2019-2020学年安徽省铜陵市高二上学期期末数学试题及答案解析版

2019-2020学年安徽省铜陵市高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．下列直线中，与直线230-+=平行的是（）x yA．240+-=B．240x y-+=x yC．240-+=x yx y+-=D．240【答案】D【解析】直线230-+=的斜率为2，找出斜率为2的直线x y方程即可.【详解】因为直线230-+=的斜率为2，x y又直线240-+=的斜率也为2，x y所以两直线平行.故选：D【点睛】本题考查两直线平行斜率相等，考查对概念的理解，属于基础题.2．某支田径队有男运动员56人，女运动员42人.现要抽取28名运动员了解情况，考虑到男女比例，在男运动员中随机抽取16人，女运动员中抽取12人.这种抽取样本的方法叫做（）D．简单随机抽样【答案】B【解析】利用分层抽样的概念，即可得到答案.【详解】总体是由不同性别的男、女组成，根据抽样比抽得样本，属于分层抽样.故选：B【点睛】本题考查统中分层抽样的概念，考查对概念的理解，属于基础题.3．下边框图中，若输入m，n的值分别为225和175，则输出的结果是（）A．25 B．50 C．225 D．275【答案】A【解析】输入m，n的值分别为225和175，一步一步执行程序框图，当0r=时，输出25m=.【详解】==，225,175m n50,175,50r m n ===， 25,50,25r m n ===， 0,25,0r m n ===，此时，输出25m =. 故选：A 【点睛】本题考查程序框图中的直到型循环，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意是先执行出r 值，再得到,m n 值. 4．直线54200x y ++=在x 轴上的截距是（ ） A ．5- B ．4- C ．4 D ．5【答案】B【解析】求出直线与x 轴交点的横坐标即可. 【详解】当0y =时，代入54200x y ++=可得：4x =-. 故选：B 【点睛】本题考查直线在坐标轴上截距的概念，考查基本运算求解能力.5．空间直角坐标系中，已知点()3,2,5P --，点Q 与点P 关于平面xOz 对称，则点Q 的坐标是（ ） A ．()3,2,5- B ．()3,2,5- C ．()3,2,5- D ．()3,2,5---【解析】利用空间中点(,,)x y z 关于平面xOz 对称点为(,,)x y z -，即可得到答案.【详解】空间中点(,,)x y z 关于平面xOz 对称点为(,,)x y z -， ∵()3,2,5P --，∴()3,2,5Q -. 故选：C 【点睛】本题考查空间中点关于面对称点的求解，考查对概念的理解，属于基础题.6．已知A ，B 是某次试验中的两个随机事件，则A ，B 互为对立事件是()()1P A P B +=的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】两个事件为对立事件可以推出互斥，但互斥不一定对立. 【详解】若A ，B 对立，则两个事件必有一个发生，且另一个不发生，所以()()1P A P B +=；但()()1P A P B +=推不出两个事件A ，B 对立；如掷一颗骰子，事件A 为出1点，2点，3点；事件B 为出现3点，4点，5点，此时()()1P A P B +=，但两个事件不对立. 故选：A本题考查对立事件与概率的关系，考查对概念的理解与应用，属于基础题.7．若α，β，γ为空间中的三个平面，则下列命题中是真命题的是（）A．若αβαγ⊥，βγ⊥，则αγ⊥B．若αβ⊥，βγ⊥，则// C．若//αβ，βγ⊥，则//αβ，βγ⊥，则αγ⊥αγD．若//【答案】D【解析】对A，,αβ可能平行；对B，,αβ可能相交；对C，,αγ可能相交；利用排除法可得答案.【详解】如图所示的长方体中：对A，取β为平面ABCD，α为平面11BCC B，AA D D，γ为平面11显然//αγ，故A错误；对B，取β为平面ABCD，α为平面11BB D D，AA D D，γ为平面11显然,αγ相交，故B错误；对C，取β为平面ABCD，α为平面1111DBCC B，A，γ为平面11BC显然,αγ相交，故C错误；利用排除法，可得D正确；故选：D【点睛】本题考查空间中面面位置关系，考查空间想象能力，求解时注意借助正方体解决问题.8．袋中共有5个小球，其中3个红球、2个白球.现从中不放回地摸出3个小球，则下列各对事件为互斥事件的是（）A．“恰有1个红球”和“恰有2个白球”B．“至少有1个红球”和“至少有1个白球”C．“至多有1个红球”和“至多有1个白球”D．“至少有1个红球”和“至多有1个白球”【答案】C【解析】利用互斥事件的定义，即两个事件不同时发生，即可得到答案.【详解】对A，“恰有1个红球”和“恰有2个白球”可能有1红2白同时发生，故A错误；对B，可能有1红2白同时发生，故B错误；对C，“至多有1个红球”可以是0个红球3个白球，或1个红球2个白球；“至多有1个白球”可以是3个红球0个白球，或2个红球1个白球：显然两个事件不会同时发生，所以两个事件为互斥事件，故C正确；对D，可能有2红1白发生，故D错误；故选：C【点睛】意对至多、至少的理解.9．若a是空间中的一条直线，则在平面α内一定存在直线b与直线a（）A．平行B．相交C．垂直D．异面【答案】C【解析】对直线a与平面α分三种情况讨论：一是在面α内，二是与面α平行，三是与面α相交，均可得到存在直线与a 垂直.【详解】如图所示的正方体中：取平面α为平面ABCD，（1）取直线a为AB，显然存在直线BC a⊥；（2）取直线a为11A B，显然存在直线BC a⊥；（3）取直线a为1AA，显然存在直线BC a⊥；故选：C【点睛】本题考查空间中线面、线线位置关系，考查空间想象能力，求解时注意借助正方体模型.10．平面直角坐标系中，设()0.98,0.561.02,2.56B，点MA-，()在单位圆上，则使得MAB∆为直角三角形的点M的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】先判断以AB为直径的圆与单位圆相交，再讨论∆的直角顶点位置，从而可得到答案.MAB【详解】以AB为直径的圆的方程为22-+-=，x y(0.02)( 1.56)8因为d，所以两圆相交，设交点为,C D，1所以当点M运动到,C D时，显然能使MAB∆为直角三角形，此时M为直角顶点；又过点B与直线AB垂直的直线显然与单位圆相离，而过点A与直线AB垂直的直线l：-=-+⇒++=，0.56(0.98)0.420y x x y圆心(0,0)到直线0.420d=<，++=的距离1x y直线l与单位圆相交，设交点为,E F；故满足题意的点有四个.故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对直角顶点的讨论.11．正四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD中点，则异面直线EF与BC成的角等于（）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】B【解析】作出正四面体ABCD ，取BD 的中点P ，连结,PE PF ，可得PFE ∠为异面直线所成的角，在PEF ∆中求得PFE ∠的度数，即可得到答案. 【详解】如图所示，在正四面体ABCD 中，取BD 的中点P ，连结,PE PF ，则//BC PF ，∴PFE ∠为异面直线所成的角， 设2AB =，则在PEF ∆中，1PF PE ==，222(3)12EF BF BE =-=-=，∵222PF PE EF +=，∴PEF ∆为等腰直角三角形， ∴45PFE ∠=. 故选：B【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意“一作、二证、三求”三个步骤的应用. 12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知()3,0A ，()0,3B ，动点M 满足2MB MA =，则OM 斜率k 的取值范围是（ ）A ．22,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．2322,,44⎛⎤⎡⎫--∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭D ．3233,,44⎛⎤⎡⎫--∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【答案】A 【解析】【详解】设点(,)M x y ，∵2MB MA =，∴2222(3)4[(3)]x y x y +-=-+， 整理得：22(4)(1)8x y -++=，则点M 是以(4,)1-为圆心，半径的圆， 则0yk kx y x=⇔-=， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，所以=，解得：24k -±=，所以22,44k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查圆的轨迹方程求解、直线与圆的位置关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点到直线距离公式的应用.二、填空题13．八进制数(8)123化为十进制数，其结果是______(10).【解析】直接利用八进制与十进制的转换求解. 【详解】根据八进制与十进制的转换有：210812318283883=⨯+⨯+⨯=（），所以对应的十进制为83. 故答案为：83. 【点睛】本题考查八进制与十进制的转换，考查运算求解能力，属于基础题.14．已知命题p ：2x ∀>，都有34x >，则命题p 的否定p ⌝是______.【答案】02x ∃>，使得304x ≤【解析】直接利用全称命题的否定的定义求解. 【详解】∵命题p ：2x ∀>，都有34x >， ∴p ⌝：02x ∃>，使得304x ≤. 故答案为：02x ∃>，使得304x ≤. 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，考查对概念的理解与应用，属于基础题.15．已知P ABCD -为一个正四棱锥，且它的底面边长与高的长度都等于4，则这个四棱锥外接球的表面积是______. 【答案】36π【解析】设M 为正方形ABCD 的中心，O 为外接球的球心，连结,PM OB ，设球的半径为R ，利用勾股定理得到关于R 的方程，求得R 再利用球的面积公式，即可得到答案. 【详解】如图所示，设M 为正方形ABCD 的中心，O 为外接球的球心，连结,PM OB ，设球的半径为R ，则,4,22OB OP R OM R BM ===-=，∵222OB OM BM =+，∴228(4)3R R R =+-⇒=， ∴2436S R ππ==. 故答案为：36π.【点睛】本题考查正四棱锥与球的切接问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意球心的确定.16．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠8个小时，假定它们在一昼夜的时间段内随机地到达，则两船中有一艘在停靠泊位时、另一艘船必须等待的概率为______. 【答案】59【解析】利用几何概型的面积型概率计算，作出边长为24的正方形面积，求出||8x y -≤部分的面积，即可求得答案.【详解】设甲乙两艘轮船到达的时间分为,x y ，则024,024x y ≤≤≤≤， 记事件A 为两船中有一艘在停靠泊位时、另一艘船必须等待，则||8x y -≤，即8,8,y x y x ≥-⎧⎨≤+⎩∴2222241625()1()2439S P A S -===-=阴影正方形. 故答案为：59.【点睛】本题考查几何概型，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对概率模型的抽象成面积型.三、解答题17．直角梯形ABCD 如图放置，已知90C D ∠=∠=︒，2CD =，3BC =，4=AD .现将梯形ABCD 绕直线AD 旋转一周形成几何体.（1）画出这个几何体的正视图（不写作法）； （2）求这个几何体的体积. 【答案】（1）作图见解析（2）403π【解析】（1）利用图形旋转而成的几何体为圆锥和圆柱的组合体，进而作出正视图；（2）利用圆锥和圆柱的体积公式，将数据直接代入即可得到答案. 【详解】 （1）（2）该几何体由一个圆锥和圆柱组合而成，则221211404341333V r h r h πππππ=+=⨯+⨯⨯=.【点睛】本题考查几何体正视图的作法、圆锥、圆柱的体积求解，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意正视图中的数据求解.18．已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为()2,4A ，()0,5B -，()10,0C ，线段AC 的垂直平分线为l .（1）求直线l 的方程；（2）点P 在直线l 上运动，当AP BP +最小时，求此时点P 的坐标.【答案】（1）2100x y --=（2）1010,33⎛⎫-⎪⎝⎭ 【解析】（1）求出直线AC 的斜率，再求直线AC 的中点，从而利用点斜式方程求得答案；（2）由（1）得点A 关于直线l 的对称点为点C ，所以直线AC 与直线l 的交点即为AP BP +最小的点.【详解】（1）直线AC 的斜率为4012102AC k -==--，所以直线l 的斜率为12k =，直线AC 的中点为()6,2，所以直线l 的方程为()226y x -=-，即2100x y --=.（2）由（1）得点A 关于直线l 的对称点为点C ，所以直线BC 与直线l 的交点即为AP BP +最小的点.由()0,5B -，()10,0C 得直线BC 的方程为1105x y+=-，即2100x y --=，联立方程21002100x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得103103x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以点P 的坐标为1010,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查直线方程的求解、直线的交点，考查运算求解能力，属于基础题.19．某学校为了解高二学生学习效果，从高二第一学期期中考试成绩中随机抽取了25名学生的数学成绩（单位：分），发现这25名学生成绩均在90～150分之间，于是按[)90,100，[)100,110，…，[]140,150分成6组，制成频率分布直方图，如图所示：（1）求m 的值；（2）估计这25名学生数学成绩的平均数；（3）为进一步了解数学优等生的情况，该学校准备从分数在[]130,150内的同学中随机选出2名同学作为代表进行座谈，求这两名同学分数在不同组的概率.【答案】（1）0.008m =（2）121.8（3）35【解析】（1）利用小矩形的面积和为1，求得m 值； （2）每个小矩形的中点与面积相乘，再相加，求得平均数；（3）利用古典概型，求出试验的所有等可能结果，再计算事件所含的基本事件，最后代入公式计算概率值. 【详解】（1）0.040.120.240.40.12101m +++++=，∴0.008m =. （2）0.04950.121050.241150.4125x =⨯+⨯+⨯+⨯0.121350.08145121.8+⨯+⨯=.（3）由直方图得，[)130140,有3人，[]140,150有2人， [)130140,的学生为1A ，2A ，3A ，[]140,150的学生为1B ，2B ， 所有情况：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，23A A ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B ，12B B 共10种情况；符合题意的：11A B ，12A B ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B 共6种情况.所以概率为63105P ==. 【点睛】本题考查频率分布直方图估计平均数、及古典概型的概率求解，考查概率与统计思想，考查数据处理能力. 20．如图，边长为4的正方形ABCD 中，点E ，F 分别为AB ，BC 的中点.将AED ∆，BEF ∆，DCF ∆分别沿DE ，EF ，DF 折起，使A ，B ，C 三点重合于P .（1）求证：PD ⊥平面PEF ； （2）求二面角P EF D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】（1）利用折叠前后角的不变性可得PD PE ⊥，PD PF ⊥，进而证明线面垂直；（2）取线段EF 的中点G ，连接PG 、DG ，由PE PF =，DE PF =，得到PG EF ⊥，DG EF ⊥，从而得到PGD ∠为二面角P EF D --的平面角，再求角的余弦值. 【详解】（1）因为正方形ABCD ，所以AD AE ⊥，CD CF ⊥， 折叠后即有PD PE ⊥，PD PF ⊥，又PEPF P =，PE PF ⊂、平面PEF ，所以PD ⊥平面PEF 得证.（2）取线段EF 的中点G ，连接PG 、DG .因为PE PF =，DE PF =，所以有PG EF ⊥，DG EF ⊥， 所以PGD ∠即为二面角P EF D --的平面角， 又由（1）得PD PG ⊥，2PG =，32DG =所以1cos 3PG PGD DG ∠==. 所以二面角P EF D --的余弦值13.【点睛】本题考查空间中的折叠问题、线面垂直的证明、二面角的求解，考查转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力.21． 2.5PM是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与 2.5PM的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM浓度的数据如下表：2.5时间周一周二周三周四周五车流量x（万辆）5051545758 PM的浓度y（微克/2.53940424445立方米）（1）根据上表数据，求出这五组数据组成的散点图的样本中心坐标；（2）用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y bx a=+；（3）若周六同一时间段车流量是100万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时 2.5PM的浓度是多少？（参考公式：()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-）【答案】（1）()54,42（2）0.72 3.12y x =+（3）75.12微克/立方米【解析】（1）求出,x y 从而得到样本点的中心； （2）利用参考公式求出()52150i i x x =-=∑，()()136ni ii x xy y =--=∑，从而得到b ，再将样本中心坐标代入求得a ，从而得到回归方程；（3）将100x =代入回方程，求出y 的值，即可得到答案. 【详解】 （1）5051545758394042444554,4255x y ++++++++====，所以样本中心坐标为()54,42. （2）因为()52116991650i i x x=-=+++=∑，()()1(4)(3)(3)(2)324336niii x x y y =--=-⋅-+-⋅-+⋅+⋅=∑，所以360.7250b ==， 3.12a =， 线性回归方程为0.72 3.12y x =+.（3）0.72100 3.1275.12y =⨯+=（微克/立方米） 此时 2.5PM 的浓度是75.12微克/立方米. 【点睛】本题考查回归直线方程的最小二乘法求解及回归方程的应用，考查数据处理能力，求解时注意运算的准确性. 22．已知圆C 的圆心坐标为()3,0C ，且该圆经过点()0,4A .（1）求圆C 的标准方程；（2）若点B 也在圆C 上，且弦AB 长为8，求直线AB 的方程；（3）直线l 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线l 过一个定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）()22325x y -+=（2）0x =或724960x y +-=（3）证明见解析，定点()6,12--【解析】（1）圆以(3,0)为圆心，||5AB =为半径，直接写出圆的标准方程；（2）对直线的斜率进行讨论，再利用弦长公式和点到直线距离公式，可求得直线的斜率，再由点斜式方程求得答案；（3）设直线MN ：y kx t =+，()11,M x kx t +，()22,N x kx t +，利用 2AM AN k k ⋅=得到,k t 的关系，从而证得结论.【详解】（1）圆以(3,0)为圆心，||5AB =为半径，所以圆的标准方程为()22325x y -+=.（2）①k 不存在时，直线l 的方程为：0x =；②k 存在时，设直线l 的方程为：4y kx =+，联立方程()224724325y kx k x y =+⎧⎪⇒=-⎨-+=⎪⎩， 所以直线l 的方程为：724960x y +-=，综上所述，直线l 的方程为0x =或724960x y +-=.（3）设直线MN ：y kx t =+，()11,M x kx t +，()22,N x kx t +， 1212442AM AN kx t kx t k k x x +-+-⋅=⋅= ()()()()2212122440k x x k t x x t ⇒-+-++-=①联立方程()()()22222126160325y kx t k x kt x t x y =+⎧⎪⇒++-+-=⎨-+=⎪⎩， 所以()122261kt x x k --+=+，2122161t x x k -=+代入①得()()()()()()2222216426410k t kt k kt t k --+--++-+=， 化简得26t k =+，所以直线l 的方程为：26t y x t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以过定点()6,12--.【点睛】本题考查圆的标准方程、弦长公式、点到直线距离、直线过定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对斜率存在和存在的讨论.。