信号与系统电子课件2

第二章：连续信号与系统的时域分析( 学时授课)

学习指导：本章介绍的是连续时间系统响应的时域分析方法。 所谓时域分析方法， 就是如何从微分方程直接求出系统响应的时域表达式。或者说，如何求解一个给 定激励信号的微分方程，直接得到其解的时域表达式。

连续时间系统的时域分析方法之一， 就是在高等数学中关于线性微分方程求 解的方法，这里称之为经典解法。这种解法在求解系统的特解或者是受迫响应的 时侯不太方便。本章主要介绍的另外一种时域解法——卷积法。这种方法将系统 的响应分零状态响应和零输入响应两部分，分别求其响应。无论是经典法还是卷 积法，都是将系统响应分解为两部分求解，而且这两种时域解法对应的两种分解 形式之间有一定的关系，在本章的例题中将对这种关系进行详细讨论.

在本章中，还将介绍与此相关的很多重要的信号和概念，例如冲激函数和阶 跃函数，信号的时域分解，卷积计算及其性质等。

§2-1 引 言

线性连续时间系统的时域分析，就是一个建立和求解线性微分

方程的过程。

一、建立数学模型

Ø建立数学模型就是根据力学、电学等物理学规律，得到输入

和输出之间满足的数学表达式。

Ø数学模型的建立过程与应用系统的特性有关。例如，对于经

典力学理论，主要是依赖于牛顿定律；对于微波和电磁场而

言，组要依赖于麦克斯韦尔方程；

Ø本课程主要研究的是由电阻、电容、电感等器件构成的集总

参数电系统，它的数学模型的建立主要有依赖于KCL和KVL

方程。在物理课程和《电路分析》课程中已经提供了相应的

理论和方法。

由电路建立数学模型的例子

§2-2冲激函数

函数有几种不同的定义方式，其中根据广义函数（或称分配函数）来定义 的，是严格的数学定义，因篇幅所限，本课程将不予讨论。本课程介绍另外两种 定义。

⑴从某些函数的极限来定义 函数，单位冲激函数可视为幅度与脉宽

的乘积（矩形面积）为1个单位的矩形脉冲，当 趋于零时脉冲幅度趋于无 穷大的极限情况，即

图1表示了 时，上述矩形脉冲的变化过程。

“冲 冲激函数常用图2所示带箭头的线段来表示。 函数只在t=0处有 激”，而在t轴上其它各点取值为零。如果矩形面积为1，则在带箭头的线段旁 注上(1)，表明冲激强度为单位值。如果在图形上将(E)注于箭头旁，则表示冲激 强度为E被单位值的 函数。

函数还可以利用抽样函数取极限来定义，即

这可解释如下。由上式知

故有 ， （1-37）

上式表明， 曲线下的面积为1。K越大，函数的振幅越大，振荡的频率 越高，函数衰减得也越快，而曲线下的面积却维持不变。当k趋向无穷大时，即 得到冲激函数。其过程如图所示。

⑵狄拉克（Dirac）定义 狄拉克给出的 函数的定义式为

不难看出上式所定义的 函数与上述按某些信号取极限来定义是一致的。

则表示在 处所出现的冲激，如图所示。显然有

3) 冲激函数的广义函数定义

普通函数,如y=f(x)是将一维实数空间的数x经过所规定的运算映射为一维 实数空间的数y。普通函数的概念可以推广。若将某类函数集（如连续函数集， 可微函数集等）中的每个函数看作空间的一个点，这类函数的全体就构成某一函 数空间（如连续函数空间，可微函数空间等）。

粗浅的说，广义函数就是这样定义的，选择一类性能良好的函数 ，称

为 检验函数（它相当于定义域），一个广义函数g(t)对检验函数空间中的

该数与广义函g(t)数和检验函数 有 每个函数 赋予一个数值N的映射，

关，记作Ng[ ],。广义函数可写为

冲击函数 与检验函数的作用效果是从 中筛选出它在=0 时刻的函

数值 ，这常称为冲击函数的取样性质（或筛选性质）。简言之，能从检验

函数 中筛选出函数值 的广义函数就称为冲击函数 .

实际上，由许多函数序列的广义极限都具有如上的筛选性质，可以用它们来

定义冲击函数 ，例如

高斯函数

取样函数

双边指数函数

[定义] 按广义函数理论，单位阶跃函数ε(t)的定义为

即阶跃函数ε(t)作用与检验函数 的效果是赋予它一个数值，该值等于

在(0,∞)区间的定积分。

冲激函数的导数和积分

冲激函数 的一阶导数 或 可定义为

它也复合普通函数的运算规则。如果冲激函数 是可微的（在广义函数意义 下可微），利用分部积分有

由于检验函数 时急降的，故上式第一项为零，利用冲激函数的取样性质， 得

此外，还可定义 的n阶导数 为

广义函数理论表明，由于选取了良好的检验函数空间 ，广义函数的各阶导数

都存在并且仍属于缓增广义函数空间 。广义函数的求导运算与极限运算可以 交换次序,这就摆脱了普通函数求导求极限运算等的限制，时分析运算更加灵活 简便。

按广义函数理，单位阶跃函数 的导数可定义为（考虑到 t<0 时 =0

及 是急降的）

按广义函数相等的概念，得

按普通函数的导数定义，阶跃函数 在 t=0 处的导数不存在，而按广义函数

的概念，其导数在区间(-∞,∞)都存在并等于 。

下面讨论广义函数的积分。

即 或写为dG(t)=g(t)dt，

就称G(t) 设广义函数G(t)的导数为g(t)，

是g(t)的

原函数（广义函数理论表明，原函数一定存在）取 的积分，有

上式积分变量t用 x替代，以免与积分上限相混.

若常数G(-∞)=0，则有

单位阶跃函数 是可积函数，它的积分

称为斜升（斜坡）函数，用r(t)表示上是可写为

类似的， 和 的积分为

式 r(t)可认为是普通积分，而后两式不能看作是普通的积分运算，这是由于

, 除在 t=0 处以外处处为零，因而作为普通积分是无意义的，这里仅

是一种表达形式，它表明 的原函数是 , 的原函数是 。当 时，由以上两式可得

【例题】