绕对称轴转动的均匀带电圆盘的磁场分布

绕对称轴转动的均匀带电圆盘的磁场分布

机械茅班 杨婧 20091018

摘 要：薄圆盘实现生活中高度对称的一类物体，应用广泛。摩擦等一些方式使其带电，成为绕对称轴转动的均匀带电圆盘，由于转动产生电磁场，当带电量足够大和变速转动时的角加速度又比较大时，则产生的电磁辐射场将会干扰周围无线电接收机的正常工作，分析绕对称轴转动的均匀带电圆盘具有一定的现实意义。本文从研究圆环电流出发，在圆盘上任取一个带电小圆环，小圆环转动形成电流，电流产生磁场，利用场强叠加原理得整个带电圆盘的电磁场。

关键词：匀速转动，麦克斯韦方程，推迟势，磁场强度

一．推迟势的推导

绕对称轴转动的均匀带电薄圆盘的电磁辐射场应满足麦克斯韦方程： (1)

220

22022

0221E E-()C 1J

t t

B B J

C t ρμεμ∂∂∇=∇+∂∂∂∇-=∇⨯∂

用矢势和标势为： （2）

B A

A E t ϕ=∇⨯∂=-∇-

∂

矢势和标势满足达朗贝方程和洛伦兹变换条件，于是（1）式得 （3）

22

02222

22021-C 110

A A J

t C t A C t μϕρϕεϕ∂∇=-∂∂∇-=-

∂∂∇+=∂

方程（3）的解为：

（4）

()

()

'0'0,,4,1,4r J r t c A r t dv r

r r t c r t dv r μπρϕπε⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰⎰

二．匀速转动时的磁场

如图1所示，设圆盘在xoy 平面内，对称轴为z 轴，转动的角速度w 不变薄圆盘（厚度不计）均匀带电，电量为Q ，圆盘半径为R ，则电荷密度

2Q R ρπ

=

.

图1 薄圆盘匀速转动时的空间磁场

在圆盘上任取一个细圆环，设圆环的半径为i R ，宽度为i dR ，则由于圆环转动时产生

的电流为

222i i

QwR I dR R ππ=

在圆环上任取一线元dl

，则

（5）

()()3''''2

2[sin cos ]i i

x y nQwR dR

Idl e wt d wt e wt d wt R π=-+

把（5）式代入（4）式得 （6）

()

()()()''2''''1

2'

00

2

20

1

1

,[sin cos ]

,44i x y J r t QwR e wt d wt e wt d wt d A r t dv r R r π

μμ

π

π

π-+==⎰

⎰

由叠加原理，（6）式得 （7）

()

()()2''''2022'

22

[sin cos ]

,2sin cos 4i x y a i i R e wt d wt e wt d wt Qw A r t R r R r wt R

π

μθπ-+=+-⎰⎰

由于1

i r i wR w e e c c <<<< ，得

（8）

'1

i

r R r r t t t t c

c

c -=-

=-≈-

利用幂级数

()()23

021!!11131351...1224246(2)!!1n n n x x x x

n x ∞

=-⋅⋅⋅=++++=-⋅⋅⋅-∑ 1x <

（7）式的分母利用幂级数展开，同时设P 点在中远区，r>>Ri 级数只取二级近似值 （9）

'22'1

11sin cos 2sin cos i i i R wt r r R r R r wt θθ⎛⎫≈+ ⎪

⎝

⎭+-

把（8）式和（9）式代入（7）式积分得

()

()()()()32022

,[sin cos ]1sin cos 4R i i r y Qw

R R A r t e kr wt e kr wt kr wt d kr wt R

r r π

μθπ⎡⎤

=--+-+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰

20sin 0sin 221616y QwR QwR e e r r θθ

θ

μμππ== 其中y

e e θ= ，P 点选在Q=0上，由（2）式得，磁感强度为

（10）

()()()

22002223,,sin 2cos sin 1616r QwR QwR B r t A r t Qe e e r r θθ

μμθθππ=∇⨯=∇⨯=+

根据球坐标与直角坐标的关系：

2222r x y z =++

sin cos sin sin cos sin cos cos cos cos sin sin r x y z x y x y z e e e e e e e e e e e ϕθθϕθϕθϕϕθϕθϕθ

=++=-+=+-

可求得均匀带电圆盘在yoz 平面内的磁感强度： ()

()(

)203

222

2

2

2

03222

22222222

3sin cos 162cos sin 16cos sin y y

z z QwR B e y z QwR B e y z z

x y z x y x y z μθθπμθθπθθ=+=

-+=+++=

++

（x=0)

三．结果分析

根据推导所得公式，利用物理数字平台模拟绕对称轴匀速转动的均匀带电圆盘的磁场分布情况，更加直观地得出圆盘周围磁场的变化规律。

由物理数字平台模拟的结果如下图：

由模拟结果可知，调节滑动条1,2分别增大或减小电荷量及圆盘半径，圆盘周围磁感应强度相对应地增大或减小。调节滑动条3增大或减小角速度，磁感应强度也相应增大或减小。综合公式（10）及图形可知，绕对称轴匀速转动的均匀带电薄圆盘产生的磁场强度与时间t 无关，为稳恒磁场，没有辐射的电磁场。带电量Q 越多，磁场越强；半径R 越大，磁场越强；角速度w 越大，磁场越强；离圆心O 越远，磁场强度越小，在无穷远处磁场强度为0。