第一讲：凸函数与琴生不等式(带解答)

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琴生不等式【学生版】

自招竞赛数学讲义琴生不等式和幂平均不等式不等式问题在高考中较为简单，但是在自招和竞赛中，是非常重要且富于变化的一类问题。

在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大华约中，不等式部分通常占10%-15%，其中还会涉及到一些考纲之外的特殊不等式。

本节介绍了琴生不等式以及它的一些简单推论诸如加权琴生和幂平均不等式，希望借助这些补充知识给同学们解决不等式问题提供一个思考的方向。

琴生不等式1. 凸函数的定义：设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数；反之，若有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。

常见的下凸（凸）函数有x y a =，[0,)2π上的tan y x =，R +上的2y x =，3y x =等常见的上凸（凹）函数有[0,)2π上的sin y x =，cos y x =，R +上的ln y x =等2. 琴生(Jensen)不等式若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则1212()()()()n n x x x f x f x f x f n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤上式等号在12...n x x x ===时取到反之显然：若()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数，则上式不等号反向琴生(Jensen)不等式证明（数学归纳）：1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设n k =时命题成立，即1212()()()()k k x x x f x f x f x f k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤那么当1n k =+时，设12111k k x x x A k ++++⋅⋅⋅+=+，1211111(1)(1)(1)()()()22k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++⋅⋅⋅++-+++-==11111()(1)()(1)()11[()()][]22ki k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k++=+++-+-≤+≤+∑所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++⋅⋅⋅+++-所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++⋅⋅⋅++，变形即得证。

凸函数与琴生不等式拉格朗日中值定理

凸函数与琴生不等式一．知识部分知识一、凸函数的概念①第一定义：函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上满足：任意两点之间的弦都在这两点之间曲线的弧的上方，则称函数)(x f y =在区间],[b a 上是凸的。

②第二定义（几何意义）：函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上任意两点),(),,(2211y x y x 连线的中点 )2)()(,2(2121x f x f x x ++一定在曲线弧的中间点))2(,2(2121x x f x x ++的上方，则称函数 )(x f y =在区间],[b a 上是凸的。

此定义说明函数在区间上的凸性与不等式)2(2)()(2121x x f x f x f +≥+的成立是等价的推广1. 任意],[,,,21b a x x x n ∈ ，有)()()()(2121nx x x f n x f x f x f nn +++≥+++ 推广2（琴生不等式）对任意一列1,,,,2121=+++∈+n n a a a R a a a ，函数)(x f 是],[b a 上的凸函数，有)()()()(22112211n n n n x f a x f a x f a x a x a x a f +++≤+++说明：此时凸函数)(x f y =也指函数)(x f y =在区间],[b a 上是下凸函数知识二、凹函数的概念①第一定义：函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上满足：任意两点之间的弦都在这两点之间曲线的弧的下方，则称函数)(x f y =在区间],[b a 上是凹的。

②第二定义（几何意义）：函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上任意两点),(),,(2211y x y x 连线的中点 )2)()(,2(2121x f x f x x ++一定在曲线弧的中间点))2(,2(2121x x f x x ++的下方，则称函数 )(x f y =在区间],[b a 上是凹的。

GA凸函数与琴生型不等式

凸函数( 定理 +" 若 ! （（ 2 ) %， !， …， 3）是区间 # * 2 "）（ # ，$ $ ）上的 &’ % 下凸（上凸）函数，则
3
（（上凸）函数( ! " 2 " ）是 # 上的 &’ % 下凸 2 )% 证明：任取 "% ， "! + # ，因为 ! （（ 2 ) %， !， …， 2 "） 3）为 # 上的 &’ % 下凸函数，所以对任意 1 +（ # ， %），有
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第一讲：凸函数与琴生不等式(带解答)

第一讲：凸函数与琴生不等式一、函数的凹凸性：定义：设连续函数()f x 的定义域为 (a ，b )，如果对于 (a ，b )内任意两数x 1，x 2，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤①则称()f x 为 (a ，b )上的下凸函数．注：①若把①式的不等号反向，则称这样的()f x 为区间 (a ，b )上的上凸函数．（或凹函数） ②下凸函数的几何意义：过()y f x =曲线上的任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）．③()f x 的二阶导数''()0f x ≥，则()f x 为下凸函数；()f x 的二阶导数''()0f x ≤，则()f x 为上凸函数。

常见的上凸（凹）函数，0=sin ,=cos ,=ln sin ,=ln cos 2y x y x y x y x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上，常见的（下）凸函数，[)2310+=,=,=,=n n y x y x y x y x∞，上，二、琴生不等式性质：若)(x f 在区间I 为下凸函数，则对I x x x n ∈,,,21 ，总有n x f x f x f n x x x f n n )()()()(2121+++≤+++ ；当且仅当12n x x x ===时取到等号。

若)(x f 在区间I 为上凸函数，则对I x x x n∈,,,21 ，总有n x f x f x f n x x x f n n )()()()(2121+++≥+++ 。

当且仅当12n x x x ===时取到等号。

三、加权形式：[]()()()+121211221122R +++=1(),(++)+++;n n n n n n a a a a a a f x a b f a x a x a x a f x a f x a f x ∈≤对任意一列，，，，，函数是上的凸函数，有[]()()()+121211221122R +++=1(),(++)+++.n n n n n n a a a a a a f x a b f a x a x a x a f x a f x a f x ∈≥对任意一列，，，，，函数是上的凹函数，有附：应用21)(x x f =，此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式 221322221)(111n n a a a n a a a +++≥+++ ，等号成立条件n a a a === 21。

第一讲-琴生不等式、幂平均不等式

高二数学竞赛班二试讲义第一讲琴生不等式、幂平均不等式班级姓名一、知识要点：1．琴生不等式凸函数的定义：设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数；反之，若有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。

琴生(Jensen)不等式（1905年提出）：若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则1212()()()()n n x x x f x f x f x f n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤（想象n 边形的重心在图象的上方，n 个点重合时“n 边形”的重心在图象上）琴生(Jensen)不等式证明：1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设n k =时命题成立，即1212()()()()k k x x x f x f x f x f k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤那么当1n k =+时，设12111k k x x x A k ++++⋅⋅⋅+=+，1211111(1)(1)(1)()()()22k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++⋅⋅⋅++-+++-==11111()(1)()(1)()11[()()][]22ki k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k++=+++-+-≤+≤+∑所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++⋅⋅⋅+++-所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++⋅⋅⋅++，得证 2．加权平均琴生(Jensen)不等式：若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，且11,0n iii λλ==>∑，则11(()()n ni iiii i f x f x λλ==≤∑∑ 3．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I 内具有二阶导数，（1）如果对任意x∈I,()0f x ''>，则曲线y=f(x)在I 内是下凸的；（2）如果对任意x∈I,()0f x ''<，则y=f(x)在I 内是上凸的。

_琴生不等式、幂平均不等式

高二数学竞赛班二试讲义第一讲琴生不等式、幂平均不等式一、知识要点：1．琴生不等式凸函数的定义：设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 任意两点12,x x ，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数；反之，若有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。

琴生(Jensen)不等式（1905年提出）：若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则 1212()()()()n n x x x f x f x f x f n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤（想象n 边形的重心在图象的上方，n 个点重合时“n 边形”的重心在图象上）琴生(Jensen)不等式证明：1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设n k =时命题成立，即1212()()()()k k x x x f x f x f x f k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤那么当1n k =+时，设12111k k x x x A k ++++⋅⋅⋅+=+，1211111(1)(1)(1)()()()22k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++⋅⋅⋅++-+++-==11111()(1)()(1)()11[()()][]22ki k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k++=+++-+-≤+≤+∑所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++⋅⋅⋅+++-所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++⋅⋅⋅++，得证 2．加权平均琴生(Jensen)不等式：若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，且11,0n iii λλ==>∑，则11(()()n ni iiii i f x f x λλ==≤∑∑ 3．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I 具有二阶导数，（1）如果对任意x ∈I,()0f x ''>，则曲线y=f(x)在I 是下凸的；（2）如果对任意x ∈I,()0f x ''<，则y=f(x)在I 是上凸的。

凸性不等式

凸性不等式
凸函数有一个重要的不等式，称为詹森不等式，又叫做琴生不等式。

若f为[a,b]上的凸函数, 则对任意xi∈[a,b], λi>0(i=1,2,…,n)，Σ(i=1->n)λi=1，则
当f上凸时，f(Σ(i=1->n)λixi)>=Σ(i=1->n)λif(xi);
当f下凸时，f(Σ(i=1->n)λixi)<=Σ(i=1->n)λif(xi).
即，闭区间上存在一系数小于1的正数，它们的和等于1。

