第一讲：凸函数与琴生不等式(带解答)
调和凸函数与琴生型不等式
调和凸函数与琴生型不等式
吴善和
【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2004(027)004
【摘要】类比凸函数的概念给出调和凸函数的定义和若干判定调和凸函数的方法,其中微分判别法是一种实用而有效的判定方法.建立关于调和凸函数的琴生型不等式,其形式上类似于凸函数的Jensen不等式,它在不等式研究中也有着广泛的应用价值,并利用它建立若干新不等式以及推广一些已有的不等式.
【总页数】5页(P382-386)
【作者】吴善和
【作者单位】龙岩学院,数学系,福建,龙岩,364012
【正文语种】中文
【中图分类】O178.1
【相关文献】
1.对数凸函数与琴生型不等式 [J], 吴善和
2.调和s-凸函数及其Jensen型不等式 [J], 宋振云
3.调和凸函数的调和平均型Hadamard不等式 [J], 宋振云
4.GA-凸函数与琴生型不等式 [J], 吴善和
5.平方凸函数与琴生型不等式 [J], 吴善和
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琴生不等式【学生版】
自招竞赛 数学讲义琴生不等式和幂平均不等式不等式问题在高考中较为简单，但是在自招和竞赛中，是非常重要且富于变化的一类问题。
在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大华约中，不等式部分通常占10%-15%，其中还会涉及到一些考纲之外的特殊不等式。
本节介绍了琴生不等式以及它的一些简单推论诸如加权琴生和幂平均不等式，希望借助这些补充知识给同学们解决不等式问题提供一个思考的方向。
琴生不等式1. 凸函数的定义：设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数； 反之，若有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。
常见的下凸（凸）函数有x y a =，[0,)2π上的tan y x =，R +上的2y x =，3y x =等常见的上凸（凹）函数有[0,)2π上的sin y x =，cos y x =，R +上的ln y x =等2. 琴生(Jensen)不等式若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则1212()()()()n n x x x f x f x f x f n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤上式等号在12...n x x x ===时取到反之显然：若()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数，则上式不等号反向 琴生(Jensen)不等式证明（数学归纳）：1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设n k =时命题成立，即1212()()()()k k x x x f x f x f x f k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤那么当1n k =+时，设12111k k x x x A k ++++⋅⋅⋅+=+，1211111(1)(1)(1)()()()22k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++⋅⋅⋅++-+++-==11111()(1)()(1)()11[()()][]22ki k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k++=+++-+-≤+≤+∑所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++⋅⋅⋅+++-所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++⋅⋅⋅++，变形即得证。
凸函数与琴生不等式拉格朗日中值定理
凸函数与琴生不等式一．知识部分知识一、凸函数的概念①第一定义： 函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上满足：任意两点之间的弦都在这两点之间曲线 的弧的上方，则称函数)(x f y =在区间],[b a 上是凸的。
②第二定义（几何意义）：函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上任意两点),(),,(2211y x y x 连线的中点 )2)()(,2(2121x f x f x x ++一定在曲线弧的中间点))2(,2(2121x x f x x ++的上方，则称函数 )(x f y =在区间],[b a 上是凸的。
此定义说明函数在区间上的凸性与不等式)2(2)()(2121x x f x f x f +≥+的成立是等价的 推广1. 任意],[,,,21b a x x x n ∈ ，有)()()()(2121nx x x f n x f x f x f nn +++≥+++ 推广2（琴生不等式） 对任意一列1,,,,2121=+++∈+n n a a a R a a a ，函数)(x f 是],[b a 上的凸函数，有)()()()(22112211n n n n x f a x f a x f a x a x a x a f +++≤+++说明：此时凸函数)(x f y =也指函数)(x f y =在区间],[b a 上是下凸函数知识二、凹函数的概念①第一定义： 函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上满足：任意两点之间的弦都在这两点之间曲线的弧的下方，则称函数)(x f y =在区间],[b a 上是凹的。
②第二定义（几何意义）：函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上任意两点),(),,(2211y x y x 连线的中点 )2)()(,2(2121x f x f x x ++一定在曲线弧的中间点))2(,2(2121x x f x x ++的下方，则称函数 )(x f y =在区间],[b a 上是凹的。
凸函数与琴生不等式
2(x y)( y z)
(x y)( y z)
2 x yz
同理 sin B 2
y
xz xz
， sin
C 2
xy z xy
由 y sin x 为 (0, ) 上的上凸函数，得
6
sin
A 2
sin
B 2
sin
C 2
sin
A
BC
sin
3
6
6
即 yz xz xy sin A sin B sin C 3sin 3
只须构造 (0,) 上的上凸函数 y ln x ，则有
2
ln a1 ln a2 ln an ln(a1 a2 an )
n
n
ln n
a1a2 an
ln( a1 a2
an ) n
n
a1a2 an
( a1 a2
an ) （证毕） n
例
4. xi
(0,
2
), (i
1,2n)
cos x1 cosx2 cos xn (cos
构造 (0, ) 上的辅助函数 y
x1 ln
求证：
x2 n
cos x
xn
)
n
2
函数 y ln cos x 在 (0, ) 上是否是凸函数，可看其二阶导数：y sec2x 0
2
所以， y ln cos x 在 (0, ) 上是上凸函数， 2
22
提示：构造 R+上的辅助函数 f (x) x ，则
tan B tan C tan C tan A tan A tan B
22
22
22
3 1 tan B tan C tan C tan A tan A tan B
GA凸函数与琴生型不等式
凸函数( 定理 +" 若 ! （ （ 2 ) %， !， …， 3）是区间 # * 2 "） （ # ，$ $ ）上 的 &’ % 下 凸 （ 上 凸 ）函 数，则
3
（ （ 上凸）函数( ! " 2 " ）是 # 上的 &’ % 下凸 2 )% 证明： 任取 "% ， "! + # ， 因为 ! （ （ 2 ) %， !， …， 2 "） 3）为 # 上的 &’ % 下凸函数， 所以对任意 1 +（ # ， %） ， 有
1 % %1 （ "% ） ， （ "! ） ， （ "% "! ） ， 1! （ "% ） $ （ % % 1 ） ! ! ! （ "! ）+ / * #； ! （ "）为 . 上的 &’ % 下凸函数， 0 ) 根据 - ) ! （ ! -）为 # 上严格增加的下凸函数， 得 1 % %1 （ ! ! （ "% "! ） ）,（ ! 1! （ "% ）$ （ % % 1） （ "! ） ）, !
!" A #$%&’( )*%#+,$% -%. /’%0’% +12’ ,%’3*-4,+1 G4 :1+*H16
（ I6J+)836*8 ’- >+8163+8/;7， K’*L9+* M’,,6L6， K’*L9+*， N(O/+* CD$#?" ， M1/*+）
"50+6-#+：P* 81/7 J+J6)，.B A ;’*56Q -(*;8/’* /7 R6-/*6R，+*R 7’36 3681’R7 ’- R/78/*L(/71/*L .B A ;’*56Q -(*;8/’* +)6 L/56*= S16* T6 678+U,/71 816 &6*76* 89J6 /*6V(+,/89 -’) .B A ;’*56Q -(*;8/’*= B7 /87 +JJ,/;+8/’*7，T6 +)6 *’8 ’*,9 +U,6 8’ /3J)’56 + *(3U6) ’- /*6V(+,/8/67 U(8 +,7’ R/7;’56) 7’36 *6T ’*67= 7’1 8$6.0：;’*56Q -(*;8/’* ； .B A ;’*56Q -(*;8/’* ； /*6V(+,/89； &6*76* 89J6 /*6V(+,/89； +JJ,/;+8/’* ! ! 在不等式研究中， 凸函数所发挥的作用是无可 ［ ? W %］ 替代的 ， 本文给出 .B A 凸函数的定义、 判定方 法以及 .B A 凸函数在不等式研究中的一些应用= 定义 ?! 设（ ! "）是定义在区间 # * （ # ，$ X ） 上的函数， 如果对于任意 "? ， "" + # 和 % + （#， ?） ， 有
凸函数
§3.2.6如果任取曲线上两点，则两点构成的都在此曲线弧的上方，我们称这样的曲线对应的函数为凸函数，如图21便是凸函数的图像，严格定义的话，如果D 是一个实轴上的区间，或者更为一般的向量空间上的凸集，则函数:f D R →是凸函数，如果其满足：()()()()1()1f x y f x f x λλλλ+-≤+-，对所有(),,0,1x y D λ∈∈这里我们注意集合D 叫做凸集，如果对于任意,x y D ∈和()0,1λ∈，()1x y λλ+-也在D 中，其几何意义是D 是这些半空间的交点。
如果f -是凸函数，则f 叫做凹函数，如果f 既凸又凹，则f 是一条直线。
例如：()f x ax b =+，,a b 是常数。
定理：函数f 在(),a b 内二阶可导，f 是凸函数当且仅当()''0f x ≥ 一般地，定义在n 维实空间上的凸环上的二阶可导函数是凸的，如果它的海塞矩阵是半正定型的，对于()12,,n f x x x 。
若f 所有的二阶导数都存在，那么f 的海塞矩阵即()22221121222221222222120n n n n n ff f x x x x x f f f H f x x x x x f f f x x x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥=≥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦，这是对坐标的求模的一种说法，在f的每一点都有形式22121212(,,)(,,)n n k f x x x x x x x xx φ=+++ ，这里k n ≤，12(,,)n x x x φ 是线性的。
作为凸函数的应用，我们利用其性质来证明Holder 不等式。
Holder 不等式：如果()():0,,l n f R f x x+∞→=，其中1212,,,,,n n x x x y y y p q 都是正数，且111p q+=，则11111nnnpqp q i i i i i i i x y x x ===⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当两向量12(,)n x x x 和12(,)n y y y 共线。
琴生不等式及不等式综合(教师)
第四章 琴生不等式一、函数的凹凸性：定义：设连续函数()f x 的定义域为 (a ，b )，如果对于 (a ，b )内任意两数x 1，x 2，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤①则称()f x 为 (a ，b )上的下凸函数．注：1．若把①式的不等号反向，则称这样的()f x 为区间 (a ，b )上的上凸函数．（或凹函数）2．下凸函数的几何意义：过()y f x =曲线上的任意两作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）．二、琴生不等式：若()f x 是区间 (a ，b ) 上的凸函数，则对任意的点x 1，x 2，…，x n ∈(a ，b )，有12121()[()()()]nn x x x f f x f x f x nn+++≤+++取“=”条件：x 1 = x 2 = … = x n 证明：注：更一般的情形：设()f x 是定义在区间 (a ，b ) 上的函数，如果对于(a ，b )上任意两点x 1，x 2，有 1212()()()pf x pf x f px qx +≥+（其中1p q R p q +∈+=，，），则称()f x 是(a ，b ) 上的下凸函数．其推广形式，即加权的琴生不等式：设12121n n q q q R q q q +∈+++=，，，，且，若()f x 是区间 (a ，b ) 上的下凸函数，则对任意的x 1，x 2，…，x n ∈(a ，b )有11221122()()()()n n n n f q x q x q x q f x q f x q f x +++≤+++．取“=”条件：12n x x x ===说明：以上各不等式反向，即得凹函数的琴生不等式． 例1 证明：(1) ()sin f x x =在[0)π，上是上凸函数(2) ()lg g x x =在(0)+∞，上是上凸函数 (3) ()tan )2h x x π=在[0，上是下凸函数证明：(1) 对12[0)x x π∀∈，，121212121212()()1(sin sin )sin cos sin ()222222f x f x x x x x x x x xx x f ++-++=+=≤=(2) 对12[0)x x ∀∈∞，，+1212lg lg lg 22x x x x++=≤ 即：1212()()()22g x g x x xg ++≤．(3) 当1202x x π≤<，时1212121212121212sin sin sin()2sin()tan tan cos cos cos cos cos()cos()x x x x x x x x x x x x x x x x +++=+==++-1212122sin()2tan cos()12x x x x x x ++≥=++ （∵sin tan 1cos 2ααα=+）即：1212()()()22h x h x x xh ++≥．例2 用琴生不等式证明均值不等式n n A G ≥，即：12nn i a a a a R n++++∈≥，则证：∵i a R +∈设()lg f x x =，则()f x 为(0)+∞，上的上凸函数 由琴生不等式：12121(lg lg lg )lg nna a a a a a n n ++++++≤即12na a a n+++≤例3 a b c+∈R ，，，且a + b + c = 39．证明：设()f x =()(0)f x ∞为，+上的凹函数．由琴生：1[()()()]()(1)333a b cf a f b f c f f ++++≤==∴ ()()()9f a f b f c ++≤．例4 ()f x 定义在 (a ，b ) 上，()f x 在 (a ，b ) 上恒大于0，且对12()x x a b ∈，，有21212()()[()]2x x f x f x f +≥． 求证：当12()n x x x a b ∈，，，时，有1212()()()[()]n nn x x x f x f x f x f n+++≥．证明：由题：对12()x x a b ∀∈，，，有21212()()[()]2x x f x f x f +≥，两边取常对： 则有1212lg ()lg ()2lg ()2x x f x f x f ++≥ 即1212lg ()lg ()lg ()22f x f x x xf ++≥于是：令()lg ()g x f x =，则()g x 为(a ，b ) 上的凸函数 由琴生不等式：对12()n x x x a b ∈，，，，有1212lg ()lg ()lg ()lg ()n nf x f x f x x x x f n n ++++++≥即1212()()()[()]n nn x x x f x f x f x f n+++≥．三个重要的不等式强化练习 （均值、柯西、排序不等式）1． 用柯西不等式证明：若(1)i a R i n +∈=，求证：21212111()()n na a a na a a ++++++≥． 证：由柯西222222212()][()()()]n na n a a a ++++++≥．2． 设1211i n a R i n a a a +∈=+++=，，且．求证：222221212111(1)()()()n n n a a a a a a n+++++++≥证明：由柯西：22221111111111()1[1()][][11]nnnn nnii ii i i i i i i i i ia a a a a a a ======+≥+=+=+∑∑∑∑∑∑ 222111[1](1)nnii i ia n a ===+≥+∑∑ ∴ 222111()(1)ni i i a n a n=+≥+∑． 3． 设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相等的正整数．证明：32122211112323na a a a n n++++≤++++． 证明：设b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的一个排序，且b 1 < b 2 < … < b n又由于221112n <<<，由排序不等式 1212222211111122nnb b b a a a n n +++≤+++ ① (反序和) (乱序和)另一方面，∵ 1212n b b b n ≥≥≥，，， ∴ 212211122nb b b n n +++≤+++② 由①②知：212211122na a a n n +++≤+++ 其中，a k = b k = k 时，取“=”号．4． 若a b c R +∈，，，求a b cb c c a a b+++++的最小值． 解：不妨设111a b c b c c a a b≥≥≥≥+++，则 由排序不等式，有a b c b c ab c c a a b b c c a a b++≥++++++++（同≥乱） a b c c a bb c c a a b b c c a a b ++≥++++++++（同≥乱） 两式相加，可得32a b c b c c a a b ++≥+++ 当且仅当a = b = c 时取“=”号．。
第一讲-琴生不等式、幂平均不等式
高二数学竞赛班二试讲义 第一讲 琴生不等式、幂平均不等式班级 姓名一、知识要点：1．琴生不等式凸函数的定义：设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数； 反之，若有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。
琴生(Jensen)不等式（1905年提出）：若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则1212()()()()n n x x x f x f x f x f n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤（想象n 边形的重心在图象的上方，n 个点重合时“n 边形”的重心在图象上） 琴生(Jensen)不等式证明：1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设n k =时命题成立，即1212()()()()k k x x x f x f x f x f k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤那么当1n k =+时，设12111k k x x x A k ++++⋅⋅⋅+=+，1211111(1)(1)(1)()()()22k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++⋅⋅⋅++-+++-==11111()(1)()(1)()11[()()][]22ki k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k++=+++-+-≤+≤+∑所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++⋅⋅⋅+++-所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++⋅⋅⋅++，得证 2．加权平均琴生(Jensen)不等式： 若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数， 且11,0n iii λλ==>∑，则11(()()n ni iiii i f x f x λλ==≤∑∑ 3．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I 内具有二阶导数， （1）如果对任意x∈I,()0f x ''>，则曲线y=f(x)在I 内是下凸的； （2）如果对任意x∈I,()0f x ''<，则y=f(x)在I 内是上凸的。
琴生不等式的加权形式证明
f (1 x1 2 x2 n1 xn1 n xn 1 f x1 2 f x2 n 1 f xn 1 n f xn
三、 证明（构造函数用中值定理证明）
1.
将用到的结论：拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理： f x
2/3
2014.10.12
mf 1 x1 2 x2 k 1 xk 1 k xk k 1 f xk 1 m1 f x1 m2 f x2 mk 1 f xk 1 mk f xk k 1 f xk 1 =1 f x1 2 f x2 k f xk k 1 f xk 1
f 1 x1 2 x2
f x2 f x1 1 x1 2 x2 x1 f x1 x2 x1
=
f x2 f x1 2 x2 2 x1 f x1 =2 f x2 2 f x1 f x1 =1 f x1 2 f x2 x2 x1
．．．．．
f (1 x1 2 x2 n1 xn1 n xn ) 1 f x1 2 f x2 n1 f xn1 n f xn
i. 当n 2 时 由于 1 2 =1 ，且 1 0 、 2 0 ， 1 x1 2 x2 x1 , x2 由①中的中间结论：
2014.10.12
琴生不等式（Jensen Inequality）证明
——琴生不等式的加权形式证明
成都石室中学 蒋宗汛
一、 大前提
f x 在 x1 , xn 上连续， f x 在 x1 , xn 上可导（充分不必要条件）
函数的凸性及相关性质
函数的凸性及相关性质设f 是定义在区间I 上的函数，若对I 上任意两点12,x x 和任意实数(0,1)λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-则称f 为区间I 上的凸函数或下凸函数。
上述不等式表明弧在弦下，故曰下凸。
性质 1. f 为区间I 上的凸函数的充要条件是对于I 上任意三点123x x x <<，总有下述不等式成立。
313221213132()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---根据这一性质，若函数f 即是凸函数又是凹函数，则不等式变为等式，立即可得f 是一线性函数。
性质2. 开区间上的凸函数必是连续函数。
证明 记开区间为(,)a b ，任取0(,)x a b ∈，不妨设10x x x <<，根据性质1的第一个不等式得到[]001001()()()()x x f x f x f x f x x x --+≤-，又取02x x x <<，根据性质1的第二个不等式得到02022020()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤+--。
结合这两个不等式得[]00201002012020()()()()()()x x x x x x f x f x f x f x f x f x x x x x x x ----+≤≤+---两边同时令0x x +→，得00lim ()()x x f x f x +→=，即()f x 在0x 右连续。
同理可证()f x 在0x 左连续。
0x 是任意取的，所以()f x 在(,)a b 内连续。
【注】这一结论在闭区间上有可能不再成立，在开区间上也无法加强为一致连续。
性质3. （詹森不等式）设f 为区间I 上的凸函数，则对于任意i x I ∈，0i λ>，11ni i λ==∑有11()n ni i ii i i f x f x λλ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑性质4. 设f 为区间I 上的凸函数，则函数()(0)()f x f F x x-=单调递增。
琴声平均不等式证明
琴声平均不等式证明一、啥是琴声不等式呢。
这个琴声不等式呀，就像是数学世界里一个很有趣的小宝藏。
它在不等式的大家庭里可是有着独特的地位呢。
简单来说呢，它是一种关于凸函数的不等式。
你想啊，凸函数就像是一座小山丘，有它独特的形状和性质，而琴声不等式就是能把这个小山丘的一些特性用数学式子表达出来的奇妙东西。
二、证明之前的小准备。
咱得先知道一些关于凸函数的知识。
凸函数就像是一个很友好的家伙，它有个很明显的特点。
比如说，你在它的图像上随便取两个点，然后连接这两个点得到一条线段，你会发现这个凸函数的图像总是在这条线段的下方（对于下凸函数来说哈）。
这就好像是这个函数特别谦虚，总是弯着腰，不愿意跑到线段上面去。
这一点在证明琴声不等式的时候可重要啦。
三、开始证明啦。
咱们假设函数f(x)是一个凸函数哦。
然后呢，我们有一组数x₁，x₂，…，x ₙ，还有对应的一组权重λ₁，λ₂，…，λₙ，这里面每个λ都在0到1之间，而且它们加起来等于1。
我们可以想象把这些x值看作是一个个小站在数轴上。
那f(x)在这些小站的值就像是每个小站的独特风景。
现在我们来看这个式子：f(λ₁x₁ + λ₂x₂+…+λₙxₙ) ≤λ₁f(x₁)+λ₂f(x₂)+…+λₙf(xₙ)。
怎么证明这个式子呢？咱们可以用数学归纳法。
当n = 2的时候呢，因为f(x)是凸函数，根据凸函数的定义，对于任意的x₁和x₂，以及0 < λ < 1，我们有f(λx₁+(1 - λ)x₂) ≤λf(x₁)+(1 - λ)f(x ₂)。
这就像是我们先搭好了两块小积木，很稳当的两块哦。
假设这个式子对于n = k的时候成立，也就是说f(λ₁x₁ + λ₂x₂+…+λₙx ₙ) ≤λ₁f(x₁)+λ₂f(x₂)+…+λₙf(xₙ)，这里面λ₁+λ₂+…+λₙ = 1。
当n = k + 1的时候呢，我们可以把λ₁x₁ + λ₂x₂+…+λₙ₊₁xₙ₊₁写成(1 - λₙ₊₁)(λ₁'x₁ + λ₂'x₂+…+λₙ'xₙ)+λₙ₊₁xₙ₊₁，这里面λ₁' = λ₁/(1 - λₙ₊₁)，λ₂' = λ₂/(1 - λₙ₊₁)，…，λₙ' = λₙ/(1 - λₙ₊₁)，而且λ₁'+λ₂'+…+λₙ' = 1。
琴生不等式
琴生（Jensen）不等式：（注意前提、等号成立条件）设f(x)为凸函数，则f[(x1+x2+……+x n)/n]<=[f(x1)+f(x2)+……+f(x n)]/n(下凸);f[(x1+x2+……+x n)/n]>= [f(x1)+f(x2)+……+f(x n)]/n (上凸),称为琴生不等式（幂平均）。
加权形式为：f[(a1x1+a2x2+……+a n x n)]<=a1f(x1)+a2f(x2)+……+a n f(x n)(下凸);f[(a1x1+a2x2+……+a n x n)]>=a1f(x1)+a2f(x2)+……+a n f(x n)(上凸),其中a i>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+a n=1.凸函数的概念：【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或下凸函数。
【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2<=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数，或上凸函数。
同样，如果不等式中等号只有x1=x2时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数琴生不等式说，对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,x n,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(x n))/n>=f((x1+x2+...+x n)/n) 对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,x n,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(x n))/n<=f((x1+x2+...+x n)/n) 如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有x1=x2=...=x n才成立。
詹森不等式-详解
詹森不等式-详解詹森不等式（Jensen's inequality），也译为延森不等式、琴生不等式目录• 1 詹森不等式简介• 2 詹森不等式的一般形式o 2.1 测度论的版本o 2.2 概率论的版本• 3 詹森不等式的特例o 3.1 机率密度函数的形式o 3.2 有限形式o 3.3 统计物理学• 4 参考文献詹森不等式简介詹森不等式以丹麦数学家约翰·詹森（Johan Jensen）命名。
它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。
Jensen's inequality generalizes the statement that a secant line of a convex function lies above the graph.詹森不等式的一般形式詹森不等式可以用测度论或概率论的语言给出。
这两种方式都表明同一个很一般的结果。
假设μ是集合Ω的正测度，使得μ(Ω) = 1。
若g是勒贝格可积的实值函数，而是在g的值域上定义的凸函数，则。
以概率论的名词，μ是个概率测度。
函数g换作实值随机变量X（就纯数学而言，两者没有分别）。
在Ω空间上，任何函数相对于概率测度μ的积分就成了期望值。
这不等式就说，若是任一凸函数，则。
詹森不等式的特例假设Ω是实数轴上的可测子集，而f(x)是非负函数，使得。
以概率论的语言，f是个机率密度函数。
詹森不等式变成以下关于凸积分的命题：若g是任一实值可测函数，φ在g的值域中是凸函数，则。
若g(x) = x，则这形式的不等式简化成一个常用特例：。
若Ω是有限集合，而μ是Ω上的正规计数测度，则不等式的一般形式可以简单地用和式表示：，其中。
若φ是凹函数，只需把不等式符号调转。
假设是正实数，g(x) = x，λi = 1 / n及。
上述和式便成了，两边取自然指数就得出熟悉的平均数不等式：。
这不等式也有无限项的离散形式。
统计物理学中，若凸函数是指数函数，詹森不等式特别重要：，其中方括号表示期望值，是以随机变量X的某个概率分布算出。
2012高中数学竞赛——凸函数与琴生不等式
高中数学竞赛选讲——凸函数与琴生不等式作者 阿道夫 2012.10.121.定义：设()f x 在区间I 上有定义,如果对任意I x x ∈21,和实数)1,0(∈λ总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+- (1)成立，则称()f x 在区间I 上为下凸函数。
如果12x x ≠，（1）式严格不等式成立，则称()f x 在间区I 上为严格下凸函数。
若（1）式中不等号反向，则称()f x 在区间I 上为上凸函数。
1）.从图像上认识、理解，几何意义。
弦的中点总在曲线上或一侧。
凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。
简记为：形状凹下凸2）.从导数的角度来理解。
凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而增大； 凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而减小；简记为：斜率凹增凸减。
3）.正项函数的变形。
)()()()(2121nx x x f x f x f x f nn +++≥ （取对数的结果） ….奥数教程中的练习题3.4）.琴生不等式：(琴生（Jensen ）不等式)若f 为],[b a 上凸函数，则对任意,1),,,2,1(0],,[1∑===>∈ni i i i n i b a x λλ 有 .)(11∑∑==≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i i n i i i x f x f λλ证 应用数学归纳法，当2=n 时，由定义1命题显然成立，设k n =时命题成立，即对任意],[,,,21b a x x x k ∈ 及∑===>ki ii k i 11,,,2,1,0αα ，都有∑∑==≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ki i i k i i i x f x f 11).(αα 现设],[,,,,121b a x x x x k k ∈+ 及∑+==+=>111),1,,2,1(0k i i i k i λλ令,,,2,1,11k i k ii =-=+λλα则∑==ki i 11α由数学归纳法假设可推得)(112211++++++k k k k x x x x f λλλλ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++-++++111221111)1(k k k kk k x x x x f λλλλλλ )()()1(1122111+++++++-≤k k k k k x f x x x f λαααλ[])()()()()1(1122111+++++++-≤k k k k k x f x f x f x f λαααλ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+--=++++)(1)(1)(1)1(12121111k k k k k k x f x f x f λλλλλλλ∑+=++=+1111)()(k i i i k k x f x f λλ。
函数凸凹性与琴生不等式在导数问题中的应用
函数凸凹性与琴生不等式在导数问题中的应用
李震南
【期刊名称】《中国校外教育（基教版）》
【年(卷),期】2017(000)009
【摘要】众所周知,琴生不等式在证明不等式中发挥了巨大的作用.它实质上就是对凸函数性质的应用,它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系,能够很好的为高中数学压轴证明题服务.本文首先详细阐述了函数凹凸性与琴生不等式的定义与性质,通过一道压轴数学证明题详细阐明了琴生不等式在不等式证明中的应用,并做出了总结.
【总页数】2页(P45-46)
【作者】李震南
【作者单位】湖北省荆门市龙泉中学
【正文语种】中文
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第一讲：凸函数与琴生不等式一、函数的凹凸性：定义：设连续函数()f x 的定义域为 (a ，b )，如果对于 (a ，b )内任意两数x 1，x 2，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤①则称()f x 为 (a ，b )上的下凸函数．注：①若把①式的不等号反向，则称这样的()f x 为区间 (a ，b )上的上凸函数．（或凹函数） ②下凸函数的几何意义：过()y f x =曲线上的任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上 方（或曲线上）．③()f x 的二阶导数''()0f x ≥，则()f x 为下凸函数；()f x 的二阶导数''()0f x ≤，则 ()f x 为上凸函数。
常见的上凸（凹）函数，0=sin ,=cos ,=ln sin ,=ln cos 2y x y x y x y x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上， 常见的（下）凸函数，[)2310+=,=,=,=n n y x y x y x y x∞，上， 二、琴生不等式性质：若)(x f 在区间I 为下凸函数，则对I x x x n ∈,,,21K ，总有n x f x f x f n x x x f n n )()()()(2121+++≤+++ΛΛ；当且仅当12n x x x ===K 时取到等号。
若)(x f 在区间I 为上凸函数，则对I x x x n ∈,,,21K，总有nx f x f x f n x x x f n n )()()()(2121+++≥+++ΛΛ。
当且仅当12n x x x ===K 时取到等号。
三、加权形式：[]()()()+121211221122R +++=1(),(++)+++;n n n n n n a a a a a a f x a b f a x a x a x a f x a f x a f x ∈≤L L L L 对任意一列，，，，，函数是上的凸函数，有[]()()()+121211221122R +++=1(),(++)+++.n n n n n n a a a a a a f x a b f a x a x a x a f x a f x a f x ∈≥L L L L 对任意一列，，，，，函数是上的凹函数，有附：应用21)(x x f =，此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式 221322221)(111n n a a a n a a a +++≥+++ΛΛ，等号成立条件n a a a ===Λ21。
而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式，是利用调和平均和平方平均的关系，得到的222212221)111(nn a a a n a a a +++≥+++ΛΛ，等号成立条件n a a a ===Λ21。
常用不等式：121212121212++++++(t>1);++++++(0<t<1);+++tt t t n n tt t tn n nn nx x x x x x n n x x x x x x n n x x x x x x n ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭⎛⎫≤ ⎪⎝⎭⎛⎫≥ ⎪⎝⎭L L L L L L例1 证明：(1) ()sin f x x =在[0)π，上是上凸函数(2) ()lg g x x =在(0)+∞，上是上凸函数 (3) ()tan )2h x x π=在[0，上是下凸函数证明：(1) 对12[0)x x π∀∈，，121212121212()()1(sin sin )sin cos sin ()222222f x f x x x x x x x x xx x f ++-++=+=≤=(2) 对12[0)x x ∀∈∞，，+1212lg lg lg 22x x x x ++=≤ 即：1212()()()22g x g x x x g ++≤．(3) 当1202x x π≤<，时1212121212121212sin sin sin()2sin()tan tan cos cos cos cos cos()cos()x x x x x x x x x x x x x x x x +++=+==++-1212122sin()2tan cos()12x x x x x x ++≥=++ （∵sin tan 1cos 2ααα=+）即：1212()()()22h x h x x xh ++≥．例2 设A B C 、、是锐角ABC ∆的三个内角，求证：3cos cos cos ;2A B C ++≤例3 a b c +∈R ，，，且a + b + c = 39．证明：设()f x =，则()(0)f x ∞为，+上的凹函数．由琴生：1[()()()]()(1)333a b cf a f b f c f f ++++≤==∴ ()()()9f a f b f c ++≤．例4 设A B C 、、是ABC ∆的三个内角，λ是非负常数，求+的最大值。
例5 用琴生不等式证明均值不等式n n A G ≥，即：12n i a a a a R n++++∈≥L ，则证：∵i a R +∈设()lg f x x =，则()f x 为(0)+∞，上的上凸函数 由琴生不等式：12121(lg lg lg )lg n n a a a a a a n n++++++≤L L即12na a a n+++≤L例6 已知，120,(1,2,,)2,1i n x i n n x x x >=≥+++=L L ，，求证：12111(1)(1)(1)(1)n n n n nn n x x x ++++++≥+L证：121111[(1)(1)(1)]n n n n n x x x ++++++≥QL12111(1)(1)(1)nx x x =+++L例7 已知：120,(1,2,,)2,1i n x i n n x x x >=≥+++=L L ，，求证：12121n x x x n x x x n≥L .例8 设,i i a b 均大于0，1,2,3,,.i n =L证明：11111()()nnnpq pqi i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑，其中1p >，且111p q+=. 例9 30P ABC PAB PBC PCA ∆∠∠∠︒若为内任一点，求证、、中至少有一个小于或等于；2''';sin sin 'sin sin 'sin sin sin sin 'sin 'sin 'sin sin '(sin sin sin )sin sin sin sin 'sin 'sin 'PAB PBC PCA PAC PBA PCB PA PB PB PC PC PA αβγαβγαββγαβγαβγγααβγαβγαβγ∠=∠=∠=∠=∠=∠==⎫⎪=⇒=⎬⎪=⎭∴=证：设、、，且、、依正弦定理有：nn x x x x x x x x x x x x x x x n n n nnn nn n 111)1(1)]11()11)(11[(212121121121=+++≤+=+≥+++∴ΛΛΘΛΛΛ又n n nn n n nn n n n x x x n x x x nx x x )1()11()11()11()1()11()11)(11(1)]11()11)(11[(2121121+≥+++++++≥+++∴+≥+++∴ΛΛΛ);)(1)]1()1)(1[((1221112211nnn nn n a b a ba b a b a b a b ΛΛ+≥+++利用结论：666)1()'''(sin )6'sin 'sin 'sin sin sin sin (=+++++≤+++++≤γβαγβαγβαγβα︒<︒≥︒≤∴≤∴≤∴30150,3021sin ,)21(sin sin sin 3γγβαααγβαγβα中必有一个满足、时，否则中必有一个角满足、、在 例10 （2011, 湖北）（Ⅰ）已知函数()()ln 1,0,f x x x x =-+∈+∞求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）设(),1,2,,k k a b k n =L 均为正数，证明：（i ）若112212n n n a b a b a b b b b +++≤+++L L ，则12121nb b bn a a a ≤L（ii ）若121n b b b +++=L ，则1222212121n b b b n n b b b b b b n≤≤+++L L 。
解：（Ⅰ）()f x max =f (1)=0 （Ⅱ）证明（i ）令g(x )=lnx (x>0), 则g ”(x )=210,x-<∴g (x ) 在（0，+∞）上是凹函数，对于∀a k ∈(0, +∞), (k=1,2,…，n)，由琴生不等式：111111ln ln()ln10()nnkkkknnk k k k k nnk k kkk k ba ba ab b bb======•≤≤=≤∑∑∑∑∑∑Q11ln 01knnk k k k k b b a =+∴•≤≤∑∏故a(ii) 由(i)知，g(x)=lnx 在()0,+∞ 上是凹函数，由琴生不等式：10 对于∀b k ∈(0,1), 且11nkk b==∑22111111ln ln()k nnk kknn b k k k k nnk k kkk k b b bb b bb======•≤⇒≤∑∑∑∏∑∑ （*）k 111111112b ,(0,),111ln 1ln()ln ,ln ln n n1(**)kk nk k k nnk kk k k k nn n b kk k k k k nb k k b b b b b bbb b b n=======∈+∞=⋅≤=≤≥∑∑∑∑∑∏∏对于且从而故ln例11 (2012，湖北22题)（Ⅰ）已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->，其中r 为有理数，且01r <<. 求()f x 的最小值；（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设120,0a a ≥≥，12,b b 为正有理数. 若121b b +=，则12121122b b a a a b a b ≤+； （Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题. 注：当α为正有理数时，有求导公式1()x x ααα-'=. 解析： (1)(I)()min 0f x f ==（II ） 证明：令g(x)=lnx(x>0), 则g(x) 在(0,)+∞上为凹函数（1题已证）10 当1a ，2a 中至少有一个为0时，则12121122b b a a a b a b ≤+成立； 20 若1a ，2a >0时，由琴生不等式：112211221212ln ln ln()b a b a a b a bb b b b ++≤++Q 121b b += ∴ln 1212121122121122ln ln()b b b b a a a b a b a a a b a b ≤+⇒≤+ 综上，原不等式成立。