第二讲：曲线的参数方程ppt课件
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第二讲：曲线的参数方程
1．第二讲：曲线的参数方程参数方程的概念1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t的函数：＝f （t ）＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y＝f （t ）＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程如图圆O 与x 轴正半轴交点M 0(r ，0)．(1)设M (x ，y )为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O的参数其中参数θ的几何意义是OM 0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M 0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM 0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O 其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐3．参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为（x －h ）2a 2＋（y －k ）2b 2＝1，则其参数方程为φ是参数)．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝12．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．三直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M ＝x 0＋t cos α＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)＝x 0＋at ＝y 0＋bt(t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．四渐开线与摆线（了解）1．渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．(2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为φ是参数)．。
高中数学人教A版选修4-4第二讲 一 1. 参数方程的概念 课件
[思路点拨] 此类问题关键是参数的选取．本例中由于 A、 B 的滑动而引起点 P 的运动，故可以 OB 的长为参数，或以角 为参数，不妨取 BP 与 x 轴正向夹角为参数来求解．
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy＝＝bascions
θ， θ.
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a， 射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线 交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ， 由 PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝ 2acos2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy＝＝22aatcaons2θθ，， θ∈－π2，π2.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线x＝2t ， (t为参数)上，则a等于(
)
y＝2 t
A．4
B．4 2
C．8
D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得
4＝2t ， a＝2 t
⇒ta＝＝84，2.
答案：B
3．在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线 位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________． 解：由 t＋1t ＝2 知 t＝1. 答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy＝＝bascions
θ， θ.
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a， 射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线 交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ， 由 PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝ 2acos2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy＝＝22aatcaons2θθ，， θ∈－π2，π2.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线x＝2t ， (t为参数)上，则a等于(
)
y＝2 t
A．4
B．4 2
C．8
D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得
4＝2t ， a＝2 t
⇒ta＝＝84，2.
答案：B
3．在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线 位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________． 解：由 t＋1t ＝2 知 t＝1. 答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-2第二讲-参数方程
【解】
如图所示：
由动点C在该椭圆上运动，故可设C的坐标为(6cosθ，3sinθ)， 点G的坐标为(x，y)，由题意可知A(6,0)，B(0,3)，由三角形重心坐 标公式可知：
x＝6＋0＋6cosθ＝2＋2cosθ， 3 0＋3＋3sinθ y＝ ＝1＋sinθ. 3 x－22 由此，消去参数θ，得到所求的普通方程为 4 ＋(y－1)2＝ 1.
x－1＝cosθ， 3 【解】 (1)由题意可设 y＋2 ＝sinθ， 5
x＝1＋ 3cosθ， y＝－2＋ 5sinθ
即
(θ为参数)为所求．
2 2 x y (2)x2－y2＝4变形为： 4 － 4 ＝1.
x＝2secα， ∴参数方程为 y＝2tanα
2 x ＝ 2 pt ， 2 2．抛物线y ＝2px(p>0)的参数方程为 y＝2pt
y 1 由于 x ＝ t ，因此参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的点与 抛物线的顶点连线的斜率的倒数． 3．几个结论 x2 y2 (1)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 b2 ＋ a2 ＝1(a>b>0)，其参 数方程是 [0,2π)．
x2 y2 a2＋b2＝1
x＝acosφ， y＝bsinφ
x2 y2 a2－b2＝1
x＝asecφ， y＝btanφ
点的坐标
(rcosθ， rsinθ)
(acosφ，bsinφ)
(asecφ，btanφ)
这三种曲线的参数方程都是参数的三角形式．其中圆的参数θ 表示旋转角，而椭圆、双曲线的参数φ表示离心角，几何意义是不 同的，它们的参数方程主要应用价值在于： (1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标； (2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角 函数性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题．
曲线的参数方程 课件
(为参数).
= 2sin
故点M的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆.
反思利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见的题型,是圆的
参数方程的主要应用之一.
参数方程与普通方程的互化
= 1 + 4cos,
【例 3】 指出参数方程 = -2 + 4sin (为参数)表示什么曲线.
解:(x-1)2+(y+2)2=16cos2t+16sin2t=16,
(2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持
一致.
= 1 + 2cos,
【做一做 3-1】 将参数方程
(为参数)
= 2sin
化为普通方程为
.
-1 = 2cos,
解析:由
= 2sin,
两式平方相加,得(x-1)2+y2=4.
