浅谈对复合函数概念的认识

浅谈对复合函数概念的理解 阮

晓 锋

若u=g(x)是从A 到M 上的函数，而y=f(u)是从M 到B 内的一个函数，则称从A 到B 的映射为从A 到B 的复合函数，记作y=f [g(x)]，其中被u 称为复合函数的中间变量，u=g(x),x єA 叫内函数，而y=f(u),u єM 叫外函数。

理解：⑴复合函数的定义域即为其内函数的定义域；

⑵对复合函数y=f [g(x)]而言，如果函数f(x)的定义域为A,则y=f [g(x)]的定义域为 使得g(x)єA 的x 的取值集合；

⑶若函数y=f [g(x)]的定义域为A ，则函数f(x)的定义域恰为u=g(x)，x єA 的值域。

例1：设函数f(x)的定义域为[-2,1]，则函数⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f 1-的定义域为（B ） A.(0,+∞) B.[

31,+∞) C.(-∞,0)∪[31,+∞) D.[3,+∞) 解：由x 1

-x є[-2,1]解得x ≥31,故选B.

例2：若函数y=lg(1a 2++ax x

)的定义域为R ，求实数a 的取值范围；若该函数的值域为 R ，求实数a 取值范围。 解：⑴函数y=lg(1a 2++ax x )的定义域为R 即1a 2++ax x >0对x єR 恒成立

①当a=0时，显然1a 2++ax x >0对x єR 恒成立；

②当a ≠0时，则得⎪⎩⎪⎨⎧<⨯⨯>014-0

a 2a a

解之得0

⑵若该函数的值域为则y 可取任意实数。

从而由1a 2++ax x =10y 知（0，+∞）{}1y 2++=⊆ax a y x

当a=0时显然不满足上面的要求

∴得 ⎪⎩⎪⎨⎧≥⨯⨯>0

14-0

a a 2a 解之得a ≥4 故此时实数a 取值范围为[4，+∞）。

练习

题1：⑴若f(x)的定义域为[2,4]，则f(

1x 1+)的定义域为____; ⑵若f(1x 1

+)的定义域为[2,4]，则f(x)的定义域为____.

题2：已知函数86-2++=m mx m y x 的定义域为R ⑴求实数m 的取值范围；

⑵当m 变化时，若y 的最小值为f(m),求f(m)的值域。 题3：已知函数f(x)=bx +ax 2,若至少存在一个正实数b,使得函数f(x)的定义域与值域 相同，求实数a 的取值范围。

附答案提示：

题1：⑴填[31

，1]；⑵填[23

,45，]； 题2：⑴为[0,1]；⑵为[0，22]。

题3：分a<0,a=0,a>0三种情况讨论，可得a=0或-4.