伯努利分布参数p的区间估计_贝塔分布法

Out[109]=
1.等尾置信区间： 0.0771355, 0.385667 等尾区间长度： 0.308531 2.最短置信区间：
Out[112]=
Out[113]=
Out[114]=
Out[116]=
4
伯努利分布参数p的区间估计_贝塔分布法.nb
0.38
0.36
Out[117]=
0.34
0.32
n,p Α,Β
n && 0 Floor k
1
p
1 n
p, n
Floor k , 1
0 k k n True
p,
k
n, 1
k
0 1 1 p True
p 1
1
p 1
1 p
FΒ 1
Β,Α
1
p , p 。
k
FΒ
n k,k 1
FΒ
k 1,n k
伯努利分布 B p 参数 p的经典置信区间 ：
2
伯努利分布参数p的区间估计_贝塔分布法.nb
设X1 , X2 ,
n
, Xn 为伯努利分布 B p 总体的一个 i.i.d. n为样本容量 ，
k
i 1
Xi 为成功数 ，根据定理一 ，知 k B n, p 。 Α的经典等尾置信区间的下限和上限由 FB k FB
n,p n,p
参数 p的置信水平为 1 1 和 FB 从上两式分别得到 Α Β和 FB
n,p
1 , k ,
1 , k ,
i ;
"当Β为以下值时 ，区间最短 ：" Β "最短区间为 ：" pL, pU "其长度为 ：" L2 Clear pL, pU, Β, L1, i ; "最短区间为等尾区间长度的百分比 ：" r 100 N L2 L0 " " Clear Β, pu, pl, L1, L2, i ; ClearAll X, n, k, Α ;
其区间长度 L1 Α 取Β 2 pL pU 其区间长度 L0 pU pL 1 ΒΑ
2
pU
pL
1
ΒΒ n
k, k
1
ΒΑ
Β
k, n
k
1
, 可得到 p的等尾置信区间 ΒΑ
2
k, n ΒΑ
2
k
1 1
1
Β1 Β1 1
Α 2 Α 2
n k
k
1, k k
1
n
k, k
1, n
n
k, k
ΒΑ
2
k, n
k
1
显然 L1是Β的函数，可以证明其在 0, Α 内具有唯一极小值 L1min 。我们可以通过程序计算其最小值 。
k
1 p p Β 1 Α Β
Β决定，其中 0 k k 1 FΒ FΒ
Β
Α。根据定理二及其推论 ，得到 1 p p 1 1 FΒ FΒ
k,n k 1
n k 1,k
n,p
n k,k 1
1
k 1,n k
当k
0 时，我们规定 pL
pL ΒΑ Β k, n k 1 1 Β1 Α Β n k 1, k pU 1 ΒΒ n k, k 1 Β1 Β k 1, n k 0，当k n时，我们规定 pU 1。
t n
1 1 0
p p
p p
t
n
定理二：二项分布 B n, p 与贝塔分布 Β Α, Β 的分布函数分别记为 FB 则有 FB
n,p
n,p
k 和FΒ
Α,Β
x ,
k
FΒ
n k,k 1
1
p 。
CDF BinomialDistribution n, p , k CDF BetaDistribution n k, k 1 , 1 p FullSimplify , k Integers && 0 k BetaRegularized 1 1 0 BetaRegularized 1 1 0 0 推论：由贝塔分布的性质知 FΒ 从而 得 FB
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3
Β Α; i Α 10; Label begin1 ; If k 0, pL 0, Betal BetaDistribution k, n k pL Quantile Betal, Β ; If k n, pU 1, Betau BetaDistribution k 1, n pU Quantile Betau, 1 Α Β ; Β i; Label begin ; L1 pU pL; If k 0, pL 0, Betal BetaDistribution k, n k pL Quantile Betal, Β ; If k n, pU 1, Betau BetaDistribution k 1, n pU Quantile Betau, 1 Α Β ; L2 pU pL; If L2 L1, Β i, If Β 0, Goto begin ; If L2 L1 0, Β i, i i 10, Goto begin1 ,Β
0.01
Out[119]=
0.02
wk.baidu.com0.03
0.04
0.05
当Β为以下值时，区间最短： 0.0129 最短区间为： 0.066562, 0.369727 其长度为： 0.303165 最短区间为等尾区间长度的百分比： 98.2608
伯努利分布参数 p的区间估计 _贝塔分布法 本文基于 Wolfram Mathematica 9, 在证明伯努利分布与二项分布的关系 、 二项分布与贝塔分布关系的基础上 ，给出了伯努得分布参数 p的经典等尾置信区间和区间长度 ， 以及最短置信区间和区间长度的求法 ，并通过程序实现 。 定理一：n个独立同伯努利分布 B p 的和服从二项分布 B n, p ： CharacteristicFunction BinomialDistribution n, p , t CharacteristicFunction BernoulliDistribution p , t n
In[104]:=
Needs "HypothesisTesting`" X RandomVariate BernoulliDistribution .21 , 30 ; n Length X ; k n Mean X ; Α 0.05; "1.等尾置信区间 ：" If k 0, pL 0, Betal pL Quantile Betal, If k n, pU 1, Betau pU Quantile Betau, pL, pU "等尾区间长度 ：" L0 pU pL Clear pL, pU ;
BetaDistribution k, n k Α 2 ; BetaDistribution k 1, n 1 Α 2 ;
1 , k ,
"2.最短置信区间 ：" Plot L Quantile BetaDistribution k 1, n k , 1 Β Quantile BetaDistribution k, n k 1 , Α Β , Β, 0, Α