高中三角函数知识点与常见习题类型解法
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三角函数知识点与常见习题类型解法
1、任意角的三角函数：
（1）弧长公式：R a l = R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，l 为弧长。 （2）扇形的面积公式：lR S 2
1
=
R 为圆弧的半径，l 为弧长。 （3）同角三角函数关系式：
①倒数关系： 1cot tan =a a ②商数关系：a a a cos sin tan =
， a
a
a sin cos cot = ③平方关系：1cos sin 22=+a a
（4）诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）
απ
+⨯k 所谓奇偶指的是整数k 的奇偶性；
2、两角和与差的三角函数： （1）两角和与差公式：
βββαsin sin cos cos )cos(a a =± βββsin cos cos sin )sin(a a a ±=±
β
β
βtan tan 1tan tan )(tan a a a a ±=
±
【注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．．】． （2）二倍角公式：
a a a cos sin 22sin =
1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a
a
a
a 2tan 1tan 22tan -=
从二倍角的余弦公式里面可得出：降幂公式：22cos 1cos 2a a += ， 2
2cos 1sin 2a
a -= （3）半角公式（可由降幂公式推导出）：
2cos 12sin
a
a -±=，2cos 12cos a a +±= ， a
a a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan
-=+=+-±=
3、三角函数的图像和性质：（其中z k ∈）
三角函数
x y sin = x y cos =
x y tan =
图像
定义域
（-∞，+∞）
（-∞，+∞）
2
ππ+
≠k x
值域 [-1,1]
[-1,1]
（-∞，+∞）
最小正周期
π2=T
π2=T
π=T
奇偶性
奇
偶
奇
单调性
]2
2,2
2[ππππ+-k k 单调递增
]2
32,2
2[ππππ+
+
k k 单调递减
]2,)12[(ππk k -单调递增
])12(,2[(ππ+k k 单调递减
)2
,2(π
ππ
π+-
k k 单调递增
对称性
对称轴：2
π
π+
=k x
对称中心：)0,(πk
对称轴：πk x = 对称中心：)0,2
(π
π+
k
对称中心：)0,2
(
πk 零值点
πk x =
2
π
π+
=k x
πk x =
最值点
1,2
2max =+=y k x π
π
1,2
2max -=-
=y k x π
π
1,2max ==y k x π
1,)12(max -=+=y k x π
无
4、函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质：
（本节知识考察一般能化成形如)sin(ϕω+=x A y 图像及性质） （1）函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的周期都是ω
π
2=
T
（2）函数)tan(ϕω+=x A y 和)cot(ϕω+=x A y 的周期都是ω
π
=
T （3）五点法作)sin(ϕω+=x A y 的简图，设ϕω+=x t ，取0、2
π、π、23π、π2来求相应x 的值以
及对应的y 值再描点作图。
（4）关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字
母x 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
【函数的平移变换】：
①)0)(()(>±=→=a a x f y x f y 将)(x f y =图像沿x 轴向左（右）平移a 个单位（左加右减） ②)0()()(>±=→=b b x f y x f y 将)(x f y =图像沿y 轴向上（下）平移b 个单位（上加下减）
【函数的伸缩变换】：
①)0)(()(>=→=w wx f y x f y 将)(x f y =图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的w
1倍（1>w 缩短， 10< ②)0)(()(>=→=A x Af y x f y 将)(x f y =图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A 倍（1>A 伸长，10< 【函数的对称变换】： ①)()(x f y x f y -=→=) 将)(x f y =图像绕y 轴翻折180°（整体翻折）； （对三角函数来说：图像关于x 轴对称） ②)()(x f y x f y -=→=将)(x f y =图像绕x 轴翻折180°（整体翻折）； （对三角函数来说：图像关于y 轴对称） ③)()(x f y x f y =→= 将)(x f y =图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）； ④)()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动） 5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换； 如 45tan cot tan cos sin 122=⨯=+=x x a a 等。 （2）项的分拆与角的配凑。 如分拆项：a a a a a a 222222cos 1cos )cos (sin cos 2sin +=++=+； 配凑角：ββαα-+=)(；2 2 β αβ αβ-- +=等。 （3）降次与升次；切化弦法。 （4）引入辅助角。 )cos()sin(cos sin 2222ϕθϕθθθ-+=++=+=b a b a b a y ，这里辅助角ϕ所在象限由 b a 、的符号确定，ϕ角的值由a b =ϕtan 确定。 【典型例题】： 1、已知2tan =x ，求x x cos ,sin 的值．