带电细圆环以及薄圆盘的空间电场分布

带电细圆环以及薄圆盘的空间电场分布

孝义市第五中学:蔺金林

摘要: 先介绍电位的两种计算方法，一种是用点电荷的电位分布来计算电位（参考点在无穷远时），一种是用电位与场强的积分关系式来计算电位.然后用两种不同的方法求出均匀带电薄圆盘轴线上的电位和电场.根据点电荷电势和电场的叠加原理，导出了均匀带电细圆环电势和电场的级数表达式，再用叠加法推广到均匀带电圆盘周围空间的电场分布（将均匀带电薄圆盘分割成同心的带电圆环,先求出任一带电圆环电位的空间分布,再进行叠加,由点电荷在空间激发电场的电位公式，用两种方法，一种是线电荷元分割法，一种是面电荷元分割法，求出均匀带电圆盘电位的空间分布）.

关键词：均匀带电圆环；均匀带电圆盘；电场；电位

The Space Distribution Of Electric Field Of Charged Thin Ring

As Well As Thin Disc

ABSTRACT:In this paper, we first introduce two computational methods of the electric potential, one kind is that calculating the electric potential with the point charges’ potential distribution (reference point is in infinite distance), another one is that calculating the electric potential with the electric potential and the field intensity integral relationship. Then extract the spool thread on the even charged thin disc with two different methods. According to the principle of superposition of electric potential and the electric field of the point charges, derive the progression expression of the electric potential and the electric field on the even charged thin ring, again we will use the method of superposition to promote the space distribution of electric field (Divide the even charged thin disc to many a concentric charged rings. Extract first the electric potential spatial distribution no matter where on a charged ring. Again carry on the superposition. From the formula of electric potential stirred up by a point charge, we deduce the space distribution of a uniform charged disc’s electric potential with two methods. One kind is the line charge method, one kind is the surface charge method).

KEYWORDS:Even charged ring；Even charged disc；Electric field；

Electric potential

目录

引言 (1)

1电位的计算 (2)

1.1电位的两种计算方法 (2)

1.2均匀带电圆盘轴线上电位 (2)

2均匀带电细圆环的电场 (5)

2.1均匀带电细圆环的电势 (5)

2.2均匀带电细圆环的电场 (6)

2.3均匀带电细圆环电场、电势的讨论 (7)

3均匀带电薄圆盘的电势 (8)

3.1均匀带电薄圆盘的电势（线电荷元分割法） (8)

3.2均匀带电薄圆盘的电势（面电荷元分割法） (11)

总结 (12)

参考文献 (13)

引言

各种带电体周围空间电场的解是电磁学中经常碰到的问题,其中均匀带电细圆环以及薄圆盘电场的空间分布是一个非常棘手的问题.本文将先讨论均匀带电细圆环空间电场的解,再用叠加法推广到均匀带电圆盘的电场分布.

对于均匀带电细圆环周围空间电场的解,近年来,已有文献在用积分方程表示电场解的同时,还用计算机对其进行了数值计算.然而,寻找更易于理解的数学表达式,常常是我们问及,也是我们非常关心的问题.本文先利用点电荷电势的公式及叠加原理导出均匀带电细圆环周围空间电势的级数解,再通过电势与电场的关系得出其电场强度的级数解.

均匀细圆环的静电势,由于物理图象清晰,计算简单,在数学物理方法及电动力学教材中多有讨论.在此基础上,很自然地就会要讨论到均匀带电薄圆盘的静电势问题.事实上,在Morse和Feshbach所著的Method of Theoretical Physics[1]一书中就可以找到这个问题.目前,在一些教材中也有所讨论,或者把它列为习题[2-6].但是,这个问题,形似简单,实际上涉及数学物理方法中的一些基本理论,在一些教材中似乎讨论的不够充分,而且不能简单地把无穷多个细圆环叠加起来,就能得到正确的结果.本文将做尽可能详细的分析,并用一种简单而又容易理解的叠加法（在球坐标系中）求出其正确的结果.在电磁学中,对均匀带电圆盘的电场的空间分布问题,一般的教材中只讨论均匀带电圆盘轴线上的分布,而对轴线以外场点的分布没有讨论,本文由电位的定义式,用两种方法求出均匀带电圆盘电位的空间分布.

1 电位的计算

1.1 电位的两种计算方法

当电荷分布已知时，可用如下两种方法计算电位. 1、用点电荷的电位公式

2

044p

p p r p

Q dr Q

U d r r πεπε∞

∞

=?=

=??

E l (1.1.1) 计算电位.式中p r 是场点p 与点电荷Q 的距离.接下来我们对电位的计算就用此公式.

由场强的迭加原理[7]不难证明电位的迭加原理：n 个点电荷在某点产生的电位等于每个点电荷单独存在时在该点产生的电位的代数和.把激发电场的电荷分为许多点电荷，利用点电荷的电位公式(1.1.1)及电位叠加原理便可求得场中各点的电位.当电荷按体密度ρ连续分布时，可把带电区域分为无限多个无限小体元d τ，其对场点p 贡献的元电位按式(1.1.1)为

04d dU r

ρτ

πε=

(1.1.2) r 是d τ与场点p 的距离.整个带电区域在p 点激发的电位为

014d U r ρτπε=??? (1.1.3) 积分遍及整个带电体积.类似地，当电荷按面密度σ连续分布于某曲面上时，电位公式为

014ds

U r σπε=?? (1.1.4) 积分遍及整个带电曲面.

应该注意式(1.1.1)，因而式(1.1.3)及(1.1.4)只对参考点在无限远的情况成立.因此，当参考点不在无限远时，就不宜使用这种方法.

2、用电位与场强的积分关系式计算电位

使用这种方法时，首先应在欲求电位的点p 与参考点0p 间选择一条适当的曲线，并根据电荷分布求出线上各点场强.由于积分路径的任意性，可以根据具体情况选择一条最便于计算的曲线.

1.2 均匀带电圆盘轴线上电位

均匀带电圆盘轴线上电位.已知圆盘半径为R ，电荷面密度为σ，参考点在无限远.

如下图

因参考点在无限远，故可用式(1.1.1)作积分(第一种方法),用极坐标的方法把圆平面分成许多面元,坐标为r ,?的面元的面积为

dS rd dr ?= (1.2.1)

其电量为

dq dS rd dr σσ?==

按式(1.1.1)它在轴线上一点p 贡献的电位为

22

04rd dr

dU r z σ?πε=+ (1.2.2)

整个圆盘在p 点贡献的电位为

22

022*******

44()2R rd dr

U r z rdr

d r z R z z πσ?πεσ?πεσε=+=+=+-??

?? (1.2.3) 其中z 是p 点与圆盘的绝对距离(不论p 点在圆盘的左侧还是右侧,z 恒取正)

电位沿圆盘轴线的分布如图(1.2.2)曲线所示,这是一条连续曲线(包括盘心O 点在内).这就说明，虽然场强在带电圆盘面发生突变（一面两侧的场强虽然数值相同，但反向相反，故为突变），但电位在面上却是连续的.

也可用第二种方法求解，为

d ?r

dr

z

P

l

O

α

α

d E

d '

E 图1.2.1 均匀带电圆盘轴线上的场强

z 图 1.2.2 均匀带电圆盘轴线上的分布

(z 表示与盘心的绝对距离)

O

U

z

此可选圆盘轴线为积分路径.可按照点电荷场强公式，它在轴上一点P 贡献的场强（大小）为

2

04rd dr

dE l

σ?πε=

其中l 是半扇形到点P 的距离.

由于电荷分布对称于圆盘轴线OP ，故必存在与所取半扇形对称配置的另一半扇形，两者面积、电量分别相等.虚线半扇形在P 点贡献的场强如图中d 'E 所示.d E 与d 'E 大小相等，与轴线夹角α亦等，两者的合场强必平行于轴线.整个圆盘可分割为一对对这样的半扇形，故P 点的总场强E 亦平行于轴线.因此只须对d E 沿轴线的分量z dE 作积分便可求出E .由图可知

2

2003222

0cos cos 444()z rd dr rd dr z

dE dE l l l

zrd dr

r z σ?ασ?απεπεσ?πε==

==

+

对变量r 、?作二重积分得

23

220

222

0142()

R

z rdr

z

E d R z r z π

σσ?πεε??

=

=

- ?+??

+?

?

(1.2.4) 其中z 为O 与P 间的绝对距离（不论P 点在圆盘的右侧还是左侧，z 恒取正）.再对式(1.2.4)积分，即可求得式(1.2.3).

2 均匀带电细圆环的电场

2.1 均匀带电细圆环的电势

利用上一章介绍的点电荷电势的公式(1.1.1)及叠加原理导出均匀带电细圆环周围空间电势的级数解.如图(2.1.1),设均匀带电细圆环半径为R,其电荷线密度为λ.由对称性可知：其电势与电场必以z 轴对称.因此，只要求得xOz 平面内电势与电场，则整个空间的电势与电场便可知.图中dl 线段电荷在p 点电势为：

02220

14142cos 21cos p dl dU r

Rd x z R xR C A d B λπελθ

πεθ

λθθ

=

?=

?