答案:(x-1)2+y2=4
【做一做3-2】 已知圆的方程为x2+y2-6y=0,将它化为参数方程.
解:由x2+y2-6y=0,
得x2+(y-3)2=9.
令x=3cos θ,y-3=3sin θ,
= 3cos,
所以圆的参数方程为
(为参数).
= 3 + 3sin
1.曲线参数方程的特点
剖析曲线的普通方程直接反映了一条曲线上的点的横、纵坐标
之间的联系,而参数方程是通过参数间接反映坐标变量x,y间的联系.
= (),
通方程,求出另一个变数与参数的关系 y=g(t),那么
= ()
就是所求的曲线的参数方程.
(3)消参的常用方法
①代入法.先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表
= 2sin
故点M的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆.
反思利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见的题型,是圆的
参数方程的主要应用之一.
参数方程与普通方程的互化
= 1 + 4cos,
【例 3】 指出参数方程 = -2 + 4sin (为参数)表示什么曲线.
解:(x-1)2+(y+2)2=16cos2t+16sin2t=16,
(2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持
一致.
= 1 + 2cos,
【做一做 3-1】 将参数方程
(为参数)
= 2sin
化为普通方程为
.
-1 = 2cos,
解析:由
= 2sin,
两式平方相加,得(x-1)2+y2=4.
答案:(x-1)2+y2=4
【做一做3-2】 已知圆的方程为x2+y2-6y=0,将它化为参数方程.
解:由x2+y2-6y=0,
得x2+(y-3)2=9.
令x=3cos θ,y-3=3sin θ,
= 3cos,
所以圆的参数方程为
(为参数).
= 3 + 3sin
1.曲线参数方程的特点
剖析曲线的普通方程直接反映了一条曲线上的点的横、纵坐标
之间的联系,而参数方程是通过参数间接反映坐标变量x,y间的联系.
= (),
通方程,求出另一个变数与参数的关系 y=g(t),那么
= ()
就是所求的曲线的参数方程.
(3)消参的常用方法
①代入法.先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表
曲线的参数方程讲解35页PPT
是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
曲线的参数方程 课件
【解】 如图，设 OQ 是经过原点的任意一条弦，
OQ 的中点是 M(x，y)，设弦 OQ 和 x 轴的夹角为 θ，取 θ 作
为参数，已知圆的圆心是 O′，O′(a,0)⊥OO′，那么|OM|＝acos θ，
所以xy＝＝||OMMM′′||＝＝||OOMM||csoins
名师点评
(1)消去参数的常用方法． ①如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、 加减消元法． ②如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之 前要做必要的变形．
③另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如 sin2α＋cos2α ＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2＝4，11＋－kk222＋1＋2kk22＝1 等．
θ＝acos2θ， θ＝acos θsin
θ，
(θ 为参数)
这就是所求轨迹的参数方程．
名师点评
引入参数 θ 后，根据圆的中点弦的性质结合变量 x，y 的几何 意义，用半径 a 及参数 θ 表示坐标 x，y 即可得出曲线的参数方程．
要点二 圆的参数方程的应用 1.圆的参数方程
(1)圆心在原点，半径为 r 的圆的参数方程为
标是(x，y)，那么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角
函数定义，有 cos ωt＝xr，sin ωt＝yr，即圆心在原点 O，半径为 r
的圆的参数方程为xy＝＝rrcsions
ωt， ωt
(t 为参数)，其中参数 t 的物理
意义是__质___点__作__匀__速__圆__周__运__动__的__时__刻_____．
特别提醒
参数 t 是联系 x，y 的桥梁，它可以有物理意义或几何意义， 也可以是没有明显实际意义的变数．
问题探究 1：参数方程与普通方程有什么区别和联系？ 提示：
曲线的参数方程课件
(1)x＝12sin2θ， (θ为参数)； y＝sinθ＋cosθ
x＝1t ， (2)y＝1t t2－1
(t为参数)．
【分析】 观察题目的特点．(1)可用代入消元法．(2)可用加 减消元法，在转化过程中要保证等价性．
【解】 (1)由y2＝(sinθ＋cosθ)2 ＝1＋sin2θ＝1＋2x， ∵－12≤12sin2θ≤12，
2．圆的参数方程 (1)圆 x2＋y2＝r2 的参数方程通常写为________(θ 为参数)． (2) 圆 (x － a)2 ＋ (y － b)2 ＝ r2 的 参 数 方 程 通 常 写 为
x＝a＋rcosθ， y＝b＋rsinθ
(θ 为参数)．
3．曲线的普通方程和参数方程的互相转化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般 地，可以通过________而从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如________， 把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系________，那么 ________，就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中， 必须使 x，y 的________保持一致.
往往需要消去参数，化为普通方程，消参的主要方法有代入消元
法，利用三角恒等式消参法两种．
(2)由普通方程化为参数方程
有时为了求变量的范围或求最值我们还需要把曲线的普通方
程化为参数方程．如：椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1就可以化为参数方程
x＝acosθ， y＝bsinθ
(θ为参数)．
应注意：普通方程化为参数方程时，由于选参不同，参数方
2．圆的参数方程
(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程中参数θ的几何意义 圆x2＋y2＝r2的参数方程为
2.2圆锥曲线的参数方程课件-高二A版数学(文)人教选修4-4
AD 20 cos, AB 16sin S 2016sin cos 160sin 2
所以, 矩形ABCD最大面积为160
D BA
2
AF
1
1
C
OF
B2
B
1
A XX
2
y
(为参数）
10sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x2 64
y2 100
1
二、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | b b • sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为 2，π3. (1)求点A，B，C，D的直角坐标；
例2 已知A，B分别是椭圆 3x62 ＋y92 ＝1的右顶点和上顶点，动点 C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程.
解 由题意知A(6,0)，B(0,3).由于动点C在椭圆上运动， 故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当
=0时，t=0.
几何意义为：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
所以, 矩形ABCD最大面积为160
D BA
2
AF
1
1
C
OF
B2
B
1
A XX
2
y
(为参数）
10sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x2 64
y2 100
1
二、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | b b • sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为 2，π3. (1)求点A，B，C，D的直角坐标；
例2 已知A，B分别是椭圆 3x62 ＋y92 ＝1的右顶点和上顶点，动点 C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程.
解 由题意知A(6,0)，B(0,3).由于动点C在椭圆上运动， 故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当
=0时，t=0.
几何意义为：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
参数方程 课件(共29张PPT)
解:根据题意,作出如图所示的单位圆.所要求的函数 f(θ)＝
sin cos
θθ－－12的最大值与最小值,就转化为求动点
P
与定点(2,1)
连线的斜率的最大值与最小值.从图可以得知,当直线 PM
和圆相切时,分别得到其最大值与最小值.设直线 PM 的斜
率为 k,所以,其方程为:y－1＝k(x－2),即 kx－y＋1－2k＝0.
2α(0＜α＜2π),M 为 PQ 的中点.
(1)求 M 的轨迹的参数方程;
(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的
轨迹是否过坐标原点.
【解】 (1)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),
因此 M(cos α＋cos 2α,sin α＋sin 2α).
2π).
(1)x2＋y2＝(－1＋2cos θ)2＋( 3＋2sin θ)2 ＝4( 3sin θ－cos θ)＋8＝8sin(θ－π6)＋8, ∴当 θ－π6＝π2,即 θ＝23π时,(x2＋y2)max＝16. (2)x＋y＝2(sin θ＋cos θ)＋ 3－1 ＝2 2sin(θ＋π4)＋ 3－1, ∴当 θ＋π4＝32π,即 θ＝54π时, (x＋y)min＝ 3－2 2－1.
变式训练
1.(2013·高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参 数方程为yy＝＝2t＋t 1， (t 为参数),曲线 C 的参数方程为
x＝2tan2θ， y＝2tan θ
(θ 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,
并求出它们的公共点的坐标.
解:因为直线 l 的参数方程为xy＝＝2t＋t 1 (t 为参数),由 x＝t＋ 1,得 t＝x－1,代入 y＝2t,得到直线 l 的普通方程为 2x－y－2 ＝0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2＝2x. 联立方程组yy＝2＝22xx－1 ,解得公共点的坐标为(2,2),(12,－ 1).
2.1曲线的参数方程 第二课时 课件(人教A版选修4-4)
1．直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆
x a rcos ， y b rsin (θ为参数)的圆心位于(
B)
A．第一象限 C．第三象限 A．(－1＋cos θ，sin θ) C．(－1＋2cos θ，2sin θ)
B．第二象限 D．第四象限 B．(1＋sin θ，cos θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ)
上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于点M.当点Q在圆C上运动
时，求点M的轨迹方程．
解析：设点 O 到 AQ 的距离为 d，则 1 1 |AM|· d＝ |OA|· |OM|· sin ∠AOM， 2 2 1 1 |QM|· d＝ |OQ|· |OM|· sin ∠QOM. 2 2 |AM| |OA| 2 → 2 → 又∵∠AOM＝∠QOM，∴ ＝ ＝ .∴AM＝ AQ. |QM| |OQ| 1 3 ∵点 Q 是圆 x2＋y2＝1 上的点， ∴设点 Q 的坐标为(cos θ， sin θ)，M(x，y)，得 2 (x－2，y－0)＝ (cos θ－2，sin θ－0)， 3 2 2 2 即 x－ ＝ cos θ，y＝ sin θ. 3 3 3 2 4 2 2 两式平方相加，得x－3 ＋y ＝ ， 9 2 4 2 2 ∴点 M 的轨迹方程为x－3 ＋y ＝ . 9
∵cos2t＋sin2t＝1，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4. 由于 0≤t≤π，∴0≤sin t≤1，从而 0≤y＋2≤2， 即－2≤y≤0. ∴所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
圆的直径AB上有两点C，D，且|AB|＝10，|AC|
把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形． 分析：把曲线的参数方程化为普通方程，就是将参数方 程中的参变量消去，常用的消参法有代入法、加减消元法、 乘除消元法、三角消元法，但要注意消去参数时变量范围的 一致性．
4-4第二讲双曲线、抛物线的参数方程经典课件
题组一： 写出下列双曲线的参数形式： 2 2 x y 1、 1 9 16 2 2 y x 2、 1 9 7 2 2 x y 3、 1 36 64 2 2 4、 3 x y 75
题组二： 已知双曲线的参数形式，写出普通式： 1
２
３
x 2sec y 3tan x 5sec y 7 tan 1 x sec 3 y tan
(0, )
y
x 2 py
2
o
x
令t tan
x 2 pt x 2 pt (t为参数) 2 y 2 pt (t R) y 2 pt2
﹒ ﹒ ﹒
y
图 形
o
焦
点
准
线
标准方程
x
y
o
x
y
o
x
y
﹒
o
x
例1：如图，O是直角坐标原点，A、B 是抛物线y2=2px (p>0)上异于顶点的两 动点，且OA⊥OB，OM ⊥AB并与AB 相交于点M，求点M的轨迹方程 y
x a sec 所以M的轨迹方程是 (为参数) y b tan
x2 y2 消去参数后，得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
双曲线的参数方程
x2 y2 - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为： 2 a b
a
y
A B' o B
•M
A' x
M
x
2 2 a2(sec2 -tan2 ) = sin2 = a tan a b ab . 4cos2 2 2 a 2
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，(3) -----抛物线的参数方程
第二讲①、 曲线的参数方程课件
可以由方程F(x,y)=0确定另一个变量的值;
(2)参数方程
x
f ( t ),
y g (t )
借助参数t,间接
给出曲线上点的坐标x ,y之间的关系，由于
是两个方程中含有x,y,t三个变量，因此自
由变量也只有一个，而且给定参数t的值，
就可以由方程组
x f ( t ), y g (t )
求出唯一对应x, y
的值，而且大多数情况下，参数方程中
参数的变化范围是有限制的.
圆的参数方程
图2 3
圆 周运动 是 生产 生活 中 定 轴作匀 速 转动 时 速 圆周运 动 中 点的位 置 呢
常 见的 . 当 物体绕
, 物 体中各 个 点都 作匀
图 2 3 . 那 么 , 怎 样刻画 运 动
y P
M
Q
o
x
解：设点 P 的坐标是 x
M 的坐标是
( x , y )， xOP , 则点
( 2 cos , 2 sin ), 由中点坐标公式得： cos 3 , y 2 sin 2 sin
2 cos 6 2
所以，点
M 的轨迹的参数方程是
解：参数方程 x y 2 0
x 1 t ( t 为参数 )的普通方程为 y 1 t
x 2 cos 曲线 ( 为参数 )的普通方程为 y 2 sin 解方程组 x y 2 0 得交点坐标为 2 2 x y 4
x y
2 2
( 为参数 ) 上任
（ A ）
意一点 , 则 ( x 5 ) ( y 4 ) 的最大值为
A、 36 C、 26
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y 1 2 t
20
解：（1）由x t 1 1有 t x 1 代入y 1 2 t ,得到y 2x 3 又x t 1 1,所以与参数方程等价的 普通方程是 y 2x 3(x 1) 这是以(1,1)为端点的一条射线 (包括端点)
21
y (1,-1)
o
x
22
例4、求椭圆x2 y2 1的参数方程 94
x y20
曲线xy
2 cos 2 s in
(为参数)的普通方程为x2
y2
4
解方程组x x
y 2 y2
2 0得焦点坐标为(2,0)和(0,2) 4
16
3、参数方程和普通方程的互化
x f (t)
y
g
(t)
17
注意：
18
参数方程化为普通方程的步骤：
19
例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明各 表示什么曲线？ （1）x t 1 (t为参数)
3t 2t 2
1
这个方程组无解，所以点M 2不在曲线C上。
5
(2)、因为点M3(6, a)在曲线C上，所以
6 a
3t 2t 2
解得t 1
2,
a
9
所以，a 9
6
2、方程xy
s in c os 2
(为参数)表示的曲线上
的一个点的坐标是 ( C )
A、(2,7)，B、(1 , 1 )，C、(1 , 1 )，D(1,0)
3 c os (为参数) 2sin
24
（2）把y 2t代入椭圆方程，得x2 4t 2 1 94
于是x2 9(1 t 2 ), x 3 1 t 2
所以，椭圆x2 y2 1的参数方程是 94
x 3
1 t 2 (t为参数)和x 3
1t2
y 2t
y 2t
25
小结：
（1）圆：（x－x0）2+（y－y0）2= r2
10
3、圆xy
r r cos r r sin
2
(为参数，r
0)的直径
是4，则圆心坐标是___（__2_，__1__）___
11
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程， （x+1）2+（y-3）2=1，
x 1 cos
1
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时时机呢？
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
2
1、参数方程的概念：
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合 成：
∴ 参数方程为
y
3
sin
(θ为参数)
12
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点， Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当 点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的 参数方程。
y
P M
o
Qx
13
解：设点M的坐标是(x, y)，xOP ,则点
P的坐标是(2 cos ,2sin ),由中点坐标公式得：
x 2 cos 6 cos 3, y 2sin sin
2
2
所以，点M的轨迹的参数方程是
x
y
cos s in
3(为参数)
14
5、若已知直线的参数方程为xy
1 1
t (t为参数) t
求它与曲线xy
2 c os 2 sin
(为参数)的交点。
15
解：参数方程xy
1 1
t (t为参数)的普通方程为 t
4
例1、已知曲线C的参数方程xy
3t, 2t 2
(t为参数) 1.
(1)、判断点M1(0,1),M 2 (5,4)与曲线C的位置关系
Байду номын сангаас
(2)、已知点M3(6, a)在曲线C上，求a的值。
解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t 0 所以M1在曲线C上。
把点M
2 (5,4)代入方程组，得到54
x x0 r cos
y
y0
r sin
（为参数）
（2）椭圆：x
a
2 2
y2 b2
1,(a
b
0)
（3）双曲线：ax22
y2 b2
1,(a
0,b
0)
x a cos
y
b
sin
x a sec
y
btg
（4）抛物线：y2= 2px （p>0）
x 2 pt2
y
2 pt
26
可以使其准确落在指定位置.
3
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数
x f (t),
y
g (t ).
（2）
那么方程(2) 就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数x,y 的变数t叫做参数.
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
（1）设x 3cos,为参数。
（2）设y 2t,t为参数
23
解：（1）把x 3cos代入椭圆方程，得到
9 cos2 y2 1,
94
所以y2 4(1 cos2 ) 4sin2 即y 2sin
由参数的任意性，可取y 2sin ,
所以椭圆 x2 y2 1的参数方程是 94
x
y
32
22
7
y
M(x,y)
r
o
M0 x
8
x y
x0 y0
r r
cos s in
(为参数)
对应的普通方程为(x x0 )2 ( y y0 )2 r 2
9
2、指出参数方程xy
2cos 5 3 2sin
(为参数)所
表示圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。
(x 5)2 ( y 3)2 4
（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。
y 500
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
垂直高度为y，所以
x 100t,
y
500
1 2
gt
2.
令y 0,
o
x 代入x 100t,得 x 1010m.
所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
20
解：（1）由x t 1 1有 t x 1 代入y 1 2 t ,得到y 2x 3 又x t 1 1,所以与参数方程等价的 普通方程是 y 2x 3(x 1) 这是以(1,1)为端点的一条射线 (包括端点)
21
y (1,-1)
o
x
22
例4、求椭圆x2 y2 1的参数方程 94
x y20
曲线xy
2 cos 2 s in
(为参数)的普通方程为x2
y2
4
解方程组x x
y 2 y2
2 0得焦点坐标为(2,0)和(0,2) 4
16
3、参数方程和普通方程的互化
x f (t)
y
g
(t)
17
注意：
18
参数方程化为普通方程的步骤：
19
例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明各 表示什么曲线？ （1）x t 1 (t为参数)
3t 2t 2
1
这个方程组无解，所以点M 2不在曲线C上。
5
(2)、因为点M3(6, a)在曲线C上，所以
6 a
3t 2t 2
解得t 1
2,
a
9
所以，a 9
6
2、方程xy
s in c os 2
(为参数)表示的曲线上
的一个点的坐标是 ( C )
A、(2,7)，B、(1 , 1 )，C、(1 , 1 )，D(1,0)
3 c os (为参数) 2sin
24
（2）把y 2t代入椭圆方程，得x2 4t 2 1 94
于是x2 9(1 t 2 ), x 3 1 t 2
所以，椭圆x2 y2 1的参数方程是 94
x 3
1 t 2 (t为参数)和x 3
1t2
y 2t
y 2t
25
小结：
（1）圆：（x－x0）2+（y－y0）2= r2
10
3、圆xy
r r cos r r sin
2
(为参数，r
0)的直径
是4，则圆心坐标是___（__2_，__1__）___
11
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程， （x+1）2+（y-3）2=1，
x 1 cos
1
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时时机呢？
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
2
1、参数方程的概念：
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合 成：
∴ 参数方程为
y
3
sin
(θ为参数)
12
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点， Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当 点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的 参数方程。
y
P M
o
Qx
13
解：设点M的坐标是(x, y)，xOP ,则点
P的坐标是(2 cos ,2sin ),由中点坐标公式得：
x 2 cos 6 cos 3, y 2sin sin
2
2
所以，点M的轨迹的参数方程是
x
y
cos s in
3(为参数)
14
5、若已知直线的参数方程为xy
1 1
t (t为参数) t
求它与曲线xy
2 c os 2 sin
(为参数)的交点。
15
解：参数方程xy
1 1
t (t为参数)的普通方程为 t
4
例1、已知曲线C的参数方程xy
3t, 2t 2
(t为参数) 1.
(1)、判断点M1(0,1),M 2 (5,4)与曲线C的位置关系
Байду номын сангаас
(2)、已知点M3(6, a)在曲线C上，求a的值。
解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t 0 所以M1在曲线C上。
把点M
2 (5,4)代入方程组，得到54
x x0 r cos
y
y0
r sin
（为参数）
（2）椭圆：x
a
2 2
y2 b2
1,(a
b
0)
（3）双曲线：ax22
y2 b2
1,(a
0,b
0)
x a cos
y
b
sin
x a sec
y
btg
（4）抛物线：y2= 2px （p>0）
x 2 pt2
y
2 pt
26
可以使其准确落在指定位置.
3
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数
x f (t),
y
g (t ).
（2）
那么方程(2) 就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数x,y 的变数t叫做参数.
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
（1）设x 3cos,为参数。
（2）设y 2t,t为参数
23
解：（1）把x 3cos代入椭圆方程，得到
9 cos2 y2 1,
94
所以y2 4(1 cos2 ) 4sin2 即y 2sin
由参数的任意性，可取y 2sin ,
所以椭圆 x2 y2 1的参数方程是 94
x
y
32
22
7
y
M(x,y)
r
o
M0 x
8
x y
x0 y0
r r
cos s in
(为参数)
对应的普通方程为(x x0 )2 ( y y0 )2 r 2
9
2、指出参数方程xy
2cos 5 3 2sin
(为参数)所
表示圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。
(x 5)2 ( y 3)2 4
（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。
y 500
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
垂直高度为y，所以
x 100t,
y
500
1 2
gt
2.
令y 0,
o
x 代入x 100t,得 x 1010m.
所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，