常数项数概念与性质

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常数项级数的概念和性质

∞
lim u n = lim ( S n − S n −1 )
n →∞ n →∞
= lim S n − lim S n −1
n →∞ n →∞
= S −S =0
例4. 判别 ∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
n 的敛散性. n +1
(−1) n −1 n = 1, 解：由于 lim | u n |= lim n →∞ n →∞ n +1
一、问题的提出
1. 计算圆的面积正六边形的面积 a1 正十二边形的面积 a1 + a 2
n 正 3 × 2 形的面积 a1 + a 2 + L + a n
R
即 A ≈ a1 + a2 +L+ an 1 3 3 3 3 2. = + + +L+ n +L 3 10 100 1000 10
二、常数项级数的概念
n =1 ∞
S n = ∑ u k = u1 + u 2 + L + u n ,
k =1
n
称为常数项级数的部分和. 若 lim S n = S 存在，则称级数 ∑ u n 收敛， n →∞
n =1 ∞
∑ S称为级数的和： u n = S .
n =1
∞
观察雪花分形过程
设三角形周长为 P1 = 3, 3 ; 面积为 A1 = 4 第一次分叉：第一次分叉：
1.常数项级数的定义 1.常数项级数的定义设有数列{un}:u1, u2, …, un, …, 则称表达式
∑u
n =1
∞
n
= u1 + u 2 + L + u n + L

3常数项级数的基本概念和性质

性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.
*证设 S
n 1
un 收敛，任意加括弧,
1 1 1

( u1 un ) ( un
un )
2
( un
k 1 1
un )
k
令 vk un
k 1 1
un
n
n

lim σ n
cS
σ n cS n
故 c un 收敛 , 其和为 c S .
n 1
推论1 若c 0, 则 un与 cun 敛散性相同 .
n 1 n 1
性质2 设收敛级数 S 也收敛, 其和为 S σ . 注

n 1
un , σ

n 1
例
判断级数的敛散性
1 2 1
1 2 1

1 3 1
1 3 1

1 4 1
1 4 1
解
加括号级数
一般项
发散 , 故原级数发散 .
收敛
发散
例4
判断级数的敛散性
1 2 1 2 1 2
2
11

1 3

1 2
n

1 n

解加括号级数为
n 1
( un vn ) (1 1) ( 2 2 ) (
(

1
1
1 2 1
2
2

1 3 1
n
)
)
n
由于 un
n 1
n 1 n 1

常数项级数的概念和

n(n 2
1)
.
ln im snln im n(n21), ∴所给级数是发散的. 3

定义如果级un数的部分{和 sn}有数极列 s，限
n1

则称级 un数收敛，并 un且 s.
n1
n1
例2 判定级数1 的收敛 . 性
课堂练习判别级数1 的敛散. 性
P255.4(3)
n2 n 3
解ln im un
1 lim
3 nn

级数
1 发散.
lim
n
1
1
3n
1 1 0. 1
|q|1,
该级数收敛,

并且

4
n

n0 5

1
1
4
5.
5
9
二、收敛级数的基本性质

性质1 设常k数 0,则kun与un有相同的敛
n1
n1

证设u n的部sn 分 u 1 和 u 2 为 u n;
n 1
则knu 的部n 分 k1 u 和 k2u 为 knu ksn . n 1
( u 1 u 2 u n ) ( v 1 v 2 v n ) snn,
ln i m nln i (m snn)s,

(un vn)收敛，且其和s为．
n1
11

性质2 如果级数 un、 vn分别收敛s、于 , 和

例3 讨论等a比 nq aa 级 qa数 2q anq
n0

7.1常数项级数的概念和性质

| an – a |
3. 有关性质： (1) 单调有界数列必收敛.
(2) 如果一数列收敛于S，那么其任一子数列均收敛于S.
lim s2 n1 = S，则 (3) 若 lim s2 n = S， n
n n n
1
lim sn = S
n
2
(4) 设 lim sn = S1， lim sn = S2，若S1≠S2，则数列Sn发散；若 S 1= S 2，则数列Sn 可能收敛也可能发散.
二、级数的基本性质
性质 1 级数 an 与任一余项级数
n 1

an ( k 1) n k 1

有相同的敛散性.
证明
a n a k 1 a k 2 a k n n k 1
n ak 1 ak 2 ak n sn k sk ,
性质 3

设两收敛级数 a n s , bn ,则级数
n 1 n 1

(an bn ) 收敛,其和为 s . n 1
结论: 收敛级数可以逐项相加或逐项相减.
思考:
1. 若级数 an 与 bn 一个收敛一个发散 , 级数
n 1 n 1
(an bn ) 敛散性如何? n 1
级数发散.
综上
当 | q | 1 时 , 收敛 aq 当 | q | 1 时 , 发散 n 0
n
例4 一个球从a米高下落到地平面上.球每次落下距
离h后碰到地平面再弹起的距离为rh,其中r是小于1的正
数.求这个球上下的总距离.
2ar a(1 r ) . s a 2ar 2ar 2ar a 1 r 1 r

常数项级数的概念和性质

3
幂级数求和法的优点是适用于特定的幂级数，可以快速得到级数的和。然而，对于非幂级数，这种方法不适用。
04 常数项级数的应用
在数学分析中的应用
数学分析中的极限理论
常数项级数在数学分析中用于研究函数的极限行为，例如通过级数的收敛性来研究函数的连续性和可积性。
函数逼近
常数项级数可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函数展开成级数的形式，可以更方便地研究函数的性质和进行近似计算。
常数级数的概念和性质
contents
目录
• 常数项级数的定义 • 常数项级数的性质 • 常数项级数的求和 • 常数项级数的应用 • 常数项级数的扩展
01 常数项级数的定义
有限级数和无穷级数
有限级数
级数的项数是有限的，可以表示为几个常数相加的形式。
无穷级数
级数的项数是无限的，可以表示为无穷多个常数相加的形式。
在物理中的应用
热力学中的熵
在热力学中，常数项级数用于计算熵，熵是系统无序度的量度，对于理解系统的热力学行为具有重要意义。
波动方程的解
在物理中，常数项级数用于求解波动方程，例如在声学和电磁学中，通过级数的形式来表示波的传播。
在工程中的应用
电路分析
在电路分析中，常数项级数用于表示和计算电路中的电流、电压和功率等参数，有助于理解和优化电路的性能。
应用
复数项级数在数学、物理和工程等领域有广泛的应用，如傅里叶分析、量子力学和电路分析等。
函数项级数
定义
函数项级数是各项为函数的级数，可以表示为 $sum_{n=0}^{infty} f_n(x)$，其中$f_n(x)$是函数。
性质
函数项级数的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件，如一致收敛、逐点收敛等。

常数项级数的概念和..

n1
n1
如果 {sn } 没有极限，则称级数 un 发散．
n1
例1 证明级数 1 2 3 n 是发散的.
证这级数的部分和为
sn 1 2 3 n
n(n 1) . 2
lim
n
sn
lim
n
n(n 1) 2
,
∴所给级数是发散的.
3
定义如果级数 un 的部分和数列{sn } 有极限s，
3
7
a aq aq2
aqn
aqn
n0
| q | 1时, 收敛,
|
q
|
1
时,
发散.
并且 aqn
a
( q 1). (P250例 1)
n0
1q
课堂练习
判定级数
5 3
52 32
53 33
(1)n
5n 3n
的敛散性.
解为等比级数，公比q 5 . 3
| q | 1, 该级数发散.
n0
(a 0, q为公比) 的收敛性.
解
若q
q
1,
1时, sn
则 lim q n n
a aq aq2 aqn1
0，
lim
n
sn
a， 1q
1 qn
a
.
1q
级数收敛.
若 q 1,
则 lim q n n
，
lim
n
sn
，级数发散．
q 1时,
若q 1,
则
lim
n
sn
lim na
n
，级数发散，
若
q
1,
则lim n

第一节常数项级数的概念与性质

性质4 若级数 un收敛，则对级数的项任意加括号后所成
n 1

的级数仍然收敛，且其和不变. 即若s u1 u2 un1 un1 1 un2 成立，则
s u1 u2 un1 un1 1 un2 也成立
n 1

如果级数 un的部分和数列sn 没有极限，则称级数 un发散.
n 1 n 1
记 rn s sn un1 un2 ，称为级数的余项.
1 例1 判别级数的敛散性. n 1 n n 1

解级数的一般项可变形为 1 1 1 un n n 1 n n 1 所以级数的部分和为
性质2 若级数 un , vn分别收敛于s与，则级数
n 1 n 1

u
n 1

n
vn 收敛于s ；级数 un vn 收敛于s .

n 1
性质3 在级数 un的前面部分去掉或添加有限项，
n 1
级数的收敛性不变. 但级数的和会改变！
可见改变级数的有限项，不改变级数的敛散性，但改变级数的和！
1 例4 证明：调和级数发散. n 1 n 1 证明：假设调和级数收敛于s. n 1 n 则应有 lim sn s, lim s2 n sn n Nhomakorabea
所以有 lim s2n sn 0
n
而 s2n sn un1 un2 u2n
n
2 当公比 q 1时，
若q 1 ，则级数的部分和为sn na n ；
若q 1，则级数的部分和为sn a 1
n 1 n 1

常数项级数的概念和性质

则式子 u1 u2 u3 un
称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数。
记作
u ，即 u
n
Hale Waihona Puke nn 1n 1
u1 u2 un
其中 un 称为级数的一般项（或通项），
问题： un 存在不存在？ (即有没有和数)
n 1

