高等数学同济六版第七章微分方程7-4PPT课件
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y z 1 z 1 y
代入球面方程得x2 2 y2 2 y 0 投影柱面方程
x2 2y2 2y 0
投影曲线方程
z0
例4 设一个立体,由上半球面 z 4 x2 y2 和 z 3( x2 y2 )锥面所围成,求它在 xoy 面上的投影 .
解 半球面和锥面的交线为
C
:
z
4 x2 y2,
轴的正方向上升（其中 、v 都是常数），那么点
M 构成的图形叫做 螺旋线 ．试建立其参数方程．
解
z
取时间t为参数，动点从A点出
发，经过t时间，运动到M点
M 在 xoy面的投影M ( x, y,0)
t
o
M
•
x A M y
x a cost y a sint
z vt
螺旋线的参数方程
螺旋线的参数方程还可以写为
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
空间曲线的一般方程
z
S1
S2
C
o
y
x
z a2 x2 y2
例1
方程组 ( x
a )2 2
y2
a2 4
表示怎样的曲线？
解 z a2 x2 y2
上半球面,
( x a )2 y2 a2 圆柱面,
2
4பைடு நூலகம்
交线如图.
二、空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t )
空间曲线的参数方程
z z(t)
当给定t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
例 2 如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2上以
角速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于z
消去变量z后得： H ( x, y) 0
曲线关于xoy 的投影柱面
投影柱面的特征：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C 在xOy面上的投影曲线，或简称投影
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H(x, y) 0
z
0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
z 3( x2 y2 ),
消去 z 得投影柱面 x2 y2 1,
则交线 C 在 xoy 面上的投影为
x2 y2 1,
一个圆,
z 0.
所求立体在 xoy 面上的投影为
x2 y2 1.
如下图所示
z
o x
y
x2 y2 1
思考题
求椭圆抛物面2 y2 x 2 z 与抛物柱面 2 x2 z的交线关于xoy面的投影柱面和 在 xoy面上的投影曲线方程.
yoz 面上的投影曲线, xoz面上的投影曲线,
R( y, z) 0
x
0
T ( x, z) 0
y
0
例3 已知两球面的方程为
x2 y2 z2 1 x2 ( y 1)2 (z 1)2 1
求它们的交线C在xOy面上的投影方程
解 先求包含交线C而母线平行于轴的柱面方 程。因此要由方程（7）、（8）消去z,为此可 先从（7）式减去（8）式并化简，得到
x a cos
y
a
sin
z b
( t,
螺旋线的重要性质：
b v)
上升的高度与转过的角度成正比．
即 : 0 0 , z : b0 b0 b , 2, 上升的高度 h 2b 螺距
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
14
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
代入球面方程得x2 2 y2 2 y 0 投影柱面方程
x2 2y2 2y 0
投影曲线方程
z0
例4 设一个立体,由上半球面 z 4 x2 y2 和 z 3( x2 y2 )锥面所围成,求它在 xoy 面上的投影 .
解 半球面和锥面的交线为
C
:
z
4 x2 y2,
轴的正方向上升（其中 、v 都是常数），那么点
M 构成的图形叫做 螺旋线 ．试建立其参数方程．
解
z
取时间t为参数，动点从A点出
发，经过t时间，运动到M点
M 在 xoy面的投影M ( x, y,0)
t
o
M
•
x A M y
x a cost y a sint
z vt
螺旋线的参数方程
螺旋线的参数方程还可以写为
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
空间曲线的一般方程
z
S1
S2
C
o
y
x
z a2 x2 y2
例1
方程组 ( x
a )2 2
y2
a2 4
表示怎样的曲线？
解 z a2 x2 y2
上半球面,
( x a )2 y2 a2 圆柱面,
2
4பைடு நூலகம்
交线如图.
二、空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t )
空间曲线的参数方程
z z(t)
当给定t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
例 2 如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2上以
角速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于z
消去变量z后得： H ( x, y) 0
曲线关于xoy 的投影柱面
投影柱面的特征：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C 在xOy面上的投影曲线，或简称投影
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H(x, y) 0
z
0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
z 3( x2 y2 ),
消去 z 得投影柱面 x2 y2 1,
则交线 C 在 xoy 面上的投影为
x2 y2 1,
一个圆,
z 0.
所求立体在 xoy 面上的投影为
x2 y2 1.
如下图所示
z
o x
y
x2 y2 1
思考题
求椭圆抛物面2 y2 x 2 z 与抛物柱面 2 x2 z的交线关于xoy面的投影柱面和 在 xoy面上的投影曲线方程.
yoz 面上的投影曲线, xoz面上的投影曲线,
R( y, z) 0
x
0
T ( x, z) 0
y
0
例3 已知两球面的方程为
x2 y2 z2 1 x2 ( y 1)2 (z 1)2 1
求它们的交线C在xOy面上的投影方程
解 先求包含交线C而母线平行于轴的柱面方 程。因此要由方程（7）、（8）消去z,为此可 先从（7）式减去（8）式并化简，得到
x a cos
y
a
sin
z b
( t,
螺旋线的重要性质：
b v)
上升的高度与转过的角度成正比．
即 : 0 0 , z : b0 b0 b , 2, 上升的高度 h 2b 螺距
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
14
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal