2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1. 已知集合A ={x|1<x <5}，B ={x|3<x <7}，则A ∩B =( )A. {x|1<x <3}B. {x|3<x <5}C. {x|1<x <7}D. {x|5<x <7}2. 函数y =lg(4−2x )的定义域是( )A. (2,4)B. (2,+∞)C. (0,2)D. (−∞,2)3. 已知函数f(x)={x 2+4x,x ⩾0,4x −x 2,x <0.若f(2−a 2)>f(a)，则a 的取值范围是( ) A. B. (−1,2)C. (−2,1)D.4. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是( )A. y =x 3B. y =|x|+1C. y =−x 2+1D. y =2−|x|5. y =x 2−3x +2在∈[12,3]上的最小值与最大值分别为( ) A. 34，2 B. −14，2 C. −14，34 D. 34，36. 设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0,2)时，f(x)=2x −1，则f(−1)的值为()A. −1B. −2C. 12D. −127. 若0<a <b <1，则下列选项中正确的是( )A. log a 2<log b 2B. log 2a >log 2bC. a 12>b 12 D. (12)a >(12)b8. 设a =20.5，b =log 0.52，c =log 42，则( )A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b9. 函数的单调减区间为( )A. (0,1]B. (0,2)C. (1,2)D. [0,2]10. 幂函数f(x)的图象过点(4,12)，那么f(116)的值为( )A. 12 B. 2 C. 1 D. 411. 设函数f(x)=log 2x ，若f(a +1)<2，则a 的取值范围为( )A. (−1,3)B. (−∞,3)C. (−∞,1)D. (−1,1)12. 下列函数中是奇函数且有零点的是( )A. f(x)=x +|x|B. f(x)=x −1+xC. f(x)=+tanxD. f(x)=sin(x +)13. 已知函数f (x )={log 2x , x >03x , x ≤0，且函数ℎ(x )=f (x )+x −a 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A. [1 , +∞)B. (1 , +∞)C. (−∞ , 1)D. (−∞ , 1] 14. 要使关于x 的方程x 2+(a 2−1)x +a −2=0的一根比1大且另一根比1小，则实数a 的取值范围是( ) A. {a|−1<a <2}B. {a|−2<a <1}C. {a|a <−2}D. {a|a >1}15. 已知函数f(x)={|x|,x ≤1x 2−2mx +4m,x >1，若存在实数b ，使得关于x 的方程f(x)=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是( )A. RB. (−∞,0)C. (1,+∞)D. (−∞,0)∪(1,+∞)二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 16. 已知集合A ={1,2，4}，B ={m,4，7}，若A ∩B ={1,4}，则A ∪B =______．17. 已知函数f(x)满足f(2x +1)=1−2x ，则f(x)=________18. 已知函数f(x)={x +x 2,x ⩾0,x −x 2,x <0.若f(2a)+f(2−a)≤0，则实数a 的取值范围是________． 19. 设a >0，a ≠1，函数f(x)=a lg(x2−2x+3)有最大值，则不等式log a (x 2−5x +7)>0的解集为______．20. 若规定E ={a 1,a 2…a 10}的子集{a k 1,a k 2…,a k n }为E 的第k 个子集，其中k =2k 1−1+2k 2−1+2k 3−1+⋯+2k n −1.则(1){a 1,a 3}是E 的第______ 个子集；(2)E 的第211个子集是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）21. (1)已知a =√2，b =132，求[a −32b(ab −2)−12(a −1)−23]2的值； (2)计算23lg8+lg 25+lg2⋅lg50+lg25的值．22. 计算：(1)已知log 23=a ，3b =7，试用a ，b 表示log 1256；(2)lg25+2lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2．323.