2 . 部分和数列一数列中有限项相加总是有和数的，
用 Sn 近似代替 S 产生的误差为 | rn | ,
且因为 n 时, Sn S，所以 rn 0 .
例
题
例1. 讨论等比级数 (几何级数) 的敛散性：

aq n 1 a aq aq 2 ... aq n ...
(a 0, q为公比）
n 1
n 1
, un Sn Sn1 ,
n 1
un

{ Sn }
现通过研究 { Sn } 来研究级数。
3. 级数的收敛和发散
定义：设级数
n
un ，对应的部分和数列 Sn ，
n 1

若 lim S n S 存在，则称
un 收敛 ,
n 1

(C)
convergence
n 1 n 1

则
(un vn ) s un vn .
n 1
收敛级数可逐项相加减。
推论：若
则
un (C ) , vn ( D) , n 1
n 1

(un vn )
n 1

( D) .
推论： (C) + (D) => (D)

§9.1常数项级数的概念与性质

un 2
L
)
0.
注：rn un1 un2 L 称为级数 un的余项。 n1
例 7 判定下列级数的敛散性：
n
(1) n ln
n1n11 2(2)[ n1 n
3n
]
定理 2(Cauchy收敛准则)
级数 un收敛的充分要条件为： n1
对于任给的 0,存在正整数N，使当n>N时，对任
意正整数p，总有
（2）一个收敛级数与一个发散级数逐项相加所组成的级数一定发散。
性质 3 在级数中去掉或加上有限多项，不改变级数的敛散性。
如 a1 1,
q1 2
的等比级数1 1 1 1 248
是收敛的，
其和
S
1 1 1
2
，
2
减去它的前五项得到的级数 1 1 1 仍收敛， 32 64 128
1
其和
n1
推论1 乘以非零常数不改变级数的敛散性。
性质 2 若级数 un 和 vn 都收敛，其和分别为 S 与 T ，
n1 n1
则级数 (un vn ) 也收敛，其和为S T 。
n1
即：两个收敛级数逐项相加（或相减）所得的级数收敛。
例 6．试问下列说法是否正确，并说明理由或举例。（1）两个发散级数逐项相加所组成的级数一定发散。
n
n1
称 S 为级数的和，记为 un S 。若部分和数列Sn
n1
极限不存在，则称级数 un 发散。
n1
例 1.判别级数
1 的敛散性，若收敛，求其和。
n1n(n 1)
例 2. 讨论等比级数（几何级数） aqn (a 0) 的敛散性。
n0
注：
aq

12-1常数项级数的概念和性质

n1
n1
n1
即收敛级数可以逐项相加与逐项相减．

例6 若级数 an 与 bn 均发散，
n1
n1

则级数 (an bn )是否必发散？ (1987)
n1
解结论是错误的．
例如级数 ln n 1 及 ln n 1 均发散，
n1
n
n1
n
但级数 [ln n 1 ln n 1] 0 是收敛的．
23
n
n1 n
n
2. 级数的部分和与部分和数列

n
设有级数 un，其前 n 项的和 sn ui
n1
i 1
称为级数的部分和．它所构成的数列 sn
s1 u1， s2 u1 u2，，sn u1 u2 un，
称为级数的部分和数列．
3. 级数的敛散性

aqn a aq aq2 aqn (a 0) 的敛散性．
n0
解
当
|
当 q 1 时，sn q | 1时，lim qn
n
a
aq 0，
aq2 lim
n
sn
1
aqn1 a. q
a1 qn 1q
收敛
当综当当上q|qq所|述111时ln时i时m，，，ssansnqn不 lninm存a当nqa在 n，|aq．| 发a，1ln散i时m,lns收inm(敛s1n于)n.11a发a.q散发.a0散nn为为偶奇数数，
第十二章质
一、常数项级数的概念
1. 常数项级数的定义
设有数列 un：u1，u2，，un，，按其次序求和
u1 u2 u3 un un 称为(常数项)级数．

