第三章 可靠性概率分布

• 则称t服从参数λ的指数分布
f (t ) e
t
( 0, t 0)
指数分布
• 指数分布的特征量函数:
不可靠度（失效）函数
F (t ) f (t )dt 1 e t
0
t
可靠度函数
R(t ) et
平均寿命
E tf (t )dt te t dt
二项分布

(k 0,1,2,n)
上式为二项概率公式。若用X表示在n次重复试验中事件A发 生的次数，显然，X是一个随机变量，X的可能取值为 0,1,2,…n，则 • 随机变量X的分布律为：
P( X k ) Cnk pk qnk
(k 0,1,2,n)
此时，称随机变量X服从二项分布B（n,p）。 当n=1时，二项分布简化为两点分布即：
(2)在任意两次相邻的失wenku.baidu.com之间的时间T是独立的连续型的随机 变量，服从参数为λ 的指数分布 :
(t ) k t P( X k ) e k!
(k 0)
P(T t ) R(t ) e t
泊松分布
两次失效的平均时间为
1
合于建模有较多的元件倾向于失效，而每
,泊松过程适
泊松分布
• 泊松分布，经过适当的处理可成为指数分布。假 定：
在互不相交的时间区间内所发生的失效是统计独立的； 单位时间内的平均失效次数为常数，而与所考虑的时间区 间无关。
•
泊松过程有下面两个重要性质:
(1)设t是时间区间的长度，则在此区间内发生失效的次数X 是一个整数型的随机变量，在此时间区间内，发生k次失效的概 率服从一个均值为λ t的泊松分布:
• 对数正态分布是自变量取对数时，其故障密度函数符合正 态分布的一种偏态性概率分布。它的故障率其本属于递增 型的，但递增的速度是变化的，先快后慢然后趋于平稳
f t lnt 2 exp 2 2 2 t 1
μ—对数均值，σ—对数标准离差
•
2 k









2






如果要求命中不少于2次的概率？
二项分布实例
例：一架飞机有三个着陆轮胎，若不多于一个轮胎爆破，飞 机便能安全着陆。试验表明，每一千次着陆发生一次轮 胎爆破。求飞机安全着陆的概率？ 解：
P(安全着陆) P(没有轮胎着陆 ) P(只有一个轮胎爆破 )
0 3 1 2 C（ 0 . 001 ） （ 0 . 999 ） （ 0 . 001 ） （ 0 . 999 ） C3 3 0 1
2 0

2



1
指数分布性质
• 指数分布性质
–指数分布的一个重要性质是无记忆性。无记忆性是产
品在经过一段时间t0工作之后的剩余寿命仍然具有原来 工作寿命相同的分布，而与t无关。这个性质说明，寿
命分布为指数分布的产品，过去工作了多久对现在和
将来的寿命分布不发生影响 –在“浴盆曲线”中，它是属于偶发期这一时段的
对数正态分布的特征量
– 不可靠度函数
lnt - F t f t dt
t


– 可靠度函数
lnt R t 1
– 故障率函数
t
f t R t
所谓独立试验是指将试验A重复做n次，若 各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出 现的概率都与其他各次试验结果无关，则称这n 次试验是独立的，并称它们构成一个序列
•
在二项分布中，若一次试验中，P( A) p, P( A) 1 p , 则在n次独立地重复试验中，试验A发生的概率为:
k k n k Pn (k ) Cn pq
P(A1A 2 A3 A4 A5 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) P( A5 ) 0.7 0.7 0.3 0.3 0.3 0.7 2 0.33
P( A) C n P k q n k C5 0.7 2 0.33 0.1323
1 t 2 1 exp 2 2 t 1
– 故障率
t
f t R t
– 平均寿命
E=μ
正态分布
• 在柴油机或机械系统中，有些零件故障是由几种相对独立 的微小主导因素迭加而成的
离散型随机变量的几种常见分布
可靠性抽样试验以及产品质量保证等大量工 程实际问题需要用到离散模型。主要有
两点分布 二项分布
泊松分布
几何分布与负二项分布 超几何分布
两点分布
• 数字特征:
E ( X ) 1 p 0 q p D( X ) p p 2 p(1 p) pq
个元件失效的概率比较小的情况
二项分布实例
例：有人打靶，每次命中率均为0.7，现独立射击5次，求恰 好命中2次的概率？ 解：每次射击有“击中”和“未击中”两个可能，设 Ai "第i次击中 " ，“恰好有两次几种”的情况有
A1A 2 A3 A4 A5 , A1 A2 A3 A4 A5 , A1 A2 A3 A 4 A5 ,...共有C5 种
0.99999
思考：假如只有两个轮胎， 安全着陆的概率？
连续型随机变量的几种常见分布
• 正态分布
• 对数正态分布
• 指数分布 • 伽玛分布 • 威布尔分布
指数分布
1.指数分布
• • • • • 在数学上易处理成直观的曲线 失效率反映了特征参数 单参数分布 最基本最常用的分布 若产品的寿命或某一特征值t的故障密度为
f (t )
1 2
(t ) 2 2 2 e
(t 0, 0, 0)
正态分布
•
正态分布的特征量函数: – 不可靠度
t F( t ) f ( t )dt
t
查附表2
– 可靠度
t R t 1 Ft 1
pX k p k q1k , k 0,1
二项分布
• 随机变量X取值不大于k的累积分布函数为:
F ( k ) P( X k )
r r nr C p q n r 0 n
•
X的数学期望与方差分别为:
E ( x) kP( X k ) np
k 0 n
D( X ) [k E ( X )]2 P( X k ) npq np(1 p)
例：内燃机增压器处于使用寿命期中工作，根据以
往经验知，寿命服从指数分布，在100小时工作 内有1%发生故障，求可靠度R（2000）， t 0.5和 t 0.9 的使用寿命？
解：先求λ F（100）=0.01
1 e 100 0.01

