第一讲：凸函数与琴生不等式(带解答)

第一讲：凸函数与琴生不等式

一、函数的凹凸性：

定义：设连续函数()f x 的定义域为 (a ，b )，如果对于 (a ，b )内任意两数x 1，x 2，都有

1212()()

(

)22

x x f x f x f ++≤

①

则称()f x 为 (a ，b )上的下凸函数．

注：①若把①式的不等号反向，则称这样的()f x 为区间 (a ，b )上的上凸函数．（或凹函数） ②下凸函数的几何意义：过()y f x =曲线上的任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上 方（或曲线上）．

③()f x 的二阶导数''()0f x ≥，则()f x 为下凸函数；()f x 的二阶导数''()0f x ≤，则 ()f x 为上凸函数。

常见的上凸（凹）函数，0=sin ,=cos ,=ln sin ,=ln cos 2y x y x y x y x π⎡⎫⎪⎢

⎣

⎭

，上， 常见的（下）凸函数，[)231

0+=,=,=,=n n y x y x y x y x

∞，上， 二、琴生不等式性质：

若)(x f 在区间I 为下凸函数，则对I x x x n ∈,,,21K ，

总有n x f x f x f n x x x f n n )

()()()(

2121+++≤+++ΛΛ；

当且仅当1

2n x x x ===K 时取到等号。

若)(x f 在区间I 为上凸函数，则对I x x x n ∈,,,21K

，

总有

n

x f x f x f n x x x f n n )

()()()(

2121+++≥+++ΛΛ。

当且仅当12n x x x ===K 时取到等号。

三、加权形式：

[]()()()+121211221122R +++=1(),(++)+++;

n n n n n n a a a a a a f x a b f a x a x a x a f x a f x a f x ∈≤L L L L 对任意一列，，，，，函数是上的凸函数，有[]()()()+121211221122R +++=1(),(++)+++.

n n n n n n a a a a a a f x a b f a x a x a x a f x a f x a f x ∈≥L L L L 对任意一列，，，，，函数是上的凹函数，有

附：应用2

1

)(x x f =

，此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式 2

213

22221)

(111n n a a a n a a a +++≥+++ΛΛ，等号成立条件n a a a ===Λ21。 而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式，是利用调和平均和平方平均的关系，得到的

2

222

12221)111(n

n a a a n a a a +++≥+++ΛΛ，等号成立条件n a a a ===Λ21。

常用不等式：

121212121212++++++(t>1);

++++++(0

t t t n n t

t t t

n n n

n n

x x x x x x n n x x x x x x n n x x x x x x n ⎛⎫

≥ ⎪⎝⎭

⎛⎫

≤ ⎪⎝⎭

⎛⎫≥ ⎪⎝⎭

L L L L L L

例1 证明：(1) ()sin f x x =在[0)π，上是上凸函数

(2) ()lg g x x =在(0)+∞，上是上凸函数 (3) ()tan )2

h x x π

=在[0，上是下凸函数

证明：(1) 对12[0)x x π∀∈，，

121212121212()()1(sin sin )sin cos sin ()

222222

f x f x x x x x x x x x

x x f ++-++=+=≤=

(2) 对12[0)x x ∀∈∞，，+

121

2

lg lg lg 22

x x x x ++=≤ 即：

1212

()()()22

g x g x x x g ++≤．

(3) 当1202

x x π

≤<

，时

1212121212121212sin sin sin()2sin()

tan tan cos cos cos cos cos()cos()

x x x x x x x x x x x x x x x x +++=

+==++-

1212122sin()2tan cos()12x x x x x x ++≥

=++ （∵sin tan 1cos 2αα

α=+）

即：

1212()()()22

h x h x x x

h ++≥．

例2 设A B C 、、是锐角ABC ∆的三个内角，求证：3cos cos cos ;2

A B C ++≤

例3 a b c +

∈R ，，，且a + b + c = 3

9．

证明：

设()f x =，则()(0)f x ∞为，+上的凹函数．

由琴生：1[()()()]()(1)333

a b c

f a f b f c f f ++++≤==

∴ ()()()9f a f b f c ++≤．

例4 设A B C 、、是ABC ∆的三个内角，λ是非负常数，求

+的最大值。

例5 用琴生不等式证明均值不等式n n A G ≥，

即：12n i a a a a R n

++++∈≥L ，则

证：∵i a R +∈

设()lg f x x =，则()f x 为(0)+∞，上的上凸函数 由琴生不等式：

1

2121

(lg lg lg )lg n n a a a a a a n n

++++++≤L L

即

12n

a a a n

+++≤

L

例6 已知，120,(1,2,,)2,1i n x i n n x x x >=≥+++=L L ，，

求证：12111

(1)(1)(1)(1)n n n n n

n n x x x +

+++++≥+L

证：121111[(1)(1)(1)]n n n n n x x x ++++++≥Q

L