概率第三章第1节 二维随机变量及其分布

Y X
0 1 2 3
P{ X 3,Y 3} 1 / 8,
故 ( X ,Y ) 的概率分布如右表.
1 0 3/8 3/8 0
3 1/8 0 0 1/8
从概率分布表不难求得 ( X ,Y ) 关于 X ,Y 的边 缘分布.
P{ X 0} 1 / 8, P{ X 2} 3 / 8,
p j P{Y y j } pij , j 1,2,
i
j
注：pi和 p j 分别等于联合概率分布表的行和与列和. 对离散型随机变量而言, 联合概率分布不仅比 联合分布函数更加直观, 而且能够更加方便地
确定 ( X ,Y )取值于任何区域 D 上的概率.
设二维离散型随机变量的概率分布为
例2 把一枚均匀硬币抛掷三次, 设 X 为三次抛掷 中正面出现的次数, 而 Y 为正面出现次数与反面
出现次数之差的绝对值, 求 ( X ,Y ) 的概率分布及 关于 X ,Y 的边缘分布.
解 ( X ,Y ) 可取值 (0,3),(1,1),(2,1),(3,3)
P{ X 0,Y 3} (1 / 2)3 1 / 8, 3 P{ X 1,Y 1} 3(1 / 2) 3 / 8, P{ X 2,Y 1} 3 / 8,
点 ( X ,Y ) 落入 D 内 (3) 设 D 是 xOy 平面上的区域， 的概率为
P{( x , y ) D} f ( x , y )dxdy
D
边缘分布函数 特别地，
FX ( x ) P{ X x} P{ X x,Y }

x


f ( s, t )dsdt f ( s, t )dt ds, x
P
i i2

yj P1 j P2 j Pij
P
i ij
P X xi
PjLeabharlann jx1 x2 xi
P Y yi
1j
P P
j
2j
ij
( X ,Y ) 关于 X 和 Y 的边缘概率分布.
pi P { X x i } pij , i 1,2,
y
( x, y)
P{ X x ,Y y }
0
x
称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的分 布函数或称为随机变量 X 与 Y 的联合分布函数.
若将二维随机变量 ( X ,Y ) 视为平面上随机点的坐 标， 则分布函数
F ( x , y ) P{ X x ,Y y }
就是随机点 ( X ,Y ) 落入区域
c 24 / 5. O
1
x
(2) f X ( x ) 0
x
24 y( 2 x )dy 12 x 2 ( 2 x ), 5 5 0 x 1
2 y 24 24 3 fY ( y ) y( 2 x )dx y 2 y , y 5 5 2 2 0 y 1 12 x 2 ( 2 x ), 0 x 1 f X ( x) 5 即: 0, 其它 24 3 y2 y 2 y , 0 y 1 fY ( y ) 5 2 . 2 0, 其它 1
p
.
例1 设随机变量 X 在1,2,3,4四个整数中等可能地取 一个值, 另一个随机变量 Y 在 1 ~ X 中等可能地取
一整数值, 试求 ( X ,Y ) 的分布律. 解 由乘法公式容易求得 ( X ,Y ) 的分布律. 易知 { X i ,Y j } 的取值情况是: i 1,2,3,4, j 取不 大于 i 的正整数, 且
例3 设二维随机变量 ( X ,Y ) 具有概率密度
2e ( 2 x y ) , x 0, y 0 f ( x, y) , 其它 0, (1) 求分布函数 F ( x , y ); (2) 求概率 P{Y X }.
解 (1) F ( x , y )


y
x
定义 设二维离散型随机变量 ( X ,Y )所有可 能的取值为 ( xi , y j ) i , j 1,2,, 称
P{ X xi ,Y y j } pij ( i , j 1,2,) 为二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 的概率分布 (分布律), 或离散型随机变量 X ,Y 的联合
G
0

2e ( 2 x y )dxdy
y 2 x
dy


y
2e
( 2 x y )
dx e [e


]
y
dy
e


3 y
1 dy . 3
例4 设 ( X ,Y ) 的概率密度是
cy ( 2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y) , 0, 其它
(3) F ( x , y )关于 x 和 y 均为右连续, 即
F ( x , y ) F ( x 0, y ), F ( x , y ) F ( x , y 0).
三、 二维离散型随机向量及其概率分布
若二维随机变量 ( X ,Y ) 只取有限个可数个
值, 则称 ( X ,Y ) 为二维离散型随机变量.
Y
四、二维连续型随机变量及其概率密度 F ( x , y ) 为其分布函 定义 设 ( X ,Y ) 为二维随机变量， 若存在一个非负可积的二元函数 f ( x , y ), 使得对 数， 任意实数 ( x , y ), 有
F ( x, y)
x


y
f ( s, t )dsdt ,
联合分布函数的性质:
y
随机变量 ( X ,Y ) 的联合分布
函数
( x, y)
0
x
F ( x , y ) P{ X x ,Y y}.
(1) 0 F ( x , y ) 1, 且 对任意固定的 y, F ( , y ) 0, 对任意固定的 x , F ( x , ) 0,
f ( x , y )dxdy
y x ( 2 x y ) 2e dxdy , x 0, y 0 0 0 , 0, 其它 (1 e 2 x )(1 e y ), x 0, y 0 即有 F ( x , y ) . 0, 其它
F ( ,) 0,
F ( , ) 1;
注: 以上四个等式可从几何上进行说明.
(2) F ( x , y ) 关于 x 和 y 均为单调非减函数, 即 对任意固定的 y, 当 x2 x1 ,
F ( x2 , y ) F ( x1 , y ), 对任意固定的 x , 当 y2 y1 , F ( x, y2 ) F ( x, y1 );
{( t , s ) | t x , s y }
由概率的加法法则，随机点 ( X ,Y ) 落入矩形域
{ x1 x x2 , y1 y y2 }
的概率
y
y2 y1
( x 2 , y2 )
P{ x1 x x2 , y1 y y2 } F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 ).
(4) 若 f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 连续，则有
2 F ( x, y) f ( x , y ). xy
进一步，根据偏导数的定义， 可推得：当 x , y 很
小时，有
P{ x X x x , y Y y y} f ( x , y )xy, ( X ,Y ) 落在小区间 ( x , x x ] ( y, y y] 上的 即， 概率 近似等于 f ( x , y )xy .
(2) 将 ( X ,Y ) 看作是平面上随机点的坐标, 即有
{Y X } {( X ,Y ) G }, 其中 G 为 xOy 平面上直线 y x 及其下方的部分, 如图.
于是
y
O G
y
x
P{Y X } P{( x , y ) G f ( x , y )dxdy
求 (1) c 的值; 解 (1) 由 (2) 两个边缘密度.


2

f ( x , y )dxdy 1 确定 c.
y y x

1 0
cy( 2 x )dy dx 0
x
c [ x ( 2 x ) / 2]dx
0
1
5c / 24 1
P{ X xi ,Y y j } pij ( i , j 1,2,)
则
P{( X ,Y ) D}
( xi , y j )D
p
ij
.
特别的, 由联合概率分布可以确定联合分布函 数:
F ( x , y ) P{ X x ,Y y }

ij xi x , y j y
P{ X 1} 3 / 8, P{ X 3} 1 / 8,
P{Y 1} 3 / 8 3 / 8 6 / 8, P{Y 3} 1 / 8 1 / 8 2 / 8,
从而得右表
X
P{Y
0 1 2 3
1 3 P { X xi } 0 1/8 1/8 3/8 0 3/8 3/8 0 3/8 0 1/8 1/8 yi } 6/8 2/8 1
概率分布(分布律). pij 满足下列性质:
(1)
(2)
pij 0, i , j 1,2,;
p
i j
ij
1.
与一维情形类似， 有时也将联合概率分布用表格形 式来表示， 并称为联合概率分布表：