云南省保山曙光学校高二数学《简单的线性规划问题第二课时》教学设计

3.3.2简单的线性规划问题（第二课时）

一、教学过程

1.课题导入

[复习提问]

1、二元一次不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示什么图形？

2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？

3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。

2.讲授新课

在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。

1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：

引例：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

（1）用不等式组表示问题中的限制条件：

设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：

2841641200

x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ ……………………………………………

(1)

（2）画出不等式组所表示的平面区域：

如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。

（3）提出新问题：

进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？

（4）尝试解答：

设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为：

当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？

把z=2x+3y 变形为233z y x =-+，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为3z 的直线。当z 变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给

定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（2833

y x =-

+），这说明，截距3z 可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线233

z y x =-+与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距3z 最大时，z 取得最大值。因此，问题可以转化为当直线

233z y x =-+与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P ，使直线经过点P 时截距3

z 最大。 （5）获得结果：

由上图可以看出，当实现233z y x =-

+金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M （4，2）时，截距3z 的值最大，最大值为143

，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。

2、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x 、y 的一次式z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

3、 变换条件，加深理解

探究：课本第100页的探究活动

（1） 在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有

应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。

（2） 有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？

例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ？

指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.

例2、在上一节例3中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元。那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最高多？

指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一

结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法：

简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解

二、课堂目标检测

课本第91页练习T2.

三、课堂小结

线性规划的两类重要实际问题的解题思路：

1、应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数。

2、用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值

的解。

3、要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。