信号与系统电子课件2

第二章：连续信号与系统的时域分析( 学时授课)学习指导：本章介绍的是连续时间系统响应的时域分析方法。

所谓时域分析方法， 就是如何从微分方程直接求出系统响应的时域表达式。

或者说，如何求解一个给 定激励信号的微分方程，直接得到其解的时域表达式。

连续时间系统的时域分析方法之一， 就是在高等数学中关于线性微分方程求 解的方法，这里称之为经典解法。

这种解法在求解系统的特解或者是受迫响应的 时侯不太方便。

本章主要介绍的另外一种时域解法——卷积法。

这种方法将系统 的响应分零状态响应和零输入响应两部分，分别求其响应。

无论是经典法还是卷 积法，都是将系统响应分解为两部分求解，而且这两种时域解法对应的两种分解 形式之间有一定的关系，在本章的例题中将对这种关系进行详细讨论.在本章中，还将介绍与此相关的很多重要的信号和概念，例如冲激函数和阶 跃函数，信号的时域分解，卷积计算及其性质等。

§2-1 引 言线性连续时间系统的时域分析，就是一个建立和求解线性微分方程的过程。

一、建立数学模型Ø建立数学模型就是根据力学、电学等物理学规律，得到输入和输出之间满足的数学表达式。

Ø数学模型的建立过程与应用系统的特性有关。

例如，对于经典力学理论，主要是依赖于牛顿定律；对于微波和电磁场而言，组要依赖于麦克斯韦尔方程；Ø本课程主要研究的是由电阻、电容、电感等器件构成的集总参数电系统，它的数学模型的建立主要有依赖于KCL和KVL方程。

在物理课程和《电路分析》课程中已经提供了相应的理论和方法。

由电路建立数学模型的例子§2-2冲激函数函数有几种不同的定义方式，其中根据广义函数（或称分配函数）来定义 的，是严格的数学定义，因篇幅所限，本课程将不予讨论。

本课程介绍另外两种 定义。

⑴从某些函数的极限来定义 函数，单位冲激函数可视为幅度与脉宽的乘积（矩形面积）为1个单位的矩形脉冲，当 趋于零时脉冲幅度趋于无 穷大的极限情况，即图1表示了 时，上述矩形脉冲的变化过程。

“冲 冲激函数常用图2所示带箭头的线段来表示。

函数只在t=0处有 激”，而在t轴上其它各点取值为零。

如果矩形面积为1，则在带箭头的线段旁 注上(1)，表明冲激强度为单位值。

如果在图形上将(E)注于箭头旁，则表示冲激 强度为E被单位值的 函数。

函数还可以利用抽样函数取极限来定义，即这可解释如下。

由上式知故有 ， （1-37）上式表明， 曲线下的面积为1。

K越大，函数的振幅越大，振荡的频率 越高，函数衰减得也越快，而曲线下的面积却维持不变。

当k趋向无穷大时，即 得到冲激函数。

其过程如图所示。

⑵狄拉克（Dirac）定义 狄拉克给出的 函数的定义式为不难看出上式所定义的 函数与上述按某些信号取极限来定义是一致的。

则表示在 处所出现的冲激，如图所示。

显然有3) 冲激函数的广义函数定义普通函数,如y=f(x)是将一维实数空间的数x经过所规定的运算映射为一维 实数空间的数y。

普通函数的概念可以推广。

若将某类函数集（如连续函数集， 可微函数集等）中的每个函数看作空间的一个点，这类函数的全体就构成某一函 数空间（如连续函数空间，可微函数空间等）。

粗浅的说，广义函数就是这样定义的，选择一类性能良好的函数 ，称为 检验函数（它相当于定义域），一个广义函数g(t)对检验函数空间中的该数与广义函g(t)数和检验函数 有 每个函数 赋予一个数值N的映射，关，记作Ng[ ],。

广义函数可写为冲击函数 与检验函数的作用效果是从 中筛选出它在=0 时刻的函数值 ，这常称为冲击函数的取样性质（或筛选性质）。

简言之，能从检验函数 中筛选出函数值 的广义函数就称为冲击函数 .实际上，由许多函数序列的广义极限都具有如上的筛选性质，可以用它们来定义冲击函数 ，例如高斯函数取样函数双边指数函数[定义] 按广义函数理论，单位阶跃函数ε(t)的定义为即阶跃函数ε(t)作用与检验函数 的效果是赋予它一个数值，该值等于在(0,∞)区间的定积分。

冲激函数的导数和积分冲激函数 的一阶导数 或 可定义为它也复合普通函数的运算规则。

如果冲激函数 是可微的（在广义函数意义 下可微），利用分部积分有由于检验函数 时急降的，故上式第一项为零，利用冲激函数的取样性质， 得此外，还可定义 的n阶导数 为广义函数理论表明，由于选取了良好的检验函数空间 ，广义函数的各阶导数都存在并且仍属于缓增广义函数空间 。

广义函数的求导运算与极限运算可以 交换次序,这就摆脱了普通函数求导求极限运算等的限制，时分析运算更加灵活 简便。

按广义函数理，单位阶跃函数 的导数可定义为（考虑到 t<0 时 =0及 是急降的）按广义函数相等的概念，得按普通函数的导数定义，阶跃函数 在 t=0 处的导数不存在，而按广义函数的概念，其导数在区间(-∞,∞)都存在并等于 。

下面讨论广义函数的积分。

即 或写为dG(t)=g(t)dt，就称G(t) 设广义函数G(t)的导数为g(t)，是g(t)的原函数（广义函数理论表明，原函数一定存在）取 的积分，有上式积分变量t用 x替代，以免与积分上限相混.若常数G(-∞)=0，则有单位阶跃函数 是可积函数，它的积分称为斜升（斜坡）函数，用r(t)表示上是可写为类似的， 和 的积分为式 r(t)可认为是普通积分，而后两式不能看作是普通的积分运算，这是由于, 除在 t=0 处以外处处为零，因而作为普通积分是无意义的，这里仅是一种表达形式，它表明 的原函数是 , 的原函数是 。

当 时，由以上两式可得【例题】图中给出了一些脉冲信号或序列的波形，试用 或 分别写出它们 的闭合表达式。

(a)矩形脉冲 (b)N点指数序列解：(a) 这是个具有单位幅度宽度为的矩形脉冲，在信号处理中常称为矩形窗 函数，它表示为 rτ(t) ，并用下标表示矩形脉冲的宽度。

（b）N点指数序列可表示为§2-3 系统微分方程的算子表示一、 微分算子l微分算子是一种简化的表达符号。

定义：l通过微分算子可以简化微分方程的表示。

微分算子：令dt d p = ， n n n dt d p = ， ò ¥ - = t d p t ) ( 1 l 通过算子可以简化一些微分方程的表达形式，有助于求解。

l 利用算子可以将电路中的电感和电容的伏安特性记为：L L i p L u × × = C C i pC u × × = 1 即可以将电感和电容记成阻值为 p L × 和 p C × 1的电阻。

由此可以简化电系 统数学模型的建立。

l 利用算子可以将微分方程表示为：) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( 0 1 1 1 0 1 1 1 t eb t pe b t e p b t e p b t ra t pr a t r p a t r p m m m m n n n + + + + = + + + + - - - - 按照代数运算法则，提取公因子，可以将上式简化为：) ( )... ( ) ( )... ( 0 1 1 1 0 1 1 1 t e b p b p b p b t r a p a p a p m m m m n n n + + + + = + + + + - - - - 或进一步简化为：) ( ) ... ( ) ... ( ) ( 01 1 1 0 1 1 1 t e a p a p a p b p b p b p b t r n n n m m m m + + + + + + + + = - - - - 定义转移算子：) ( ) ( )... ( ) ... ( ) ( 0 1 1 1 0 1 1 1 p D p N a p a p a p b p b p b p b p H n n n m m m m = + + + + + + + + = - - - - 在后面的内容中，我们统一用 ) (pD 表示转移算子的分母， ) (p N 表 示转移算子的分子。

Ø 通过 ) (pD 可以得到微分方程等号左边的部分； Ø 通过 ) (pN 可以得到微分方程等号右边的部分； Ø 通过转移算子，可以将原来的微分方程表示为： ) ( ) ( ) (t e p H t r =由电路确定转移算子的例子（例2－2－1）二、算子运算法则微分算子并不是常规意义上的代数值，所以并不是适用一般的代数 运算法则。

但是它也有一些运算法则，很多与代数运算法则还是很相似 的。

根据微分算子的定义，容易证明：1. p n m np mp ) (+ = + ，其中m,n 为任意整数。

2. n m n m p p p + = ,其中m,n 同为任意正整数（或负整数）。

3.1 1 = p p 这实际上是指函数积分后再微分还等于原函数。

即：) ( ) ( t f d f dtd t = ò ¥ - t t 但是：1) pp 1 不一定等于1——微分和积分的次序不能交换；这是因为： C t f d f d d t+ = ú û ù ê ë é ò ¥ - ) ( ) ( t t t 2)如果 ) ( ) ( t py t px= ,不一定能够推出 ) ( ) ( t y t x = ［只能得到 C t y t x + = ) ( ) ( ］——>所以，转移算子方程等式两边的公共微分算 子不能抵消。

可见，大部分代数运算法则在算子方程中可以使用，但是有一些不能用。

这点在应用中必须特别注意。

§2-4 系统的零输入响应前面已经介绍过，近代时域解法将系统对信号的响应分为零输入响应和零状态两部分求解。

在本节中首先介绍零输入响应的解法。

根据前面的定义，零输入响应是指系统在没有输入信号激励的情况下，仅仅由系统的初始状态引起的响应 ) (t rzi 。

它实际上是下面齐次方程 的解：0 ) ( )... ( ) ( ) ( 0 1 1 1 = + + + + = - - t r a p a p a p t r p D n n n 对它有两种解法：1) 经典解法2) 初始条件法§2-5 卷积积分1卷积的定义一般而言 ， 如果有两个函数 和 ， 积分称为 与 的卷积积分，简称卷积：即：2卷积的图解机理3卷积的性质· 卷积代数作为一种数学运算，卷积运算遵守代数运算的某些规律。

(1). 交换律证明：由卷积定义知：将式中积分变量 置换为 ，于是证明完毕这表明卷积结果与两函数的次序无关。