设函数f(x)=31−x−1，函数g(x)=ax2+5x−2a．(1)求f(x)在[0,1]上的值域；(2)若对于任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)=f(x1)成立，求a的取值范围．24.已知集合A={x|x2−mx+m2−19=0}，B={x|x2−5x+6=0}，C={2,−4}，若A∩B≠⌀，A∩C=⌀，求实数m的值．25.已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证：f(x)+f(−x)=0；(2)若f(−3)=a，试用a表示f(24)；(3)如果x∈R+时，f(x)<0，且f(1)=−1，试求f(x)在区间[−2,6]上的最大值和最小值．2-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵A ={x|1<x <5}，B ={x|3<x <7}，∴A ∩B ={x|3<x <5}．故选B由A 与B 求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：D解析：解：由函数y =lg(4−2x )，得到4−2x >0，即2x <4=22，解得：x <2，则函数的定义域是(−∞,2)，故选：D ．根据负数和0没有对数，求出函数的定义域即可．此题考查了函数的定义域及其求法，熟练掌握对数及指数函数的性质是解本题的关键． 3.答案：C解析：【分析】本题主要考查了分段函数单调性的应用，属于基础题．解决此题的关键是根据f(x)的解析式得到f(x)在上为增函数，进而建立关于a 的不等式求解．【解答】解：f(x)={x 2+4x =(x +2)2−4,x ≥04x −x 2=−(x −2)2+4,x <0, 由f(x)的解析式可知f(x)在(−∞,+∞)上是单调增函数，由f(2−a 2)>f(a)得2−a 2>a ，即a 2+a −2<0，解得−2<a <1．故选C ．4.答案：B解析：【分析】本题考查函数单调性和奇偶性，根据偶函数以及增函数的定义即可得结果．【解答】解：选项A 中函数不是偶函数，故错误；对于B 中函数在(0,+∞)上是增函数，且为偶函数，故正确；对于C 中函数在(0,+∞)上不是增函数，故错误；对于D 中函数在(0,+∞)上不是增函数，故错误．故选B ．5.答案：B解析：解：y =x 2−3x +2=(x −32)2−14；∴x =32时，原函数取到最小值−14；x =3时，原函数取到最大值2．故选B ．对原函数进行配方即可得到它的最小值，最大值．考查二次函数的最值，以及配方法求二次函数的最值． 6.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数的奇偶性，本题解题的关键是利用函数的对称性，本题是一个基础题． 由题意可得：f(−1)=−f(1)，又因为当x ∈(0,2)时，f(x)=2x −1，进而得到答案．【解答】解：由题意可得：函数f(x)是R 上的奇函数，所以f(−1)=−f(1)，又因为当x ∈(0,2)时，f(x)=2x −1，所以f(−1)=−f(1)=−(21−1)=−1.故选A .7.答案：D解析：【分析】利用指数函数与对数函数的单调性对A ，B ，C ，D 判断即可得答案，属于基础题．【解答】解：0<a <b <1，1log 2a >1log 2b ,log a 2>log b 2，故A 错误;y =log 2x 为增函数，log 2a <log 2b ，故B 错误；y =x 12为增函数，0<a <b <1，a 12<b 12，故C 错误;y =(12)x 为减函数，0<a <b <1，(12)a >(12)b ，故D 正确．故选D ． 8.答案：C解析：【分析】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a =20.5>1，b =log 0.52<0，c =log 42∈(0,1)，∴b <c <a ．故选：C ．9.答案：A解析： 【分析】本题考查了求复合函数的单调区间，按照“同增异减”的方法求单调区间，属于容易题．【解答】解：令t =2x −x 2>0，求得0<x <2，可得函数的定义域为{x|0<x <2}，且y =log 13t ， 本题即求函数t 在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质可得函数t 在定义域内的增区间为(0,1]．故选A ．10.答案：D解析：解：幂函数f(x)的图象过点(4,12)，则12=4a ，解得a =−12，幂函数为：y =x −12，∴f(116)=(116)−12=4．故选：D ．求出幂函数的解析式，然后求解函数值即可．本题考查幂函数的解析式的求法，函数值的求法．是基础题．11.答案：A解析：【分析】本题考查了对数函数的性质与对数不等式，属于基础题．由题意将不等式化为log 2(a +1)<log 24，求出a 的取值范围即可．