物理竞赛-质心平衡

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直线系统中的惯性力 简称惯性力，例如在加速前进的车厢里，车里 的乘客都觉得自己好象受到一个使其向后倒得 力，这个力就是惯性力，其大小等于物体质量 m与非惯性系相对于惯性系的加速度大小a的 乘积，方向于a相反。用公式表示，这个惯性 力F惯=-ma,不过要注意：惯性力只是一种假想 力，实际上并不存在，故不可能找出它是由何 物所施，因而也不可能找到它的反作用力。惯 性力起源于物体惯性，是在非惯性系中物体惯 性体现。
定义：力与力臂的乘积称为力矩
M dF
通常规定:绕逆时方向转动的力矩为正。当物体受到多个力作用 时，物体所受的总力矩等于各个力产生力矩的代数和 受力与否的三个判据 条 效 特 件 果 征
3）有固定转动轴物体的平衡
有固定转轴的物体，若处于平衡状态，作用于物体上各力的 力矩的代数和为零。 M x 0
解法一： 建立ox坐标轴,再挖去一个相同的正方形如图所示 根据对称性,剩余部分重心必在ox轴上.原点在O点.
m1r1 m2 r2 mn rn r m1 m2 mn
2 3 .2 14m a m a 59 2 2 8 r a 14m m 120
解法二：负质量法
2

x2 0
又：m1 R
m2 2R
m1 x1 2 xc R m1 m2 2
3．弹力
弹簧的串并联公式： 1 1 1 1 .... k串 k1 k2 kn
（各弹簧所受拉力相等）
（各弹簧形变量相等）
k并 k1 k2 ... kn
xc 16 m 2 2 2 a m ( )a 2 2 8 59 2a 16 m m 120
2、巴普斯定理及其推论（提供求质心的一种技巧） 一个平面物体，质量分布均匀，令其上各质点沿着垂直于 平面的方向运动，在空间扫过一立体体积，则此体积等于面物 体的面积乘以物体质心在运动中所经过的路程
例题：两根劲度系数分别为K1和K2的轻弹簧竖直悬挂，下端 用光滑的细线连接，把一光滑的轻滑轮放在细绳上，求当滑 轮下挂一重为G的物体时，滑轮下降的距离？
解析：设两弹簧伸长量为x1,x2’则有： G k1x1 k2 x2
k1 x1 k2 x2 x1 x2 2 x k1 k2 所以：x G 4k1k2
M 0
M M
y
0 0
z
• 非惯性参照系 • 凡牛顿第一定律成立的参照系叫惯性参照系，简 称惯性系。凡相对于惯性系静止或做匀速直线运 动的参照系，都是惯性系。在不考虑地球自转， 且在研究较短时间内物体运动的情况下，地球可 看成是近似程度相当好的惯性系。凡牛顿第一定 律不成立的参照系统称为非惯性系，一切相对于 惯性参照系做加速运动的参照系都是非惯性参照 系。在考虑地球自转时，地球就是非惯性系。在 非惯性系中，物体的运动也不遵从牛顿第二定律， 但在引入惯性力的概念以后，就可以利用牛顿第 二定律的形式来解决动力学问题。
法二：引进桌面力R ：对物体两个平衡状态进行受力分析，再进 行矢量平移（注意：重力G是不变的，而桌面力R的方向不变、F 的大小不变），φm指摩擦角。
则：φm = 15°
μ= tanφm = tan 15° =0.268
练习2
法一：隔离法
由第一个物理情景容易的出：斜面与滑块的动摩擦因数为：
tan
例题：匀质球A质量为M，半径为R,匀质棒B 质量为m，长度为L，求它的重心
法一：平衡法
分割成球和棒，则由力矩平衡可知：
L AC BC R 2 两式联立即可得到： L
AC M BC m
M (R ) 2 BC M m
法二：公式法
L ( M ) ( R ) m 0 2 xc M m
解法一：直接用三力共点 的知识解题，几何关系比 较简单。 G
距棒的左端L/4处。
7、固定转动轴物体的平衡 1)、力矩(是改变物体转动状态的原因 )
力的三要素是大小、方向和作用点。由作用点和力的方向所确 定的射线称为力的作用线。力作用于物体，常能使物体发生转 动，这时外力的作用效果不仅取决于外力的大小和方向，而且 取决于外力作用线与轴的距离——力臂(d)
法三：割补法：
即：将棒球看成对称的，和一个质量为-M的球的组合
BC (2M m) AC M
AC AB BC
两式联立可得：
BC M (R L ) 2 M m
实际中：1、平衡法法 2、实验法（悬挂法） 3、对称法 （高度对称性的） 4、割补法
5、公式法
例题1：求如图所示中重为G的均匀质板（阴影部分） 的重心O的位置（面密度为 ）。 解析： m(o1 ) R2
并指向斜面内部
法二：引入摩擦角和整体观念 先看整体在水平方向平衡
F cos( ) p
再隔离滑块，受力如下
其中：
arctan arctan(tan )
解以上式子即可得到结果
例题：如图所示，长为L 、粗细不均匀的横杆被两根 轻绳水平悬挂，绳子与水平方向的夹角在图上已标示， 求横杆的重心位置。
即当： tan tan时，
无论用多大的力，物体也不会滑动。
法一：解析法
法2：引入wk.baidu.com擦角
练习1：
物体放在水平面上，用与水平方向成30°的力拉物体时，物体 匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍 能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素μ。
法一：正交分解：（分析受力→列方程→得结果）
4．摩擦力
•最大静摩擦力：可用公式fm=μ0FN来计算。FN为正压力，其中 μ0为静摩擦因数，对于相同的接触面，应有μ0>μ(μ为动摩擦因 数) fm •摩擦角：若令： 0 F tan , 则为摩擦角 N 摩擦角是正压力FN与最大静摩擦力f m的合力与接触面法线间 的夹角。 在一般情况下，静摩擦力未达到最大值，即 f0 f0 tan f 0 0 N 0 N N f0 令： tan N
例题：求如图所示的直角三角形的质心
1 V ab 2 3
1 s ab 2 质心运动的圆周长为： c 2x
即：
V sc
1 同理可得： y b 3
3 3
1 可得： x a 3
即：重心位置为： ( 1 a , 1 b )
练习：
求均匀半圆盘的质心位置。
4 3 1 2 R 2x R 3 2
对斜面体，只看水平方向平衡就行了
P f cos N sin 4mgsin cos N cos N sin 综合以上可以得到： Fy mgcos 则：Fx 3mgsin
F Fx2 Fy2 mg 1 8 sin 2
1 t an cot Fx 3 Fy
• 例题：长分别为l1和l2的不可伸长的轻绳悬 挂质量都是m的两个小球，如图所示，它们 处于平衡状态。突然连接两绳的中间小球 受水平向右的冲击（如另一球的碰撞）， 瞬间内获得水平向右的速度V0，求这瞬间 连接m2的绳的拉力为多少？
0
l1 V0 m1
l2l2 m2
• 当m1受到冲击力后，使小球具有初速度v0，m1将 以顶点为圆心做圆周运动 ∵此时m1处于顶点正下方 ∴m1所受合力只能在竖直方向，其加速度为： a1=v02/l1 ∵m2相对于M1也做圆周运动。其相对m1的初速 度向左，大小为v0，m2相对m1的加速度为 a21=v02/l2 ∴m2所受惯性力为m2a1，方向向下。 设绳对M2的拉力为T2 则有：t2-m2g-m2a1=m2v02/l2 ∴T2=m2（g+a1+a21 ）
力
【扩展知识】
物体的平衡
1．重力:
物体的重心与质心
•重心：从效果上看，我们可以认为物体各部分受到的重力作 用集中于一点，这一点叫做物体的重心。
•质心：物体的质量中心。 设物体各部分的重力分别为G1、G2……Gn，且各部分重力的作 用点在oxy坐标系中的坐标分别是（x1，y1）（x2，y2）……（xn， yn）,物体的重心坐标xc，yc可表示为
x(O1 ) 0
R2 m(o2 ) r 4 R x (O2 ) 2
2
R2 R ( ) R 4 2 xc 2 R 6 2 (R ) 4
如图所示，求图示均匀薄板的重心，大正方形的边长为a,挖去的 小正方形的边长是大正方形的四分之一，一个顶点在大正方形的 几何中心上，两正方形各对应边相互平行
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转动系统中的惯性力 简称惯性离心力，这个惯性力的方向总是指向 远离轴心的方向。它的大小等于物体的质量m 与非惯性系相对于惯性系的加速度大小a的乘 积。如果在以角速度ω转动的参考系中，质点 到转轴的距离为r,则： F惯=mω2r. 假若物体相对于匀速转动参照系以一定速度运 动，则物体除了受惯性离心力之外，还要受到 另一种惯性力的作用，这种力叫做科里奥利力， 简称科氏力，这里不做进一步的讨论。
4R x 3
推论：一条质量均匀分布的平面曲线，其上各点沿垂直 于曲线平面方向运动，在空间扫过一曲面，则此曲面的 面积等于质心在运动中所经路程和曲线长度的乘积
例题：求质量均匀分布的半圆形金属线的质心位置
拓展：如果是封闭线呢？设线密度为
x1 2R
4R 2x R 2R x
对第二个物理情景，分别隔离滑块和斜面体分析受力，并将F 沿斜面、垂直斜面分解成Fx和Fy ，滑块与斜面之间的两对相 互作用力只用两个字母表示（N表示正压力和弹力，f表示摩擦 力），如图所示。
对滑块
F x f mgsin
Fy mgcos N f N N tan 综合以上三式可得： Fx Fy tan 2mgsin