++-=?

- 式中012C πε= , 222R

A x z R

=++ , 2222xR B x z R =++ . (2.1.1) 将细圆环视为点电荷的集合，由电势叠加原理，在空间p 点处电势为

020

222

0020

221cos 1cos 1cos 1cos 1sin 111cos 1sin p C A d U B d d C A B B d d C A B B C A d B B ππππππ

π

λθ

θ

θθλθθθθλθθλθθ

θ=?-??=+??--????'?=+??'-+???

??

=+

??-+??

?????? (2.1.2) 其中2

π

θθ'=-

.

利用幂级数[8～10]

()

1234

2

113135135711

12242462468

x x x x x x -

??????±=++???

则式(2.1.2)可变形为如下幂级数的形式:

r

y

z

(,)

p x y dl

θR

(2.1.1)图 均匀带电细圆环的电势

o

x

d θ

{2233202233233321230

44455545131351cos cos cos 224246131351sin sin sin 2242462(cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos sin )(p n n B

U C A B B B B B d C A G B G B G B G B G B G B π

π

λθθθθθθθλθθθθθθθθ????=++++???+

?????????-+-+????????=+-++-+

++-+???+??}cos (1)sin )n n n d θθθ

+-??? (2.1.3)

式中：

112G =

， 23142G ?=? ， 3531642G ??=?? ， 475318642

G ???=??? ……

(21)(23)31

2(22)42

n n n G n n -?-???????=

?-???????

n 为正整数.且1B <，即p 点不应在环上.

对式(2.1.3)积分,得到:

{}

246824682468224466881353753

222246486413324222

p n n n n n U C A G B G B G B G B n n G B n n C A

M G B M G B M G B M G B M G B πλπ

λ????=+?++++???+

?????--?

??????+????-?

=+++++???+

+??? (2.1.4)

这里：

212M =

， 434M = ， 65364M ?=? ，8753864

M ??=?? , ……

(1)(3)3(2)4

n n n M n n -?-?????=?-?????

n 为正偶数.同样1B <.

2.2 均匀带电细圆环的电场

得到均匀带电细圆环周围空间电势的级数解后,再通过电势与电场的关系,可得出其电场强度的级数解.

由电场强度与电势的关系:

U =-?E (2.2.1)

不难得到p 点场强.令x z E E =+E i k ，有：

{}{}

{}

242244312244222224422222242

(2)22422p n x n n n n n p n n n U A

E C M G B M G B M G B x

x

B C A

M G B M G B n M G B x

B B U

C A B A M G M G B R R

nM G B πλ

π

λπλ--??=-

=-+++???++???-

????++???++????=+-??++???++??? (2.2.2)

{}23222442222()2242p

z p n n n U zA z

E U C A B M G M G B z R R n M G B πλ-?=-=+??++???+

???? (2.2.3)

其中1B <.

2.3 均匀带电细圆环电场、电势的讨论

1、对于z 轴上的点（0x =，0B =），式(2.1.4)、(2.2.2)、(2.2.3)分别变为:

22220024p R Q

U C A z R z R

λπλππεπε==?=

++ (2.3.1) 0x E = ,32

22

04()

z Qz E z R πε=

+ (2.3.2)

式中Q 为圆环上总电荷.这是我们所熟知的结果，此外，若p 点距圆心距离远大于环半径（22x z R +>），p U 近似为式(2.1.4)第一项:

22

04()

p Q

U x z πε≈

+ (2.3.3) 3

22

2

04()

x xQ

E x z πε≈+

3

2

2

2

04()

z zQ

E x z πε≈

+ (2.3.4)

此时,p 点电势相当于环上电荷置于圆心处时的点电荷的电势和电场.

2、由式(2.1.4)可见,电势较大区域在圆环附近.对于场强，此时由式(2.2.3),0x E =场强方向沿圆环径向.同样，当p 点位于环附近时，222B A =.场强由式(2.2.2)中第一项决定.当p 点距环越远时，场强将会迅速减小.得知:均匀带电细圆环电场主要集中在圆环附近.

3 均匀带电薄圆盘的电势

3.1 均匀带电薄圆盘的电势（线电荷元分割法）

在电磁学中,对均匀带电圆盘的电场的空间分布问题,一般的教材中只讨论均匀带电圆盘轴线上的分布,而对轴线以外场点的分布没有讨论,本章由电位的定义式,用两种方法求出均匀带电圆盘电位的空间分布.

如图(3.1.1),将均匀带电薄圆盘分割成同心的带电圆环,先求出任一带电圆环电位的空间分布,再进行叠加,即可求出均匀带电圆盘电位的空间分布.在前面得到均匀带电细圆环的电位分布，得到(2.1.4)式如下：

{}

24

6824682468224466881353753222246486413324222

p n n n n n U C A

G B G B G B G B n n G B n n C A

M G B M G B M G B M G B M G B πλπ

λ????

=+?++

++???+?????--?

??????+????

-?

=+++++???+

+??? 其中0

12C πε=

, 222

R A x z R =++ , 222

2xR

B x z R

=

++ 式中只有A 、B 与坐标量有关,把上式对x 积分,便可得到均匀带电圆盘在xOz 平面

z

x

y

p

o dl

α

ρ

θ

φr

r '

图3.1.1 线电荷元分割法

上的分布.但计算起来相当麻烦，（计算机可对它进行数值计算）为了便于计算，我们在球坐标系中计算.本节先用线电荷元分割法来求解.

已有文献对它进行了计算，但用这种方法把无穷多个细圆环叠加起来，不能得到正确的结果.从根本上说来，这是因为轴定理所处的体系，不仅要求具有轴对称性，而且对源（静电问题中的电荷，引力中的质量，等等）的分布也有一定的限制.源只能分布在作为系统内部界面的球面上.而在本问题中，作为静电势的源的电荷，分布在赤道面上的一个圆形区域内.因此，我们在球坐标系中计算，便可容易得到正确的结果.如图中所示，设均匀带电圆环带电量为dq ,半径为ρ,在环上任取一小线元dl ,dl 到p 点的距离为r ',dl 带电量为:

22dq dq

dl d ρφπρπρ

= 在p 点激发电场的电位为:

2001

428dq dq d dV d r r φ

ρφπεπρπε'=

?

=?

'' (3.1.1) 式中

222222(cos )(sin )2sin cos()2sin cos()

r r r r r r θρθρθαφρρθαφ'=++--=+-- (3.1.2)

将(3.1.2)代入(3.1.1)得:

22

2

82sin cos()

dq d dV r r φ

περρθαφ'=?

+--

22

2

2

82sin cos()

dq d V r r π

φ

περρθαφ'=

+--?

(3.1.3)

由对称性可知，圆环在p 点的电位V 与p 点的方位角α无关，即可取0α=. 则：

222

2

82sin cos dq d V r r π

φ

περρθφ

'=

+-?

(3.1.4)

令

2φπψ=- 2d d φψ=- (3.1.5) 2cos cos(2)cos212sin φπψψψ=-=-=-+ (3.1.6)

将(3.1.6) (3.1.5)代入(3.1.4)式得：

2222202282sin 4sin sin dq d V r r r ππψπερρθρθψ-'=++-? (3.1.7)

为了计算简便，这里令

222

4sin 2sin r k r r ρθ

ρρθ

=

++ (3.1.8) 将(3.1.8)代入(3.1.7)式得：

2

2222

2

02

142sin 1sin dq d V r r k π

πψπερρθψ

-

'=

++-?

(3.1.9)

又

2

22q

dq d d R

πρρσπρρπ=

?=? (3.1.10) 将(3.1.10)代入(3.1.9)式积分得：

2222

2

002

22sin 1sin R d d V r r k π

π

σρρψπερρθ

ψ

-

=

++-?? (3.1.11)

221sin k ψ-是ψ的以π为周期的偶函数，且, 则

22

22220

2

22242621sin 1sin 11313521()()()2224246d d k k k k k π

π

π

ψψψ

ψ

π-

=--????

?

=?

+++?????????????

?? (3.1.12) 将(3.1.8) (3.1.12)代入(3.1.11)得

()2222300222

2

32

50222

2

43

70222

1()4sin 222sin (2sin )13(4sin )24(2sin )135(4sin )246(2sin )R R R R d d V r r r r r d r r r d r r r σ

ρρρρ

θερρθρρθρρθρρθρρθρρθ?=

+?++??++???+ ????++??????++?????? ??????++?

????

2222

sin 2sin 2sin sin ln

2sin R r R Rr r V R Rr r r r r r σθθθθεθ?++++=

++--?+??

()2230222

2

3

2

50222

1()4sin 2

(2sin )13(4sin )24(2sin )R R d r r r d r r r ρρ

θρρθρρθρρθ+++???+ ????++??

24

3

70222

135(4sin )246(2sin )R d r r r ρρθρρθ??????++?????? ??????++?

? (3.1.13) 20

k <

讨论：

当0θ=时，p 点便在轴线上，这时(3.1.13)式化为

220

()2V R r r σ

ε=

+- 即圆盘在轴线上与盘心相距为r 处p 点的电位,与电磁学中得出的结论相符合.接下来用面电荷元分割法来求均匀带电圆盘的电势.

