随时间作

周期性变化。在振动问题中通常将研究对象称为振动系统，简称系统。外部载荷称为激励，激励作用系统产生振动响应。振动系统按激励的性质可分为自由振动、受迫振动、自激振动和参数振动等。按描述振动系统运动微分方程的个数分为单自由度系统和多自由度系统，按运动微分方程的性质分为线性振动和非线性振动。单自由度系统是指系统的运动可以用一个坐标描述，因此系统运动微分方程仅含一个方程。本小节讨论单自由度系统的线性振动问题。 (1) 单自由度系统的自由振动

许多单自由度系统的自由振动问题可简化为一个质

量和一个弹簧的弹簧－质量系统，如图7-1所示。设质点位于光滑的水平面上，质量为m ，弹簧的刚度系数为k ，质点的初始位移为x 0，初始速度的大小为v 0。系统在运动过程中，质点以一定的力作用于弹簧，使它伸长或缩短，而弹簧以反作用力作用在质点上，这个里总是力图将质点拉回到与弹簧原长所对应的位置，所以称为恢复力。这是已知力(恢复力)求运动规律，故为第二类动力学问题。

以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立坐标系Ox ，设此时弹簧长为l 0，将质点置于任意

位置x > 0处。质点在x 方向只受到恢复力F ＝－kx i 。根据直角坐标系中的质点运动微分方程(7.1.5)可写出 0=+kx x

m (7.2.1) 初始条件

00,:0v x

x x t === (7.2.2)

在求解初值问题(7.2.1)和(7.2.2)之前，先建立竖直悬挂的

弹簧-质量系统的运动微分方程，分析此时的运动微分方程与方程(7.2.1)的差别。如图7-2所示，仍然假定质点的质量为m ，弹簧的刚度系数为k ，质点的初始位移为x 0，初始速度为v 0。质点在平衡位置时，由于重力对质点的作用，弹簧已经被拉长了δst ，称为静伸长。由平衡条件可知δst =mg/k 。

以弹簧在重力m g 作用下变形后的平衡位置为原点建立坐

标系Ox ，将物块置于任意位置x > 0 处。物块在x 方向只受有恢复力F k ＝－kx i 和重力W ＝mg i 。根据直角坐标系中的质

图7-1 弹簧－质量系统

图7-2 弹簧－质量系统的受力分析

点运动微分方程(7.1.5)可写出)(st x k mg x m +-=δ

。因为δst = mg / k ，所以mg - k δst = 0。最后，运动微分方程和初始条件仍然与式(7.2.1)和(7.2.2)的形式一样。但要注意的是在两种情况中虽然坐标的原点都取在质点的平衡位置，然而在平衡位置时弹簧的状态却不一样。 现在我们求解初值问题(7.2.1)和(7.2.2)。根据二阶常系数线性常微分方程的理论，可解出

)sin(?ω+=t A x n

(7.2.3)

其中

???

? ??=+

==0022

20

arctan ,,

v x v x A m

k

n n n ω?ωω (7.2.4)

式中A 称为振幅，? 称为初相位，ωn 只依赖于系统的刚性和惯性，是系统的固有特性，所以

ωn 又称为固有频率。从式(7.2.4)可以看出，振动周期T = 2π /ωn ，系统的刚性越大，固有频率

越高，惯性越大，固有频率越低。

运动微分方程(7.2.1)具有广泛的代表性。只要是具有恢复力的无阻尼单自由度线性系统，都可以用质量-弹簧系统的模型来代表，其运动微分方程都可以写为方程(7.2.1)这种形式，只是其中变量x 的物理意义可能改变了，m 和k 也分别成为了等效质量和等效刚度。 例7.2-5：设质量为m 的质点挂在长为l 的不可伸长绳的一端，

