运筹学对偶理论

约 n个约束 束 第j个约束为≥
第j个约束为≤ 第j个约束为=
变 m个变量 量 第i个变量≥0
第i个变量≤0 第i个变量无约束
制作与教学
对偶理论
➢ 当原问题为求极小值时，对偶问题为求极大值。
➢ 原始问题中目标函数的系数变成对偶问题中约束条件 的右端；原始问题中约束条件的右端变成对偶问题中 目标函数的系数。
原始问题变量的个数(3)等于对偶问题约束条件的个数(3)； 原始问题约束条件的个数(4)等于对偶问题变量的个数(4)。
原始问题变量的性质影响对偶问题约束条件的性质，用 表示 原始问题约束条件的性质影响对偶问题变量的性质，用 表示
制作与教学
2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
制作与教学
2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
对偶理论
【例2.2】写出下列线性规划的对偶问题
min Z 5x1 2x2 3x3
4x1x17
x2 x2
x3 4 5x3 1
x1, x2 , x3 0
【解】这是一个规范形式的线性规划，设Y=（y1，y2），
则有
4
max w Yb ( y1, y2 )1 4y1 y2
YA C Y 0
在 Y CB B1 两边有乘b,则有Yb CB B1b＝Z ,又因Y≥0无上界,从
而只存在最小值，得到另一个线性规划问题
制作与教学
2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
min w Yb YA C Y 0
对偶理论
即是原线性规划问题式（2.1）的对偶线性规划问题，反之，式 （2.3）的对偶问题是式（2.1）．原问题和对偶问题是互为对偶 的两个线性规划问题，规范形式的线性规划的对偶仍然是规范 形式，参数矩阵的对应关系参看表2-4．因此已知一个规范形式 问题就可写出另一个对偶问题．
➢ 原始问题约束条件系数矩阵的转置对应对偶问题中约 束条件的系数矩阵。
➢ 原始问题的约束条件个数决定对偶问题变量的个数； 原始问题变量个数，决定对偶问题的约束个数。
➢ 原始问题的约束方程的匹配形式决定对偶问题变量的 符号；原始问题决策变量的符号决定所对应对偶问题 的约束方程的匹配形式。
制作与教学
2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
-x1+2x2-3x3 = 12 2x1+x2+2x3 ≤ 8 x1+3x2-x3 ≥ 15
x1≥0 x2≤0 x3: unr
max w=6y1+12y2+8y3+15y4 s.t. 3y1- y2+2y3+ y4 ≤ 2
-y1+2y2+ y3+3y4 ≥4 2y1- 3y2+2y3- y4 = -1 y1≥ 0,y2unr ,y3 ≤ 0,y4 ≥0
2.1 线性规划的对偶模型
Dual Model of LP
制作与教学
2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
对偶理论
在线性规划问题中，存在一个有趣的问题，即每一个线性规
划问题都伴随有另一个线性规划问题，称它为对偶线性规划问 题。
【例2.1】 某企业用四种资源生产三种产品，工艺系数、资源限量 及价值系数如下表：
对偶问题是（记为DP）：
min w Yb YA C Y 0
这里A是m×n矩阵X是n×1列向量，Y是1×m行向量。假设Xs与 Ys分别是（LP）与（DP）的松驰变量。 【性质1】 对称性 对偶问题的对偶是原问题。 【证】设原问题是
max Z CX , AX b, X 0
制作与教学
2.2 对偶性质 Dual property
5yy1172yy22
y3 3y3
4
3
yi 0,i 1,2,3
制作与教学
2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
对偶理论
若给出的线性规划不是规范形式，可以先化成规范形式再写对
偶问题。也可直接按表2-1中的对应关系写出非规范形式的对偶 问题。
例如，原问题是求最小值，按表2-1有下列关系：
9x1 8x2 6x3 500
85xx11
4x2 3x2
7x3 2x3
450 300
7x1 6x2 4x3 550
x1, x2, x3 0
现在从另一个角度来考虑企业的决策问题。假如企业自己不
生产产品，而将现有的资源转让或出租给其它企业，那么资源 的转让价格是多少才合理？合理的价格应是对方用最少的资金 购买本企业的全部资源，而本企业所获得的利润不应低于自己 用于生产时所获得的利润。这一决策问题可用下列线性规划数 学模型来表示。
由表2-4知，它的对偶问题是
min w Yb, YA≥ C,Y 0
它与下列线性规划问题是等价的：
max( w) Yb,YA C,Y 0
再写出它的对偶问题。
min w' CX ,AX b, X 0
它与下列线性规划问题是等价的
5
(4y1 y2 , y1 7 y2， y1 5y2 ) (5,2,3)
从而对偶问题为
max Z 4 y1 y2
4 y1 y2 5
y1y1
7
y2 5y2
2 3
y1 0, y2 0
对偶变量yi也可写成xi的形式。
对偶理论
制作与教学
2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
对偶理论
【例2.4】写出下列线性规划的对偶问题
min Z x1 5x2 4x3 9x4
7x1 2x2 8x3 x4 18
6x2
5x4 10
2x1 8x2 x3 14
x1无约束, x2 0, x3, x4 0
【解】目标函数求最小值，应将 max w 18y1 10 y2 14 y3
对偶理论
设线性规划模型是式（2.1）的规范形式．由表2-3知，当检验数
C CB B 1 A 0 CB B 1 0
时得到最优解， C CB B1 A 是 X＝（X B，X N）的检验数, CB CB B1B 和 CN CB B1N , 令 Y CB B1 ,由C CB B1 A 0与 CB B1 0 得
max Z CX
AX b
(2.1)
X
0
min Z CX
AX b
(2.2)
X
0
制作与教学
对偶的定义
对偶理论
原始问题 Max z=CTX s.t. AX ≤ b
X ≥0
max
CT
m
Байду номын сангаас
A
n
