新高考数学考点32 统计与古典概型考点分类讲义练习题附解析2

合集下载

新高考数学考点32 统计与古典概型考点分类讲义练习题附解析2

题型二、古典概率
5
1、（2020 届山东省日照市高三上期末联考）两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为
6 3
和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
4
1
A．
2
1
B．
3
5
C．
12
1
D．
6
2、（2020 届山东省潍坊市高三上期中）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上
A．55
B．80
C．90
D．110
3、（2019 年 11 月中学生标准学术能力诊断性测试测试文科数学试题）某单位 200 名职工的年龄分布情况
如图所示，现要从中抽取 25 名职工进行问卷调查，若采用分层抽样方法，则 40 ~ 50 岁年龄段应抽取的人
数是（）
A． 7
B． 8
C． 9
D． 10
5、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）由我国引领的 5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括
等枚举法。 5、在含有“至多”“至少”问题中，要善于运用对立事件的概率求解。
三年高考真题
1、【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位，阅读过《西
5
A．
9
4
B．
9
7
C．
16
9 D．
16
5、（2020 届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒

高中数学第三章概率3.2古典概型3.2.1古典概型优化练习新人教A版必修3(2021年整理)

2017-2018学年高中数学第三章概率3.2 古典概型3.2.1 古典概型优化练习新人教A版必修3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三章概率3.2 古典概型3.2.1 古典概型优化练习新人教A版必修3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第三章概率3.2 古典概型3.2.1 古典概型优化练习新人教A版必修3的全部内容。

3。

2。

1 古典概型［课时作业］[A组学业水平达标]1．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有( ）A．（男，女)，（男,男），(女，女）B．(男，女）,(女，男）C．（男，男)，（男,女)，（女，男)，（女，女）D．（男，男），（女，女)解析：由于两个孩子出生有先后之分．答案：C2．下列试验中，是古典概型的为（)A．种下一粒花生,观察它是否发芽B．向正方形ABCD内,任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合C．从1，2,3，4四个数中，任取两个数,求所取两数之一是2的概率D．在区间［0,5]内任取一点，求此点小于2的概率解析：对于A，发芽与不发芽的概率一般不相等，不满足等可能性；对于B,正方形内点的个数有无限多个,不满足有限性;对于C，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于D，区间内的点有无限多个，不满足有限性,故选C。

答案:C3．甲,乙,丙三名学生随机站在一排，则甲站在边上的概率为（)A。

错误! B.错误!C。

错误! D.错误!解析:甲，乙，丙三名学生随机站成一排,基本事件有：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6个，甲站在边上包含的基本事件有:甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，共4个，所以甲站在边上的概率P＝错误!＝错误!＝错误!。

人教A版高中数学必修三第三章3.2古典概型2 答案和解析

人教A版高中数学必修三第三章3.2古典概型2 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．掷一枚骰子，观察掷出的点数,则掷出的点数为偶数的概率为()A．13B．14C．12D．232．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A．12B．13C．14D．163．从分别写有,,,,A B C D E的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为（）A．15B．25C．310D．7104．在第1、3、6、8、16路公共汽车都要停靠的一个站（假设这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第6路或第16路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性都是相等，则首先到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于A．12B．23C．35D．255．(2017广西玉林一模)有两张卡片,一张的正反面分别画着老鼠和小鸡,另一张的正反面分别画着老鹰和蛇,现在有两个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上,不考虑顺序,则向上的图案是老鹰和小鸡的概率是()A．12B．13C．14D．16二、填空题6．一个家庭中有两个小孩,若生男还是生女是等可能的,则此家庭中两小孩均为女孩的概率为_____.7．袋子中装有分别标注数字为1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出两个小球，则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率是__________．8．盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个,若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率为_____.9．从集合A={-1,1,2}中随机选取一个数记为k,从集合B={-2,1,2}中随机选取一个数记为b,则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为_____.三、解答题10．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.11．小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏,规则:小王先掷一枚骰子,向上的点数记为x;小李后掷一枚骰子,向上的点数记为y,(1)在直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点共有几个?试求点(x,y)落在直线x+y=7上的概率;(2)规定:若x+y≥10,则小王赢;若x+y≤4,则小李赢,其他情况不分输赢.试问这个游戏规则公平吗?请说明理由.参考答案1．C【解析】掷出的所有可能点数为1,2,3,4,5,6，其中偶数为2,4,6.∴P ＝36＝12，故选C. 2．B【解析】解法一：由排列组合知识可知，所求概率24213P C ==；解法二：任取两个数可能出现的情况为（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）；符合条件的情况为（1,3）、（2,4），故13P =. 【学科网考点定位】本题考查古典概型的概率运算，考查学生的基本运算能力.3．B【分析】分别求出从5张卡片中任取2张的取法总数和字母相邻的种数，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】从5张卡片中任取2张，共有：2510C =种取法其中字母相邻的有：AB ，BC ，CD ，DE ，共4种情况∴所求概率42105P == 本题正确选项：B【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.4．D【解析】试题分析：根据题意，在本站停靠的公共汽车共有5辆，正好是这位乘客所需求的汽车有2辆，根据古典概型的计算公式得正好是这位乘客所需求的汽车的概率是25。

2021学年高中数学第3章概率32古典概型321古典概型322整数值随机数randomnumber

19
0.35 [ 抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的有 010,010,100,100,010,001,100 共 7 组，则抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率可以为270＝0.35.]
20
合作探究释疑难
21
基本事件及其计数问题
【例 1】连续掷 3 枚硬币，观察落地后 3 枚硬币是正面向上还是反面向上．
(1)写出这个试验的所有基本事件； (2)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？
22
[解] (1)由树形图表示如下：
23
试验的所有基本事件为(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．
(2)“恰有两枚正面朝上”包含以下 3 个基本事件：(正，正，反)， (正，反，正)，(反，正，正)．
(2)若把所取出卡片的标号之和作为基本事件，则共有多少个基本事件？是古典概型吗？
(3)求所取卡片标号之和小于 4 的概率．
30
思路点拨：先列举出基本事件，紧扣古典概型的特点加以判断，再用古典概型概率公式求相应概率．
31
[解] (1)基本事件为(红 1，红 2)，(红 1，红 3)，(红 1，蓝 1)，(红 1，蓝 2)，(红 2，红 3)，(红 2，蓝 1)，(红 2，蓝 2)，(红 3，蓝 1)，(红 3，蓝 2)，(蓝 1，蓝 2)共 10 种，由于基本事件个数有限，且每个基本事件发生的可能性相同，所以是古典概型．
3．理解用模拟方法估计概率的实质，率，提升数学抽象素养.
会用模拟方法估计概率．(重点)
4
自主预习探新知

