2-2_第2章 粉体粒径分布的函数形状指数

第2章 粉末的性能与表征
【例1】设粉末由d1，d2，d3，d4，d5…di…dn颗粒组 成，每种颗粒个数对应为n1，n2，n3，n4，n5…nn，
试由颗粒总长这一特性推导其平均粒径。
解：颗粒群的总长可表示成式（2.25）：
n1d1+n2d2+n3d3+…ni di…nndn=∑(nd)=f(d ) d由D代替，得:
De——特征粒径，表示颗粒宏观上的粗细程
度。
Q0 1 e 0.632，De定义为 当Dp =De时，即 ， 累积分数达63.2%时的粒径。
-1
第2章 粉末的性能与表征
依据表2.5数据， 绘制出粉末颗粒 的Rosin-Rammler 累积分布如图2.12 所示。
图2.12 粒径的Rosin-Rammler累积分布图
q（ 0 Dp）
其中：
1
2
i
e
2 （Dp Dp） 2 2
（2.14）
Dp
N 式中 ni——直径为Dpi的颗粒数量；
[
N 2 ni (D pi D p )
nD
pi
（2.15）
1 2
]
（2.16）
N——颗粒总数；
ห้องสมุดไป่ตู้
Dp ——与累积含量为50%时的粒径相对应（Q0=0.5）。
将方程式（2.31）两边同乘以ρpD，整理得：
D m

p nd 2 m
3 [ ( d p n) d ]
m
(m d )
(2.32)
式(2.32) 以质量为基准粉体平均粒径计算公式。
第2章 粉末的性能与表征
表2.7个数基准和质量基准的平均粒径式 序号 平均径 名称 符 号 D1 个数 基准
2 2 i i 3 i p i
当全部颗粒视为边长为D的立方体时：定义函数 为式为： （6nD2） （6nD2） f（D） （2.30）
n p D 3 m
由f(d )= f(D )可得出式（2.31）：
（ 6nd ）
2
m
=
（6nD ）
2
m
(2.31)
第2章 粉末的性能与表征
i
pi
N
（2.19）
2
n （ln D ln D ） ln
pi g g
N
（2.20）
第2章 粉末的性能与表征
依据表2.5数据，绘制出图2.11粒径的对数正态分布图。虚 线和实线分别表示以质量为基准和以数量为基准，显然两者分 布明显不同。
图2.11
粒径的对数正态分布
第2章 粉末的性能与表征
Q0 1 e
达式为（2.22）：
n -bD p
（2.21）
1 在此基础上经过Bennet研究，取 b= D n ，则指数 e ， 一项可写成无因次项，既得到 RRB方程，累积分布表
第2章 粉末的性能与表征
Q0 1 e
（ Dp De ）
n
（2.22）
式中: n——均匀性指数，表示粒径分布范围的宽 窄，与 粉体物料的性质及其粉碎设备 有关， 对于同一种粉体，n为常数；
（2.13）
a称为正态分布的位置参数，a愈大，函数图形越向右侧移 动。 σ的大小与曲线的形状有关，σ越小，曲线越尖陡，粒度分 布取值越集中，粒度分布越窄；σ越大，则相反。通常称σ为正
态分布的形状系数。
第2章 粉末的性能与表征
图2.10
正态分布函数图形
第2章 粉末的性能与表征
用正态分布函数表征粉体粒径分布时，x指颗粒粒径，a为 平均粒径 (Dp)，φ(x)表示颗粒x频率分布函数，是指颗粒数、质 量或其他参数对粒径的导数。若以个数为基准，粒径正态频率 分布函数式表示为：
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常用的形状指数有三种：
与外形尺寸相关的 形状指数 与表面积或体积相关的 形状指数 与颗粒投影周长相关的 形状指数
形状指数
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（1）与颗粒外形尺寸相关的形状指数 均齐度：一个不规则的颗粒放在一平面上，一 般情形是颗粒的最大投影面（也就是最稳定的平面） 与支撑平面相黏合。这时颗粒具有最大的稳定度。 以长方体为颗粒的基准几何形状，根据长、宽、
第2章 粉末的性能与表征
（2）对数正态分布
粉体的粒径分布有时也出现非对称分布，这时将正 态分布函数中的Dp和σ分别用ln D p和 lnσg取代，得到对 数正态频率分布函数式为（2.17）：
2 （lnDp lnDg） 2 ln2 g
q（lnDp）
0
1 2 ln g
e
dQ0 （2.17） d（lnDp）
（m d） （m d ）
3
3
（m d ）
3
m
（nd ） （nd ）
3
（m d
m
2
）
ΦvDv3是平均颗粒的体 3 1（ p v Dv ） 积， 是单位质 量含有的颗粒数
（nd ） n
4
4
（m d） （m d ）
3
（n
n
d）
4 （ m d ）
3 （ m d ）
高三轴径l、b、h之间的比值，导出下面形状指数：
扁平度=短径/高度=b/h （≥1） 长短度=长径/短径=l/b （≥1） (2.34) (2.35)
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（2）与表面积或体积相关的形状指数 ① 体积充满度fv：表示外接长方体体积与颗粒体积Vp 之比，数学表达式: fv=l b h / Vp （≥1） 面积之比，数学表达式为： fb=A/ l b（≤1） ③球形度φ0：表示颗粒接近球体的程度。 (2.36) （2.35）
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2.1.2.4 粒径分布函数
1
正态分布
2
对数正态分布
Rosin-Rammler (WEIBULL分布）
3
第2章 粉末的性能与表征
（1）正态分布
自然界中，凡是随机现象均是许多偶然因素共同作用的
总和，一切随机现象都具有其必然性，即它们出现的频率总 是符合统计规律地在某个常数附近摆动，这个随机现象的概 率模型就是正态分布。 正态分布的概率密度函数（频率分布的函数）由式 （2.12）给出：
a ,
1
2
e

( a )2 2 2
（2.12）
式中: x——自变量； a——平均值；
σ——标准偏差。
第2章 粉末的性能与表征
图2.10 给出了不同参数的正态分布密度函数图形。其
中：a=0，σ=1为标准正正态分布，此时的正态分布函数 为式（2.13）：



a ,（ dx 1 x）
（ nd ） n
质量 基准
（m d （m d
2 3
物理意义（形状系 数φs、φv）
） ）
个数 1 平均径
长度 平 2 平均径 均 面积 径 3 平均径
体积 4 平均径
D2
D3 D4
（nd ）
2
（nd）
3
（m d （m d
）
2
长度、个数平均
）
Sw=φ(ρDs)为颗粒群 2 （m d ） （ nd ） 比面积
第2章 粉末的性能与表征
式2.17的频率分布函数也可转变为累积分布函数，如式 （2.18）：
Q0
1 2 ln g

Dp
0
e
2 （lnDp lnDg） 2 ln2 g
d（lnDp )
（2.18）
几何平均粒径Dg和几何标准偏差σg分别由式(2.19)和式(2.20) 给出：
lnDg
i
n lnD
②面积充满度fb：表示颗粒投影面积A与最小外接矩形
第2章 粉末的性能与表征
球形度φ0是一个应用较广泛的形状系数，定义为：
一个与待测颗粒体积相等的球体表面积与该颗粒的表 面积之比。表达式为（2.37）
φ0 =与颗粒体积相等的球体表面积/颗粒表面积 (2.37)
对于形状不规则颗粒，当测定其表面积比较困难时，
过程或某一粉体研究需要的。
各平均粒径间的差别较大，可根据具体生产过程单元操作过
程、粒径范围、粒径应用的目的等选择应用。
对于分离操作系统的颗粒，最好选用重力沉降和离心沉降方
法测定颗粒的Stokes径，即按照沉降速度求相当径；
测量催化剂颗粒粒径时，最好采用比表面积及比表面积平均径。
第2章 粉末的性能与表征
（nd ）
4 3
（nd ）
m
（nd ）
（ md ） m
第2章 粉末的性能与表征
续表2.7
5
平均 表面积径
平均 体积径 体积 长度径 重量矩个 数平均径 调和 平均径
Ds
（nd ） n
2
3
（nd ） n
2
ΦsDs2为平均颗粒表 面积
6
7 8 9
Dv
Dvd Dw Dh
4
（3）Rosin-Rammler（WEIBULL）分布 粉碎后粒径分布范围很宽 的细粉，利用对数正 态分布函数计算时偏差仍然很大。Rosin、Rammler和 Sperling等人通过对煤粉、水泥等物料粉碎实验的概 率和统计理论研究归纳出用指数函数表示的粒径分布 关系式，称为RRS方程。累积分布表达式(2.21)为：
n1 D1+n2 D2+n3 D3+…ni Di…nnDn =∑(nD)=D∑n=f(D )
(2.25)
将全部颗粒视为粒径为D均一颗粒，式(2.25)中的
(2.26)
第2章 粉末的性能与表征