对顶角及其性质(2)
第2讲：对顶角与垂直
第2讲对顶角和垂直编者：辛兴初中 初存磊一、本讲知识标签（一）邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角（二）对顶角的概念：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角互为对顶角.对顶角性质：对顶角相等（三）垂直的概念：当两条直线相交所成的四个角中，有 一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.垂线的画法：1、放2、靠3、画线（四）垂直的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.垂直的性质：垂线段最短（五）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度二、范例分析例1. 如图,直线AB 与CD 相交于O,,OF ⊥AB ，OE ⊥CD, ∠DOF=650,求∠BOE 和∠AOC 的度数.【分析】垂线概念是本节重点,若两条直线垂直,那么它们相交所成的四个角都是900,根据问题需要选用一个即可. 由已知条件和图形可知: ∠BOE 与∠BOD 互余, ∠AOC 与∠BOD 是对顶角,可先求出∠BOD,则∠BOE, ∠AOC 立即可求.解：∵OF ⊥AB (已知)∴∠BOF=900,(垂直定义)又∵∠DOF=650,∴∠BOD=900-650=250∴∠AOC=∠BOD=250(对顶角相等)∵OE ⊥CD∴∠DOE=900 (垂直定义)∴∠BOE=900-250=650.例2.如图 ,已知AOB 为一条直线,OC 为任一条射线,OD 平分∠BOC,OE 平分∠AOC,试判断OD 和OE 的位置关系,并加以说明.【分析】观察图形可猜测OD ⊥OE,根据垂直定义,只需说明OE,OD 的夹角为900即可.解 ∵OD 平分∠BOC, ∴∠COD=21∠BOC. 同理可得: ∠COE=21∠AOC. 又∵∠AOC+∠BOD=1800(平角定义)∴∠EOD=∠COE+∠COD=21∠AOC+21∠BOC=900 ∴OE ⊥OD (垂直定义)例3. 在给出的下图上,完成下列作图:⑴作出点A 到BC 的垂线段AD,并量出点A 到直线BC 的距离;⑵过点B 作AC 的垂线,垂足为E,过点C 作AB 的垂线,垂足为F;⑶延长DA,你能发现什么有趣的结论?【分析】过已知一点画直线的垂线,可借助直角三角板来完成,其要领是“一贴”即直角三角板的一直角板贴在已知直线上,“二靠”即三角板的另一直角边经过已知点,“三画线”即过已知点的直角边画垂线画一条线段或射线的垂线,就是画这条线段或射线所在直线的垂线,垂足可能在线段或射线的延长线上.点A 到BC 的垂线段是线段AD,而点A 到直线BC 的距离是指垂线段AD 的长度. 解： ⑴⑵的作图如图⑶DA,BF,CE 交于同一点.例4. 如图在长方体中,棱AB 与哪些面垂直?哪些棱与面A ’B ’C ’D ’垂直,面A ’ABB ’与哪些面垂直?哪些面与面A ’D ’DA 垂直?【分析】 此题考查线面垂直,面面垂直的概念,紧紧抓住概念的意义,结合图形来回答.在长方体中,棱与面,面与面之间存在如下关系:与每个面垂直的棱有四条;与每条棱垂直的面共有两个;与每个面垂直的面共有四个.解:棱AB与面BCC`B`,面ADD`A`垂直;棱AA`,CC`,DD`与面A`B`C`D`垂直;面A`ABB`与面ABCD,面A`B`C`D`,面AA`D`D,面BB`C`C垂直;面A`B`C`D`,面A`ABB`,面ABCD,面CDD`C`与面A`D`DA垂直.三、训练提高(一) 选择题:1. 如图1，直线a与b相交于点O，∠1＋∠2＝100°，则∠3的度数为( )A．80°B．100°C．120°D．130°图1 图 22.如图2，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员的成绩的：用一块直角三角板的一边附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由是( )A．两点之间，线段最短B．过两点有且只有一条直线C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线3. 若AO⊥BO，垂足为O，∠AOC∶∠AOB＝2∶9，则∠BOC的度数等于( )A．20°B．0°C．110°D．70°或110°4.光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若已知∠1=35°，∠3=75°，则∠2= （）A．50° B．55° C．66°D．65°(二)填空题：1. 如图，图1中直线AB，CD，EF相交，则图1中共有（）对对顶角，图2中共有（）对对顶角图1 图2 图32. 如图3，已知B 点是∠DAE 的AD 边上任意一点，过点B 作直线MN 交AE 于C ，交AD 于B ，且∠1=∠2，则图中对顶角有（ ）对，与∠1（不包括∠1）相等的角有（ ）个。
5.1.1对顶角
对顶角
互为余角
互为补角
对应图形
1 2
21
数量关系 ∠1+ ∠2 = 90 ° ∠1+ ∠2 = 180 °
性
质
同角或等角的 余角相等。
同角或等角的 补角相等。
两直线相交
C条直线只有一个公共点(交点)。 直线AB与直线CD相交，交点为O，可以说成 “直线AB、CD相交于点O”。
顶点相同，两边互为反向延长线的两个角.
C
1
2
O
3
B
4
A
D
二.怎样才能形成对顶角： 只有两条直线相交才能形成对顶角。
补角的对数:
4对 ∠1和∠2， ∠3和∠4， ∠2和∠3， ∠4和∠1
对顶角的对数: 2对 ∠1和∠3， ∠2和∠4
牛刀小试
判断下列图形中, ∠1, ∠2 是否是对顶角？
1
2
A×
1
2
C×
练习:
１．判断：
（1）相等的角是对顶角．（ × ） （2）对顶角一定相等．（ √ ）
（3）如果两个角相等，且有公共顶点，那么这两个
角是对顶角．（ × ）
1 2
12
2.如图，两直线相交 形成的四个角中, ∠1=30°，那么 ∠2、∠3和∠4 各等于多少度?
解: ∵ ∠1 与∠2互补 ∴ ∠2=180°- ∠1=180°- 30°=150°(互补的定义) ∵ ∠1与 ∠3, ∠2与 ∠4分别是对顶角 ∴ ∠3=∠1=30° (对顶角相等) ∠4=∠2 =150° (对顶角相等)
答: ∠2= 150°, ∠3=30°, ∠4= 150° .
3.如图，已知直线AB与CD相交于点O， ∠DOE与∠BOD互余，∠DOE=40o，求∠AOC 的度数。 E
数学七年级上册《对顶角》课件-2024鲜版
交点处对顶角数量关系
对顶角相等，即两个对顶角的 度数相同。
2024/3/28
这是直线交点处对顶角的基本 性质。
无论两条直线如何相交，它们 所形成的对顶角总是相等的。
9
交点处其他角度关系
除了对顶角之外，交点处还有其 他角度关系。
例如，邻补角：两个角有一条公 共边和它们的另一边互为反向延
长线。
另外还有同位角、内错角等，这 些角度在几何学中也有重要的应
数学七年级上册《对顶角 》课件
2024/3/28
1
目录
2024/3/28
• 对顶角基本概念与性质 • 直线交点与对顶角关系 • 三角形中对顶角应用 • 平行四边形中对顶角应用 • 多边形中对顶角应用 • 总结回顾与拓展延伸
2
01
对顶角基本概念与性质
2024/3/28
3
对顶角定义及图形表示
2024/3/28
定义
两条直线相交，相对位置的两个 角互为对顶角。
图形表示
通过相交直线和角的标记来表示 对顶角，通常使用弧线和数字来 标记不同的角。
4
对顶角性质探讨
2024/3/28
对顶角相等
01
在任何情况下，对顶角的度数都是相等的，这是对顶角最基本
的性质。
对顶角与邻补角的关系
02
对顶角的一个邻补角等于另一个对顶角的邻补角，即“对顶角
对顶角定义
两个角如果它们的两边分别互为反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。
2024/3/28
利用对顶角求三角形内角和的方法
在三角形中，如果已知两个角的度数，可以利用对顶角相等的性质求出第三个角的度数， 进而求出三角形的内角和。
示例
在△ABC中，已知∠A=50°，∠B=60°，求∠C的度数和△ABC的内角和。
对顶角的性质
对顶角的性质
对顶角的性质：对顶角相等。
在几何学中，对顶角是两个角之间的一种位置关系。
两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的四个角。
称其中不相邻的两个角互为对顶角。
或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。
对顶角满足下列定理：两直线相交，对顶角相等。
扩展资料：
对顶角满足下列定理：知两直线相交，对顶角相等。
用数学语言描述就是：