【高中教育】人教A版高中数学必修三3.2.1古典概型及解析.docx

课时训练18 古典概型一、基本事件的计数问题1.在1,2,3,4,5这5个数字中,同时任取两个数,则有个基本事件,其中“两数都是奇数”有个基本事件.答案:10 3解析:一共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10个基本事件,两数都是奇数包含(1,3),(1,5),(3,5)3个基本事件.二、古典概型的概率求法2.下列试验中是古典概型的是()A.在适宜的条件下,种下一粒种子,观察它是否发芽B.在一口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取一球C.向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点都是等可能的D.甲、乙两队进行一场足球赛,甲队比赛结果为甲队赢、平局、甲队输答案:B解析:对于A,发芽与不发芽概率不同;对于B,摸到白球与黑球的概率相同,均为;对于C,基本事件有无限个;对于D,由于受甲、乙两队运动员水平的影响,甲队赢、输、平局的概率不相等,因而选B.3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A.B.C.D.答案:B解析:由题意知总事件数为6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件数是2,所以所求的概率为.4.一枚均匀的硬币连续掷三次,则至少出现一次正面向上的概率是()A. B. C. D.答案:A解析:一枚均匀的硬币连续掷三次,出现的所有可能情况是(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反),共8种,至少出现一次正面的有7种,所以所求概率为.5.(2015山东潍坊高一检测)已知集合A={-1,0,1},点P(x,y),其中x∈A,y∈A,记点P落在第一象限为事件M,则P(M)=()A.B.C.D.答案:C解析:所有可能的点是(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个,其中在第一象限的有1个,因此P(M)=.6.(2015山东高考,文16改编)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)(1)从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为;(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,A1被选中且B1未被选中的概率为.答案:(1)(2)解析:(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社团的共有45-30=15人.所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P=.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},共15个.根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个.因此A1被选中且B1未被选中的概率为P=.7.(2015湖南高考,文16)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果.(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.解:(1)所有可能的摸出结果是{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1} ,{B,b2}.(2)不正确.理由如下:由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1,a1},{A1,a2},{A2,a1},{A2,a2},共4种,所以中奖的概率为,不中奖的概率为1-.故这种说法不正确.三、较复杂的古典概型的概率计算8.(2015安徽高考,文17改编)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].(1)频率分布直方图中a的值为;(2)该企业的职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为;(3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,此2人的评分都在[40,50)的概率为.答案:(1)0.006(2)0.4(3)解析:(1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所以a=0.006.(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)×10=0.4,所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有:50×0.006×10=3(人),记为A1,A2,A3;受访职工中评分在[40,50)的有:50×0.004×10=2(人),记为B1,B2.从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,即{B1,B2},故所求的概率为P=.(建议用时:30分钟)1.下列试验是古典概型的是()A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和为基本事件B.求任意一个正整数的平方的个位数字是6的概率,将取出的正整数作为基本事件C.从A地到B地有三条路可到达,求某人正好选中最短路线的概率D.袋中装有10个红球和8个白球,红球的体积是白球的2倍,从中取出一球,观察球的颜色答案:C2.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于()A.B.C.D.答案:B解析:掷两颗均匀的骰子,共有36种基本事件,点数之和为5的事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)4种,因此所求概率为,选B.3.从分别写有A,B,C,D,E的5张卡片中任取2张,这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是() A. B. C. D.答案:B解析:易知此为古典概型,且从5张卡片中任取2张,基本事件有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10个,其中恰为按字母顺序相邻的基本事件有AB,BC,CD,DE,共4个.故所求概率为.4.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为()A. B. C. D.答案:D解析:五人录用三人共有10种不同方式,分别为:{丙,丁,戊},{乙,丁,戊},{乙,丙,戊},{乙,丙,丁},{甲,丁,戊},{甲,丙,戊},{甲,丙,丁},{甲,乙,戊},{甲,乙,丁},{甲,乙,丙}.其中含甲或乙的情况有9种,故选D.5.已知f(x)=3x-2(x=1,2,3,4,5)的值构成集合A,g(x)=2x-1(x=1,2,3,4,5)的值构成集合B,任取x∈A∪B,则x∈A∩B的概率是()A. B. C. D.答案:B解析:根据条件可得A={1,4,7,10,13},B={1,2,4,8,16},于是A∪B={1,2,4,7,8,10,13,16},A∩B={1,4}.故任取x∈A∪B,则x∈A∩B的概率是.6.(2015江苏高考,5)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为.答案:解析:根据条件得P=或P=1-.7.把两封不同的信投入A,B两个信箱,A,B两信箱中各有一封信的概率为.答案:解析:分别记两封信为a,b,共有A中两封,B中无;A中a,B中b;A中b,B中a;A中无,B 中两封,4种情况.其中A,B各一封的有2种情况.故所求概率P=.8.甲、乙、丙三名同学上台领奖,从左到右按甲、乙、丙的顺序排列,则三人全都站错位置的概率是.答案:解析:基本事件为甲乙丙,甲丙乙,乙丙甲,乙甲丙,丙甲乙,丙乙甲,共6个;三人全站错的有乙丙甲,丙甲乙,共2个,故所求事件的概率为.9.柜子里有3双不同的鞋,随机地取出2只,记事件A表示“取出的鞋配不成对”;事件B表示“取出的鞋都是同一只脚的”;事件C表示“取出的鞋一只是左脚的,一只是右脚的,但配不成对”.事件A、事件B、事件C的概率分别为、、.答案:解析:设3双不同的鞋分别为x1x2,y1y2,z1z2.所以随机地取出2只的所有基本事件有:(x1,x2),(x1,y1),(x1,y2),(x1,z1),(x1,z2),(x2,y1),(x2,y2),(x2,z1),(x2,z2),(y1,y2),(y,z1),(y1,z2),(y2,z1),(y2,z2),(z1,z2)共15个.1事件A包含的基本事件有(x1,y1),(x1,y2),(x1,z1),(x1,z2),(x2,y1),(x2,y2),(x2,z1),(x2,z2),(y1,z1),(y1,z2),(y2,z1 ),(y2,z2)共12个,故P(A)=.事件B包含的基本事件有(x1,y1),(x1,z1),(x2,y2),(x2,z2),(y1,z1),(y2,z2)共6个,故P(B)=.事件C包含的基本事件有(x1,y2),(x1,z2),(x2,y1),(x2,z1),(y1,z2),(y2,z1)共6个,故P(C)=.10.(2015福建高考,文18)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标.根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率;(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.解法一:(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1,B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10个.其中,至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},共9个.所以所求的概率P=.(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.5×+5.5×+6.5×+7.5×=6.05.解法二:(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1,B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10个.其中,没有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是:{B1,B2},共1个.所以所求的概率P=1-.(2)同解法一.。

高中数学《3.2古典概型》2 新人教A版必修3

3.2.2 (整数值)随机数(random numbers) 的产生(选学)
【课标要求】 1．了解随机数的意义． 2．会用模拟方法(包括计算器产生随机数进行模拟)估计
概率． 3．理解用模拟方法估计概率的实质．【核心扫描】 1．利用随机数估计事件的概率．(重点) 2．设计恰当的试验产生随机数并加以利用．(难点)
44134 92201 70362 83005
94976 56173 34783 16624 30344 01117
(6分)
这就相当于做了 30 次试验，在这些数组中，如果恰有一
个 0，则表示恰有 4 棵成活，共有 9 组这样的数，于是我
(2)真正的随机数是使用物理手段产生的：比如抛掷硬币、使用电子元件的噪音、核裂变等．这样做虽然可以得到真正的随机数，但缺点是技术及使用成本都很高，且不易操作．
2．伪随机数的产生方法计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质．计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数，随机数表就是用计算机产生的随机数表格．随机数表中每个位置上出现哪一个数字是等可能的．如上面我们从全班50名学生中抽取8名学生的方法，也可以用随机数表法选取．我们可以用随机函数产生1～50间的8个随机数(排除后面产生的与前面相同的数)来作为抽取 8名学生的号码．
名师点睛
1．随机数的产生方法 (1)方法一：用带有PRB功能的计算器用计算器产生随机数的随机函数RANDI(a，b)可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数． (2)方法二：用计算机利用计算机的随机函数RANDBETWEEN(a，b)产生从整数a到整数b的取整数值的随机数．温馨提示 (1)计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性，它们具有类似随机数的性质．因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数．

新高考核心考点与题型概率第2讲古典概型 - 解析

第2讲古典概型【考情考向分析】全国卷对古典概型每年都会考查，主要考查实际背景的可能事件，通常与互斥事件、对立事件一起考查．在高考中单独命题时，通常以选择题、填空题形式出现，属于中低档题；与统计等知识结合在一起考查时，以解答题形式出现，属中档题。