在闭区间[a,b]上的凸函数f(x)上取与这些小于1的正数同样多个自变量，分别用这些小于1的正数乘以各个自变量，一一对应，并求它们的和的函数值；另一方面用这些小于1的正数，分别乘以各个自变量的函数，保持与前者相同的一一对应关系，再求这些函数值的和。

那么和的函数值与函数值的和有如下的关系：
当f上凸时，和的函数值不小于函数值的和；当f下凸时，和的函数值不大于函数值的和。

特别的，当这些小于1的正数的个数为2时，就形成了凸函数的定义。

琴生不等式

琴生（Jensen）不等式：（注意前提、等号成立条件）设f(x)为凸函数，则f[(x1+x2+……+x n)/n]<=[f(x1)+f(x2)+……+f(x n)]/n(下凸);f[(x1+x2+……+x n)/n]>= [f(x1)+f(x2)+……+f(x n)]/n (上凸),称为琴生不等式（幂平均）。

加权形式为：f[(a1x1+a2x2+……+a n x n)]<=a1f(x1)+a2f(x2)+……+a n f(x n)(下凸);f[(a1x1+a2x2+……+a n x n)]>=a1f(x1)+a2f(x2)+……+a n f(x n)(上凸),其中a i>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+a n=1.凸函数的概念：【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或下凸函数。

【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2<=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数，或上凸函数。

同样，如果不等式中等号只有x1=x2时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数琴生不等式说，对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,x n,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(x n))/n>=f((x1+x2+...+x n)/n) 对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,x n,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(x n))/n<=f((x1+x2+...+x n)/n) 如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有x1=x2=...=x n才成立。

竞赛专题--凸函数和琴生不等式

凸函数和琴生不等式的最大值为中，上是凸函数，那么在在区间若函数成都模拟试题C B A ABC x y sin sin sin ),0(sin )02..(1++∆=πA21 B23 C223 D23分析：时，取等号当且仅当上是凸函数在分析：最小值的，试求：为定值是一组实数，且若n n nn n n n a a a nk a a a n k na a a a a a nx x f a a a k k a a a a a a ===≥+++∴=+++≥+++∴+∞-∞=+++=+++ 2122222122221222212222212121)()(1),()()(,,.2时，取等号；时，即当且仅当上是凹函数，则：在3sin sin sin 233sin sin sin 2360sin )3sin()sin sin (sin 31),0(sin ππ=====≤++=︒=++≤++=C B A C B A C B A CB AC B A x y )11()11)(11(21nx x x +++= nnx x x x x x x x x x x x x x x nn n nnn n n n111)1(1)]11()11)(11[(212121121121=+++≤+=+≥+++∴ 又n nnn n n n n n nn nn n n i x x x x x x n n n x x x x x x n n i x )11()11()11(])11()11()11[(1)1()11()11()11(1,2),,2,1(,0.321212121+++≥+++++++≥++++++=+++≥=> 证：求证：，，已知);)(1)]1()1)(1[((1221112211n nn n nn a b a b a b a b a b a b+≥+++利用结论：'sin 'sin 'sin sin sin sin )sin sin (sin 'sin 'sin 'sin sin sin sin 'sin sin 'sin sin 'sin sin ;'''30.42γβαγβαγβαγβαγβααγγββαγβαγβα=∴=⇒⎪⎭⎪⎬⎫====∠=∠=∠=∠=∠=∠︒∠∠∠∆PA PC PC PB PB PA PCB PBA PAC PCA PBC PAB PCA PBC PAB ABC P 依正弦定理有：、、，且、、证：设；于中至少有一个小于或等、、内任一点，求证为若︒<︒≥︒≤∴≤∴≤∴30150,3021sin ,)21(sin sin sin 3γγβαααγβαγβα中必有一个满足、时，否则中必有一个角满足、、在补充练习：;)1()1()1)(1(1),1(.122111n n n ni i i nn x x x x x x x n i R x +≥+++=≤≤∈∑=+，求证：若 ;2:1,0,0.23322xy y x y x y x ≥+=+>>，求证已知;23cos cos cos .3≤++∆C B A ABC C B A 的三个内角，求证：为、、nn nn n nnnn n n x x x n x x x nx x x )1()11()11()11()1()11()11)(11(1)]11()11)(11[(2121121+≥+++++++≥+++∴+≥+++∴ 666)21()6'''(sin )6'sin 'sin 'sin sin sin sin (=+++++≤+++++≤γβαγβαγβαγβα。