对偶问题 Min w =bT y s.t. AT y ≥C
y ≥0
min bT
≤b
≥
n AT
C
m
制作与教学
制作与教学
2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
对偶理论
设y1，y2，y3及y4分别表示四种资源的单位增值价格（售 价＝成本＋增值），总增值最低可用
min w=500y1+450y2+300y3+550y4 表示。企业生产一件产品A用了四种资源的数量分别是9， 5，8和7个单位，利润是100,企业出售这些数量的资源所 得的利润不能少于100，即
对偶理论
原问题（或对偶问题）
表2-4
对偶问题（或原问题）
目标函数max 目标函数系数（资源限量） 约束条件系数矩阵A(AT)
变
n个变量
量
第j个变量≥0
第j 个变量≤0
第j个变量无约束
约
m个约束
束
第i个约束≤
第i个约束≥
第i个约束为=
目标函数min 资源限量（目标函数系数） 约束条件系数矩阵AT(A)
运筹学
Operations Research
对偶理论
Dual Theory
2.1 线性规划的对偶模型 Dual Model of LP
2.2 对偶性质
Dual property
2.3 对偶单纯形法
Dual Simplex Method
2.4 灵敏度与参数分析 Sensitivity and Parametric Analysis
4 1 －1
YA ( y1, y2 )1 －7
5
(4y1 y2 , y1 7 y2， y1 5y2 ) (5,2,3)
制作与教学
2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
4 max w Yb ( y1, y2 )1 4y1 y2
4 1 －1
YA ( y1, y2 )1 －7
9y1 5y2 8y3 7 y4 100
同理，对产品B和C有 8 y1 4 y2 3y3 6 y4 80 6 y1 7 y2 2 y3 4 y4 70
价格不可能小于零，即有yi≥0,i=1, …,4.从而企业的资源 价格模型为
制作与教学
2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
资源
产品 Ⅰ
Ⅱ
A
BC
9
86
5
47
资源限量 500 450
Ⅲ
8
32
300
Ⅳ
7
64
550
单件产品利润
100 80 70
建立总收益最大的数学模型。
制作与教学
2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
对偶理论
【解】设x1，x2，x3分别为产品A，B，C的产量，则线性规划数 学模型为： max Z 100x1 80x2 70x3
对偶理论
【例2.3】 写出下列线性规划的对偶问题
max Z 4x1 3x2
5x1 x2 6
7x1 5x2 8
x1
3x2
10
x1 0, x2 0
【解】这是一个规范形式的线性规划，它的对偶问题求 最小值，有三个变量且非负，有两个“ ≥”约束，即
min w 6 y1 8y2 10 y3
BX B NX N EX S b
X
B
,
X
N
,
X
S
0
表2-2
XB XN XS
b
XB B
N
E
b
C CB CN 0
0
表2－3
XB XN
XS
XB
E B－1N
B－1
λ
0 CN－CBB－1N －CBB－1
对偶理论
b B－1b －CBB－1b
制作与教学
2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
对偶理论
规范对偶问题
min z=CTX s.t. AX≥b
X ≥0
max w=bTy s.t. ATy≤C
y≥0
max z=CTX s.t.AX ≤ b
X ≥0
min w=bTy s.t. ATy ≥ C
y≥0
制作与教学
2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
max Z CB X B CN X N 0 X S
表2－4的右边看作原问题，左边 7 y1
2 y3 = 1
是对偶问题，原问题有3个约束4 个变量，则对偶问题有3 个变量4 个约束，对照表2－1的对应关系， 对偶问题为：
82
y1 y1
6
y2
y1
5
y2
8y3 ≥ y3 ≤
≤
5 4 9
y1≤0， y2≥0， y3无约束
制作与教学
练习
对偶理论
min z= 2x1+4x2-x3 s.t. 3x1- x2+2x3 ≥ 6
1. 第i个约束是“ ≤”约束时，第i个对偶变量yj≤0 2．第i个约束是“ = ”约束时，第i个对偶变量yi无约束； 3．当xj≤0时，第j个对偶约束为“ ≥”约束，当xj无约束时 ，第j 个对偶约束为“ = ”约束。
将上述原问题与对偶问题的对应关系列于表2-1
制作与教学
2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
对偶理论
min w 500 y1 450 y2 300 y3 550 y4
9 y1 5y2 8y3 7 y4 100 8y1 4 y2 3y3 6 y4 80 6 y1 7 y2 2 y3 4 y4 70 yi 0,i 1, ,4
这是一个线性规划数学模型，称这一线性规划模型是前 面生产计划模型的对偶线性规划模型,这一问题称为对偶 问题。生产计划的线性规划问题称为原始线性规划问题 或原问题。
对偶理论
1.本节以实例引出对偶问题; 2.介绍了如何写规范与非规范问题的对偶问题;
作业：教材P61 T 1、2 下一节：对偶性质
2.2 对偶性质
Dual property
制作与教学
2.2 对偶性质 Dual property
对偶理论
2.2.1 对偶性质 设原问题是（记为LP）：
max Z CX AX b X 0
制作与教学
2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
对偶理论
以上是依据经济问题推导出对偶问题，还可以用代数方法 推导出对偶问题。
原问题和对偶问题是互为对偶的两个线性规划问题，已知一个问 题就可写出另一个问题。
上面两种形式的线性规划称为规范形式。
规范形式（Canonical Form）的定义： 目标函数求极大值时，所有约束条件为≤号，变量非负； 目标函数求极小值时，所有约束条件为≥号，变量非负。 规范形式的线性规划的对偶问题亦是规范形式。