第26讲 Z变换定义与性质

z b 第二项为 z a
o
Re Z
a b 双边序列Z变换的收敛域为 ： b z a
图5-3 双边序列的收敛域
即为一个圆环区域。 （2）若
a b 则双边Z变换不存在。
求图示序列的z变换。
f (n ) 1
解： 利用定义求z 变换：
F ( z ) f ( n) z n
1
求单位阶跃序列的z变换。
解： ( n ) 0
1
n0 n0
1
F ( z ) 1 + z + z 2 + z 3 + 1 z 1 z 1 z 1
F (z)
b
n 求 f (n) a (n)
解：
a
n0

n
z n
当a e ,
则
当 a e j 0 , 则
f 2 ( n) F2 ( z )
1 ( z ) + bF 2 ( z) 则： af1 (n) + bf2 (n) aF
例：
2 ( n) + 3 ( n)
2+ 3
z z 1
时移性质
如果： 则：
f ( n) F ( z )
k0
mk
f ( n k ) ( n ) z k [ F ( z ) +
n
n0 n0
n 0
Re Z
求其双边Z变换及收敛域。



f (n) z n a n z n (az 1 ) n
n 0
a
o
jIm Z
上式级数，只有
az 1 1
即
z a
时，该级数收敛。
图5-1 右边序列的收敛域
z a 的区域称为收敛域，即
n 0
1 z n
n 0
3
0 1 2 3 4
n
z 0 + z 1 + z 2 + z 3
z 3 + z 2 + z1 + 1 z3
求单位序列的 z 变换。
解： 利用定义求 z 变换：
F ( z ) ( n) z n
n 0
(0) z 0

1
Байду номын сангаас
f (m )z m ]
f ( n + k ) ( n ) z [ F ( z )
k
m 0

k 1
f (m )z m ]
f ( n k ) ( n k ) z k F ( z )
f ( n ) (n )
4
10 1
n
右移
f ( n 2) ( n) 4
z ( z cos 0 ) z 2 z cos 0 + 1
2

例： 典型序列的Z变换
( n) :
F ( z ) ( n) z n 1
n0


( n) :
a n ( n ) :
F ( z)
( n) z
n0
n

z z 1
1 n
F ( z)


m 0
( n mN )
1 + z N + z 2 N + 1 zN N 1 zN z 1
思考与练习
计算序列 解：利用
f (n) na n (n) 的Z变换。
z n a (n ) za
根据由z 域微分性质，可得
F ( z) z d z za z za = z 2 dz za ( z a) ( z a )2
F ( z ) 的收敛域是Z平面中以原点为圆心， 以 a 为半径的圆外区域。 z F ( z) z a za
例5-2 已知序列 f (n) bn n 0
求其双边Z变换 F ( z ) 及其收敛域。 解： f (n) 为左边序列，Z变换为
Re Z

F ( z)
n
bn z n (b1z)n 1 (b1z)n
a
n0

n
z n

(az
n0 n 1
)
z za
kan 1 ( n 1) :
F ( z)
ka
n 1
z n
k za
常用单边序列的Z变换
常用单边序列的Z变换
Z变换的性质

线性性质 时移性质 z域尺度变换性质 卷积和特性
线性性质
如果：
f1 (n) F1 ( z )
当序列f(n)为因果信号，上式可写为：
象函数
F (z)

f ( n) z n
记为：
F ( z ) Z f ( n )
n0
原函数
Z 反变换
f ( n) 1 n1 F ( z ) z dz c 2π j
C 为收敛域内绕原 点的一条闭合曲线
记为：
f ( n ) Z -1 F ( z )
z z e j 0 1 z z Z cos( 0 n ) ( n ) 2 z e j 0 + z e j 0 Z e j 0n ( n)



同理： Z sin(

0
n ) ( n )
1 z z j0 j0 2j z e ze z sin 0 2 z 2 z cos 0 + 1
z域尺度变换性质
如果：
则：
f ( n) F ( z )
a n f ( n) F (
若 a = -1，有： n 例 f (n) a (n)
(n)

a可为实数或复数 ( 1)n f ( n) F ( z )
z z 1
z a
z ) a
a 0
a n ( n )

z变换对： f ( n )

F (z)
Z 变换的收敛域

对于给定的序列
f ( n)
，在Z平面上使级数
n



f ( n) z n
收敛的所有 z 值的区域，称为 F ( z ) 的收敛域。
理解z变换定义和收敛域
a n f ( n ) 例5-1 已知序列 0
解： F ( z )

z
Y (z) + 2
z 1 F ( z ) + f ( 1) z 1 F ( z ) 1 Y ( z ) + [ z 1Y ( z ) + 2] F ( z ) + z 1 F ( z ) 2
1 1 + z 1 Y ( z ) (1 + z 1 ) F ( z ) 1 2
Z e
1 z 1 1 az za z Z e bn ( n ) z eb
j 0n
( n )
z z e j 0
例
f ( n ) cos ( 0 n ) ( n )

?
e j0n + e j0n 解： cos( 0 n ) 2
n 1 n 0
1

b
r 1
1 lim
1 (b1 z )n 1 z 1 1 1 n 1 b z 1 b z z b
1
o
jIm Z
级数收敛的条件为 b z 1 ，即 因此，左边序列Z变换的收敛域为以
zb b 为半径的圆内。
图5-2 左边序列的收敛域
左移
4
f ( n + 2 ) ( n )
10 1
n
10 1
n
右移位性质证明
根据单边 z 变换的定义，可得
Z f ( n k ) ( n )
n0
f ( n 2) ( n) 4
n
f (n k )z
n 0
10 1
( n k )
n
z k f (n k )z
令m n k
z k

1 k m z f (m )z + f (m )z m mk m0 1 z k F ( z) + f (m )z m mk
mk
f (m )z

m


1 例LTI 系 统 的 差 分 方 程 为 y(n) +
z z za 1 a
卷积和 特性
如果： 则：
f1 ( n) ( n) F1 ( z )
f 2 (n) (n) F2 ( z )
[ f1 (n) (n)]* [ f 2 (n) (n)] F1 ( z )F2 ( z )
描述：两序列在时域中的卷积和的 z 变换，等效于在 z 域 中两序列 z 变换的乘积。
第5章 主要内容


5.1 5.2 5.3 5.4
Z变换的定义与性质 Z反变换的计算方法 离散系统的Z域分析 Z系统函数及应用
第 26 讲
Z变换的定义与性质
Z 变换的定义
对于序列f(n)，定义其 z 变换 F(z)为：
F (z)
n



f ( n) z n
称为序列f (n) 的 双边z变换 称为序列f (n) 的 单边z变换
2
y ( n 1) f ( n ) + f ( n 1)
, f ( n )为 因 果 信 号 ， y ( 1) 2 , 对 此 方 程 做 z变 换 。
解: y ( n )
y ( n 1)
f ( n 1)
Y (z)
f (n)

F (z)
1
z 1 Y ( z ) + y ( 1) z ( 1 )
例5-3 双边序列 f (n)
a n b
n
n0 n0

，求其双边Z变换及收敛域。
解： F ( z )

n


f (n ) z n
n
bn z n + a n z n
n 0
1
jIm Z
z z + zb za
b
a
由例5-1例5-2，第一项收敛域为 （1）若
第5章 离散系统的Z域分析
•本章导读： •如同拉普拉斯变换在分析连续时间系统的作用一样，通过Z变换 可以将描述离散系统的差分方程变换为代数方程，简化离散系统 响应的求解。 •描述离散系统的单位脉冲响应经Z变换得到离散系统的Z域系统 函数，观察Z域系统函数的零、极点分布，可进一步分析系统的 时域特性和稳定性等。
求周期为 N的有始周期性单位序列 ( n mN ) 的z变换。
m 0

解：
(n)
m 0
( n mN ) ( n ) + ( n N ) + ( n 2 N ) +
1
(n N )
z mN

zN
( n mN )