保险精算习题及答案

第一章：利息的基本概念

练 习 题

1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。

2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。

(2)假设()()100 1.1n

A n =⨯，试确定 135,,i i i 。

3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。

4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。

5．确定10000元在第3年年末的积累值:

(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。 6．设m ＞1，按从大到小的次序排列 ()

222x x v b q e p +与δ。 7．如果0.01t t δ=，求10 000元在第12年年末的积累值。

8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。

9．基金A 以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B 以利息强度6

t t

δ=积累，在时刻t (t=0)，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。

10. 基金X 中的投资以利息强度0.010.1t t δ=+(0≤t ≤20), 基金Y 中的投资以年实际利率i 积累；现分别投资1元，则基金X 和基金Y 在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y 的积累值。

11. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（ ）万元。

A. 7.19

B. 4.04

C.

D.

12.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为（ ）元。

225 213 C.7 136 987

第二章：年金

练习题

1．证明()

n

m

m n v v i a a -=-。

2．某人购买一处住宅，价值16万元，首期付款额为A ，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付10年。年计息12次的年名义利率为% 。计算购房首期付款额A 。

3. 已知7 5.153a = , 117.036a =, 189.180a =, 计算 i 。

4．某人从50岁时起，每年年初在银行存入5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取10年。年利率为10%，计算其每年生活费用。

5．年金A 的给付情况是：1～10年，每年年末给付1000元；11～20年，每年年末给付2000元；21～30年，每年年末给付1000元。年金B 在1～10年，每年给付额为K 元；11～20年给付额为0；21～30年，每年年末给付K 元，若A 与B 的现值相等，已知10

1

2

v

=

，计算K 。 6． 化简()

1020101a v v ++ ，并解释该式意义。

7. 某人计划在第5年年末从银行取出17 000元，这5年中他每半年末在银行存入一笔款项，前5次存款每次为1000元，后5次存款每次为2000元，计算每年计息2次的年名义利率。 8. 某期初付年金每次付款额为1元，共付20次，第k 年的实际利率为

1

8k

+，计算V(2)。 9. 某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第1到n 年每年末平分所领取的年金，n 年后所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等,那么v=( )

A. 113n

⎛⎫

⎪⎝⎭

B. 1

3n C.

13n

⎛⎫ ⎪⎝⎭

D.3n 11. 延期5年连续变化的年金共付款6年，在时刻t 时的年付款率为()2

1t +,t 时刻的利息强度为1/(1+t),该年金的现值为（ ）

.54 C

第三章：生命表基础

练习题

1．给出生存函数()22500

x s x e

-=，求：

(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。 (2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。 (3)人能活到70岁的概率。

(4)50岁的人能活到70岁的概率。

2. 已知Pr ［5＜T(60)≤6］=，Pr ［T(60)＞5］=，求60q 。

3. 已知800.07q =，803129d =，求81l 。

4. 设某群体的初始人数为3 000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。

5. 如果22

1100x x x

μ=

+

+-,0≤x ≤100, 求0l =10 000时，在该生命表中1岁到4岁之间的死亡人数为（ ）。

6. 已知20岁的生存人数为1 000人，21岁的生存人数为998人，22

岁的生存人数为992人，则|201q 为（ ）。

A. 0.008

B.

C.

D.

第四章：人寿保险的精算现值

练 习 题

1. 设生存函数为()1100

x

s x =- (0≤x ≤100)，年利率i =，计算(保险金额为1元)： (1)趸缴纯保费130:10

Ā的值。 (2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z 的方差Var(Z)。

2． 设年龄为35岁的人，购买一张保险金额为1 000元的5年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡的保单年度末给付，年利率i=，试计算： (1)该保单的趸缴纯保费。

(2)该保单自35岁～39岁各年龄的自然保费之总额。 (3)(1)与(2)的结果为何不同？为什么？

3. 设0.25x =A , 200.40x +=A , :200.55x =A , 试计算： （1） 1:20x A 。 （2） 1:10

x A 。 4． 试证在UDD 假设条件下： (1) 1

1::x n x n i

δ

=

A A 。

(2) 1

1

:::x x n n x n

i

δ

=+

ĀA A 。 5． (x)购买了一份2年定期寿险保险单，据保单规定，若(x)在保险期限内发生保险责任范围内的死亡，则在死亡年末可得保险金1元，()0.5,0,0.1771x q i Var z === ，试求1x q +。 6．已知，767677770.8,400,360,0.03,D D i ====求A A 。

7． 现年30岁的人，付趸缴纯保费5 000元，购买一张20年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。 8． 考虑在被保险人死亡时的那个1

m

年时段末给付1个单位的终身寿险，设k 是自保单生效起存活的完整年数，j 是死亡那年存活的完整

1

m

年的时段数。 (1) 求该保险的趸缴纯保费 ()

m x A 。

(2) 设每一年龄内的死亡服从均匀分布，证明()

()

m x

x m i i

=

A A 。

9． 现年35岁的人购买了一份终身寿险保单，保单规定：被保险人在10年内死亡，给付金额为15 000元；10年后死亡，给付金额为20 000元。试求趸缴纯保费。