【解答】解：由题意知，log 2(a +1)<2，即log 2(a +1)<log 24，∴0<a +1<4，解得−1<a <3，∴a 的取值范围是(−1,3)．故选A ．12.答案：C解析：【分析】本题考查函数的奇偶性及函数的零点，可依次判断，是容易题【解答】解：对于选项A ：f(x)=x +|x|不是奇函数，与题意不相符，对于选项B ：f(x)=x −1+x 为奇函数，没有零点，与题意不符，对于选项C ：f(x)=1x+tanx 为奇函数，是连续函数，时，y <0，x →π时，y >0，函数存在零点，符合题意，对于选项D ：是偶函数，与题意不符， 故选：C ． 13.答案：B解析：由已知，画出函数f (x )={log 2x , x >03x , x ≤0的图像，如图所示，根据题意函数ℎ(x )=f (x )+x −a 有且只有一个零点，就是y =f (x )的图象与y =a −x 的图象有且只有一个交点，如图：显然当a >1时，两个函数有且只有一个交点，故选B.14.答案：B解析：【分析】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．由题，需满足x=1时，y<0，求解即可．【解答】解：由题意，设y=x2+(a2−1)x+a−2，要使得关于x的方程x2+(a2−1)x+a−2=0的一根比1大且另一根比1小，则根据二次函数的图象与性质，知需满足x=1时，y<0，即a2+a−2<0，即(a−1)(a+2)<0，解得−2<a<1．故选B．15.答案：D解析：【分析】本题考查根的存在性及个数的判断，考查数形结合思想，注意解题方法的积累，属于中档题．通过作图可知，“关于x的方程f(x)=b有三个不同的根”等价于“y=f(x)的图象和直线y=b有三个不同的交点”，记g(x)=x 2−2mx+4m(x>1)，分m≤1、m>1两种情况讨论即可．【解答】解：∵函数f(x)={|x|,x≤1x2−2mx+4m,x>1,∴当x≤1时，函数f(x)的图象可以画出，当x>1时，函数f(x)的图象是开口向上、对称轴为x=m的抛物线的一部分，从图象上看，“关于x的方程f(x)=b有三个不同的根”等价于“y=f(x)的图象和直线y=b有三个不同的交点”，记g(x)=x 2−2mx+4m(x>1)，则：(1)当m≤1时，g(x)在(1,+∞)上单调递增，∴g(1)<1，即1−2m+4m<1，解得：m<0；(2)当m>1时，此时显然满足题意；综上所述，m<0或m>1，故选D．16.答案：{1,2，4，7}解析：【分析】本题考查交集及其运算，并集及其运算，属于基础题．先由A∩B={1,4}求出m=1，再由并集的运算法则可得A∪B．【解答】解：∵集合A={1,2，4}，B={m,4，7}，A∩B={1,4}，∴m=1，∴B={1,4，7}，∴A∪B={1,2，4，7}．故答案为{1,2，4，7}．17.答案：2−x解析：【分析】本题考查函数解析式的求法，属于基础题．采用换元的方法求函数的解析式．【解答】解：设2x+1=t，则x=t−1，2=2−t，所以f(t)=1−2×t−12所以f(x)=2−x．故答案为2−x．18.答案：(−∞,−2]解析：【分析】本题考查了函数的奇偶性，函数的单调性与单调区间，属于基础题．利用奇函数的定义得函数f(x)是奇函数，再利用二次函数的单调性得函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，最后利用函数的单调性解不等式得结论.【解答】解：对于任意x>0，则−x<0，而f(x)=x+x2，f(−x)=(−x)−(−x)2=−(x+x2)，所以f(x)=−f(−x)，因此函数f(x)是奇函数，且在(−∞,+∞)上单调递增，于是由f(2a)≤−f(2−a)=f(a−2)，得2a≤a−2，解得a≤−2．故答案为(−∞,−2]．19.答案：(2,3)解析：解：设a>0，a≠1，函数f(x)=a lg(x2−2x+3)有最大值，又∵lg(x2−2x+3)≥lg2，∴0<a<1，则不等式log a(x2−5x+7)>0的解为{x2−5x+7>0，x2−5x+7<1解得2<x<3，所以不等式的解集为(2,3)．故答案为：(2,3)．函数f(x)=a lg(x 2−2x+3)有最大值，由于lg(x 2−2x +3)≥lg2，可得a 的范围，然后解不等式，可求不等式的解集．本题考查指数函数，对数函数的性质，以及一元二次不等式组的解法．是简单的中档题． 20.答案：5；{a 1,a 2,a 5,a 7,a 8}解析：解：(1){a 1,a 3}={a 3,a 1}化成二进制101(0为不出现，1为出现)，这里a 3出现，a 2不出现，a 1出现，所以是101；二进制的101等于十进制5，故第一个空填5；故答案为：5．(2)十进制211等于二进制11010011，即对应集合{a 8,a 7,a 5,a 2,a 1}，又由{a 8,a 7,a 5,a 2,a 1}={a 1,a 2,a 5,a 7,a 8}故第二空填{a 1,a 2,a 5,a 7,a 8}.