高等数学同济六版第七章微分方程7-4PPT课件
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高等数学-第七章-微分方程
工程应用
在工程领域中，微分方程组被广泛应用于控制论、信号处理、流体力学等方面。通过求解微分方程组，可以优化工程 设计、提高系统性能等。
经济应用
在经济学中，微分方程组被用来描述经济系统的动态行为，如经济增长模型、金融市场模型等。通过求 解这些微分方程组，可以分析经济现象的发展趋势和内在机制。
05 微分方程的数值解法
常数变易法
对于某些特殊形式的高阶微分方程组，可以通过常 数变易的方法，将其转化为易于求解的方程或方程 组。
幂级数解法
对于某些高阶线性微分方程组，可以通过幂 级数展开的方法，将其转化为无穷级数进行 求解。
微分方程组的应用
物理应用
在物理学中，许多现象可以用微分方程组来描述，如力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等。通过求解这些 微分方程组，可以揭示物理现象的本质和规律。
非线性微分方程
不满足线性条件的微分方程，称为非线性微分方 程。
微分方程解的性质
唯一性定理 在一定条件下，微分方程的解是 唯一的。
边值问题 给定边界条件的微分方程求解问 题，称为边值问题。边值问题的 解可能不唯一，也可能不存在。
叠加原理
对于线性微分方程，若$y_1$和 $y_2$分别是方程的两个解，则 它们的线性组合 $c_1y_1+c_2y_2$（其中$c_1$ 和$c_2$是任意常数）也是方程 的解。
首次积分法
利用首次积分的方法，将一阶微 分方程组转化为可分离变量的方 程或可降阶的方程，然后求解得 到原方程组的解。
特征线法
对于一阶偏微分方程组，可以通 过引入特征线的概念，将偏微分 方程转化为常微分方程进行求解 。
高阶微分方程组法
变量代换法
通过适当的变量代换，将高阶微分方程组转 化为一阶微分方程组或可降阶的方程，然后 求解得到原方程组的解。
在工程领域中，微分方程组被广泛应用于控制论、信号处理、流体力学等方面。通过求解微分方程组，可以优化工程 设计、提高系统性能等。
经济应用
在经济学中，微分方程组被用来描述经济系统的动态行为，如经济增长模型、金融市场模型等。通过求 解这些微分方程组，可以分析经济现象的发展趋势和内在机制。
05 微分方程的数值解法
常数变易法
对于某些特殊形式的高阶微分方程组，可以通过常 数变易的方法，将其转化为易于求解的方程或方程 组。
幂级数解法
对于某些高阶线性微分方程组，可以通过幂 级数展开的方法，将其转化为无穷级数进行 求解。
微分方程组的应用
物理应用
在物理学中，许多现象可以用微分方程组来描述，如力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等。通过求解这些 微分方程组，可以揭示物理现象的本质和规律。
非线性微分方程
不满足线性条件的微分方程，称为非线性微分方 程。
微分方程解的性质
唯一性定理 在一定条件下，微分方程的解是 唯一的。
边值问题 给定边界条件的微分方程求解问 题，称为边值问题。边值问题的 解可能不唯一，也可能不存在。
叠加原理
对于线性微分方程，若$y_1$和 $y_2$分别是方程的两个解，则 它们的线性组合 $c_1y_1+c_2y_2$（其中$c_1$ 和$c_2$是任意常数）也是方程 的解。
首次积分法
利用首次积分的方法，将一阶微 分方程组转化为可分离变量的方 程或可降阶的方程，然后求解得 到原方程组的解。
特征线法
对于一阶偏微分方程组，可以通 过引入特征线的概念，将偏微分 方程转化为常微分方程进行求解 。
高阶微分方程组法
变量代换法
通过适当的变量代换，将高阶微分方程组转 化为一阶微分方程组或可降阶的方程，然后 求解得到原方程组的解。
高数第六版7.7.ppt
那么，y C1 y1 C2 y2就是微分方程(1)的通解.
当r为常数时，指数函数y erx和 它 的 各 节 导 数 都 只 相 差一 个 常 数 因 子 ，
由于指数函数有这个特点，因此我们用y erx来尝试， 看能否选取适当的r，使y erx满足方程(1).
设 y erx ,
y re rx , y r 2erx
[(C0 C1 x Ck1 xk1 )cosx (D0 D1 x Dk1 xk1 )sinx]ex
注意
n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个 根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个 任意常数.
y C1 y1 C2 y2 Cn yn
例5 求方程 y(5) y(4) 2 y(3) 2 y y y 0 的通解.
2
特征方程有两个不相等的实根 p2 4q 0
特征根为r1 p
p2 4q ,
2
p r2
p2 4q ,
2
r1
r2 ,
y2 y1
e r2 x e r1x
e(r2 r1 ) x
常数，
两个线性无关的特解 y1 e r1x , y2 er2x ,
得齐次方程的通解为 y C1e r1x C2e r2 x
例3 求微分方程y 2 y 3 y 0的通解.
解 所给微分方程的特征方程为
r 2 2r 3 0
特征根为：r1 1, r2 3是两个不等实根，
因此所求方程的通解为 y C1e x C2e3 x
例4
求
方
程d 2s dt 2
2
ds dt
s
0
满足初始条件s |t0 4, s |t0 2的特解.
(见下表)
y py qy 0 r 2 pr q 0
当r为常数时，指数函数y erx和 它 的 各 节 导 数 都 只 相 差一 个 常 数 因 子 ，
由于指数函数有这个特点，因此我们用y erx来尝试， 看能否选取适当的r，使y erx满足方程(1).
设 y erx ,
y re rx , y r 2erx
[(C0 C1 x Ck1 xk1 )cosx (D0 D1 x Dk1 xk1 )sinx]ex
注意
n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个 根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个 任意常数.
y C1 y1 C2 y2 Cn yn
例5 求方程 y(5) y(4) 2 y(3) 2 y y y 0 的通解.
2
特征方程有两个不相等的实根 p2 4q 0
特征根为r1 p
p2 4q ,
2
p r2
p2 4q ,
2
r1
r2 ,
y2 y1
e r2 x e r1x
e(r2 r1 ) x
常数，
两个线性无关的特解 y1 e r1x , y2 er2x ,
得齐次方程的通解为 y C1e r1x C2e r2 x
例3 求微分方程y 2 y 3 y 0的通解.
解 所给微分方程的特征方程为
r 2 2r 3 0
特征根为：r1 1, r2 3是两个不等实根，
因此所求方程的通解为 y C1e x C2e3 x
例4
求
方
程d 2s dt 2
2
ds dt
s
0
满足初始条件s |t0 4, s |t0 2的特解.
(见下表)
y py qy 0 r 2 pr q 0
高等数学同济件 微分方程总结PPT课件
2.求微分方程 y 4 y 3 y 0 的积分曲线方程, 使其在点(0,2)与直线x-y+2=0相切.
第14页/共21页
四、设f(x)是二阶可微函数，且 f ( x) f ( x) f ( x) 0
证明若f(x)在某不同两点处的函数值为0， 则f(x)在该两点之间恒为零。
设x1, x2使f ( x1 ) f ( x2 ) 0
第7页/共21页
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y 0
(1)
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f ( x) (2)
定理3 设y*是非齐次线性方程(2)的特解， Y是齐次线性方程(1)的通解, 则 y=Y+y* 是非齐次线性方程(2)的通解。
第9页/共21页
定理2：若 y1( x)与 y2( x)是方程
y p( x) yq( x) y 0 (1)的两个线性无关
的特解, 则 y C1 y1 C2 y2就是方程(1)的通解. 五、二阶常系数线性微分方程的解法
第10页/共21页
一、填空题
综合练习
1.曲线族 y Cx2 所满足的一阶微分方程是_x_y__ 2 y
f ( x) f ( x) f ( x) 0 ( x1 x x2 )
r2 r 1 0
r1,2
1 (1 2
5)
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故f ( x) C1er1x C2er2x f ( x1) f ( x2 ) 0 C1er1x1 C2er2x1 0
C1er1x2 C2er2x2 0 C1 C2 பைடு நூலகம் 故f(x)=0
第8页/共21页
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f1( x) (3) y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f2( x) (4) 定理4 设 y1* , y2* 分别是方程(3)与(4)的特解, 则 y1* y2* 是方程 y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f1( x) f2( x) 的特解。
同济大学《高等数学》第六版：D7_4一阶线性微分方程共20页PPT
同济大学《高等数学》第六 版：D7_4一阶线性微分方
程
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
程
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
7-4 一阶线性微分方程(高等数学)
§7.4 一阶线性微分方程教学内容：一．一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式为()()y P x y Q x '+=，其中()()P x Q x ,为已知连续函数，()Q x 称为方程的自由项.当()0Q x ≠时,称()()y P x y Q x '+=为一阶线性非齐次微分方程.当()0Q x =时,称()0y P x y '+=为()()y P x y Q x '+=所对应的一阶线性齐次微分方程．1. 一阶齐次线性微分方程一阶齐次线性微分方程()0y P x y '+=是可分离变量的微分方程，通解为()d e P x x y C -⎰=．注 对于一阶线性齐次微分方程()0y P x y '+=的求解有两种常用方法：（1）利用分离变量法求其通解；（2）利用通解公式法求其通解.先化为标准形式确定()P x ，再代入通解公式求解．2.一阶非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()d ()d ()e d e P x x P x x y Q x x C -⎰⎰=+⎰（常数变易法）.注：对于一阶非齐次线性微分方程()()y p x y Q x '+=的求解有两种常用方法：（1）先求出对应的齐次方程通解，再利用常数变易法求其通解.（2）直接利用非齐次方程的通解公式求其通解.二．伯努利方程1．形如d ()()(0,1)d n y P x y Q x y n x +=≠的方程为伯努利方程.2．伯努利方程的解法：令1n z y -=，可化成关于z 为未知函数的一阶线性微分方程d (1)()(1)()d z n P x z n Q x x+-=-，解出z 后代入变换关系1n z y -=即得方程原方程的通解.三．例题讲解例1.求微分方程e sin 0y y x -'-=的通解.例2.求2d (21)d y x y x=-的通解． 例3.求20y xy '-=满足03x y ==的特解．例4．医学研究发现，刀割伤口表面恢复的速度为()2d 51d =-≥y t t t （2cm /day ），其中，y 表示伤口 的面积，t 表示时间，假设215cm t y ==，问受伤5天后该病人的伤口表面积为多少.例5．求微分方程)ln ln 1(x y y y x -+='的通解.例6.求方程30xy y x '=>（）的通解. 例7.求方程23(0)xy x y x '=+>的通解．例8.求一阶线性微分方程230xy x y x '=+>（）满足初始条件12x y ==的特解．例9.已知汽艇在静水中行驶时受到的阻力与汽艇的行驶速度成正比，若一汽艇以10km/h 的速度在静水中行驶时关闭了发动机，经20s 后汽艇的速度减至6km /h ，试确定发动机停止2min 后汽艇的速度. 例10.求解微分方程2d (ln )(0)d y y x y x x x+=>.。
高等数学微分方程总结ppt课件.pptx
y py qy 0,
y py qy f ( x)
代数法
求解二阶常系数线性方程
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 r 2 pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
高阶常系数线性微分方程
P338
y(n) p1 y(n1) pn1 y pn y 0
代数特征方程 r n p1r n1 pn1r pn 0
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F (x) 2F (x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F (x) e 2d x 4e2x e 2d x d x C
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F (0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
齐次通解
非齐特解
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
y py qy f ( x)
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y* xkexQm ( x);
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0 变方程为 y2 x dx dy 3 y2 ( ydx xdy) 0
y py qy f ( x)
代数法
求解二阶常系数线性方程
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 r 2 pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
高阶常系数线性微分方程
P338
y(n) p1 y(n1) pn1 y pn y 0
代数特征方程 r n p1r n1 pn1r pn 0
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F (x) 2F (x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F (x) e 2d x 4e2x e 2d x d x C
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F (0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
齐次通解
非齐特解
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
y py qy f ( x)
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y* xkexQm ( x);
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0 变方程为 y2 x dx dy 3 y2 ( ydx xdy) 0
2019-高等数学课件同济版微分方程的基本概念-文档资料
例1. 验证函数 x C cos k t C sin k t ( C ,C 为常数 ) 1 2 1 2 d2 x 2 的解, 并求满足初始条件 是微分方程 2 k x 0 d t dx x A cos k t 0 的特解 . x t0 A, dt t 0 例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
M M 0e
t
例7. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
k t m g v ( 1e m )
k
内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解
2. 可分离变量方程的求解方法:
( x y )y 0
后者是通解 ,
但不包含前一个解 . 通解不一定是方程的全部解 .
d y x y 例5. 求方程 e 的通解 . d x
x y ( e C ) e 1 0(C<0 )
例6. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 M 0 , 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
分类
常微分方程 (本章内容)
偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
( n ) F ( x , y , y , , y ) 0
或
( n ) ( n 1 ) ( n 阶显式微分方程) y f ( x , y , y , , y )
高等数学上册第七章课件.ppt
y C2 ex ,再利用 y (0) = 1 得 C2 1, 故所求曲线方程为
第四节 可降阶的二阶微分方程
小结 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
逐次积分
令 y p(x) ,
令 y p(y) ,
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•n 阶线性微分方程的一般形式为
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f (x) f (x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程.