设直线AD、BC交于点O。
则形成四个角：∠AOB、∠COD、∠AOC、∠BOD。
其中，∠AOB和∠COD互为对道
顶角，∠AOC和∠BOD互为对顶角。
∠AOB = ∠COD，∠AOC = ∠BOD。
七年级数学对顶角教学课件
• 解题思路：首先根据四边形内角和定理，我们知道四边形ABCD的内角和为 360°。然后结合题目给出的条件，我们可以设∠B = 2x°，则∠C = 3x°，∠D = 4x°。由于∠A + ∠C = 180°，所以∠A = 180° - 3x°。将这四个角的度数代 入四边形内角和定理中，我们可以得到一个关于x的一元一次方程：2x + 3x + 4x + (180 - 3x) = 360，解得x = 20。因此，∠A = 120°，∠B = 40°，∠C = 60°，∠D = 80°。
70° = 110°。而另一个交角与这个邻补角是对顶角，所以它们的度数相等，也是110°。
中等难度题目挑战尝试
题目：已知直线AB和CD相 交于点O，∠AOC = 3∠BOD，求∠AOC和∠BOD 的度数。
解题思路：首先根据对顶角 的性质，我们知道∠AOC = ∠BOD。然后结合题目给出 的条件∠AOC = 3∠BOD， 我们可以设∠BOD = x°，则 ∠AOC = 3x°。由于∠AOC 和∠BOD是对顶角，所以3x = x + 180，解得x = 90。 因此，∠AOC = 270°， ∠BOD = 90°。
题目：两条直线被第三条直 线所截，如果同旁内角的度 数之比为3:2，且较大角的度 数为108°，求较小角的度数 。
解题思路：首先根据同旁内 角的性质，我们知道同旁内 角的度数之和为180°。然后 结合题目给出的条件，我们 可以设较小角的度数为x°， 则较大角的度数为1.5x°。由 于它们的度数之和为180°， 所以x + 1.5x = 180，解得x = 72。因此，较小角的度数 为72°。
对顶角
寻找规律
两条直线相交，有
2
组对顶角。 6 组对顶角。
三条直线相交于一点，有
四条直线相交于一点，有
12
组对顶角。
ｎ条直线相交于一点，有 n（n-1） 组对顶角。
课堂小结
本节课你收获了什么？
互为余角 对应图形
1 2
互为补角
2 1
1
对顶角
3 4 2
数量关系 ∠1+ ∠2 = 90 ° ∠1+ ∠2 = 180 °
如图是一个对顶角量角器， 你能 说明它度量角度的原理吗？
对顶角相等
判断正误：
(1)如果两个角是对顶角， 那么这两个角相等. （对） (2)如果两个角不是对顶角， （错） 那么这两个角不相等.
1 2
例： 如图，直线AB、CD 相交于点 O ，∠ 1=70°， 求∠2、∠3、 ∠4的度数？
C
A
2 1 4
D
)3
B
• 变式1：若∠2是∠1的3倍，求∠3的度数？ • 变式2：若∠2-∠1=400, 求∠4的度数？
变式练习
A
k
F
j
1 C
2 O 3 E
D B
变式1：∠1=40,∠2=50 求∠3的度数？
例题2、 如图，AB、CD 相交于点O,∠DOE=900， ∠AOC=720. 求∠BOE的度数.
C
E
要测量两堵墙所成的角的度数，但人不能进入围 墙，如何测量？
？
B O A C D 请问∠BOC和∠AOD，这两个角的顶点和两条边分别有什 么关系？
概念
A 1
2O 4
D
)3
B
C
对于两条直线相交所成的4个角，其中有两个是相对的， 这两个角它们具有公共顶点，并且两边互为反向延长线， 这样的两个角叫做互为对顶角
对顶角
B
?
E D
如图AB与CD相交与点0， ∠DOE=90°， ∠AOC=72°，求∠BOE的度数？
E C B
72°
O A
90°
D
活动探究
如图，要测量两墙围墙所形成的∠AOB的度数， 人站在墙外，不能进入，可以怎样测量？
方法一:延长AO（或BO）到 点C，先测量出它的补角 ∠BOC（或∠AOC）的度数
方法二：分别延长AO、BO， 测量出它的对顶角的度数
A D
O
C
B
归纳小结,体验快乐
如图三条直线AB、CD、EF相 交于点O，图中有 多少对对顶角？请分别表示出来。 A 解：图中有6对对顶角：
F C E
O ∠AOC和∠BOD ∠COE和∠DOF ∠EOB和∠AOF
D B
∠AOE和∠BOF
∠BOC和∠AOD ∠EOD和∠COF
七年级(上) (苏科版)
第6章第3节
余角、补角、对顶角（二）
9月24日讯(记者 毕立标)今天下午，由齐鲁国际摄影 周组委会设立的“墨子国际摄影大师奖”在山东工艺 美术学院颁发，共有来自美国、法国、英国、意大利、 日本、比利时等7个国家和地区的摄影大师获奖。省人 大常委会副主任黄可华为获奖者一一颁奖。
1.下列图形中的∠1与∠2是对顶角吗？
（1） （2）
×
（3） （4）
×
×
√
2.当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发 生了改变，这就是折射现象（如图所示）。图中 ∠1与∠2是对顶角吗？
答：∠1和∠2 不是对顶角。因为： ∠2的一条边不是∠1的反向延长线。
活动探究
对顶角的性质：
对顶角相等
如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC， ∠AOE=25°，求∠BOD的度数。 解: 因为OE平分∠AOC,
对顶角,垂直,同位角,内错角,同旁内角
对顶角、垂线、三线八角、邻补角一、基础知识点：1.在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。
2.相交：在同一平面内，有一个公共交点的两条直线称为相交线。
3.邻补角：（1）定义：有公共顶点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。
（2）性质：位置——互为邻角数量——互为补角（两角之和为180°）4.对顶角：（1）定义：有一个公共顶点，并且有一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角（2几何语言：∵∠1+∠2=180°∠2+∠3=180°∴∠1=∠3（同角的补角相等）5、邻补角和对顶角的区别和联系注意：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
1、如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOC ＝50°，求∠BOD 、∠AOD 、∠BOC 的度数.解：∵∠BOD 与∠AOC 是对顶角∴ ＝ ＝ °（ ）∵ 与 是邻补角∴∠AOD ＝180°－∠AOC ＝180°－50°＝130° ∵ 与 是对顶角∴∠BOC ＝∠AOD ＝130°（ ）2、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOC.已知∠BOE=65°,求∠AOD 、50 OADCB∠AOC 的度数.【基础知识点】 6、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
10.1.1 对顶角及其性质课件
观察与思考
剪刀剪东西的过程中，∠AOC和∠BOD这 两个角的位置保持怎样的关系？
∠AOC和∠BOD有公共顶点， 且∠AOC的两边分别是∠BOD两边 的反向延长线. 对顶角：如图直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有
公共顶点O，并且它们的两边互为反向延 长线，这样的两个角叫做对顶角.
观察与思考 图中还有其他角能构成对顶角吗？ ∠2和∠4也是一对对顶角.
2.如图所示，有一个破损的
扇形零件，怎样用量角器量
出这个扇形零件的圆心角的
度数.
C
O
A D
B
3.三条直线AB、CD、EF相交于点O，问图中有哪几 对对顶角？
E D
O
A
B
C F
课堂小结
两个角有公共顶点，且一个角的两边分别是 另一个角两边的反向延长线，这样的两个角叫做 对顶角.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对顶角性质：对顶角相等.
想一想
判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角，并说明理由？
1
2 （1）
1
（2）
2
1
2
（3）
1
2 （5）
12
（4）
1
2
（6）
实验探究
请你猜一猜，剪刀剪东西的过程中，∠AOC和∠BOD这两 个角的大小保持怎样的关系？
实验探究
用量角器量一量课本P116页图10-1（2）中∠1和∠3的 度数，并比较它们的大小关系？你能说明具有这种关系的 道理吗？
对顶角相等
由∠1＋∠2＝180°， ∠2＋∠3＝180°，可得∠1＝∠3.
性质：
1.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。 2.在同一平面内，互为对顶角的两个角相等。
注意：
对顶角和同位角的性质
同位角的位置关系
同位角相等，两 直线平行
同位角相等或互 补，两直线相交
同位角相等或互 补，两直线平行 或重合
同位角相等或互 补，两直线不平 行且不重合
同位角的度数关系
同位角相等，两 直线平行
两直线平行，同 位角相等
同位角相等，两 直线不平行
两直线不平行， 同位角不相等
同位角的应用
平行线的判定： 同添加副标题
汇报人：XX
目录
01
对顶角的性质
02
同位角的性质
01
对顶角的性质
对顶角相等
定义：对顶角是由两条相交直线和它们分别相交于第三条直线的点所形成的角 性质：对顶角相等，即两个对顶角的角度大小相等 证明：利用相交直线的性质和角的性质进行证明 应用：在几何证明和解题中经常需要用到对顶角相等的性质
对顶角的位置关系
对顶角一定相交 于一点
对顶角只存在于 两条相交的直线 中
对顶角相对顶点 而存在，互为对 顶角
对顶角的度数和 为180度
对顶角的度数关系
对顶角相等 对顶角互补 对顶角和为180度 对顶角相等是几何学的基本定理之一
对顶角的应用
几何证明：利用对顶角的性质证明几何命题 角的度量：利用对顶角相等进行角的度量 三角函数：利用对顶角性质推导三角函数公式 实际应用：利用对顶角性质解决实际问题
02
同位角的性质
同位角相等
同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，位于截线同侧且在同一直线上的两个角 同位角的性质：同位角相等，即如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等
同位角的证明：可以通过平行线的性质来证明同位角相等 同位角的应用：在几何证明中，同位角相等是证明两条直线平行的关键步骤之一
对顶角PPT课件
2020年这10月2样日 的两个角叫做对顶角
3
练习：下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？ 为什么？
1
1
12
2
2
2020年10月2日
4
2、邻补角的概念
∠1和∠2与对顶角相比，有什么相同
点和不同点？
A
2
1O
4
C
D 3
B
∠1和∠2也是直线AB、CD相交得到的， 它们不仅有一个公共顶点O，还有一条公 2020年共10月2边日 OA，像这样的两个角叫做邻补角。5
∠1、∠2还是邻补角吗？
12
1
2
邻补角是有特 ∠1、∠2的和是多少度？ 殊位置关系的 ∠1和∠2还是补角吗？ 两个互补的角。 ∠1和∠2还是邻补角吗？
2020年10月2日
6
练习：
1、如图所示，三条直线AB、 A
F
CD、EF相交于一点O,∠AOC
的对顶角是
，
C
O
D
∠COF的对顶角是_______,
①两条直线相 交形成的角
②有一个公共 顶点；
对顶 角相 等
③没有公共边
①两条直线相交 而成；
邻补
②有一个公共点；角互
③有一条公共边 补
①都是两条 ① 有 无 公
直线相交 共边
而 成 的 ②两直线
角；
相交时,
②都有一个 对 顶 角 只 公共顶点； 有一对
③都是成对 邻 补 角 有
出现的
两个
2020年10月2日
解：∠3=∠1=400 （对顶角相等）a
∠2=1800-∠1=1800-400=1400
b
（补角的定义）
2
1
3
对顶角ppt课件
在几何图形中，对顶角通常用一 个公共的顶点和两条相交的直线 来表示，两个角分别位于这两条 直线的两侧。
对顶角性质
对顶角相等
根据对顶角的定义，对顶角一定是相等的。这一性质是几何学中一个非常重要的 基础性质。
应用场景
在解决几何问题时，经常需要利用对顶角相等的性质来推导其他角度或边长等关 系。
相邻角与补角关系
利用对顶角性质
当两个对顶角分别相等时，它们所对 的两条边（即两条线段）也相等。
构造辅助线
应用三角形全等或相似
在某些情况下，可以通过证明包含对 顶角的两个三角形全等或相似来证明 两条线段相等。
通过构造与已知线段相关的辅助线， 利用对顶角性质证明两条线段相等。
证明角度关系
利用对顶角性质
01
对顶角相等是基本的几何性质，可以直接用于证明角度关系。
利用对顶角性质解题
在证明或计算过程中，根据对顶角相等的性质，将问题转化为已知 条件进行求解。
邻补角的应用
在解决与角度有关的问题时，注意邻补角的概念和性质，有时可以 通过邻补角找到解题的突破口。
拓展延伸问题探讨
对顶角与邻补角的关系
探讨对顶角和邻补角在几何图形中的联系与区别，理解它们在不 同情境下的应用。
在拼图、积木等玩具设计中， 对顶角使得玩具能够紧密拼接
在一起，不易松散。
工具设计
在钳子、剪刀等工具的设计中 ，对顶角使得工具在使用时能 够更加稳定，提高使用效率。
05
绘制和识别图形中对顶角 技巧
绘制标准图形方法
使用绘图工具
选择合适的绘图工具，如直尺、量角器等，确保 图形绘制准确。
确定顶点位置
根据题目要求，确定图形的顶点位置，并标出。
七年级数学课件对顶角
七年级数学课件对顶角一、引言在七年级数学课程中，对顶角是一个重要的几何概念。
对顶角是指在两条相交直线上，一对位于相交点两侧且互不相邻的角。
它们具有一些特殊的性质和定理，对于解决几何问题具有重要意义。
本文将详细介绍对顶角的定义、性质和定理，并通过一些典型例题来帮助同学们更好地理解和应用对顶角。
二、对顶角的定义对顶角是指两条相交直线上，一对位于相交点两侧且互不相邻的角。
在一个交点处，通常会有两对对顶角，分别是相邻角和不相邻角。
相邻角是指位于相交点两侧且相邻的两个角，而不相邻角是指位于相交点两侧且不相邻的两个角。
三、对顶角的性质1.对顶角相等：在一个交点处，两对对顶角的大小相等。
这是对顶角最基本的性质，也是解决几何问题的关键。
2.对顶角互补：在一个交点处，一对对顶角的和等于180度。
这是由于直线的性质，即直线上的两个相邻角的和为180度。
3.对顶角的平行线性质：如果两条直线被一条横截线所截，那么在这两条直线之间，对顶角是相等的。
这是平行线性质的一个重要应用。
四、对顶角的定理1.对顶角定理：如果两条直线相交，那么在交点处，两对对顶角的大小相等。
2.对顶角互补定理：如果两条直线相交，那么在交点处，一对对顶角的和等于180度。
3.对顶角的平行线定理：如果两条直线被一条横截线所截，那么在这两条直线之间，对顶角是相等的。
五、典型例题例题1：如图，直线AB和CD相交于点O，求证：∠AOC=∠BOD。
解答：根据对顶角定理，我们知道在交点O处，两对对顶角的大小相等。
因此，∠AOC=∠BOD。
例题2：如图，直线AB和CD被直线EF所截，且∠AEF=70度，求证：∠BEF=110度。
解答：根据对顶角的平行线定理，我们知道在直线AB和CD之间，对顶角是相等的。
因此，∠AEF=∠BEF。
又因为∠AEF=70度，所以∠BEF=70度。
由于直线上的两个相邻角的和为180度，所以∠BEF=180度∠AEF=180度70度=110度。
对顶角0
动 动 手
牛刀小试
练习1：下列各图中，∠1和∠2是对顶角吗？
1 2 1 2 1 2
练习2：找下图中的对顶角。
D A O B E
C
对顶角的性质
例：直线AB与CD相交于O点，证明：∠1=∠3
A 2 1 4 C B 3 D
证明∵∠1+∠2=180 ° (邻补角定义) ∠3+∠2=180 ° (邻补角定义) ∴∠1＝∠3
(同角的补角相等)
对顶角的性质：对顶角相等
例：已知：直线a、b相交，∠1=40°， 求∠ 2、 ∠ 3、 ∠ 4的度数。
变式：把∠1＝40°变为：∠2是∠1的3倍
解：∠3＝∠1＝40° ∠4＝∠2＝140° (对顶角相等) (对顶角相等)
b 1 4 2 3
∠2=180°-∠1 =140° (邻补角定义)
解：∵ ∠AOC +∠AOD=180 °, ∠AOC =28°
∴ ∠AOD=180°-∠AOC=152 °,
D A O C B
∠BOD=∠AOC=28 °
又∵ OE平分∠ AOD ∴∠EOD=
1 ∠AOD=76 ° 2
∴∠EOB= ∠EOD+∠BOD=104 °
如图:过O的直线条数与形成对顶角个数之 间的关系
梁山初中：夏川贵
问：两条直 线相交有几 个交点？
A
①直线AB与直线CD相交，交点为O
D
②直线AB与直线CD相交于点O
O
C B
问：两直线相交于 一点，形成了几个 小于平角的角？
交流与发现
A 2 1 4 C B 3 D
问：图中相邻的角哪有几对， 相对的角有哪几对？
答： ①四对相邻的角： ∠1与∠2，∠1与∠4， ∠2与∠3，∠3与∠4。 ②两对相对的角: ∠1与∠3，∠2与∠4。
对顶角.PPT
答：∠1和∠2 不是对顶角。因为：∠2 的一条边不是∠1的反向延长线。
•.
•14
A
D
3
1
)2
C
4
B
1、对顶角在数量上有什么关系？
2、你可以用哪些方法进行验证？
对顶角相等
A 例： 如图，直线AB、CD
2
D
相交于点O，∠1=30°，
那 么 ∠2 、 ∠3 和 ∠4 各 等
1
)3
于多少度?图中存 相等关系？
定也是对顶角”这句话对吗？
（4）当∠AOD=90°时，其余三个角各是多少度？
练习3
如图，AB、CD、EF是经过点O的三条 直线，
（1）找出图中所有的对顶角. （2）若∠AOC=40°，∠DOF=60°，
你还能求出图中哪些角的度数？
C
F
A
O
B
E D
练习4
∠A OC和∠BOC互为邻补角， OE平分∠A OC,OD平分∠BOC,问：
图中互余的角有多少对？
C
D
E
2
1
34ห้องสมุดไป่ตู้
A
O
B
发 现 之 旅——
两条直线相交有对顶角____2___对 3条直线相交有对顶角_____6__对
4条直线相交有对顶角____1_2__对
n条直线相交有对顶角__n_(n__-1_)_对
•.
. . . n条直线
•30
1、邻补角的定义、对顶角的定义。 2、邻补角的性质、对顶角的性质。
A
14
B
D
•.
•19
如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC， ∠AOE=25°，求∠BOD的度数。
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《10.1对顶角及其性质》教学设计
一、教材分析
本节课是在学生已经学习了直线、射线、线段和角的有关知识的基础上进一步研究平面内两条直线相交形成4个角的位置和数量关系。
为今后学习几何奠定了基础，同时也为了证明几何体提供了一个示范作用。
本节对于进一步培养学生的识图能力，激发学生的学习兴趣具有推动作用，所以本节课具有很重要的地位和作用。
二、教学目标
知识与技能：
（1）理解对顶角和邻补角的概念，并能从图中识别。
（2）掌握“对顶角相等”的性质。
（3）理解对顶角相等的说理过程。
过程与方法：
经历质疑、猜想、归纳等数学活动，培养学生的观察、转化、说理能力和数学语言规范表达能力。
情感态度和价值观：
通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣，在解题中感受生活中
数学的存在，体验数学中充满探索和创造。
三、教学重难点
重点：邻补角和对顶角的概念及对顶角相等的性质
难点：写出对顶角相等的推理过程
四、教学方法
在教学中，为了突出重点，突破难点，我采用了直观的教具演示，让学生观察、比较归纳总结，使学生经历从具体到抽象，从感性上升到理性的认知过程。
五、教具学具准备：
多媒体课件，直尺，量角器，草稿本等。
六、教学过程
（一）引
多媒体显示立交桥、铁道、高速路网图
设问：从这些图片想到什么图形，学生会指出：相交线。
从而引出了课题：相交线。
让学生借助已有的几何知识从现实生活中发现数学问题，建立直观、形象的数学模型。
（二）读
如图，直线AB 、CD 相交于点O ，
A C
请你们结合图形自学书本116页内容，回答以下问题：
1、什么是对顶角？
2、图中有几对对顶角？
3、∠1和∠3大小有什么关系？你能说明具有这种关系的道理吗？
给学生留下充足的时间看书，交流、讨论，通过自主学习得到答案，锻炼学生的自学能力。
学生以事先分好的小组（四人为一组）为单位，通过观察、思考、讨论，然后教师适当启发、引导，让他们得出对顶角的判定方法。
（三）探：对顶角的大小关系
在问题3前引导学生观察∠1和∠2的关系，得出邻补角的概念，然后通过问题3：∠1和∠3大小有什么关系？你能说明具有这种关系的道理吗？引导学生根据同角的补角相等来推导对顶角相等的性质，并引导学生写出推理过程。
学生的自主学习应接受教师的指导和引导，这也体现了新课程理念下的新型师生关系，即教师是合作者、引导者，通过学生的思考，培养学生的逻辑思维能力以及严谨的学习态度，使学生初步养成言之有据的习惯。
（四）练习
例1：如图，直线a 、b 相交，∠
1=40°，求∠2、∠3、∠4的度数。
例2：如图，直线AB 、CD 相交于O ，∠AOC=80°，∠1=30°，求∠2的度
数。
引导学生找已知角和未知角的位置关系，想想它们之间的数量关系。
脑筋急转弯：
通过实际问题让学生体会
到数学与生活联系，感受实际
生活中的数学。
（五）总结
通过本节课的学习，你有什么收获？在教师的引导下，学生自主进行归纳、能够使所学的知识进一
你能用所学的知识量出图中∠1的度数
吗？池塘
1
A
A C
步内化为学生的知识和能力。
引导学生对本节课进行小结，复习巩固。
鼓励学生互相学习，培养学生的语言表达能力，体验收获的快乐。
（六）作业布置
完成课本P117练习第2题、P121习题第2题。
七、板书设计
10.1相交线
对顶角：∠1和∠3 邻补角：∠1和∠2
∠2和∠4 ∠1和∠4
∠2和∠3
对顶角相等∠3和∠4
互为邻补角之和为180°
八、教学反思
成功之处：本节课是在七年级上册学习过线、角的有关知识的基础上，进一步研究两直线位置关系的第一课时.对顶角是几何求解、证明中的一个基本图形，其中对顶角相等也是证明中常用的结论，以此实现角之间的相互转化.内容相对简单，但又非常重要.对于学生上黑板作出的等角，我立即强调相等是观察想象的结果，还需要进一步说明.对顶角的概念出来后，立即找到生活原型，以加
强认识，联系生活.在辨别给出图形是否为对顶角的一组题目中，果然如课前所料，学生的几何语言运用不够熟练、严谨，我耐心地纠正，原因是几何开始一定要让学生重视几何语言的表述，养成学习几何的好习惯.在这个题目中我始终让学生对照定义辨别，加强认识.探究对顶角相等这个性质是本课的重难点，所以我的设计是先画图量角，让学生有个感性认识，同时让学生认识到度量是有误差的，所以叫学生记下角的读数，提出可不可以根据一个角的度数，计算出其对顶角的度数这样一个问题.其实这个问题设计是承上启下的，因为证明比较困难，所以通过具体的度数计算以作铺垫.结果证明这个设计是利于学生的思考的，因为在证明时我听到他们说出“和刚才计算一样”的话.练习题的设置一来是巩固，二来是让学生体会转化思想.
不足之处：本节课通过对比教学学生对概念的理解及简单的一些推理说明基本能掌握，但可能是课堂上没有照顾到所有的学生导致部分学习有困难的孩子对推理说明类似的题目在解题过程中出现乱、繁等现象（个别学生甚至无法下手）.课后要根据实际情况及时进行补差补缺，争取不让一个孩子掉队.。