1 1 ln 0.0001005 100 0.99
可靠性的概率分布
学习要求
1. 了解二项分布、泊松分布的含义和计算 2. 掌握指数分布、正态分布、对数正态分布 和威布尔分布的特性以及特征值的获取
3. 会查标准正态分布表
主要内容
• 离散型随机变量的几种常见分布
两点分布 二项分布 泊松分布 几何分布和负二项分布 超几何分布
• 连续型随机变量的几种常见分布
k!
(k 0,1,2,, n, 0)
F ( k ) P( X k )
r 0
k
r
r!
e
• X的期望与方差分别为：
E ( X ) kP( X k )
k 0
D( X ) [k E ( X )]2 P( X K )
k 0
0 0
1

中位寿命：r=0.5
0.5 e t
t 0 .5 ln0.5 0.6971
特征寿命：
r e 1 0.368
e 1 e t
t 0.368 1



0.7E

1
寿命方差： 标准差：
t 2 f t dt - E 2
– 如气缸、活塞、齿轮和轴类零件
• 因磨损引起的故障，以及管、阀系统的腐蚀性故障，燃油 传给系统沉淀性故障都属正态分布
例：有两种内燃机配套机构，A种寿命分布是指数型， 其平均寿命为1000h；B种寿命分布是正态型，其平 均寿命为900h，标准离差σ = 400h，求：在100小 时使用期内，尽量不发生故障，求哪种设计为好？
1 解：A： t A 1000, 1000
R A 100 e
100 1000
0.905
B： t B 900, 400
100 900 R B 100 1 1 2 0.9772 400
对数正态分布
k 0
n
• 二项分布用来计算冗余系统的可靠度，也可用于计算一次 性使用装置或系统的可靠度估计
• 比如汽车上的双管路制动系统
• 在二项分布中，如果 lim np （常数），则二项分布可表示为：
泊松分布
e
P( X k )
k
n
此时，称随机变量X服从参数为λ的泊松分布。泊松分布可认为是当 n无限大时二项分布的推广。当n很大、p很小时，可用泊松分布近似代 替二项分布。一般地，当n≥20,p≤0.05时，近似程度较好。 • 随机变量X取值不大于k次的累积分布函数为：
• 两点分布可以作为描绘从一批产品中任意抽 取一件得到的“合格品”或“不合格品”的 概率分布模型
二项分布
• 二项分布又称贝努里分布。二项分布满足以下 基本假定：
试验次数n是一定的； 每次试验的结果只有两种，成功或失败； 每次试验的成功概率和失败概率相同，即p和q是 常数； 所有试验是独立的。
•
指数分布的特点
只含单一参数，形式简单 1 平均寿命、特征寿命、标准离差相等，为 故障率越小，平均寿命越大，但越大，分布 越分散 平均寿命大于中位寿命
•
发动机中有四种故障的寿命概率分布属于指数分布
受随机性冲击时产生的故障：故障与使用时间无关， 仅与外界超强度的冲击力随机到来和内部潜伏的隐患 偶然爆发有关，它们是随机性偶然发生故障，如内燃 机超载下工作或过热造成的故障 正常使用下的突发故障：常载下往复运动零件损伤， 或人为失误造成的故障，或偶然性操作不当 浴盆曲线的Ⅱ阶段（使用寿命期） 发动机返复多次维修期间所发生的故障可考虑为指数 分布故障
正态分布 截尾正态分布 对数正态分布 指数分布 伽玛分布 威布尔分布
可靠性的概率分布
可靠性工程以产品的寿命特征为主要研究对象。产品 的寿命特征一般是连续的随机变量，例如产品故障时间和 维修时间等。处理这种问题可利用概率统计方法，找出它 们的概率分布和概率密度函数，有了确定的分布就可以求 出该分布特征统计量，如正态分布的均值及标准差。即使 不知道具体的分布函数，也可以通过对分布的参数估计求 得某些特征量的估计值。这些分布及概率密度函数，不仅 描述了寿命的内在规律，而且分布的参数还决定了产品的 寿命特征。因此必须对失效分布作较深入的研究
R(2000 ) e2000 0.8187
t 0 .5
t 0 .9
0.6971

1
6931小时

ln
1 1048小时 0. 9
指数分布例题
例：一元件寿命服从指数分布，其平均寿命 (θ) 为2000小时，求故障率λ及求可靠度R (100)=? R(1000)=? 解： 1 1 5 10 4 2000
R(100) e
5104100
e
0.05
0.95
0.60
R(1000) e
5104 1000
e
0.5
此元件在100小时时的可靠度为0.95，而在 1000小时时的可靠度为0.60
正态分布
• 正态分布在机械可靠性设计中大量应用，如材料强度、
磨损寿命、齿轮轮齿弯曲、疲劳强度以及难以判断其分布 的场合。属于递增型故障率的概率分布。它的分布曲线处 于浴盆曲线的耗损阶段 • 若产品寿命或某特征值有故障密度