第四节 可降阶的二阶微分方程
例 求解 解
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
第四节 可降阶的二阶微分方程
例
解初值问题
y e2y 0 y x 0 0 ,
y p(x) y q(x) y f (x), 为二阶线性微分方程.
复习: 一阶线性方程 y P(x) y Q(x)
通解:
y
C
e
P(x)d
x
eP(x)d x
Q(x) eP(x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•线性齐次方程解的结构
定理 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. (叠加原理)
证 将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得 [C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ]
高等数学-第七章 微分方程ppt课件
练习: 求方程 dy ex y 的通解. dx
解法 1 分离变量 e ydy exdx
积分
ey ex C
即
(exC)ey1 0 ( C < 0 )
解法 2 令u x y, 则u 1 y
故有
u 1 eu
积分
1
d
u eu
x
C
(1 eu ) eu 1 eu
du
u ln (1 eu ) x C
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
dy 2x
①
dx
y x1 2
②
由 ① 得 y 2x dx x2 C (C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1.
引例2. 列车在平直路上以 20 m s 的速度行驶, 制动时
获得加速度 a 0.4 m s2 , 求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
已知
d2 dt
s
2
0.4 d
s
s t0 0 , d t
t
0 20
由前一式两次积分, 可得 s 0.2 t 2 C1 t C2
利用后两式可得
C1 20, C2 0
因此所求运动规律为 s 0.2 t 2 20 t
ln y x3 ln C
y Cex3
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
x ydx ( x2 1) dy 0
例2. 解初值问题 y(0) 1
解: 分离变量得
dy y
1
x x
2
dx
两边积分得 ln y ln 1 ln C x2 1
同济高等数学第六版-D7_7常系数齐次线性微分方程-精选文档
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小结:
y p y q y 0( p , q 为常数 )
2 特征方程: r p r q 0 , 特征根 :r ,r 1 2
特征根
通
解
r 1 r 2 实根
p r r 1 2 2
r i 1 , 2
r x r x 1 2 y C e C e 1 2 r x 1 y ( C C x ) e 1 2 x y e ( C cos x C sin x ) 1 2
x x ( t) . 速度为 v 0, 求物体的运动规律
解: 由第六节例1 (P323) 知, 位移满足 因此定解问题为
dx 2 2 n k x 0 2 dt dt d x x t 0 x 0, t 0 v0 dt
d x
2
O x
x
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1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )
k 1 ( D D x D x sin x ] 1 2 k )
பைடு நூலகம்
(以上 C ) i, D i 均为任意常数
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例1. 求方程 的通解. y 2 y 3 y 0 2 1 , r 3 , 解: 特征方程 r 2 r 3 0 ,特征根: r 1 2
2
1 x y ( y y ) e cosx 1 2 1 2 1 x e sinx y ( y y ) 2 2 2 i 1
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
因此原方程的通解为 y p y q y 0( p , q 为常数 ) x 2( y e C cos x C sin x ) 1 2 特征方程 r p r q 0
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
具有重要的作用。
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
高等数学第七章4节一阶微分线性方程
一阶齐次线性微分方程 一阶非齐次线性微分方程
2
设
dy P x y Qx dx
（1）
dy 为一阶非齐次线性微分方程， 则方程 Px y 0 dx
称为对应于（1）的齐次线性微分方程.
2. 一阶齐次线
dy P x y 0, dx dy 得 P x dx , y dy P x dx , y
u x Q x e P x dx dx C .
求得() 的通解为：
y [ Q x e P x dx dx C ]e P x dx .
7
或
y Ce P x dx e P x dx Q x e P x dx dx
第四节
一阶线性微分方程
dy P x y Qx dx
一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程
dy P x y Q x y n dx
n 0 ,1
1
一、一阶线性微分方程
1.定义 形如
dy 称为一阶线性微分 P x y Q x 的方程， dx
将 y u x e
P x dx
代入() ， 得
u x e
即 积分得
P x dx
u x e
P x dx
P x
P x u x e
P x dx
Q x
P x dx u x Q x e
齐次线性微分方程的通解
非齐次线性微分方程的特解
即 非齐次线性微分方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解 与非齐次线性方程的一个特解之和.