3.2 均匀带电薄圆盘的电势（面电荷元分割法）

如图(3.2.1),将坐标原点选在圆心O 上,盘面在xOy 平面内,z 轴沿圆盘轴线,设p 点到圆心的距离为r ,在盘内任取一小面积元ds ：

ds dxdy =

ds 到圆心的距离为ρ，到空间任一点p 的距离为r '，电荷元带电量为：

dq dxdy σ= (3.2.1)

电荷元在p 点激发电场的电位为：

14dq

dV r πε=

?

'

(3.2.2) 由图(3.2.1)可知

222222(cos )(cos )(sin )2sin cos()r r l r r r θθρθρθαφ'=+=++--

222sin cos()r r r ρρθαφ'=+-- (3.2.3)

将(3.2.1) (3.2.3)式代入(3.2.2)式得

z

y

x

p

o α

ρ

θ

φr

r '

l

图3.2.1 面电荷元分割法

22042sin cos()

dxdy

dV r r σπερρθαφ=

?

+-- (3.2.4) 将(3.2.4)式化为极坐标的形式：

22042sin cos()

d d dV r r σρρφ

περρθαφ=

?

+-- 22042sin cos()

s d d V r r σρρφ

περρθαφ=

+--? 根据对称性可知，圆盘电荷在p 点产生的电位V 与p 点的方位角α无关，为简单可取

0α=则

22042sin cos s d d V r r σρρφ

περρθφ

=

+-? (3.2.5)

令

22d d φπψ

φψ=-=- (3.2.6)

2cos cos(2)cos212sin φπψψψ=-=-=-+ (3.2.7)

将(3.2.6) (3.2.7)代入(3.2.5)式得

22202

2

2

242sin (12sin )

22sin 4sin sin s

s

d d V r r d d r r r σρρψ

περρθψσρρψ

περρθρθψ

-=+--+-=

++-??

(3.2.8)

令

2224sin 2sin r k r r ρθ

ρρθ

=

++ (3.2.9)

将(3.2.9)代入(3.2.8)得：

22220

2

2

2

2

2

2

22sin 1sin 22sin 1sin s

R

d d V r r k d d r r k π

π

σρρψπερρθ

ψ

σρρ

ψπερ

ρθ

ψ

-

-=

?

++-=

++-??

? (3.2.10)

由此看出(3.2.10)与(3.1.11)是相同的.

当0θ=时，(3.2.10)式同样可得出均匀带电圆盘轴线上距盘心r 处p 点的电位：

220

()2V R r r σ

ε=

+-

总结

求各种带电体周围空间电场的解，可先计算出各种带电体周围空间电位的分布，然后用电位与电场的关系求出其电场分布.而对周围空间电位的计算，用两种方法计算.当参考点在无穷远时，用点电荷的电位分布计算电位；或用电位与场强的积分关系式计算电位.从而通过计算可导出了均匀带电细圆环电势和电场的级数表达式，得知均匀带电细圆环电场主要集中在圆环附近.在此基础上，用叠加法推广到均匀带电圆盘的电场分布（将均匀带电薄圆盘分割成同心的带电圆环,先求出任一带电圆环电位的空间分布,再进行叠加, 由电位的定义式,用两种方法求出均匀带电圆盘电位的空间分布）.

致谢：李生莲老师对本文的设计及成稿提出了很好的建议,在此我表示诚挚的谢意！

参考文献：

[1]Morse P M, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics[M]. New York: McGraw

Hill,1953

[2]张连顺姜万禄. 环形线电荷的电场分布[J]. 大学物理,1998,17(8):21～23.

[3]程守洙江之永.普通物理学(第二册)[M].北京:人民教育出版社.1982.19～47

[4]张之翔编著.电磁学教学札记[M]. 北京: 高等教育出版社,1988.

[5]马文蔚. 物理学[M]. 北京: 高等教育出版社,1999.133

[6] W?R?斯迈思著,戴世强译.静电学和电动力学[M]. 北京: 科学出版社,1981.56

[7]梁灿彬秦光戎梁竹健. 电磁学[M]. 北京:高等教育出版社,1980.46～48.

[8]王竹溪郭敦仁. 特殊函数概念[M]. 北京: 科学出版社,1981.86～91

[9]胡嗣柱徐建军. 数学物理方法解题指导[M]. 北京:高等教育出版社,1997.

[10]中国矿业学院数学教研室编. 数学手册[M]. 北京: 高等教育出版社,1998.87