常数项级数的概念与基本性质

第一节常数项级数的概念与基本性质
一、基本概念
级数：a1 a2 an an n1
一般项：a n
部分和：sn a1 a2 an
部分和数列：(
s
n
)
பைடு நூலகம்
n1
有限数
若
lim
n
s
n
s，则称级数收敛，并称
s
an 为级数的和；
n1
否则称级数发散。
余项： rn s sn
例1、证明：几何级数（等比级数） aqn (a 0) 收敛， n0
性质4：如果级数收敛，则当 n 时它的一般项趋于零。
推论5：若 n 时，一般项不趋于零，则级数发散。
lim
n
an
0
?
an收敛
n1
例4、判别下列级数的敛散性，若收敛则求其和。
n
(1) cos
n1
3
1
( 2) n1 n n
n2 1
(3) ln
n2
n2
作业习题9-1：1（偶数题）、2（奇数题）
或说级数中去掉或加进有限多项不改变级数的
敛散性。
推论1：任意改变级数中的有限多项不影响级数的敛散性。
性质2：（1）若级数 an 收敛，其和为 s ，则对任意 n1
常数 k ，级数 kan收敛，且其和为 ks 。 n1
（2）若级数 an 、 bn 分别收敛于和 s 、，即
n1
n1
an s ， bn
n1
n1
则级数 (an bn )也收敛，其和为 s 。 n1
推论2：若 k 0 ，则级数 an与 kan有相同的敛散性。
n1
n1
推论3：两个收敛级数可以逐项相加或相减。

12.1 常数项级数的概念和性质

敛的（具体解释见课本 253、254 页）。
2．级数的部分和：级数 un 的前 n 项的和
n 1
sn u1 u2 u3 un ui
i 1
n
称为级数 un 的部分和。
n 1
例： s1 u1 ， s2 u1 u2 ， s3 u1 u2 u3 。

3．级数的收敛与发散：对于级数 un ，
注 2：一般来说，一般项的极限为 0 不能保证级数一定为收敛的，即：

lim un 0 级数 un 收敛
n
n 1
比方说，虽然 lim
1 1 1 1 lim 2 0 ，但是，级数是发散的，而级数 2 是收 n n n n n 1 n n 1 n
第一节常数项级数的概念和性质
1．常数项无穷级数：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , ，则称

u
n 1
n
u1 u2 u3 un
为常数项无穷级数，记为 un ，简称为级数，且将数列 u1 , u2 , u3 , , un , 中的第
1 1 2n
1 对部分和 sn 取极限，得： lim sn lim 1 n n n 2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 于是，级数 n 是收敛的，且 n 1 2 4 8 2 2 4 8 2
例 3：考虑级数
1 1 1 1 的收敛性。 1 2 2 3 3 4 n(n 1) 1 1 1 ，从而级数的部分和为 n(n 1) n n 1
该级数的一般项为 un
sn

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并写成
如果没有极限则称无穷级数发散
余项当级数收敛时其部分和sn是级数的和s的近似值它们之间的差值
rnssnun1un2
叫做级数的余项
例1讨论等比级数(几何级数)
的敛散性其中a0q叫做级数的公比
例1讨论等比级数 (a0)的敛散性
解如果q1则部分和
当|q|1时因为所以此时级数收敛其和为
当|q|>1时因为所以此时级数发散
性质4如果级数收敛则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛且其和不变
应注意的问题如果加括号后所成的级数收敛则不能断定去括号后原来的级数也收敛例如级数
11)+11)+收敛于零但级数1111却是发散的
推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散
级数收敛的必要条件
性质5如果收敛则它的一般项un趋于零即
性质5如果收敛则
证设级数的部分和为sn且则
应注意的问题级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件
例4证明调和级数
是发散的
例4证明调和级数是发散的
证假若级数收敛且其和为ssn是它的部分和
显然有及于是
但另一方面
故矛盾这矛盾说明级数必定发散
§111常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
常数项级数给定一个数列
u1u2u3un
则由这数列构成的表达式
u1u2u3un
叫做常数项)无穷级数简称常数项)级数记为即
其中第n项un叫做级数的一般项
级数的部分和作级数的前n项和
称为级数的部分和
级数敛散性定义如果级数的部分和数列有极限s即
则称无穷级数收敛这时极限s叫做这级数的和
性质1如果则
这是因为设与的部分和分别为sn与n则
这表明级数收敛且和为ks
性质2如果级数、分别收敛于和s、则级数也收敛且其和为s
性质2如果、则
这是因为如果、、的部分和分别为sn、n、n则
性质3在级数中去掉、加上或改变有限项不会改变级数的收敛性
比如级数是收敛的
级数也是收敛的
级数也是收敛的
显然因此所给级数是发散的
例3判别无穷级数
的收敛性
解由于Leabharlann 因此从而所以这级数收敛它的和是1
例3判别无穷级数的收敛性
解因为
从而
所以这级数收敛它的和是1
提示
二、收敛级数的基本性质
性质1如果级数收敛于和s则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛且其和为ks
性质1如果级数收敛于和s则级数也收敛且其和为ks
如果|q|1则当q1时snna因此级数发散
当q1时级数成为
aaaa
时|q|1时因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零
所以sn的极限不存在从而这时级数也发散
综上所述如果|q|1则级数收敛其和为如果|q|1则级数发散
仅当|q|1时几何级数 a0)收敛其和为
例2证明级数
123n
是发散的
证此级数的部分和为