8
5 dy 2y x 1 2 的通解 . 例1 求方程 dx x 1
《高等数学》 第七章
C
；
第三步，求积分的通解： G( y) F(x) C ．
其中 G( y) ， F (x) 分别是 1 ， f (x) 一个原函数． g ( y)
第二节 一阶微分方程
例 1 求微分方程 dy y sin x 0 的通解． dx
解 将方程分离变量，得到 dy sin xdx ， y
两边积分，即得
（*）
例如，以上六个方程中，（1）、（2）、（5）、（6）是一阶常微分方程，（3）是二阶
常微分方程，（4）是二阶偏微分方程．
定义 3 如果微分方程中含的未知函数及其所有导数都是一次多项式，则称该方
程为线性方程，否则称为非线性方程．
一般说来，n 阶线性方程具有如下形状：
a0(x) y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y (x) ．
第二节 一阶微分方程
例 3 求方程 dy y 1 的解． dx x 1
为方便起见，以后在解微分方程的过程中，如果积分后出现对数，理应都需作
类似下述的处理，其结果是一样的．以例 3 为例叙述如下：
分离变量后得
1 dy 1 dx ， y 1 x 1
两边积分得
ln | y 1| ln | x 1| ln C ，
再分离变量，得 du 1 dx ； f (u) u x
第三步，两端分别积分后得
du f (u) u
ln | x | C1
．
求出积分后，再用 y 代替 u ，便可得到方程关于 x 的通解． x
第二节 一阶微分方程
例 4 求微分方程 xy y(1 ln y ln x) 的通解．
解
将方程化为齐次方程的形式
dy dx
y x
1
高等数学第七章常微分方程
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高等数学
第七章 常微分方程
因此y=eλ1x是原方程的解。 函数y=C1eλ1x+C2eλ2x的一阶导数和二阶导数分别为 y′=C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x y″=C1λ12eλ1x+C2λ22eλ2x 代入原方程，则 (C1λ12eλ1x+C2λ22eλ2x)-(λ1+λ2)(C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x)+λ1λ2( C1eλ1x+eλ2x)≡0 说明y=C1eλ1x+C2eλ2x也是原方程的解。
微分方程的概念 一阶微分方程 可降阶的高阶微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程
第一节 微分方程的概念
一、 微分方程的基本概念
例1 已知一条曲线经过点(2，1)，且该曲线上任一点
P(x，y)处切线斜率为x，求该曲线的方程.
解 设所求曲线方程为y=y(x).由导数的概念及几何意义
F(x，f(x)，f′(x)，…，f(n)(x))≡0 则称y=f(x)为微分方程 (7-1-1) 在区间I上的解。
第一节 微分方程的概念
例2 验证函数y=eλ1x和y=C1eλ1x+C2eλ2x均为方程 y″-(λ1+λ2)y′+λ1λ2y=0的解。
解 y=eλ1x的一阶导数和二阶导数分别为 y′=λ1eλ1x， y″=λ12eλ1x 将y，y′，y″代入原方程中，则 λ12eλ1x-(λ1+λ2)λ1eλ1x+λ1λ2eλ1x≡0
dx
高等数学第七章第九节常系数非齐次线性微分方程课件.ppt
这说明 y1 为方程 ③ 的特解 .
第三步 求原方程的特解 原方程
y py qy e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x
利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
y* y1 y1
xk e x Qm ei x Qm ei x xke x Qm (cos x i sin x)
b0
1 ,
b1
1 3
例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y* x (b0 x b1) e2 x
代入方程得 2b0 x b1 2b0 x
比较系数, 得
b0
1 2
,
b1
1
因此特解为
y*
x
(
1 2
Qm (cos x i sin x) xke x Rm cos x R~m sin x
其中 R m , R~m 均为 m 次多项式 .
第四步 分析 y的特点
y y1 y1
xke x Rm cos x R~m sin x
因
y y1 y1 y1 y1
y1 y1
y*
所以 y本质上为实函数 , 因此 Rm , R~m 均为 m 次实
③
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
特解:
y1 xkQm (x) e(i) x (Qm (x)为m次多项式)
故 ( y1) p ( y1) q y1 Pm (x) e(i) x
等式两边取共轭 :
y1 p y1 q y1 Pm (x) e(i) x
形式e为xPym*(x)e xQm (x) .
同济大学高等数学上册第七章常微分方程
同济大学高等数学上册第七章常微分方程同济大学高等数学上册是大多数理工科专业的学生必修的课程，第七章是关于常微分方程的内容。
常微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、化学、经济等领域。
掌握常微分方程的基本理论和解法对于理解和应用这些领域的知识具有重要意义。
本章内容主要包括：一阶常微分方程、高阶常微分方程、一阶线性微分方程、可分离变量的微分方程、齐次线性微分方程和一阶齐次线性方程、一阶齐次线性非齐次方程、二阶常系数齐次线性方程、常系数非齐次方程等。
一、一阶常微分方程一阶常微分方程是指未知函数的导数只包含一阶导数的方程。
例如，dy/dx = f(x)。
常微分方程的求解可以采用分离变量法、恰当方程、公式法等。
其中分离变量法是常用的解法之一。
分离变量法的基本思想是将方程两边的变量分离开来，从而达到求解的目的。
二、高阶常微分方程高阶常微分方程是未知函数的导数包含高于一阶导数的方程。
例如，d²y/dx² + p(x) dy/dx + q(x) y = f(x)。
高阶常微分方程的求解可以采用常系数线性微分方程的方法。
常系数线性微分方程是指系数为常数的微分方程，其求解方法相对简单。
三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程是指未知函数的导数与未知函数本身之间线性相关的方程。
例如，dy/dx + p(x) y = q(x)。
一阶线性微分方程的求解可以借助于积分因子的方法。
积分因子的选择是使方程两边的未知函数系数相等，从而将方程转化为可积分的形式。
四、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程是指未知函数和自变量可以在方程中分离的方程。
例如，dy/dx = f(x)/g(y)。
可分离变量的微分方程的求解可以通过对方程两边的变量分离，然后进行适当的积分得到。
这种方法常用于求解一些特殊形式的微分方程。
五、齐次线性微分方程和一阶齐次线性方程齐次线性微分方程是指未知函数的导数和未知函数本身之间构成齐次线性关系的微分方程。
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2
4
交线如图.
二、空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t )
空间曲线的参数方程
z z(t)
当给定t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
例 2 如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2上以
角速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于z
x a cos
y
a
sin
z b
( t,
螺旋线的重要性质：
b v)
上升的高度与转过的角度成正比．
即 : 0 0 , z : b0 b0 b , 2, 上升的高度 h 2b 螺距
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
消去变量z后得： H ( x, y) 0
曲线关于xoy 的投影柱面
投影柱面的特征：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C 在xOy面上的投影曲线，或简称投影
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H(x, y) 0
z
0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
空间曲线的一般方程
z
S1
S2
C
o
y
x ( x
a )2 2
y2
a2 4
表示怎样的曲线？
解 z a2 x2 y2
上半球面,
( x a )2 y2 a2 圆柱面,
yoz 面上的投影曲线, xoz面上的投影曲线,
R( y, z) 0
x
0
T ( x, z) 0
y
0
例3 已知两球面的方程为
x2 y2 z2 1 x2 ( y 1)2 (z 1)2 1
求它们的交线C在xOy面上的投影方程
解 先求包含交线C而母线平行于轴的柱面方 程。因此要由方程（7）、（8）消去z,为此可 先从（7）式减去（8）式并化简，得到
y z 1 z 1 y
代入球面方程得x2 2 y2 2 y 0 投影柱面方程
x2 2y2 2y 0
投影曲线方程
z0
例4 设一个立体,由上半球面 z 4 x2 y2 和 z 3( x2 y2 )锥面所围成,求它在 xoy 面上的投影 .
解 半球面和锥面的交线为
C
:
z
4 x2 y2,
轴的正方向上升（其中 、v 都是常数），那么点
M 构成的图形叫做 螺旋线 ．试建立其参数方程．
解
z
取时间t为参数，动点从A点出
发，经过t时间，运动到M点
M 在 xoy面的投影M ( x, y,0)
t
o
M
•
x A M y
x a cost y a sint
z vt
螺旋线的参数方程
螺旋线的参数方程还可以写为
z 3( x2 y2 ),
消去 z 得投影柱面 x2 y2 1,
则交线 C 在 xoy 面上的投影为
x2 y2 1,
一个圆,
z 0.
所求立体在 xoy 面上的投影为
x2 y2 1.
如下图所示
z
o x
y
x2 y2 1
思考题
求椭圆抛物面2 y2 x 2 z 与抛物柱面 2 x2 z的交线关于xoy面的投影柱面和 在 xoy面上的投影曲线方程.
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
14
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal