2-2_第2章 粉体粒径分布的函数形状指数
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过程或某一粉体研究需要的。
各平均粒径间的差别较大，可根据具体生产过程单元操作过
程、粒径范围、粒径应用的目的等选择应用。
对于分离操作系统的颗粒，最好选用重力沉降和离心沉降方
法测定颗粒的Stokes径，即按照沉降速度求相当径；
测量催化剂颗粒粒径时，最好采用比表面积及比表面积平均径。
第2章 粉末的性能与表征
高三轴径l、b、h之间的比值，导出下面形状指数：
扁平度=短径/高度=b/h （≥1） 长短度=长径/短径=l/b （≥1） (2.34) (2.35)
第2章 粉末的性能与表征
（2）与表面积或体积相关的形状指数 ① 体积充满度fv：表示外接长方体体积与颗粒体积Vp 之比，数学表达式: fv=l b h / Vp （≥1） 面积之比，数学表达式为： fb=A/ l b（≤1） ③球形度φ0：表示颗粒接近球体的程度。 (2.36) （2.35）
a ,
1
2
e
( a )2 2 2
（2.12）
式中: x——自变量； a——平均值；
σ——标准偏差。
第2章 粉末的性能与表征
图2.10 给出了不同参数的正态分布密度函数图形。其
中：a=0，σ=1为标准正正态分布，此时的正态分布函数 为式（2.13）：
a ,（ dx 1 x）
（ nd ） n
质量 基准
（m d （m d
2 3
物理意义（形状系 数φs、φv）
） ）
个数 1 平均径
长度 平 2 平均径 均 面积 径 3 平均径
体积 4 平均径
D2
D3 D4
（nd ）
2
（nd）
3
（m d （m d
）
2
长度、个数平均
）
Sw=φ(ρDs)为颗粒群 2 （m d ） （ nd ） 比面积
第2章 粉末的性能与表征
（2）对数正态分布
粉体的粒径分布有时也出现非对称分布，这时将正 态分布函数中的Dp和σ分别用ln D p和 lnσg取代，得到对 数正态频率分布函数式为（2.17）：
2 （lnDp lnDg） 2 ln2 g
q（lnDp）
0
1 2 ln g
e
dQ0 （2.17） d（lnDp）
（2.13）
a称为正态分布的位置参数，a愈大，函数图形越向右侧移 动。 σ的大小与曲线的形状有关，σ越小，曲线越尖陡，粒度分 布取值越集中，粒度分布越窄；σ越大，则相反。通常称σ为正
态分布的形状系数。
第2章 粉末的性能与表征
图2.10
正态分布函数图形
第2章 粉末的性能与表征
用正态分布函数表征粉体粒径分布时，x指颗粒粒径，a为 平均粒径 (Dp)，φ(x)表示颗粒x频率分布函数，是指颗粒数、质 量或其他参数对粒径的导数。若以个数为基准，粒径正态频率 分布函数式表示为：
Q0 1 e
达式为（2.22）：
n -bD p
（2.21）
1 在此基础上经过Bennet研究，取 b= D n ，则指数 e ， 一项可写成无因次项，既得到 RRB方程，累积分布表
第2章 粉末的性能与表征
Q0 1 e
（ Dp De ）
n
（2.22）
式中: n——均匀性指数，表示粒径分布范围的宽 窄，与 粉体物料的性质及其粉碎设备 有关， 对于同一种粉体，n为常数；
可采用实用球形度来衡量。实用球形度用式(2.38)表示： φ0´=与颗粒投影面积相等圆直径/颗粒投影的最 小外接圆直径（≤1） （2.38）
表2.9为理论计算的一部分形状规则颗粒的球形度值和少数几 种物料的实测球形度值。
第2章 粉末的性能与表征
表2.9 各种颗粒的球形度
颗粒形状(物料名称
（3）Rosin-Rammler（WEIBULL）分布 粉碎后粒径分布范围很宽 的细粉，利用对数正 态分布函数计算时偏差仍然很大。Rosin、Rammler和 Sperling等人通过对煤粉、水泥等物料粉碎实验的概 率和统计理论研究归纳出用指数函数表示的粒径分布 关系式，称为RRS方程。累积分布表达式(2.21)为：
第2章 粉末的性能与表征
2.1.4.2 形状指数和形状系数 1） 形状指数
通常将表示颗粒外形的几何量的各种无因次组合 称为形状指数(Shape Index)。 除特殊情况需要三种尺寸以外，一般至少需要两 种数据及其组合。常使用的数据包括三轴方向颗粒大 小的代表值、二维图像投影的轮廓曲线，以及表面积 和体积等立体几何各有关数据。
（m d） （m d ）
3
3
（m d ）
3
m
（nd ） （nd ）
3
（m d
m
2
）
ΦvDv3是平均颗粒的体 3 1（ p v Dv ） 积， 是单位质 量含有的颗粒数
（nd ） n
4
4
（m d） （m d ）
3
（n
n
d）
4 （ m d ）
3 （ m d ）
第2章 粉末的性能与表征
2.1.2.4 粒径分布函数
1
正态分布
2
对数正态分布
Rosin-Rammler (WEIBULL分布）
3
第2章 粉末的性能与表征
（1）正态分布
自然界中，凡是随机现象均是许多偶然因素共同作用的
总和，一切随机现象都具有其必然性，即它们出现的频率总 是符合统计规律地在某个常数附近摆动，这个随机现象的概 率模型就是正态分布。 正态分布的概率密度函数（频率分布的函数）由式 （2.12）给出：
第2章 粉末的性能与表征
式2.17的频率分布函数也可转变为累积分布函数，如式 （2.18）：
Q0
1 2 ln g
Dp
0
e
2 （lnDp lnDg） 2 ln2 g
d（lnDp )
（2.18）
几何平均粒径Dg和几何标准偏差σg分别由式(2.19)和式(2.20) 给出：
lnDg
i
n lnD
n1 D1+n2 D2+n3 D3+…ni Di…nnDn =∑(nD)=D∑n=f(D )
(2.25)
将全部颗粒视为粒径为D均一颗粒，式(2.25)中的
(2.26)
第2章 粉末的性能与表征
由f(d )= f(D )可得 ∑（nd）= D∑n （2.27） （2.28）
整理（2.27）式可得式（2.28）：
②面积充满度fb：表示颗粒投影面积A与最小外接矩形
第2章 粉末的性能与表征
球形度φ0是一个应用较广泛的形状系数，定义为：
一个与待测颗粒体积相等的球体表面积与该颗粒的表 面积之比。表达式为（2.37）
φ0 =与颗粒体积相等的球体表面积/颗粒表面积 (2.37)
对于形状不规则颗粒，当测定其表面积比较困难时，
2.1.4 颗粒的形状 2.1.4.1 颗粒形状的概念
颗粒形状是指一个颗粒的轮廓边界或表面上各点 所构成图像，它是除粒径外，颗粒的另一几何特征。 颗粒的形状对粉末体的许多性质均有直接的影响。
粉体的比表面积 、流动性、压缩 性、填充性、研 磨性、化学活性 以及涂料的覆盖 能力等
直接与粉末在混 合、压制、烧结 、储存、运输等 单元过程行为有 关。
2 2 i i 3 i p i
当全部颗粒视为边长为D的立方体时：定义函数 为式为： （6nD2） （6nD2） f（D） （2.30）
n p D 3 m
由f(d )= f(D )可得出式（2.31）：
（ 6nd ）
2
m
=
（6nD ）
2
m
(2.31)
第2章 粉末的性能与表征
RRB能比较好的反应工业上粉磨产品的粒径分布
特性，被广泛使用。
第2章 粉末的性能与表征
2.1.3 平均粒径
设颗粒群粒径分别为：d1，d2，d3，d4，d5…di…dn 组成的集合体，其物理特性可表示为函数f(d)，f(d) 由组成粉体的各个粒径函数的加成表示，关系式为 (2.24)： f(d)= f(d1)+ f(d2)+ f(d3)+… + f(dn) （2.24） 若将粒径不等颗粒群想象成由平均粒径D均一球 形颗粒组成，那么其物理特性可表示为f(d)= f(D)。 基于上述定义，可以推导出以个数为基准和质 量为基准的平均径计算公式。
i
pi
N
（2.19）
2
n （ln D ln D ） ln
pi g g
N
（2.20）
第2章 粉末的性能与表征
依据表2.5数据，绘制出图2.11粒径的对数正态分布图。虚 线和实线分别表示以质量为基准和以数量为基准，显然两者分 布明显不同。
图2.11
粒径的对数正态分布
第2章 粉末的性能与表征
将方程式（2.31）两边同乘以ρpD，整理得：
D m
p nd 2 m
3 [ ( d p n) d ]
m
(m d )
(2.32)
式(2.32) 以质量为基准粉体平均粒径计算公式。
第2章 粉末的性能与表征
表2.7个数基准和质量基准的平均粒径式 序号 平均径 名称 符 号 D1 个数 基准
D =∑(nd) /∑n 此粒径即为以个数为基准的个数平均径。 【例2】设颗粒是边长为d的立方体，颗粒群的总质 量为∑m，颗粒密度为ρp，试由比表面积的定义函数求
平均粒径。
第2章 粉末的性能与表征
解：比表面积定义为：
（ 6n d ） （ 6nd ） f(d )= n d (2.29) m
第2章 粉末的性能与表征
常用的形状指数有三种：
与外形尺寸相关的 形状指数 与表面积或体积相关的 形状指数 与颗粒投影周长相关的 形状指数
形状指数
第2章 粉末的性能与表征
（1）与颗粒外形尺寸相关的形状指数 均齐度：一个不规则的颗粒放在一平面上，一 般情形是颗粒的最大投影面（也就是最稳定的平面） 与支撑平面相黏合。这时颗粒具有最大的稳定度。 以长方体为颗粒的基准几何形状，根据长、宽、
第2章 粉末的性能与表征
严格地说，所测得粒径，只是一种定性表示。常用
各种形状因数表示颗粒形状特征。 描述颗粒 形状的方法
语言术语
数学术语
第2章 粉末的性能与表征
表2.8 颗粒形状的基本术语（语言术语） 粒状 granular 棒状 rodlike 针状 needlelike 纤维状 fibrous 树枝状 dendritic 聚集体 agglomerate 中空 hollow 粗糙 rough 光滑 smooth 毛绒 fluffy，nappy 球形 spherical 立方体 cubical 片状 platy，discal 柱状 perismoidal 鳞状 flaky 海绵状 spongy 块状 blocky 尖角状 sharp 圆角状 round 多孔 porous
q（ 0 Dp）
其中：
1
2
i
e
2 （Dp Dp） 2 2
（2.14）
Dp
N 式中 ni——直径为Dpi的颗粒数量；
[
N 2 ni (D pi D p )
nD
pi
（2.15）
1 2
]
（2.16）
N——颗粒总数；
Dp ——与累积含量为50%时的粒径相对应（Q0=0.5）。
De——特征粒径，表示颗粒宏观上的粗细程
度。
Q0 1 e 0.632，De定义为 当Dp =De时，即 ， 累积分数达63.2%时的粒径。
-1
第2章 粉末的性能与表征
依据表2.5数据， 绘制出粉末颗粒 的Rosin-Rammler 累积分布如图2.12 所示。
图2.12 粒径的Rosin-Rammler累积分布图
（nd ）
4 3
（nd ）
m
（nd ）
（ md ） m
第2章 粉末的性能与表征
续表2.7
5
平均 表面积径
平均 体积径 体积 长度径 重量矩个 数平均径 调和 平均径
Ds
（nd ） ຫໍສະໝຸດ Baidun
2
3
（nd ） n
2
ΦsDs2为平均颗粒表 面积
6
7 8 9
Dv
Dvd Dw Dh
4
平均比表面积
第2章 粉末的性能与表征
注： D1 D2= Ds2； D1 D2 D3= Dv3； D3= Dv3/ Ds2； D4= (Dw4/ Dv3) D2 D3= Dvd2； D4> D3> Dw>（D2= Dv= Dvd）> Ds> D1> Dh。
上述单一粒径和平均粒径的计算是为着不同的实际单元操作
第2章 粉末的性能与表征
【例1】设粉末由d1，d2，d3，d4，d5…di…dn颗粒组 成，每种颗粒个数对应为n1，n2，n3，n4，n5…nn，
试由颗粒总长这一特性推导其平均粒径。
解：颗粒群的总长可表示成式（2.25）：
n1d1+n2d2+n3d3+…ni di…nndn=∑(nd)=f(d ) d由D代替，得:
各平均粒径间的差别较大，可根据具体生产过程单元操作过
程、粒径范围、粒径应用的目的等选择应用。
对于分离操作系统的颗粒，最好选用重力沉降和离心沉降方
法测定颗粒的Stokes径，即按照沉降速度求相当径；
测量催化剂颗粒粒径时，最好采用比表面积及比表面积平均径。
第2章 粉末的性能与表征
高三轴径l、b、h之间的比值，导出下面形状指数：
扁平度=短径/高度=b/h （≥1） 长短度=长径/短径=l/b （≥1） (2.34) (2.35)
第2章 粉末的性能与表征
（2）与表面积或体积相关的形状指数 ① 体积充满度fv：表示外接长方体体积与颗粒体积Vp 之比，数学表达式: fv=l b h / Vp （≥1） 面积之比，数学表达式为： fb=A/ l b（≤1） ③球形度φ0：表示颗粒接近球体的程度。 (2.36) （2.35）
a ,
1
2
e
( a )2 2 2
（2.12）
式中: x——自变量； a——平均值；
σ——标准偏差。
第2章 粉末的性能与表征
图2.10 给出了不同参数的正态分布密度函数图形。其
中：a=0，σ=1为标准正正态分布，此时的正态分布函数 为式（2.13）：
a ,（ dx 1 x）
（ nd ） n
质量 基准
（m d （m d
2 3
物理意义（形状系 数φs、φv）
） ）
个数 1 平均径
长度 平 2 平均径 均 面积 径 3 平均径
体积 4 平均径
D2
D3 D4
（nd ）
2
（nd）
3
（m d （m d
）
2
长度、个数平均
）
Sw=φ(ρDs)为颗粒群 2 （m d ） （ nd ） 比面积
第2章 粉末的性能与表征
（2）对数正态分布
粉体的粒径分布有时也出现非对称分布，这时将正 态分布函数中的Dp和σ分别用ln D p和 lnσg取代，得到对 数正态频率分布函数式为（2.17）：
2 （lnDp lnDg） 2 ln2 g
q（lnDp）
0
1 2 ln g
e
dQ0 （2.17） d（lnDp）
（2.13）
a称为正态分布的位置参数，a愈大，函数图形越向右侧移 动。 σ的大小与曲线的形状有关，σ越小，曲线越尖陡，粒度分 布取值越集中，粒度分布越窄；σ越大，则相反。通常称σ为正
态分布的形状系数。
第2章 粉末的性能与表征
图2.10
正态分布函数图形
第2章 粉末的性能与表征
用正态分布函数表征粉体粒径分布时，x指颗粒粒径，a为 平均粒径 (Dp)，φ(x)表示颗粒x频率分布函数，是指颗粒数、质 量或其他参数对粒径的导数。若以个数为基准，粒径正态频率 分布函数式表示为：
Q0 1 e
达式为（2.22）：
n -bD p
（2.21）
1 在此基础上经过Bennet研究，取 b= D n ，则指数 e ， 一项可写成无因次项，既得到 RRB方程，累积分布表
第2章 粉末的性能与表征
Q0 1 e
（ Dp De ）
n
（2.22）
式中: n——均匀性指数，表示粒径分布范围的宽 窄，与 粉体物料的性质及其粉碎设备 有关， 对于同一种粉体，n为常数；
可采用实用球形度来衡量。实用球形度用式(2.38)表示： φ0´=与颗粒投影面积相等圆直径/颗粒投影的最 小外接圆直径（≤1） （2.38）
表2.9为理论计算的一部分形状规则颗粒的球形度值和少数几 种物料的实测球形度值。
第2章 粉末的性能与表征
表2.9 各种颗粒的球形度
颗粒形状(物料名称
（3）Rosin-Rammler（WEIBULL）分布 粉碎后粒径分布范围很宽 的细粉，利用对数正 态分布函数计算时偏差仍然很大。Rosin、Rammler和 Sperling等人通过对煤粉、水泥等物料粉碎实验的概 率和统计理论研究归纳出用指数函数表示的粒径分布 关系式，称为RRS方程。累积分布表达式(2.21)为：
第2章 粉末的性能与表征
2.1.4.2 形状指数和形状系数 1） 形状指数
通常将表示颗粒外形的几何量的各种无因次组合 称为形状指数(Shape Index)。 除特殊情况需要三种尺寸以外，一般至少需要两 种数据及其组合。常使用的数据包括三轴方向颗粒大 小的代表值、二维图像投影的轮廓曲线，以及表面积 和体积等立体几何各有关数据。
（m d） （m d ）
3
3
（m d ）
3
m
（nd ） （nd ）
3
（m d
m
2
）
ΦvDv3是平均颗粒的体 3 1（ p v Dv ） 积， 是单位质 量含有的颗粒数
（nd ） n
4
4
（m d） （m d ）
3
（n
n
d）
4 （ m d ）
3 （ m d ）
第2章 粉末的性能与表征
2.1.2.4 粒径分布函数
1
正态分布
2
对数正态分布
Rosin-Rammler (WEIBULL分布）
3
第2章 粉末的性能与表征
（1）正态分布
自然界中，凡是随机现象均是许多偶然因素共同作用的
总和，一切随机现象都具有其必然性，即它们出现的频率总 是符合统计规律地在某个常数附近摆动，这个随机现象的概 率模型就是正态分布。 正态分布的概率密度函数（频率分布的函数）由式 （2.12）给出：
第2章 粉末的性能与表征
式2.17的频率分布函数也可转变为累积分布函数，如式 （2.18）：
Q0
1 2 ln g
Dp
0
e
2 （lnDp lnDg） 2 ln2 g
d（lnDp )
（2.18）
几何平均粒径Dg和几何标准偏差σg分别由式(2.19)和式(2.20) 给出：
lnDg
i
n lnD
n1 D1+n2 D2+n3 D3+…ni Di…nnDn =∑(nD)=D∑n=f(D )
(2.25)
将全部颗粒视为粒径为D均一颗粒，式(2.25)中的
(2.26)
第2章 粉末的性能与表征
由f(d )= f(D )可得 ∑（nd）= D∑n （2.27） （2.28）
整理（2.27）式可得式（2.28）：
②面积充满度fb：表示颗粒投影面积A与最小外接矩形
第2章 粉末的性能与表征
球形度φ0是一个应用较广泛的形状系数，定义为：
一个与待测颗粒体积相等的球体表面积与该颗粒的表 面积之比。表达式为（2.37）
φ0 =与颗粒体积相等的球体表面积/颗粒表面积 (2.37)
对于形状不规则颗粒，当测定其表面积比较困难时，
2.1.4 颗粒的形状 2.1.4.1 颗粒形状的概念
颗粒形状是指一个颗粒的轮廓边界或表面上各点 所构成图像，它是除粒径外，颗粒的另一几何特征。 颗粒的形状对粉末体的许多性质均有直接的影响。
粉体的比表面积 、流动性、压缩 性、填充性、研 磨性、化学活性 以及涂料的覆盖 能力等
直接与粉末在混 合、压制、烧结 、储存、运输等 单元过程行为有 关。
2 2 i i 3 i p i
当全部颗粒视为边长为D的立方体时：定义函数 为式为： （6nD2） （6nD2） f（D） （2.30）
n p D 3 m
由f(d )= f(D )可得出式（2.31）：
（ 6nd ）
2
m
=
（6nD ）
2
m
(2.31)
第2章 粉末的性能与表征
RRB能比较好的反应工业上粉磨产品的粒径分布
特性，被广泛使用。
第2章 粉末的性能与表征
2.1.3 平均粒径
设颗粒群粒径分别为：d1，d2，d3，d4，d5…di…dn 组成的集合体，其物理特性可表示为函数f(d)，f(d) 由组成粉体的各个粒径函数的加成表示，关系式为 (2.24)： f(d)= f(d1)+ f(d2)+ f(d3)+… + f(dn) （2.24） 若将粒径不等颗粒群想象成由平均粒径D均一球 形颗粒组成，那么其物理特性可表示为f(d)= f(D)。 基于上述定义，可以推导出以个数为基准和质 量为基准的平均径计算公式。
i
pi
N
（2.19）
2
n （ln D ln D ） ln
pi g g
N
（2.20）
第2章 粉末的性能与表征
依据表2.5数据，绘制出图2.11粒径的对数正态分布图。虚 线和实线分别表示以质量为基准和以数量为基准，显然两者分 布明显不同。
图2.11
粒径的对数正态分布
第2章 粉末的性能与表征
将方程式（2.31）两边同乘以ρpD，整理得：
D m
p nd 2 m
3 [ ( d p n) d ]
m
(m d )
(2.32)
式(2.32) 以质量为基准粉体平均粒径计算公式。
第2章 粉末的性能与表征
表2.7个数基准和质量基准的平均粒径式 序号 平均径 名称 符 号 D1 个数 基准
D =∑(nd) /∑n 此粒径即为以个数为基准的个数平均径。 【例2】设颗粒是边长为d的立方体，颗粒群的总质 量为∑m，颗粒密度为ρp，试由比表面积的定义函数求
平均粒径。
第2章 粉末的性能与表征
解：比表面积定义为：
（ 6n d ） （ 6nd ） f(d )= n d (2.29) m
第2章 粉末的性能与表征
常用的形状指数有三种：
与外形尺寸相关的 形状指数 与表面积或体积相关的 形状指数 与颗粒投影周长相关的 形状指数
形状指数
第2章 粉末的性能与表征
（1）与颗粒外形尺寸相关的形状指数 均齐度：一个不规则的颗粒放在一平面上，一 般情形是颗粒的最大投影面（也就是最稳定的平面） 与支撑平面相黏合。这时颗粒具有最大的稳定度。 以长方体为颗粒的基准几何形状，根据长、宽、
第2章 粉末的性能与表征
严格地说，所测得粒径，只是一种定性表示。常用
各种形状因数表示颗粒形状特征。 描述颗粒 形状的方法
语言术语
数学术语
第2章 粉末的性能与表征
表2.8 颗粒形状的基本术语（语言术语） 粒状 granular 棒状 rodlike 针状 needlelike 纤维状 fibrous 树枝状 dendritic 聚集体 agglomerate 中空 hollow 粗糙 rough 光滑 smooth 毛绒 fluffy，nappy 球形 spherical 立方体 cubical 片状 platy，discal 柱状 perismoidal 鳞状 flaky 海绵状 spongy 块状 blocky 尖角状 sharp 圆角状 round 多孔 porous
q（ 0 Dp）
其中：
1
2
i
e
2 （Dp Dp） 2 2
（2.14）
Dp
N 式中 ni——直径为Dpi的颗粒数量；
[
N 2 ni (D pi D p )
nD
pi
（2.15）
1 2
]
（2.16）
N——颗粒总数；
Dp ——与累积含量为50%时的粒径相对应（Q0=0.5）。
De——特征粒径，表示颗粒宏观上的粗细程
度。
Q0 1 e 0.632，De定义为 当Dp =De时，即 ， 累积分数达63.2%时的粒径。
-1
第2章 粉末的性能与表征
依据表2.5数据， 绘制出粉末颗粒 的Rosin-Rammler 累积分布如图2.12 所示。
图2.12 粒径的Rosin-Rammler累积分布图
（nd ）
4 3
（nd ）
m
（nd ）
（ md ） m
第2章 粉末的性能与表征
续表2.7
5
平均 表面积径
平均 体积径 体积 长度径 重量矩个 数平均径 调和 平均径
Ds
（nd ） ຫໍສະໝຸດ Baidun
2
3
（nd ） n
2
ΦsDs2为平均颗粒表 面积
6
7 8 9
Dv
Dvd Dw Dh
4
平均比表面积
第2章 粉末的性能与表征
注： D1 D2= Ds2； D1 D2 D3= Dv3； D3= Dv3/ Ds2； D4= (Dw4/ Dv3) D2 D3= Dvd2； D4> D3> Dw>（D2= Dv= Dvd）> Ds> D1> Dh。
上述单一粒径和平均粒径的计算是为着不同的实际单元操作
第2章 粉末的性能与表征
【例1】设粉末由d1，d2，d3，d4，d5…di…dn颗粒组 成，每种颗粒个数对应为n1，n2，n3，n4，n5…nn，
试由颗粒总长这一特性推导其平均粒径。
解：颗粒群的总长可表示成式（2.25）：
n1d1+n2d2+n3d3+…ni di…nndn=∑(nd)=f(d ) d由D代替，得: