第二讲：曲线的参数方程ppt课件

10
3、圆xy
r r cos r r sin
2
(为参数，r
0)的直径
是4，则圆心坐标是___（__2_，__1__）___
11
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程， （x+1）2+（y-3）2=1，
x 1 cos
x x0 r cos
y
y0
r sin
（为参数）
（2）椭圆：x
a
2 2
y2 b2
1,(a
b
0)
（3）双曲线：ax22
y2 b2
1,(a
0,b
0)
x a cos
y
b
sin
x a sec
y
btg
（4）抛物线：y2= 2px （p>0）
x 2 pt2
y
2 pt
26
（1）设x 3cos,为参数。
（2）设y 2t,t为参数
23
解：（1）把x 3cos代入椭圆方程，得到
9 cos2 y2 1,
94
所以y2 4(1 cos2 ) 4sin2 即y 2sin
由参数的任意性，可取y 2sin ,
所以椭圆 x2 y2 1的参数方程是 94
x
y
3 c os (为参数) 2sin
24
（2）把y 2t代入椭圆方程，得x2 4t 2 1 94
于是x2 9(1 t 2 ), x 3 1 t 2
所以，椭圆x2 y2 1的参数方程是 94
x 3
1 t 2 (t为参数)和x 3
1t2
y 2t
y 2t
25
小结：
（1）圆：（x－x0）2+（y－y0）2= r2
4
例1、已知曲线C的参数方程xy
3t, 2t 2
(t为参数) 1.
(1)、判断点M1(0,1),M 2 (5,4)与曲线C的位置关系
(2)、已知点M3(6, a)在曲线C上，求a的值。
解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t 0 所以M1在曲线C上。
把点M
2 (5,4)代入方程组，得到54
可以使其准确落在指定位置.
3
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数
x f (t),
y
g (t ).
（2）
那么方程(2) 就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数x,y 的变数t叫做参数.
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。
y 500
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
垂直高度为y，所以
x 100t,
y
500
1 2
gt
2.
令y 0,
o
x 代入x 100t,得 x 1010m.
所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
1
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时时机呢？
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
2
1、参数方程的概念：
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合 成：
x 2 cos 6 cos 3, y 2sin sin
2
2
所以，点M的轨迹的参数方程是
x
y
cos s in
3(为参数)
14
5、若已知直线的参数方程为xy
1 1
t (t为参数) t
求它与曲线xy
2 c os 2 sin
(为参数)的交点。
15
解：参数方程xy
1 1
t (t为参数)的普通方程为 t
∴ 参数方程为
y
3
sBaidu Nhomakorabean
(θ为参数)
12
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点， Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当 点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的 参数方程。
y
P M
o
Qx
13
解：设点M的坐标是(x, y)，xOP ,则点
P的坐标是(2 cos ,2sin ),由中点坐标公式得：
y 1 2 t
20
解：（1）由x t 1 1有 t x 1 代入y 1 2 t ,得到y 2x 3 又x t 1 1,所以与参数方程等价的 普通方程是 y 2x 3(x 1) 这是以(1,1)为端点的一条射线 (包括端点)
21
y (1,-1)
o
x
22
例4、求椭圆x2 y2 1的参数方程 94
x y20
曲线xy
2 cos 2 s in
(为参数)的普通方程为x2
y2
4
解方程组x x
y 2 y2
2 0得焦点坐标为(2,0)和(0,2) 4
16
3、参数方程和普通方程的互化
x f (t)
y
g
(t)
17
注意：
18
参数方程化为普通方程的步骤：
19
例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明各 表示什么曲线？ （1）x t 1 (t为参数)
32
22
7
y
M(x,y)
r
o
M0 x
8
x y
x0 y0
r r
cos s in
(为参数)
对应的普通方程为(x x0 )2 ( y y0 )2 r 2
9
2、指出参数方程xy
2cos 5 3 2sin
(为参数)所
表示圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。
(x 5)2 ( y 3)2 4
3t 2t 2
1
这个方程组无解，所以点M 2不在曲线C上。
5
(2)、因为点M3(6, a)在曲线C上，所以
6 a
3t 2t 2
解得t 1
2,
a
9
所以，a 9
6
2、方程xy
s in c os 2
(为参数)表示的曲线上
的一个点的坐标是 ( C )
A、(2,7)，B、(1 , 1 )，C、(1 , 1 )，D(1,0)