故答案为：{a 1,a 2,a 5,a 7,a 8}.(1)由k =2k 1−1+2k 2−1+2k 3−1+⋯+2k n −1受到启发，根据集合元素的特征，将其用二进制表示出来，0为不出现，1为出现，进而可得答案；(2)十进制211等于二进制11010011，将其对应的集合写出即可．本题是转化思想的典型题目，注意从题目的条件中寻找突破点，进而结合题意解题，解题中，特别注意与原题的验证．21.答案：解：(1)[a −32b(ab −2)−12(a −1)−23]2=[a −32a 23a −12b 2]2=(a −32+23−12b 2)2=(a −43b 2)2=a −83b 4． ∵a =√2b =132， ∴原式=(√2)−83(132)4=(2−12)−83(2−13)4=20=1； (2)23lg8+lg 25+lg2⋅lg50+lg25 =2lg2+lg 25+lg2(1+lg5)+2lg5=2(lg2+lg5)+lg 25+lg2+lg2⋅lg5=2+lg5(lg5+lg2)+lg2=2+lg5+lg2=3．解析：(1)先利用有理指数幂的运算性质化简，然后代入a ，b 的值计算；(2)直接利用对数的运算性质化简求值．本题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了对数的运算性质，关键是对运算性质的记忆，是基础题．22.答案：解：(1)由3b=7得b=log37，由log23=a得，=b+3×1a1+2×1a=ab+3a+2;(2)原式=lg25+lg4+lg5·(1+lg2)+(lg2)2=lg(25×4)+lg5+lg2·(lg5+lg2)=2+lg5+lg2=3．解析：本题主要考查了对数的运算法则与换底公式的应用，考查了计算能力，属于基础题．(1)利用对数的运算法则及换底公式即可得出．(2)利用对数的运算法则即可得出．23.答案：解：(1)∵f(x)在[0,1]上单调递减，∴f(x)min=f(1)=0，f(x)max=f(0)=2，∴f(x)在[0,1]上的值域[0,2]…..(4分)(2)f(x)在[0,1]上的值域[0,2]，函数g(x)在[0,1]上的值域D，则[0,2]⊆D．①a=0，g(x)=5x，值域[0,5]，符合条件；…(6分)②a>0，对称轴x=−52a<0，∴函数g(x)在[0,1]上单调递增，g(x)max=g(1)=5−a由5−a≥2，∴a≤3，∴0<a≤3…..(8分)③a<0，对称轴x=−52a>0当0<−52a < 1即a<−52时，最小值在x=0或x=1处取，不合题意当−52a ≥1即−52≤a<0时，函数g(x)在[0,1]上单调递增，不合题意….(12分)综上，a∈[0,3]…(13分)解析：(1)利用f(x)在[0,1]上单调递减，可求函数的值域；(2)对于任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)=f(x1)成立转化为两个函数值域的关系M⊆N，列出不等式求出a的范围．本小题主要考查函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想24.答案：解：由B中方程变形得：(x−2)(x−3)=0，解得：x=2或x=3，即B={2,3}，∵A={x|x2−mx+m2−19=0}，C={2,−4}，且A∩B≠⌀，A∩C=⌀，∴将x=3代入集合A中方程得：m2−2m−10=0，即(m−5)(m+2)=0，解得：m=5或m=−2，当m=5时，A={x|x2−5x+6=0}={2,3}，此时A∩C={2}，不合题意，舍去；当m=−2时，A={x|x2+2x−15=0}={3,−5}，满足题意，则m的值为−2．解析：由A，B，C，以及A∩B≠⌀，A∩C=⌀，确定出m的值即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．25.答案：解：(1)令x=y=0得f(0)=0，再令y=−x得f(−x)=−f(x)，∴f(−x)+f(x)=0．(2)由f(−3)=af(3)=−a，∴f(24)=f(3+3++3)=8f(3)=−8a．(3)设x1<x2，则f(x2)=f[x1+(x2−x1)]=f(x1)+f(x2−x1)又∵x2−x1>0，∴f(x2−x1)<0，∴f(x1)+f(x2−x1)<f(x1)，∴f(x2)<f(x1)∴f(x)在R上是减函数，∴f(x)max=f(−2)=−f(2)=−2f(1)=1，)=−3．f(x)min=f(6)=6f(1)=6×(−12解析：(1)令x=y=0得f(0)，再令y=−x得f(−x)=−f(x)变形．(2)由(1)知得f(3)=−a，再由f(24)=f(3+3++3)=8f(3)求解．(3)要求最大值，必须先证单调性，又能是抽象函数，则单调性定义进行证明．设x1<x2，则f(x2)= f[x1+(x2−x1)]=f(x1)+f(x2−x1)在R上是减函数，得到结论．本题主要考查抽象函数中赋值法研究奇偶性，求值以及用定义法研究函数的单调性．。