1_2.5.与圆有关的比例线段(切割线定理)

使割线PA绕P点 运动到切线的位 置，是否还有 PA∙PB=PC∙PD？
C D P
O A(B)
如图,已知点P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，割线PCD 交 ⊙O于C、D. 求证：PA2=PC∙PD.
A
P
O
C
证明：连接AC、AD， ∵PA切⊙O于点A,∴∠D= ∠PAC. 又 ∠P=∠P, ∴ △PAC∽ △ PDA. ∴ PA ：PD=PC ：PA. ∴PA2= PC∙PD.
问题2 在图1中,使线段AC绕A旋转，得到图2.其中EC 交圆于G,DC交圆于F.此时又能推出哪些结论？
问题2 在图1中,使线段AC绕A旋转，得到图2.其中 EC交圆于G,DC交圆于F.此时又能推出哪些结论？
B B
E
A D C O A
图1
E
D
F
O
G
图2
探究2:连接FG.与探究1所得到的结论相比较, 可以猜想△ACD∽△AEC.下面给出证明. ∵AB2=AD•AE,而AB=AC, ∴ AC2=AD•AE, 而∠CAD=∠EAC, ∴△ADC∽△ACE. ……(5) 同探究1的思路，还可得到探究1得出的结论(2)(3)(4). 另一方面，由于F、G、E、D四点共圆. ∴∠CFG=∠AEC. 又∵∠ACF=∠AEC.∴∠CFG=∠ACF. 故FG//AC. ……(6)
五 与圆有关的比例线段
T A B O C D P
一、下面我们首先沿用从特殊到一般的思路,讨论与圆 有关的相交弦的问题. 探究1:如图1,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,AB与CD相交于P,
线段PA、PB、PC、PD之间有什么关系？
证明:连接AD、BC.
D
图1
则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C. ∴Rt△APD∽Rt△CPB.
A G
D F
∵∠DFE=∠EFA（公共角）, ∴ △DFE∽△EFA.
∴EF2 =FG2 ,即FG=EF.
例3 如图，两圆相交于A、B两点，P 为两圆公共弦AB上任意一点，从P引 两圆的切线PC、PD，求证：PC=PD. 证明：由切割线定理可得： PC2=PA∙PB, PD2=PA∙PB. ∴PC2=PD2. 即PC=PD．
代数、几何等知识的联系及应用
B A C
3
O
2 m
P
解：（1）由切割线定理，得 PC ∙ PD=PA ∙ PB ∵AB=3, PA=2,∴PB=AB+PA=5.
4
E
设PC=m, ∵CD=4 , PD=PC+CD=m+4. ∴m（m+4）=2×5 化简，整理得：m2+4m−10=0 (负数不合题意，舍去)
D
解得：
（2）设CE=a,试用含a的代数式表示DE. 由切割线定理得: PE² =PC∙PD=PA∙PB=10.
相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段
长的积相等.
D P A O C
B
几何语言： AB 、 CD是圆内 的任意两条相交弦,交点为P, ∴PA•PB=PC•PD.
上面通过考察相交弦交角变化中有 关线段的关系，得出相交弦定理. 下面从新的角度考察与圆有关的比 例线段．
探究4:使圆的两条弦的交点从圆内（图３）运动到圆 上（图４），再到圆外（图５），结论(1)还成立吗？
P B
D
A C
例4 如图，AB是⊙O的直径，过A、B引两条弦AD和BE， 相交于点C．求证：AC· AD+BC· BE=AB2． 证明：连接AC、AD，过C作CF⊥AB,与AB交于F． D ∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=900. E C 0 又∵ ∠AFC=90 , ∴ A、F、C、E四点共圆. ∴ BC•BE=BF•BA. ………(1) A FO 同理可证F、B、D、C四点共圆. ∴ AC•AD=AF•AB. ………(2) (1)+(2)可得 AC•AD+BC•BE= AB(AF+BF)=AB2.
2.联系直角三角形中的射影定理，你还能想到什么？
C D O
C
B
A
C′
A
D
B
说明了“射影定理”是“相交弦定理”和“切割线定理”的 特例！
例1 如图,圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P, 已知PA=PB=4,PC=PD/4.求CD的长.
解：设CD=x,则PD=4/5x,PC=1/5x. 由相交弦定理，得PA∙PB=PC∙PD, ∴4×4=1/5x•4/5x,解得x=10. ∴CD=10.
C
你还能推出其他结论吗？
问题3 在图2中,使线段AC继续绕A旋转，使割线CFD 变成切线CD,得到图3. 此时又能推出哪些结论？
B B
E
A D F C G O
图2
D
E O
图3
A
Q
G P C
探究3:可以推出探究1、2中得到的(1)——(6)的所有结论. 此外， ∵AC//DG.
∵ △ADC∽△ACE.
B
例5 如图，AB、AC是⊙O的切线，ADE 是⊙O的割线，连接CD、BD 、BE 、CE.
A 问题1:由上述条件能推出哪些结论？ D
B E O
图1
探究1:由已知条件可知∠ACD=∠AEC,
C 而∠CAD=∠EAC, ∴△ADC∽△ACE. ……(1) ∴ CD:CE=AC:AE, ∴CD•AE=AC•CE. ………(2) 同理可证BD•AE=AC•CE. …………………… (3) ∵AC=AB,∴由(2)(3)可得BE•CD=BD•CE. ………(4)
复习回顾
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半． 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． 推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 反之，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反之，９ ０°的圆周角所对的弦是直径． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
D
切割线定理:从圆外一点引圆的切线和一条割线,切线 长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项 .
应用格式（几何语言描述）: ∵PA是⊙O 的切线,PCD是⊙O 的割线,∴ PA² =PC∙PD.
探究5:使圆的割线PD绕点P运动到切线位置，可 以得出什么结论？
C P
B
C D 图5 O P
O
A
图3
B
A
P C
O
探究2:将图１中的AB向上（或向下）平移,使AB不再是
直径（如图２），结论（１）还成立吗？
D
图１
D
图２
A B
P
B
A
P C
O
O C
PA·PB=PC·PD……(1)
证明:连接AD、BC. 则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C. ∴Rt△APD∽Rt△CPB.
探究3:上面讨论了CD⊥AB的情形．进一步地,如果CD 与AB不
由(7)(8)两式可得：AC•CD=AE•CG. ……… (9) 连接BD、BE,延长GC到P,延长BD交AC于Q,则 ∠PCQ=∠PGD ∠DBE,所以C、E、B、Q四点共圆.
你还能推出其他结论吗？
练习4. 如图,过⊙O外一点P作两条割线, 分别交 ⊙O于点A、B和 C、D. 再作⊙O的切线PE, E为切点, 连接CE、DE. 已知 AB=3cm,PA=2cm,CD=4cm. （1）求PC的长 ; （2）设CE=a,试用 含a的代数式表示DE.
D
图3
B
D
图4
B
D
图5
B
P
A O C
O
O
(C,P) A
C
A
当点P在圆上,PA=PC=0,所以PA•PB=PC•PD=0仍成立.
P
当点P在圆外,连接AD、BC,容易证明:
△PAD∽△PCB,所以PA:PC=PD:PB, 即PA•PB=PC•PD仍成立.
如图,已知点P为⊙O外一点,割线PBA、PDC分别交 ⊙O于A、B和C、D. 求证:PA∙PB=PC∙PD.
P
由弦切角定理,得∠CEP=∠D. 又∵ ∠CPE=∠EPD（公共角）. ∴△CPE∽△EPD.
m
O C
4
a
E
D
练习5.如图：过点A作⊙O的两条割线,分别交⊙O于B、C和 D、E. 已知AD=4,DE=2, CE=5,AB=BC. 求AB、BD. 5 3 AB = 2 3, BD = . 3
E
D
A B C O
C
C
D
O B
P O A
P
D
A
O B A
割线PCD、PAB交⊙O 于点C、D和A、B => PA∙PB=PC∙PD 割线定理 P
P
B
AB交CD于点P => PA∙PB=PC∙PD 相交弦定理 C(D) O A(B)
PC切⊙O于点C
=> PA∙PB=PC² 切割线定理
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另外，从全等角度可以得到：
PA 、PC分别切⊙O于点A 、C => PA=PC,∠APO=∠CPO切线长定理
A
P B
O
C
练习6.如图：PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线.已知⊙O 的半径为8，PB=4，PC=9.求PA、PO.
PA = 6, PO = 2 + 8 = 10.
课堂小结
1、这节课我们学习了割线定理、切割线定理、切线长 定理，要特别注意它与相交弦定理之间的联系与区别。 2、要注意圆中的比例线段的结论的特点及实际中的用。 3、圆中的比例线段在实际应用中也非常重要，注意与
C D
O
B A
证法2：连接AC、BD， ∵四边形ABDC为⊙O 的内 P 接四边形, ∴∠PDB= ∠A， 又 ∠P=∠P, ∴ △PBD∽ △ PCA. ∴ PD ：PA=PB ：PC. ∴ PA∙PB=PC∙PD.
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条 割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.
A
C
P O
B
D
练习1.如图,割线PAB,PCD分别交圆于A,B和C,D. (1)已知PA=5,PB=8,PC=4,则PD=10,PT= (2)已知PA=5,PB=8,PO=7,则半径R= 3
T B
PA· PB=(7-R) · (7+R)
C
A
O D
P
O
D P
E
B
C
A
练习2.如图,割线PAB,PCD分别交圆于A,B和 C,D,连结AC,BD,下面各比例式中成立的有:
△PAC∽ △ PDB △PAD∽ △ PCB △BED∽ △ AEC
练习3.如图,A是⊙O上一点,过A切线交直径CB的延长线于 点P,AD⊥BC，D为垂足.求证：PB :PD=PO:PC. 分析：要证明PB ：PD=PO ：PC ,很 A 明显PB、PD、PO、PC在同一直线 上无法直接用相似证明，且在圆里的 比例线段通常化为乘积式来证明,所 C P B D O 以可以通过证明PB • PC=PD • PO,而 由切割线定理有PA2=PB • PC,只需再 证PA2=PD • PO，而PA为切线,所以 连接OA,由射影定理 得到.
垂直，如图３, AB 、CD是圆内的任意两条相交弦,结论（１）还 成立吗？
D
图１
D
图２
D
B
图３
B
A B
A
P O C
P A O C
PA·PB=PC·PD……(3)
P C
O
PA·PB=PC·PD……(1)
PA·PB=PC·PD……(2)
证明:连接AD、BC. 则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C. ∴△APD∽△CPB. 综上所述，不论AB 、 CD具有什么样的位置， 都有结论（１）成立！
例2 如图,E是圆内两弦AB和CD的交点，直线 EF//CB,交AD的延长线于点F，FG切圆于点G. 求证：(1) △DFE∽△EFA; (2)EF=FG.
C
O E B
证明： (1)∵EF//CB, ∴∠DEF=∠DCB. ∵∠DCB和∠DAB都是 上的圆周角. ∴∠DAB =∠DCB=∠DEF. (2)由(1)知 ∴ △DFE∽△EFA， ∴EF2 =FA•FD. 又∵FG是圆的切线， ∴FG2 =FA•FD.
应用格式（几何语言描述）:
∵PAB,PCD是⊙O 的割线,∴ PA∙PB=PC∙PD.
C
B
C D 图5 P O B A PA∙PB=PC∙PD
P
O
点P从圆内移动到圆外
D
A
图3 PA∙PB=PC∙PD
证明:连接AC、AD,同样可以证明 △PAD∽△PCA, 所以PA:PC=PD:PA, 即PA2=PC•PD仍成立.
点P从圆内移 D 动到圆外.
B
A 割线定理PA∙PB=PC∙PD
相交弦定理PA∙PB=PC∙PD
C(D) P 使割线PC绕P 点也运动到 切线的位置. A(B) 切线长定理 PA=PC,∠APO=∠CPO
使割线PA绕P 点运动到切 线的位置.
C O A(B) 切割线定理PA2=PC•PD D P
O
思考：从这几个定理的结论里大家能发现什么共同点？ 1.结论都为乘积式; 2.几条线段都是从同一点出发; 3.都是通过三角形相似来证明（都隐含着三角形相似） . C