函数凸凹性与琴生不等式在导数问题中的应用

函数凸凹性与琴生不等式在导数问题中的应用
作者：李震南
来源：《中国校外教育(中旬)》2017年第09期
摘要：众所周知，琴生不等式在证明不等式中发挥了巨大的作用。

它实质上就是对凸函数性质的应用，它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系，能够很好的为高中数学压轴证明题服务。

本文首先详细阐述了函数凹凸性与琴生不等式的定义与性质，通过一道压轴数学证明题详细阐明了琴生不等式在不等式证明中的应用，并做出了总结。

关键词：高中数学导数与函数函数凸凹性琴生不等式
多次高考的导数大题中的压轴证明题都是琴生不等式证明的变式。

考虑到高中阶段课本没有对琴生不等式与函数的凸凹性做深入研究，笔者特在此做一个汇总与整理，探讨并总结琴生不等式与函数凸凹性的应用。

3小结
总地来说，琴生不等式的特殊形式（比如只有两项时），可直接构造函数，求导（一般要二次求导），判断单调性来证明。

而其一般形式，常用方法有两种：切线法，即证明函数定义
域内的点的切线恒在函数图像上方（凹函数）或下方（凸函数），然后可以通过累加得以证
明；数学归纳法，特别需要注意的是归纳递推的过程中构造与假设中的式子形式相同的式子，然后证明不等式。

参考文献：
[1]胡宇晨.例谈加权琴生不等式的应用[J].中等数学，2015，（09）：15-18.
[2]王毅，朱琨.琴生不等式的推广应用[J].数学通报，2009，（3）：61-62.。

凸函数的三个不等式结论

凸函数的三个不等式结论
凸函数的三个不等式结论包括：
1. Jensen不等式：对于凸函数 f 和概率分布 {p_i}，有f(∑p_i x_i) ≥ ∑p_i f(x_i)。

这个不等式表明，将一组数的平均值代入凸函数，其结果不会小于这组数的凸函数值的平均。

2. Minkowski不等式：对于非负实数 a_i 和 b_i，以及凸函数 f，有∑a_i f(b_i) ≥ f(∑a_i b_i)。

这个不等式表明，将一组数的和代入凸函数，其结果不会小于这组数的凸函数值的和。

3. Hölder不等式：对于非负实数 a_i 和 b_i，以及凸函数 f，有f(∑a_i/b_i) ≥ ∑f(a_i/b_i)。

这个不等式表明，将一组数的倒数代入凸函数，其结果不会小于这组数的凸函数值的倒数和。

这些不等式在数学、物理和工程等多个领域都有广泛应用。

延森不等式

延森不等式
延森不等式也就是琴生不等式，琴生不等式以丹麦技术大学数学家约翰·延森（John Jensen）命名。

它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。

延森不等式也叫詹森不等式，琼森不等式，是一个非常著名的不等式，有了它，我们可以推导出其他一些著名不等式，比如幂平均不等式、杨格不等式（Young Inequality），赫尔德不等式（H ölder Inequality），闵可夫斯基不等式（Minkowski Inequality）。

关于琴生不等式的结论：
如果f(x)二阶可导，而且f''(x)≥0，那么f(x)是下凸函数（凸函数）。

如果f(x)二阶可导，而且f''(x)≤0，那么f(x)是上凸函数（凹函数）。

公式应用：(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n>=((x1+x2+...+xn)/n)^t，（t>1时）；(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n>=((x1+x2+...+xn)/n)^t，（0<t<1时）；取f(x) = x^t。

((x1+x2+...+xn)/n)^n>=x1*x2*...*xn，取f(x)=log(x)。

凸函数与琴生不等式

凸函数与琴生（JENSEN ）不等式（讲稿）凸函数的定义1、设f(x)是定义在区间D 上的函数，若对于任何x 1、x 2 ∈D 和实数λ∈（0，1），有f[λx 1+（1-λ）x 2]≥λf(x 1)+（1-λ）f(x 2)，则称f(x)是D 上的凸函数（又称D 上的“上凸函数”）。

2、若-f(x)是区间D 上的凸函数，则称f(x)是D 上的凹函数（又称D 上的“下凸函数”）。

凸函数的一个判别法则：如果函数)(x f 是二次可微分的，则：)(x f 是上凸函数)(x f 的充分必要条件是0)(≤''x f ． )(x f 是下凸函数的充分必要条件是0)(≥''x f ；凸函数的性质琴生（Jensen ）不等式：()[][]2)()()2(,,212121x f x f x x f b a x x b a x f +≥+∈∀⇔都有，上上凸在（均值的函数值不小于函数值的均值）一般的[]nx f x f x f nx x x f x n b a n n i )()()(,2121+⋯++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯++有个点内的对，当且仅当x 1 = x 2 = …… = x n 时，等号成立。

()[][]2)()()2(,,212121x f x f x x f b a x x b a x f +≤+∈∀⇔都有，上下凸在（均值的函数值不大于函数值的均值）一般的[]nx f x f x f nx x x f x n b a n n i )()()(,2121+⋯++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯++有个点内的对，当且仅当x 1 = x 2 = …… = x n 时，等号成立。

例1.判断x y sin =是否是),0(π上的上凸函数？方法1：0sin )'(cos ''cos )'(sin '≤-====x x y x x y ，方法2：()()()⎪⎭⎫⎝⎛+=+≤-+=+=+∈∀22sin 2cos 2sin sin sin 212),0(,21212121212121x x f x x x x x x x x x f x f x x ，π方法3：由x y sin =在),0(π上的图像可知。

琴生不等式及不等式综合

第四章琴生不等式一、函数的凹凸性：定：函数 f ( x) 的定域(a， b)，假如于(a， b)内随意两数 x1， x2，都有f ( x1 x2) f ( x1 ) f ( x2 )①22称 f ( x)(a， b)上的下凸函数．注：1．若把①式的不等号反向，称的 f ( x) 区(a，b)上的上凸函数．（或凹函数）2 ．下凸函数的几何意：y f ( x) 曲上的随意两作弦，弦的中点必在曲的上方（或曲上）．二、琴生不等式：若 f ( x) 是区 (a， b) 上的凸函数，随意的点x1， x2，⋯， x n(a， b)，有12L n 1[ f ( x1 ) f ( x2 ) Lf ( x n )]f ( x x x )n n 取“ =”条件： x1 = x2 = ⋯ = x n明：注：更一般的情况：f ( x) 是定在区 (a， b) 上的函数，假如于(a，b)上随意两点 x1， x2，有pf ( x1 ) pf (x2 ) f ( px1qx2 )（此中p， q R ， p q1），称 f ( x) 是 (a，b) 上的下凸函数．其推行形式，即加的琴生不等式：q ， q ，L ，qnR ，且 q q L qn1 ，若f ( x)是区(a， b)上的下凸函数，1212随意的 x12n(a， b)有f (q x q x2L q x)q f (x )q f ( x) L q f (x)．， x ，⋯， x112n n1122n n 取“ =”条件： x1x2 L x n明：以上各不等式反向，即得凹函数的琴生不等式．例 1明： (1) f ( x)sin x 在 [0，) 上是上凸函数(2)g( x)lg x 在 (0，) 上是上凸函数(3)h( x)tan x 在 [0 ， ) 上是下凸函数2明： (1)x1， x2[0， )f (x1 ) f ( x2 ) 1(sin x1 sin x2 ) sinx1x2 cosx1x2sin x1 x2f ( x1 x2)222222(2)x1， x2[0， +)lg x1即：(3)当 0lg x22g ( x1)x1， x2lg x1 x2lgx1x22g ( x2 )g (x1x2 ) ．222sin x1sin x2sin( x1x2 )2sin( x1x2 )tan x1 tan x2cos x1 cos x2cos(x1x2 )cos(x1 x2 )cos x1 cos x22sin( x1x2 )2tan x1 x2（∵sin tan）cos(x1x2 ) 12cos12即： h(x1 )h(x2 )h( x1x2)．22例 2用琴生不等式明均不等式A n G n ，即：iR ， a 1 a 2La nn 12 La n．ana a：∵ a iRf ( x)lg x ， f (x) (0，) 上的上凸函数由琴生不等式：1 (lg a 1 lg a2 L lg a n )lga 1 a 2La nnn即 na 1a 2 L a na 1 a 2 La nn例 3a b cR ，且 a + b + c = 3，求：8a 1 8b 1 8c1 9 ．，，明： f ( x)8x 1 ， f ( x) (0， +) 上的凹函数．由琴生： 1[ f ( a) f (b)f (c)]f ( a bc )f (1) 333∴ f (a ) f (b)f (c)9 ．例 4f ( x) 定在 (a ， b) 上， f ( x) 在 (a ， b) 上恒大于 0，且 x 1， x 2( a ， b) 有f (x 1 ) f ( x 2 ) [ f (x 1x 2 )] 2 ．2求：当 x 1， x 2，Lx n(a ，b ) ，有12Lnx 1x 2 L x n n．f ( x ) f ( x )f ( x ) [ f (n)]明：由：x 1， x 2( a ， b) ，有 f (x 1 ) f ( x 2 ) [ f (x 1x 2)] 2 ，两取常：2有 lg f ( x 1 ) lg f (x 2 )2lg f (x 1x 2 )2即 lg f ( x 1 ) lg f (x 2 )lg f (x 1x 2 )22于是：令 g (x) lg f (x) ， g (x) (a ， b) 上的凸函数由琴生不等式： x 1， x 2，L x n (a ， b) ，有lg f ( x 1)lg f (x 2 ) Llg f ( x n )lg f (x 1x 2 Lx n )nn即 f ( x 1 ) f (x 2 ) L f ( x n ) [ f (x 1x 2L x n )] n ．n三个重要的不等式加强练习（均值、柯西、排序不等式）1．用柯西不等式明：若 a iR (i 1L n) ，求： (a 1a 2 La n )( 1 1 L1 ) n 2．a 1 a 2a n：由柯西[( a 1 )2( a 2 ) 2 L( a n )2 ] g[( 1 )2( 1 )2 L( 1 )2 ] n 2 ．a 1a 2a n2． a iR ，i1L n ，且 a 1a 2L a n1 ．1 )21 ) 21 ) 222求： ( a 1(a 2L ( a n( n1)a 1a 2a n n明：由柯西：n12n1 [n12[nn12[1 1 g n12(a)g1 g(a)]a i]]ia iia ii 1a ii 1a ii 1i 1 i 1i 1[1na i n1] 22 )2ga i (1 ni 1 i 1n( a i1 )2 1(1 n 2 )2． ∴i 1a in3．a 1， a 2，⋯， a n 是 n 个互不相等的正整数．11 L1 a 1a 2a 3La n．明： 13n 22222 3n明： b 1， b 2，⋯， b n 是 a 1 ，a 2，⋯， a n 的一个排序，且b 1 < b 2 < ⋯ < b n又因为1L 11 ，由排序不等式22n2b 1 g1 b 2 g1111 2L b n g2a 1g1 a 2 g 2L a n g 2 ①2n2n(反序和 )(乱序和 )另一方面，∵b 1 1， b 2 2，L ，b n n 1 L 1 b 1 b 2Lb n②∴ 1n 2222n由①②知： 11 L1 a 1a 2La n2n2n 22此中， a k = b k = k 时，取“ =”号．4 ．若 a ， b ， c R ，求a b c 的最小值．cc a ab b解：不如设 abc ，则 111c c aa bb 由排序不等式，有a b c bca （同乱）b c c a a b b c c a a babccab（同乱）b c c a a b b c c a a b两式相加，可得a b c 3b c c aab2当且仅当 a = b = c 时取“ =”号．。

琴生不等式

琴生不等式一、函数的凹凸性设连续函数()y f x =的定义域为(,)a b ，对于(,)a b 内任意两数12,x x ，如果都有：1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称函数()y f x =为(,)a b 上的凹函数；如果都有：1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称函数()y f x =为(,)a b 上的凸函数。

二、函数凹凸性证明的方法函数()y f x =的二阶导数''()0f x ≥⇔函数()y f x =为凹函数；函数()y f x =的二阶导数''()0f x ≤⇔函数()y f x =为凸函数。

三、琴生不等式与凹凸函数的性质若函数()y f x =为区间(,)a b 上的凸函数：则对任意的12,,,(,)n x x x a b ∈，都有不等式1212()()()()nn x x x f x f x f x f nn++++++≤成立。

若函数()y f x =为区间(,)a b 上的凹函数：则对任意的12,,,(,)n x x x a b ∈，都有不等式1212()()()()nn x x x f x f x f x f nn++++++≥成立。

四、常见的凹凸函数凸函数：()sin ,cos ,ln f x x x x = 凹函数：23(),,x f x x x e = 五、例题讲解1、若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值是。

2、函数()ln ,0f x x a b =<<，若1(),(()())22a b p f q f r f a f b +===+，则下列关系式中正确的是（）A. q=r<pB. q=r>pC. p=r<qD. p=r>q3、求2sin sin 2y x x =+的最大值。

凸函数与琴生不等式

2(x y)( y z)
(x y)( y z)
2 x yz
同理 sin B 2
y
xz xz
， sin
C 2
xy z xy
由 y sin x 为 (0, ) 上的上凸函数，得
6
sin
A 2
sin
B 2
sin
C 2
sin
A
BC
sin
3
6
6
即 yz xz xy sin A sin B sin C 3sin 3
只须构造 (0,) 上的上凸函数 y ln x ，则有
2
ln a1 ln a2 ln an ln(a1 a2 an )
n
n
ln n
a1a2 an
ln( a1 a2
an ) n
n
a1a2 an
( a1 a2
an ) （证毕） n
例
4. xi
(0,
2
), (i
1,2n)
cos x1 cosx2 cos xn (cos
构造 (0, ) 上的辅助函数 y
x1 ln
求证：
x2 n
cos x
xn
)
n
2
函数 y ln cos x 在 (0, ) 上是否是凸函数，可看其二阶导数：y sec2x 0
2
所以， y ln cos x 在 (0, ) 上是上凸函数， 2
22
提示：构造 R+上的辅助函数 f (x) x ，则
tan B tan C tan C tan A tan A tan B
22
22
22
3 1 tan B tan C tan C tan A tan A tan B

则称为琴生不等式加权形式为

则称为琴生不等式加权形式为(凸函数);(凹函数).其中ai≥0(i=1,2,……,n),且凸函数的概念：【定义】如果函数f(某)满足对定义域上任意两个数某1,某2都有，那么f(某)为凸函数。

同样，如果不等式中等号只有时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数琴生不等式说，对于任意的凸函数f(某)以及其定义域上n个数某1,某2,...,某n,那么都有(f(某1)+f(某2)+...+f(某n))/n≥f((某1+某2+...+某n)/n)对于任意的凹函数f(某)以及其定义域上n个数某1,某2,...,某n,那么都有(f(某1)+f(某2)+...+f(某n))/n≤f((某1+某2+...+某n)/n)如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有某1=某2=...=某n 才成立2证如今我们看看如何证明琴生不等式，下面只对凸函数加以证明。

首先我们对n是2的幂加以证明，用数学归纳法假设对于琴生不等式成立，那么对于(f(某1)+f(某2)+...+f(某n))/n=((f(某1)+f(某2)+...+f(某(n/2)))/(n/2)+(f(某(n/2+1))+...+f(某n))/(n/2))/2≥(f(（(某1+某2+...+某(n/2)）/(n/2))+f((某(n/2+1)+...+某n)/(n/2)))/2≥f(((（(某1+某2+...+某(n/2)）/(n/2)+(某(n/2+1)+...+某n)/(n/2)))/2)=f((某1+某2+...+某n)/n)所以对于所有2的幂，琴生不等式成立。

如今对于一个普通的n,如果n不是2的幂，我们可以找到一个k,使得2^k>n然后我们设某(n+1)=某(n+2)=...=某(2^k)=(某1+某2+...+某n)/n代入阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。

如今看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式(某1^2+某2^2+...+某n^2)/n>=[(某1+某2+...+某n)/n]^2显然，我们可以查看函数由于(f(某1)+f(某2))/2=(某1^2+某2^2)/2=(2某1^2+2某2^2)/4≥(某1^2+某2^2+2某1某2+(某1-某2)^2)/4≥(某1^2+某2^2+2某1某2)/4=((某1+某2)/2)^2所以f(某)=是凸函数所以我们可以得到，对于任意某1,某2,...,某n,有(f(某1)+f(某2)+...+f(某n))/n≥f((某1+某2+...+某n)/n)也就是n阶平方平均不等式。