第三章常用概率分布2010

3 3 3 3 3 3 3 3 1 e e e e 0 ！ 1! 2! 3!
0 1 2 3
=0.3528
连续型随机变量的概率分布
正态分布（normal distribution）
具有如下概率密度函数的随机变量称为正态 分布随机变量：
(x )2 f ( x) e[ ] 2 2 2 x 1
当双尾概率为0.01时，u = 2.58 当右尾概率（左尾概率）为0.05 时，u = 1.64（-1.64） 当右尾概率（左尾概率）为0.01 时，u = 2.33（-2.33）
抽样分布 P43
样本统计量的概率分布 称为抽样分布
原总体
样本1 样本2

样本n
n 统计量
x1
x2
新总体
xn
正态分布
平均数的影响
标准差的影响
正态分布
标准正态分布(standard normal distribution) 对于 X ~ N ( , 2 ) 令 Z X 标准化
E(Z ) 1 [ E( X ) ] 1 ( ) 0


1 [Var( X ) Var( )] 1 ( 2 0) 1 Var( Z ) 2 2
离散型随机变量的概率分布
普哇松分布（Poisson distribution）
描述稀有事件的试验,对于二项分布 X ~ B(n, p) 如果概率P很小，试验次数n很大 ，则二项分布 趋近普哇松分布，表示为:
x ~ p ( )
离散型随机变量的概率分布
普哇松分布的概率函数
p ( X x)


Z服从正态分布
Z ~ N (0,1)
标准正态分布
正态分布
标准正态分布的概率密度函数
f ( z) z2 e[ ] 2 2 1 z
0
正态分布
标准正态分布的概率计算
附表1 (p. 297)
P( Z u )

u

f ( z )dz

u

z e( )dz 2 2
= 期望 2 = 方差
X ~ N( , )
2
正态分布
正态分布概率密度函数的几何表示
f (x)
正态曲线

x
曲线下某区间的面积即为随机变量在该区间取值的概率
正态分布
正态分布的特点
只有一个峰，峰值在x = 处 曲线关于x = 对称，因而平均数=众数=中 位数 x轴为曲线向左、右延伸的渐进线 由两个参数决定： 平均数 和 标准差 • 决定曲线在x 轴上的位置 • 决定曲线的形状
1
2
正态分布
(1) P( Z u) 或 P(Z -u) (u > 0)
P(Z u) P(Z u)
直接查表
标准正态分布的概率计算
标准正态分布函数表----附表1 (p. 297)
(1) 直接查附表1，P（Z 0.64）= 0.7389； (2) P( Z 1.53)= 1 - P（ Z 1.53）= 1 – 0.9370 = 0.0630； (3) P (2.12 Z 0.53)= P (Z -0.53)- P (Z 2.12) = 0.2981 – 0.0136 = 0.2811。
X ~ B(n, p)
离散型随机变量的概率分布
二项分布的概率函数
f ( x)
x x Cn p (1
p)
n x
E ( X ) xi f ( xi ) np
x n x n! p (1 p ) ( x 0,1,2, , n) x!(n x)! 二项分布的期望 E ( X ) xi f ( xi ) np
标准正态分布的双侧分位数
标准正态分布的双侧分位数表 ----附表2 (p. 299)
对于给定的两尾概率求标准正态分布在 x轴上的分位点
/2 /2
（1）设标准正态分布的两尾概率之和 0.05 ，求分位数u值。 由附表2可直接查得分位数为u = 1.959964 （2） 0.01 , 分位数为u = 2.575829
6 f (6) C10 0.56 (1 0.5)106 6 4 10! 0 . 5 0 .5 6!(10 6)! 0.2051
产公猪头数的期望值： E ( X ) np 10 0.5 5 产公猪头数的方差： Var( X ) np(1 p) 10 0.5 0.5 0.25
可查P302 t 分布的双侧分位表。
例：df=4
双侧 t0.05=2.776 t0.01=4.604
单侧 t0.05=2.132 t0.01=3.747
T表
自由度
F分布（F-distribution） 2分布(Chi-Square）
1. t 分布图像类似于标准正态分布，两侧对称,均数为 0。 2. t 分布曲线随样本自由度不同而异， 与正态曲线相比，离散度
较大，顶部略低，尾部略高。自由度小的t 分布，更为明显。
n>30时， t 分布接近于标准正态分布； n>100时，t 分布基本与标准正态分布相同； n→∞时，t 分布与标准正态分布完全一致。 3. t 分布概率求法
标准正态分布的双侧分位数
标准正态分布几个常用的分位数值：
双侧（尾）概率： 0.05 时，u = 1.96 下面是标准正态分布的几个特殊的且常用的分位数值： 当双尾概率为0.05时，u = 1.96 0.01 时，u = 2.58 单侧（尾）概率： 0.05 时，u = 1.64（-1.64） 0.01 时，u = 2.33（-2.33）
正态总体样本平均数的抽样分布
1、中心极限定理：从正态总体Ｎ(µ,σ2)抽样，样本均数的分 布服从正态分布；若从非正态总体抽样，当n→∞ (n>30)样本均 数的分布亦接近正态分布。 2、设原总体的期望为，方差为 2 ，则样本平均数的期望为 ，方差为 2 /n
样本均数的均数（期望） x
百度文库
标准正态分布的双侧分位数表 ----附表2 (p. 299)
对于给定的一尾概率求标准正态分布在 x轴上的分位点
0.05
/2
0.01
/2
（1）设标准正态分布的右尾(左尾)概率为 0.05 ，求分位数u值 用2 查附表2，可得一尾概率为 时的分位数u值 = 20.05 = 0.1查表得u = 1.644854 。 （2） 0.01 ， = 20.01 = 0.02查表得u = 2.326348
二项分布的方差
Var( X ) np(1 p)
2
离散型随机变量的概率分布
例1：一头母猪一窝产了10头仔猪，分别求其
中有2头公猪和6头公猪的概率。
2 f (2) C10 0.52 (1 0.5)102 2 8 10! 0 .5 0 . 5 2!(10 2)! 0.0439

x
x!
e

普哇松分布的期望与方差

2
离散型随机变量的概率分布
例2:某遗传病的发病率为0.0003,某鸡场有10000头 肉鸡,问今年发生该遗传病4头及4头以上的概率有 多少? λ=μ=np=10000×0.0003=3 x=4 P(x≥4)=1-P(x<4)=1-P(0)-P(1)-P(2)-P(3)
第三章
常用概率分布
二项分布 普哇松分布 正态分布 抽样分布
离散型随机变量的概率分布
二项分布（binomial distribution）
假设：1. 在相同条件下进行了n次试验 2. 每次试验只有两种可能结果（1或0） 3. 结果为1的概率为p，为0的概率为1-p 4. 各次试验彼此间是独立的 在n次试验中，结果为1的次数（X = 0，1，2， ，n）服从二项分布，表示为
样本均数的标准差 x


n 2 的正态分布。 故样本均数的分布是服从 x — N（， ） n
t 分布
当以样本s 估计 时(n < 30 )，得到统计量:
x t sx
W.S.Gosset（歌赛特，英国，1777～1855）
1908年以“Student（学生）”为笔名在该年的
Biometrika上发表了论文《平均数的概率误差》， 创立了小样本检验代替大样本检验的理论，即t分布 和t检验法，也称为学生氏分布。