1单纯形法

7 7
x6 M bi/aij* 1 (3) 0 4
M 0
-2M7 M7 2 M 3 M 1
1 0
10 0
1/2 (1/2)
17/2 1/2
0 1
7 0
1/2 1/2
3/2 3/2
0 1
7 7
1/2 1/2
3ห้องสมุดไป่ตู้2
M+3/2
6 (2)
III 10 x1 2 2 最 8 x2 36 优 c j zj 解
6
关于标准型解的若干基本概念：
• 标准型有 n+m 个变量， m 个约束行 • “基”的概念 – 在标准型中，技术系数矩阵有 n+m 列，即 A = ( P1, P2 , … , Pn+m ) – A中线性独立的 m 列，构成该标准型的一个基，即 B = ( P1, P2 , … , Pm )， | B | 0 – P1 , P2 , … , Pm 称为基向量 – 与基向量对应的变量称为基变量，记为 XB = ( x1 , x2 , … , xm )T，其余的变量称为非基变量， 记为 XN = ( xm+1 , xm+2 , … , xm+n ) T ，有 X = XB + XN – 最多有 个基
bi min aij* 0 i aij* (1.2.4)
13
4 确定入变量的最大值和出变量 – 设第 i* 行使 最小，则第 i* 行对应的基 变量称为出变量，第 i* 行称为主行 5 迭代过程 – 主行 i* 行与主列 j* 相交的元素ai*j* 称为 主元，迭代以主元为中心进行 – 迭代的实质是线性变换，即要将主元 ai*j* 变为1，主列上其它元素变为0，变换步 骤如下： (1)变换主行
– 任何时候，基变量对应的列都构成一个单位矩阵 – 当前表中的 b 列表示当前基变量的解值，通过变换 B 1 b 得到 (资源已变成产品) – 当前非基变量对应的向量可通过变换 B 1 AN 得到， 表示第 j 个变量对第 i 行对应的基变量的消耗率 aij – 非基变量的机会成本由 给出 m – 注意基变量所对应的行 z j i 1 ci ' aij
4
• 目标函数为min型，价值系数一律反号。令 f(x) = f(x) = -CX, 有 min f(x) = - max [- f(x)] = - max f (x) • 第i 个约束的bi 为负值，则该行左右两端系数同时 反号，同时不等号也要反向 • 第i 个约束为 型，在不等式左边增加一个非负的 变量xn+i ，称为松弛变量；同时令 cn+i = 0 • 第i 个约束为 型，在不等式左边减去一个非负的 变量xn+i ，称为剩余变量；同时令 cn+i = 0 • 若xj 0，令 xj= -xj ，代入非标准型，则有xj 0 • 若xj 不限，令 xj= xj - xj， xj 0，xj 0，代入非 标准型
解的几种情况： 唯一解
无有限最优解－－ max,λj > 0 但Pj 0 min,λj < 0 但Pj 0
无穷多解－－最优表中非基变量检验数有为0者。
无可行解－－最优表中人工变量在基中，且＝0。 建模有问题
退化解问题
当出基不止一个选择之际
19
12
标准型的单纯型算法
1 找初始基础可行基 – 对于(max,)，松弛变量对应的列构成一个单位阵 2 检验当前基础可行解是否为最优解 – 所有检验数 cj zj0，则为最优解，否则 3 确定改善方向 – 从 (cj zj) > 0 中找最大者，选中者称为入变量， xj* – 第j*列称为主列 4 确定入变量的最大值和出变量 – 最小比例原则
ai * j a i * j a i * j *
j 1,2,, m n
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人工变量的引入及其解法
★ 当约束条件为“”型，引入剩余变量和人工变量
• 由于所添加的剩余变量的技术系数为1，不能构成 初始基变量，为此引入一个人为的变量（注意，此 时约束条件已为“=”型），以便取得初始基变量， 故称为人工变量 • 由于人工变量在原问题的解中是不能存在的，应尽 快被迭代出去，因此人工变量在目标函数中对应的 价值系数应具有惩罚性，称为罚系数。罚系数的取 值视解法而定 • 两种方法
b 100 120 zj cj- z j x1 40 2 3 0 40 x2 45 3 3 0 45 x3 24 1 2 0 24 x4 0 1 0 0 0 x5 0 0 1 0 0
11
CB XB x4 0 x5 0 OBJ = 0
单纯型表中元素的几点说明
x1 序 b 40 号 CB XB 45 x2 100/3 2/3 x5 II 0 20 (1) OBJ = 1500 30 c j-zj 10 x2 45 1 0 45 0 x3 x4 24 0 1/3 1/3 1 1 15 15 9 15 x5 0 0 1 0 0 bi/aij* 50 (20)
– 大M法 – 二阶段法
15
大M法的求解过程
min f ( x ) 10 x1 8 x2 7 x3
例
s.t.
6 2 x1 x2 x1 x2 x3 4 x1 , x2 , x3 0
max[ f ( x )] max( 10 x1 8 x2 7 x3 Mx6 ) s.t. x4 x6 6 2 x1 x2 x5 4 x1 x2 x3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0
5
变换的方法：
变换举例：
原非标准型 : min f ( x ) 3x1 2 x2 4 x3 2 x1 3x2 4 x3 300 x 5 x 6 x 400 1 2 3 s.t. x1 x2 x3 200 x3 不限, x1 , x2 0 4 x3 0 x4 0 x5 0 x6 标准型 : max f ( x ) 3x1 2 x2 4 x3 4 x3 x4 2 x1 3x2 4 x3 x 5 x 6 x 6 x x 1 2 3 3 5 s.t. x3 x6 x1 x2 x3 , x3 , x4 , x5 , x6 x1 , x2 , x3 300 400 200 0
§1 单纯形法
(2)、判定解是否最优 Z=0+40X1+50X2 当X1从0↗或X2从0↗ Z从0↗ ∴ X(1) 不是最优解
2
B2=(P3 P4 P2)
Z=0+40X1+50X2
X3 +2X2 =30-X1 2X2=24-X5
④
①
X4+2X2 =60-3X1
②
③
3
线性规划问题的标准形式
为了使线性规划问题的解法标准，就要把一般形式化为标准 形式
1 0
10 0
0 1
8 0
1 2
6 1
1 1
2 2
1 2
6 6
1 1
2
M+2
答：最优解为 x1=2, x2=2, x3=0, OBJ=36
17
大M法的一些说明
–大M法实质上与原单纯型法一样，M可看 成一个很大的常数 – 人工变量被迭代出去后就不会再成为基变 量 – 当检验数都满足最优条件，但基变量中仍 有人工变量，说明原线性规划问题无可行 解 –大M法手算很不方便 –因此提出了二阶段法 •计算机中常用大M法 •二阶段法手算可能容易 18
16
单纯型表迭代过程
序 号 CB XB b I M x6 6 4 初 7 x3 6M28 始 c j zj 解 3 10 x1 II 7 x3 1
37 c j zj
x1 10 (2) 1
x2 8 1 1
x3 7 0 1
7 0
x4 0 1 0
M M
x5 0 0 1
7
关于标准型解的若干基本概念：
• 可行解与非可行解 – 满足约束条件和非负条件的解 X 称为可行解，满足约 束条件但不满足非负条件的解 X 称为非可行解 • 基础解 – 令非基变量 XN = 0，求得基变量 XB的值称为基础解 即 XB = B-1 b – XB 是基础解的必要条件为XB 的非零分量个数 m • 基础可行解 – 基础解 XB 的非零分量都 0 时，称为基础可行解，否 则为基础非可行解 – 基础可行解的非零分量个数 < m 时，称为退化解
8
线性规划标准型问题解的关系
非可行解 约束方程的 基础 解空间 可行解 可行解
基础解
退化解
9
1.5.4 单纯型表及其格式
10
例 试列出下面线性规划问题的初始单纯型表
max f ( x ) 40 x1 45 x2 24 x3 s.t. 2 x1 3 x2 x3 100 3 x1 3 x2 2 x3 120 x1 , x2 , x3 0