浅谈对复合函数概念的认识
如何应对高考数学中的复合函数
如何应对高考数学中的复合函数高考数学中的复合函数是很多学生感到头痛的一道难题。
虽然这不是高考数学中最难的部分，但如果不懂得正确地应对复合函数，依然会给考生带来很大的困扰。
因此，本文将从以下三个方面，给大家介绍一些应对高考数学中的复合函数的方法。
一，理解复合函数的概念首先，复合函数是指把一个函数f(x)的结果作为另一个函数g(x)的自变量，而得到的函数h(x)，即h(x)=g(f(x))。
因此，如果要计算复合函数的值，就需要按照定义，先求得f(x)的值，然后再将f(x)的值代入g(x)中求得g(f(x))，最终得到复合函数的值h(x)。
对于初学者来说，理解复合函数的概念是很重要的，因为只有理解了概念，才能更好地掌握应对复合函数的方法。
因此，建议在学习复合函数时，不要急于求快，要花时间理解概念，巩固基础。
二，掌握复合函数的求导规则在高考数学中，求导也是一个重要的考点。
对于复合函数的求导，我们可以使用链式法则。
链式法则是指，在求复合函数的导数时，先对外层函数求导，然后再乘上内层函数的导数。
具体而言，设函数y=h(x)=g(u), u=f(x)，则有：$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$其中，$\frac{dy}{du}$表示外层函数对u的导数，$\frac{du}{dx}$表示内层函数对x的导数。
他们的乘积即为复合函数的导数。
需要注意的是，在使用链式法则时，要注意导数的顺序。
也就是说，外层函数和内层函数的求导顺序不能颠倒。
否则，将会得到错误的结果。
三，做好必要的准备工作学好复合函数还需要做好一些必要的准备工作。
例如，要熟练掌握函数极限、导数和微分等概念。
在计算复合函数的导数时，有时候还需要用到其他的导数公式，如乘积法、商积法和复合函数求导的高阶方法。
因此，在学习复合函数时，需要将这些公式进行系统整理，建立起较为完善的概念体系。
此外，对于复合函数的计算，还需要灵活运用换元法、分部积分法等解题方法。
复合函数分析
论复合函数一、复合函数的概念一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数))(()(x g f x F y ==叫由两个函数复合而成的复合函数。
即复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.也可以说，一个x 经过u ，有唯一确定的y 与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成一种函数关系，这种函数称为复合函数.这里的x 是自变量，y 是变量，而u 是中间变量。
通常称)(x g 为内函数，)(u f 为外函数，这里写)(u f 而不写)(x f ，是为了避免内函数的自变量和外函数自变量的混淆，在处理问题的时候，是把内函数的值域作为外函数的定义域，即令)(x g u =。
例1、12+=x y .这是二次函数12+=x u 与幂函数21u y =的复合.例2、121+-=x y .这是一次函数12+-=x u 与反比例函数uy 1=的复合.例3、x x y +=.可以看成幂函数21x u =与二次函数u u y +=2的复合.例4、xx y 422-=.这是二次函数x x u 42-=与指数函数u y 2=的复合.例5、x x y +-=224.这是指数函数x u 2=与二次函数u u y 42-=的复合.例6、)2(log 22x x y +=.这是将二次函数x x u 22+=与对数函数u y 2log =的复合.例7、x x y 222log 2)log (+=这是将二次函数x u 2log =与对数函数u u y 22+=的复合注意，例4和例5，例6和例7，内外函数调换位置，得到的复合函数是不一样的.例8、1lg 2+=x y 。
这里实际上是三个函数的复合，首先是二次函数12+=x u 和幂函数21u t =的复合，然后再与对数函数t y lg =复合。
二、复合函数的定义域对于复合函数的定义域，首先要注意))(()(x g f x F =的定义域是x 的取值范围，而不是u 的取值范围。
复合函数知识点总结初中
复合函数知识点总结初中一、函数的概念函数是一种数学关系，其描述了自变量和因变量之间的对应关系。
在函数中，自变量的取值范围和对应的因变量的取值范围是函数的定义域和值域。
函数的图象是自变量与因变量之间的对应关系在坐标系中的表现，用曲线或者直线来表示。
二、函数的运算函数之间的运算包括函数的加、减、乘、除，以及函数的复合等。
这些运算是在函数的基本运算规则的基础上进行的，需要注意各种函数之间的运算规则，尤其是函数的定义域和值域的确定。
三、复合函数的定义和性质1. 复合函数的定义对于两个函数 f(x) 和 g(x)，如果 f 的值域是 g 的定义域，那么复合函数 f(g(x)) 定义为f(g(x)) = f(g(x))，表示先对自变量进行 g 函数的运算，再对结果进行 f 函数的运算。
复合函数的定义域与值域需要根据具体的函数来确定。
2. 复合函数的性质复合函数具有一些特殊的性质，包括结合律和对合律等。
结合律表示对于函数 f(g(x)) 和h(x)，有 f(g(x)) = f(g(h(x)))；对合律表示 f(g(x)) 和 g(f(x)) 不一定相等，需要具体分析。
复合函数的性质可以帮助我们更好地理解和运用复合函数。
四、复合函数的应用复合函数在数学、物理、化学等学科中有着广泛的应用，如利用复合函数来描述两个物体的运动、分析化学反应的速率等。
在实际应用中，复合函数有着丰富的内涵和灵活的运用，需要学生熟练掌握其应用技巧。
通过对上述的内容进行总结，相信学生们可以更加全面地了解和掌握复合函数的知识。
同时，在学习过程中，需要多做一些例题，加深对复合函数的理解和运用。
希望本文能够对学生的学习有所帮助，让他们更好地掌握复合函数的知识。
复合函数
一分为二，化繁为简——谈复合函数一、引言在新课标高中数学的必修一中，除了常见的一些基本初等函数，例如：,sin ,,log n x a y x y x y a y x ====等等以外，通常还会遇到一些在结构上较为复杂的函数，例如：234(32),sin(21),,log (23)x a y x y x y a y x +=+=+==+等等。
而当我们对这些结构上较为复杂的函数分析其结构特点时，可以发现，这些函数都可看成时由两个基本初等函数经过“复合”而成的。
例如：函数2(32)y x =+，如设32u x =+，则原函数可以看成由函数232y u u x ==+和“复合”而成。
从而使得对函数2(32)y x =+的研究转化为对基本初等函数232y u u x ==+和的分层研究。
函数2log y x 叫对数函数，那么，函数22log (23)y x x =--究竟是一种什么样的函数呢？二、复合函数的相关概念1、定义：一般地：对于两个函数()()y f u u g x ==和，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数y 为()()y f u u g x ==和的复合函数，记作：[()]y f g x =。
在复合函数[()]y f g x =中，()y f u =称为复合函数的外函数，()u g x =称为复合函数的内函数。
2、定义域和值域复合函数的定义域即内函数的定义域，复合函数的值域即外函数的值域。
而外函数的定复合函数的单调性是由内外函数的单调性共同决定的：内函数是增函数+外函数是增函数=复合函数是增函数；内函数是增函数+外函数是减函数=复合函数是减函数；内函数是减函数+外函数是增函数=复合函数是减函数；内函数是减函数+外函数是减函数=复合函数是增函数。
也就是说，当内外函数的单调性相同的时候，复合函数是增函数，当内外函数的单调性不同的时候，复合函数是减函数。
（同增异减）三、复合函数的常见应用1、求定义域或值域1）已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
什么是复合函数
什么是复合函数
复合函数指变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系。
1、当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0.函数xyz之间的关系可以将原函数改写为关于两个不同变量的函数，对x求导就需要对u与v分别求导，再通过u，v对x求导根据其定义最后相加。
2、复合分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
复合求导要运用链式法则。
即函数z=f（x，y），其中x=g（t），y=h （t），g（t）和h（t）是可微函数。
假设z=f（u，v）的每一个自变量都是二元函数，也就是说，u=h（x，y），v=g（x，y），且这些函数都是可微的。
3、复合函数求导的前提是复合函数本身及所含函数都可导。
函数四则运算的算式并不需要一定有四种运算符号，一般指由两个或两个以上运算符号及括号，把多数合并成一个数的运算。
数学中的复合函数函数的复合与分解
数学中的复合函数函数的复合与分解数学中的复合函数：函数的复合与分解数学中的复合函数是指由两个或多个函数组合而成的函数。
在数学领域中，复合函数是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析各种数学问题。
本文将介绍复合函数的概念，以及如何进行函数的复合与分解。
一、复合函数的定义与性质复合函数是由两个或多个函数构成的新函数。
设有函数f(x)和g(x)，如果g的定义域是f的值域，那么可以定义g与f的复合函数，记作g(f(x))，它的定义为：g(f(x))=g∘f(x)。
复合函数的计算方式是先计算内层函数（即f(x)），再将结果作为外层函数（即g(x)）的自变量进行计算。
复合函数的性质包括：1. 结合律：对于函数f(x)，g(x)和h(x)，有(g∘f)∘h=g∘(f∘h)，即复合函数的结果与计算顺序无关。
2. 幺元：对于任意函数f(x)，都有f∘I(x)=f(x)，其中I(x)是恒等函数。
3. 逆元：对于可逆函数f(x)，复合函数f∘f^(-1)(x)和f^(-1)∘f(x)都等于自变量x。
二、函数的复合与分解函数的复合与分解是指利用已知的函数（包括基本函数和已知的复合函数）构造新的函数或将一个函数分解成多个函数的组合。
1. 函数的复合函数的复合即为将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
设有函数f(x)和g(x)，函数g的定义域是f的值域，那么可以定义g与f的复合函数，记作g(f(x))，表示先通过函数f(x)计算出一个中间结果，再将该结果作为g(x)的输入进行计算。
例如，设f(x)=2x，g(x)=x+1，那么可以计算g(f(x))，首先计算f(x)=2x，然后将其代入g(x)中得到g(f(x))=f(x)+1=2x+1。
2. 函数的分解函数的分解是将一个函数拆解成多个函数的组合。
这在求解复杂函数问题时非常有用。
分解可以按照多种方式进行，取决于具体的问题和需要。
例如，设有复合函数g(f(x))=h(x)，我们可以将g(x)拆解为f(x)和h(x)的组合，即g(x)=f(h(x))。
复合函数含义
复合函数含义：函数y=log 2x 是对数函数，那么函数y=log 2(2x-1)是什么函数呢?我们可以这样理解：设y=log 2u ，u=2x-1，因此函数y=log 2(2x-1)是由对数函数y=log 2u 和一次函数u=2x-1经过复合而成的。
一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。
简言之：复合函数就是: 把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: f(x) = 3x+5, g(x) = x 2+1; 复合函数f(g(x))即把f(x)里面的x 换成g(x),f(g(x)) = 3g(x)+5 = 3(x 2+1)+5 = 3x 2+8.对于有关复合函数定义域问题我们可以分成以下几种常见题型： （一）求复合函数表达式； （二）求复合函数相关定义域； （三）复合函数的单调性； （四）函数性质等与复合函数结合。
新课程中复合函数相关题： 7，如果tt t g t t t f -=+=1)(,1)(，证明：)(2)()(2t g t g t f -=-。
8、已知函数)(x f 与)(x g 分别由下表给出，那么_____________________))1((=f f _____________________))2((=g f _____________________))3((=f g _____________________))4((=g g9、设函数32)(+=x x f ，函数53)(-=x x g ，求))(()),((x f g x g f 。
7、已知)(x f 是一个定义在R 上的函数，求证：（1）)()()(x f x f x g -+=是偶函数；（2）)()()(x f x f x h --=是奇函数。
浅谈复合函数
浅谈复合函数复合函数是一种非常有用的数学工具，它可以用来描述多个函数之间的关系。
在本文中，我们将讨论复合函数的定义、性质以及如何求解复合函数。
首先，让我们来了解一下复合函数的定义。
定义：若函数 f 和 g 都是定义在一个集合 D 上的函数，则将函数 g 当作函数 f 的输入，并得到函数 h，则称函数 h 为函数 f 和 g 的复合函数，记作 h = f(g(x))。
例如，若函数f(x)=x^2+1，函数g(x)=x+1，则函数h = f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^2+1。
注意，复合函数的定义并不是将函数 f 和 g 相乘或相加，而是将函数 g 作为函数 f的输入。
现在，让我们来看一看复合函数的一些性质。
性质 1：复合函数的定义域是函数 g 的定义域。
性质 2：复合函数的值域是函数 f 的值域。
性质 3：若函数 f 和 g 都是单射函数，则复合函数 h 也是单射函数。
性质 4：若函数 f 和 g 都是可导函数，则复合函数 h 也是可导函数。
性质 5：若函数 f 和 g 都是连续函数，则复合函数 h 也是连续函数。
接下来，我们来讨论如何求解复合函数。
假设我们已经知道函数 f 和 g，并想要求出复合函数 h。
那么，我们需要做的就是将函数 g 代入函数 f 中，并得到函数 h。
例如，若函数f(x)=x^2+1，函数g(x)=x+1，则函数h = f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^2+1。
注意，在求解复合函数时，我们需要先将函数 g 代入函数 f 中，再得到函数 h。
因此，我们可以将复合函数表示为 h(x)=f(g(x))。
此外，我们还可以使用复合函数的运算法则来求解复合函数。
这一运算法则规定，若函数 f 和 g 分别为函数 h 和 k 的复合函数，则函数 f 和 g 的复合函数为(f∘g)(x)=f(g(x))。
例如，若函数 f(x)=x^2+1，函数 g(x)=x+1，函数 h(x)=x^3+1，函数 k(x)=x+2，则函数 f 和 g 的复合函数为(f∘g)(x)=f(g(x))=(x+1)^2+1，函数 h 和 k 的复合函数为(h∘k)(x)=h(k(x))=(x+2)^3+1。
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浅谈对复合函数概念的理解 阮
晓 锋
若u=g(x)是从A 到M 上的函数，而y=f(u)是从M 到B 内的一个函数，则称从A 到B 的映射为从A 到B 的复合函数，记作y=f [g(x)]，其中被u 称为复合函数的中间变量，u=g(x),x єA 叫内函数，而y=f(u),u єM 叫外函数。
理解：⑴复合函数的定义域即为其内函数的定义域；
⑵对复合函数y=f [g(x)]而言，如果函数f(x)的定义域为A,则y=f [g(x)]的定义域为 使得g(x)єA 的x 的取值集合；
⑶若函数y=f [g(x)]的定义域为A ，则函数f(x)的定义域恰为u=g(x)，x єA 的值域。
例1：设函数f(x)的定义域为[-2,1]，则函数⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f 1-的定义域为（B ） A.(0,+∞) B.[
31,+∞) C.(-∞,0)∪[31,+∞) D.[3,+∞) 解：由x 1
-x є[-2,1]解得x ≥31,故选B.
例2：若函数y=lg(1a 2++ax x
)的定义域为R ，求实数a 的取值范围；若该函数的值域为 R ，求实数a 取值范围。
解：⑴函数y=lg(1a 2++ax x )的定义域为R 即1a 2++ax x >0对x єR 恒成立
①当a=0时，显然1a 2++ax x >0对x єR 恒成立；
②当a ≠0时，则得⎪⎩⎪⎨⎧<⨯⨯>014-0
a 2a a
解之得0<a<4 综上得：此时实数a 取值范围为[0,4）
⑵若该函数的值域为则y 可取任意实数。
从而由1a 2++ax x =10y 知（0，+∞）{}1y 2++=⊆ax a y x
当a=0时显然不满足上面的要求
∴得 ⎪⎩⎪⎨⎧≥⨯⨯>0
14-0
a a 2a 解之得a ≥4 故此时实数a 取值范围为[4，+∞）。
练习
题1：⑴若f(x)的定义域为[2,4]，则f(
1x 1+)的定义域为____; ⑵若f(1x 1
+)的定义域为[2,4]，则f(x)的定义域为____.
题2：已知函数86-2++=m mx m y x 的定义域为R ⑴求实数m 的取值范围；
⑵当m 变化时，若y 的最小值为f(m),求f(m)的值域。
题3：已知函数f(x)=bx +ax 2,若至少存在一个正实数b,使得函数f(x)的定义域与值域 相同，求实数a 的取值范围。
附答案提示：
题1：⑴填[31
，1]；⑵填[23
,45，]； 题2：⑴为[0,1]；⑵为[0，22]。
题3：分a<0,a=0,a>0三种情况讨论，可得a=0或-4.。