并在竖直平面内摆动，如图所示，求此单摆的运动微分方程。

解：显然质点的运动轨迹是一圆弧。我们用自然坐标建立运动方程。设s 是从最低点算起的弧长，向右为正，绳与铅垂线的夹角为?。作用在质点上的力有绳子的拉力F 和重力m g 。因为绳子的拉力F 沿绳的方向，所以它在切线方向的投影为零，于是根据方程(7.1.6)，质点沿切线方向的投影方程为

?sin mg s

m -= 由于s 与?的关系为s =l ?，所以方程消去m 后可写成

0sin =+??

l

g

(a)

方程(a)是一个二阶非线性常微分方程，其解为一椭圆积分，反映了角度?随时间t 的变化

规律，比较复杂。如果单摆摆动的幅度很小，那末可将sin ?按幂级数展开，略去二阶以上高阶小量，得sin ? ≈?，带入到方程(a)中，得出单摆小幅振动时的运动微分方程为

0=+??

l

g

(b)

上述这个例子中并不存在弹簧，但是重力的切线方向分量也具有恢复力的性质，所以得

出(b)与方程(7.2.1)完全相似，只是现在的变量?是一个角度，不再是位移。对照式(7.2.4)可知微幅摆动的频率为

l

g n =

ω 例7.2-5图

当?很小时，将sin ?用?来代替，从而将运动微分方程近似地化为线性微分方程，这种

方法可定义为线性化方法。线性化方法是解决工程实际数学问题中的经常用到的一种近似方法。经线性化以后的近似数学模型称为线性系统，线性系统的数学问题相对要简单得多。当然它反映的解与真实情况是有差别的，但在平衡位置附近（即? = 0附近）相差不大。 (2) 单自由度系统的有阻尼自由振动

自由振动不受阻力的作用，根据式(7.2.4)，振动的振幅不随时间改变，振动过程将无限地进行下去。但实际中观察到的自由振动却随时间不断地减小，直到最后停止。这种现象说明在振动过程中，系统除受恢复力的作用外，还存在着某种影响振动的阻力，这种阻力不断消耗着系统振动的能量，使振幅逐渐减小。振动过程中的阻力通常称为阻尼。当振动速度不大时，由于介质粘性引起的阻力大小与速度v 的大小成正比，这样的阻尼称为粘性阻尼。粘性阻尼的阻力F c 可以表示为

v F c -=c

(7.2.5)

其中比例常数c 称为粘性阻尼系数，简称为阻尼系数，负号表示阻力与速度的方向相反。

例7.2-6：带有阻尼元件的弹簧质量系统如图a 所示。设质点的质量为m ，弹簧的刚度为k ，阻尼元件的阻尼系数为c ，分析质点的运动规律。

解：与无阻尼情况下的弹簧质量系统分析方法相同，仍以平衡位置为原点建立坐标系Ox 。本例中作用在质点上的外力增加了阻力

i F x

c c -=，运动微分方程(7.2.1)改变成

0=++kx x c x

m 或写成

022=++x x n x n ω (a)

其中常数n = c / 2m ，固有频率ωn 仍由式(7.2.4)中第一式定义。 二阶齐次常系数线性常微分方程(a)的特征方程为

0222=++n n ωλλ

(b)

特征方程(b)的根有以下三种情况 (i) 当n < ωn 时，22

2221i ,i

n n n n n n ---=-+-=ωλωλ，其中i 为虚数单位。 (ii) 当n > ωn 时，2

222

2

1,n n n n n n ωλωλ---=-+-=。

(iii) 当n = ωn 时，n ==21λλ。

第一种情况是在阻尼系数比较小时发生的，称为小阻尼情形。方程(a)解的一般形式是

)sin(0?ω+=-t Ae x nt

(c)

例7.2-6图a

式中220n n -=ωω，而A , ?是由初始条件确定的积分常数。

式(c)是小阻尼情形下的质点自由振动的运动规律，这种振动振幅随时间不断减小，所以

又称为衰减振动。衰减振动的运动曲线如图b 所示。

在小阻尼自由振动的过程中，运动并不周期性地重复，但是质点经过平衡位置的时间间

隔是相同的。我们把这一相同的时间间隔称为准周期，用T '表示准周期，显然有

n

n

T n

T ωπ

ωπ

ωπ

2222

20

=

>-=

=

'

上式说明准周期比无阻尼自由振动的周期要大一些。 第二种情况是在阻尼系数比较大时发生的，称为大阻尼情形。方程(a)解的一般形式是

??

? ?

?+=----t

n t

n nt

n n e

C e

C e x 2

22

221ωω

(d)

其中积分常数C 1和C 2由初始条件确定。根据不同的初始位移x 0和初始速度v 0，质点的三种运动曲线如图c 所示，这时不再有振动的性质， 因此也就不存在振幅和周期。

T '

图b

图c

x 0 >0, v 0 >0

T

t x 0 >0, v 0 <0, ?v 0 较小

x 0 >0, v 0 <0, ?v 0 较大

第三种情况是是一种非常特殊的情形，称为临界阻尼情形。方程(a)解的一般形式是

)(21t C C e x nt +=-

(e)

式中积分常数C 1和C 2由初始条件确定。上式表明，质点的运动随时间的增长趋向平衡位置，其运动特征与第二种情形相同，不再具有振动的特点。

对于单自由度系统的自由振动，我们可以从物理上作这样的解释，当无阻尼时，质点以周期T 作等幅振动。有了阻尼后，由于阻力的作用使周期，即准周期T ' 增大，使振幅衰减。随着阻尼增大，当达到n ≥ωn 时，运动特征发生了质的变化，即振动特征消失了。 (3) 单自由度系统的有阻尼受迫振动

由于阻尼的存在，自由振动都会逐渐衰减直至完全停止。要使系统持续振动，应在系统

上施加激振力或激振位移等外界激励。这类在外界激励作用下产生的振动称为受迫振动。系统在简谐激振力作用下的振动是最简单、最基本的受迫振动。

例7.2-7：作用有简谐激振力F ，并带有阻尼元件的弹簧质量系统如图a 所示。设质点的质量为m ，弹簧的刚度为k ，简谐激振力的大小F = H sin ωt ，阻尼元件的阻尼系数为c ，分析质点的运动规律。

解：选取平衡位置O 为坐标原点，x 轴铅直向下，则恢复力F k ＝

－kx i ，粘性阻尼力i F x c c -=，简谐激振力F = H sin ωt i ，根据式(7.1.5)，

在直角坐标系中的质点运动微分方程为

t H kx x c x

m ωsin =++ 将上式两端除以m ，并令

m

H

h m c n m k n ===

,2,2

ω 整理后得

t h x x n x n ωωsin 22

=++ (a)

这是有阻尼受迫振动微分方程的标准形式，是二阶线性常系数齐次常微分方程，其解由

两部分组成：

)()(21t x t x x +=

式中x 1对应于方程(a)的齐次方程的通解，即有阻尼自由振动情形的解。在小阻尼(n < ωn )

的情形下，有

)sin(221?ω+-=-t n Ae x n nt

(b)

式中x 2为方程(a)由于激振力的作用产生的特解，设它有如下形式解：

)sin(2θω-=t b x

(c)

例7.2-7图a

其中b 和θ为待定常数。将上式代入到方程(a)中，可得

t h t b t nb t b n ωθωωθωωθωωsin )sin()cos(2)sin(2

2=-+-+--

(d)

上式右端可改写为如下形式：

[])cos(sin )sin(cos )(sin sin θωθθωθθθωω-+-=+-=t h t h t h t h

式(d)可整理为

[]

[]0)cos(sin 2)sin(cos )(22

=--+---θωθωθωθωω

t h nb t h b n

上式对任意时刻t 成立，必须

sin 20

cos )(22=-=--θωθωωh nb h b n

将上述两方程建立，可解出

2

2

2

224)(ω

ωωn h

b n

+-=

(e)

2

2

2tan ωωω

θ-=

n n (f)

式中b 为受迫振动的振幅，而θ为受迫振动相位滞后激振力的相位角。最后的方程(a)的通解为

)sin()sin(22

θω?ω-++-=-t b t n Ae x n nt

(g)

其中积分常数A 和?由运动的初始条件确定。 由式(g)可知，有阻尼的受迫振动由两部分组成。第一部分是衰减振动（图b(a)），第二部分是受迫振动（图b(b)）。合成结果如图b(c)所示。

例7.2-7图b

x

x (c)

x

对单自由度系统的有阻尼受迫振动解的表达式，我们作进一步的分析和讨论。由于阻尼的存在，解表达式(g)中第一项随时间的增加逐渐地衰减了，衰减振动对系统有明显影响的这段过程称为瞬态过程。当衰减振动停止后，系统则按式(g)中第二项受迫振动的规律进行振动，其中b 表示受迫振动的振幅，而θ表示受迫振动的相位落后于激振力的相位角。瞬态过程以后的这段过程称为稳态过程。在研究受迫振动的问题中，分析和讨论的重点都集中在这一部分上。

由受迫振动的运动方程(c)可知，受迫振动的振动频率ω等于激振力的频率，其振幅由式(e)给出，可以看受迫振动的振幅不仅与激振力的力幅有关，还与激振力的频率以及振动系统的参数m , k 和阻尼系数c 有关。

在工程实际问题中，通常最关心问题是稳态振动的振幅b 。在有的问题中希望b 不超过某个许可值，以避免引起过大的噪声或造成破坏；在另一些问题中则希望b 要大，即希望系统能振动起来，达到预期的要求。为了讨论方便，将(e)式写为量纲一比值的形式

2

2

2

20

411

???

?

??????

??+???

????

????? ??-==

n n n n b b

ωωωωωβ

其中b 0 = H / k 。比值b /b 0表示放大倍数，物理意义为弹簧上端的振幅被放大了多少倍而成为质点的振幅。放大倍数与λ = ω /ωn 和ζ = n /ωn 的关系图称为响应曲线，如图c 所示。

从响应曲线可以分析出受迫振动的一些重要性质。如果激振力频率比固有频率低得多，即ω /ωn <<1，则b /b 0 ≈1。这说明在低频激振力的作用下，输出振幅（质点的振幅）与输入振幅（弹簧上端的振幅）几乎相同。如果激振力频率比固有频率高得多，即ω /ωn >>1，则b /b 0 ≈0。在高频激振力的作用下，输出振幅几乎等于零。当激振力频率与固有频率很接近时，即ω /ωn ≈1，则输出振幅有较大的数值。

另一方面，从响应曲线还可以看到，阻尼的大小对放大倍数有很大的影响。如果阻尼非

例7.2-7图c

常小，而激振力频率ω又非常接近固有频率ωn ，在这种条件下，受迫振动的振幅较大，系统将发生强烈的振动。特别在极端的条件下，即无阻尼n ≈0，且ω =ωn ，稳态振动的振幅将成为无限大，这种现象称为共振。在工程实际问题中，一般地要避免出现共振，解决的方法有两个，一是加大阻尼系数，二是使激振力频率ω和固有频率ωn 相互分离。

§7.3 非惯性系中的质点运动

1非惯性系中概述

牛顿定律只适用于惯性坐标系。在解决实际的大多数问题中都是把地球作为一个惯性参

考系，在这个惯性系中运用牛顿定律，所得的结果与实际符合得很好。然而在严格的意义下，地球并不是惯性参考系。地球的公转角速度（1.99×10-7 rad /s ）很小，一般可以忽略不计。但是地球自转角速度（7.29×10-5 rad /s ）所产生的一些现象，如南北走向的铁路轨道的则压力问题，自由落体相对于铅垂线的偏离问题，洲际弹道导弹轨道的修正问题等，就必须把地球作为一个非惯性系考虑。

研究非惯性系中的质点动力学问题，一般有两种方法。一种是先用牛顿定律确定质点相对于惯性坐标系的运动，然后利用运动学的方法进行坐标变换，求得质点相对于非惯性系的运动。另一种方法是直接导出质点相对于非惯性参考系的相对运动微分方程，再进行求解。本节介绍后一种方法。

1非惯性系中质点相对运动动力学方程

设质量为m 的质点M 相对于一非惯性参系

''''z y x O 运动，而此坐标系又相对于一贯性参考

系Oxyz 运动，如图7-3所示。质点在两个参考系中的加速度分别是相对加速度a r 和绝对加速度a a ，F 表示作用在质点上的力，它与参考系的选取无关。在惯性参考系中牛顿定律成立，即有

F a =m (7.3.1)

由运动学可知，绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度和科氏加速度的矢量和，即

C r e a a a a ++=

(7.3.2)

式(7.3.2)代入式(7.3.1)，可以得到代入

)()(C e r a a F a m m m -+-+=

(7.3.3)

令

C C e e ,a F a F m m -=-=

图7-3 质点相对非惯性系运动

于是式(7.3.3)可写为与牛顿第二定律类似的形式

C e r F F F a ++=m

(7.3.4)

式（7.3.4）称为质点相对运动动力学方程。注意到F e 和F C 具有力的量纲， F e 称为牵连惯性力，F C 称为科里奥利力，简称科氏惯性力或科氏力。式（7.3.4）表明，当质点相对于非惯性系运动时，只要在作用于质点上的力之外增加牵连惯性力和科氏惯性力，则可按牛顿第二定律建立相对于非惯性系的动力学方程。 用复合运动的术语，把惯性参考系称为定参考系，非惯性参考系称为动参考系。以下讨论几种特殊情况。

(1) 动参考系相对定参考系作平移

此时科氏加速度a C = 0，所以科氏力F C = 0，方程（7.3.4）为

e r F F a +=m

(7.3.5)

(2) 动参考系相对定参考系作匀速直线平移

此时牵连加速度a e = 0，科氏加速度a C = 0，所以牵连惯性力F e = 0，科氏力F C = 0，方程（7.3.4）化为

F a =r m

(7.3.6)

式（7.3.6）与牛顿第二定律形式完全一致。这时质点的相对加速度等于绝对加速度。这说明，对于惯性参考系作惯性运动的动参考系也是一个惯性系，在所有惯性系中所发生的一切力学现象具有完全相同的规律性。 (3) 质点相对动参考系作匀速直线运动 此时相对加速度a r = 0，方程（7.3.4）化为

0C e =++F F F

(7.3.7)

这种情况称为相对平衡。式（7.3.7）给出了相对平衡的条件。 (4) 质点相对动参考系保持静止

此时相对加速度a r = 0，相对速度v r = 0，所以科氏加速度a C = 0。方程（7.3.4）化为

0e =+F F

(7.3.8)

这种情况称为相对静止。式（7.3.8）给出了相对静止的条件。

例7.3-1：高度为h 的车厢以匀加速度a 沿水平直线轨

道向右行驶，如图所示。求质量为m 的质点由车厢顶部M 0处自由下落的相对运动规律。

解：取动坐标系''''z y x O 固连在车厢上，则动系作直

线平移，a e = a ，a C = 0。质点在一般位置M 处所受到的外力和惯性力有，重力m g ，牵连惯性力F e = -m a ，相对于动坐标系运动动力学方程（7.3.4）简化为

例7.3-1图

e r F g a +=m m

(a)

把方程(a)向动坐标系投影，得相对运动微分方程

g z

a y x -='-='=' ,,0 (b)

质点相对运动的初始条件为，t = 0时

0,,0='='='='='='z y x

h z y x (c)

将(b)式积分，并利用初始条件(c)，可求得质点相对运动规律，即

222

1

,21,

0gt h z at y x -='-='='

消去时间t 得相对轨迹方程

y a

g h z '+

=' 此式表示质点的相对轨迹是向左倾斜的直线。

例7.3-2：水平圆盘绕A 轴以匀角速度ω转动。盘上有一光滑直槽，离A 的距离为s ，槽中放置一质量为m 的小球M ，如图所示。求：(1) 小球的相对运动规律，设初始时，小球离槽中心的距离为x 0，相对速度的大小为v 0；(2) 槽对小球的横向作用力。

解：取固连在圆盘上的动坐标系Oxy ，小球为所研究的质点，则牵连加速度为

j i a )()(22e s x ωω-+-=

(a)

因此牵连惯性力为

j i F )()(22e s m x m ωω+=

(b)

式中s 为小球到轴x 的距离，科氏力为

j i k F x m x

m ωω2)()(2c -=?-= (c)

设槽对质点的横向作用力为F = F j ，将动力学方程(7.3.4)在轴x , y 方向投影得

F x m x m x m x

m +-== ωωω20,22 (d)

在给定初始条件

00)0(,)0(v x

x x == (e)

下，从式(d)中前个微分方程可解出

t v t x x ωω

ωsinh cosh 0

0+

=

(f)

将上式代入式(d)中后个方程，导出横向作用力的大小为

例7.3-2图

t mv t x m s m F ωωωωcosh 2sinh 20022++-=

(g)

从式(7)可以看出，如果初始时刻x 0 = 0，v 0 = 0，那末x (t ) ≡ 0就是解，这说明小球停留在

槽的中点不动，处于一种相对静止状态。

2地球自转产生的影响

设自由质点的质量为m ，在地球表面北纬?的空域运

动，将动参考系固连在地球表面，轴x 指向东，轴y 指向北，轴z 指向天，简称东北天系，如图7-4所示。地球的自传角速度ω =7.29×10-5 rad /s, 其向量可表示成

k j ω?ω?ωsin cos += (7.3.9)

而科氏力为

r C 2v m ?-=ωF (7.3.10)

(7.3.8)

其中

k j i v z y x

++=r (7.3.11)

忽略空气阻力的影响，质点的相对运动动力学方程为

r 2v ωk a ?--=m mg m

(7.3.12)

在这里应该注意上式等号右端的第一项是表观重力，它是地球引力与牵连惯性力的矢量和。 取三个坐标轴的投影方程，消去m 后得

?ω?ω??ωcos 2,sin 2,)cos sin (2x g z

x y z y x +-=-=-= (7.3.11)

方程(7.3.11)称为自由质点相对运动动力学方程。以下利用数值解法求解两种问题。(1) 物

体自由下落，质量为10kg 的物体在北纬? = 45?，处于x 0 = 0, y 0 = 0, z 0 = 1000 m 的位置由静止自由下落。(2) 物体垂直上抛，质量为10 kg 的物体在北纬? = 45?，处于坐标原点以v = 150 m /s 的速度上抛。

(a)

图7-5 下落和上抛物体的运动

(b)

图7-4 东北天系

图7-5给出了两种状况的计算数值结果，其中虚线为下落物体的运动轨迹，实线为上抛物的运动轨迹。可以看出，下落物体偏东偏南，由于偏南量远远小于偏东量，所以称落体偏东。上抛物体偏西偏北，由于偏北量远远小于偏西量，所以称上抛物体偏西。

下落物体偏东和上抛物体偏西现象的直接解释是由于科氏力作用的结果，因为对于下落物体科氏力的作用方向是向东的，而对于上抛物体科氏力的作用方向是向西的，所以下落物体要东偏，上抛物体要西偏。

在北半球有很多河流是由北向南流动的，如果把河水作为讨论的质点，则河水在流动的过程中受到科氏力的作用向右偏移，所以河水对河右岸产生了较大的冲刷作用。类似的，南北向只沿单一方向运行的双轨铁道，右侧铁轨所受到的压力要大于左侧。

科氏力本身虽然很小，但由于长时间的作用，累积起来的效果就可以成为观察到的自然现象。