知识梳理1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型具有以下两个特征(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.如从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率.(2)每一个试验结果出现的可能性相同.如向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；3.如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n .4.古典概型的概率公式P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数.[微点提醒]概率的一般加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，易忽视只有当A ∩B ＝∪，即A ，B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，此时P (A ∩B )＝0.考点一基本事件及古典概型的判断【例1】袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球.(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？ (2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法.因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型. (2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A ：“摸到白球”，B ：“摸到黑球”，C ：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为511，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为311，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型. 规律方法古典概型中基本事件个数的探求方法：(1)枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时(x ，y )可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同.(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件个数时，可利用排列或组合的知识.【变式】甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽1张. (1)写出甲、乙抽到牌的所有情况.(2)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙大，则甲胜，否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？解 (1)设(i ，j )表示(甲抽到的牌的数字，乙抽到的牌的数字)，则甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示)为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种.(2)由(1)可知甲抽到的牌的牌面数字比乙大有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况，∪甲胜的概率p ＝512，∪512≠12，∪此游戏不公平.考点二简单的古典概型的概率【例2】 (1)两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为( ) A.12B.14C.13D.16(2)设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为________.解析 (1)两名同学分3本不同的书，基本事件有(0，3)，(1a ，2)，(1b ，2)，(1c ，2)，(2，1a )，(2，1b )，(2，1c )，(3，0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，∪一人没有分到书，另一人分得3本书的概率p ＝28＝14.(2)袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，基本事件总数n ＝6×6＝36，取出此2球所得分数之和为3分，包含第一次抽到红球，第二次抽到黄球或者第一次抽到黄球，第二次抽到红球，基本事件个数m ＝2×3＋3×2＝12，所以取出此2球所得分数之和为3分的概率p ＝m n ＝1236＝13.规律方法计算古典概型事件的概率可分三步：(1)计算基本事件总个数n ；(2)计算事件A 所包含的基本事件的个数m ；(3)代入公式求出概率p .【变式1】同学聚会上，某同学从《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为( ) A.13B.12C.23D.56【变式2】用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，若用a 1，a 2，a 3，a 4，a 5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位数字，则出现a 1<a 2<a 3>a 4>a 5的五位数的概率为________.解析 (1)从四首歌中任选两首共有C 24＝6种选法，不选取《爱你一万年》的方法有C 23＝3种，故所求的概率为p ＝36＝12.(2)用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，基本事件总数n ＝A 55，用a 1，a 2，a 3，a 4，a 5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位数字，出现a 1<a 2<a 3>a 4>a 5的五位数有：12543，13542，23541，34521，24531，14532，共6个，∪出现a 1<a 2<a 3>a 4>a 5的五位数的概率p ＝6A 55＝120.考点三古典概型的交汇问题多维探究角度1 古典概型与平面向量的交汇【例1】设平面向量a ＝(m ，1)，b ＝(2，n )，其中m ，n ∪{1，2，3，4}，记“a ∪(a －b )”为事件A ，则事件A 发生的概率为( ) A.18B.14C.13D.12解析有序数对(m ，n )的所有可能情况为4×4＝16个，由a ∪(a －b )得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2.由于m ，n ∪{1，2，3，4}，故事件A 包含的基本事件为(2，1)和(3，4)，共2个，所以P (A )＝216＝18.角度2 古典概型与解析几何的交汇【例2】将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________.解析依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有6×6＝36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即满足2aa 2＋b2≤2，即a ≤b 的数组(a ，b )有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，…，(6，6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率为2136＝712.角度3 古典概型与函数的交汇【例3】已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( ) A.79B.13C.59D.23解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，由题意知f ′(x )＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a 2－b 2)>0，∪a >b ，有序数对(a ，b )所有结果为3×3＝9种，其中满足a >b 有(1，0)，(2，0)，(3，0)，(2，1)，(3，1)，(3，2)共6种，故所求概率p ＝69＝23.角度4 古典概型与统计的交汇【例4】某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.(注：分组区间为[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率.解 (1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45. (2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530＋45＝115，所以样本中包含的男生人数为30×115＝2，女生人数为45×115＝3.则从5人中任意选取2人共有C 25＝10种，抽取的2人中没有一名男生有C 23＝3种，则至少有一名男生有C 25－C 23＝7种.故至少有一名男生的概率为p ＝710，即选取的2人中至少有一名男生的概率为710. 规律方法求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，一般步骤为：(1)将题目条件中的相关知识转化为事件； (2)判断事件是否为古典概型； (3)选用合适的方法确定基本事件个数； (4)代入古典概型的概率公式求解.【变式】已知某中学高三理科班学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取学生n 人，成绩分为A (优秀)，B (良好)，C (及格)三个等级，设x ，y 分别表示数学成绩与物理成绩，例如：表中物理成绩为A 等级的共有14＋40＋10＝64人，数学成绩为B 等级且物理成绩为C 等级的共有8人.已知x 与y 均为A 等级的概率是0.07.(1)设在该样本中，数学成绩的优秀率是30%，求a ，b 的值；(2)已知a ≥7，b ≥6，求数学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数多的概率. (1)由题意知14n＝0.07，解得n ＝200，∪14＋a ＋28200×100%＝30%，解得a ＝18，易知a ＋b ＝30，所以b ＝12.(2)由14＋a ＋28>10＋b ＋34得a >b ＋2，又a ＋b ＝30且a ≥7，b ≥6，则(a ，b )的所有可能结果为(7，23)，(8，22)，(9，21)，…，(24，6)，共18种，而a >b ＋2的可能结果为(17，13)，(18，12)，…，(24，6)，共8种，则所求概率p ＝818＝49.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( ) A.23B.12C.13D.16解析从A ，B 中任意取一个数，共有C 12·C 13＝6种情形，两数和等于4的情形只有(2，2)，(3，1)两种，∪p ＝26＝13. 2.设m ，n ∪{0，1，2，3，4}，向量a ＝(－1，－2)，b ＝(m ，n )，则a ∪b 的概率为( ) A.225B.325C.320D.15解析 a ∪b ∪－2m ＝－n ∪2m ＝n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝4，因此概率为35×5＝325.3.某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在平面直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点在直线2x －y ＝1上的概率为( ) A.112B.19C.536D.16解析先后投掷一枚骰子两次，共有6×6＝36种结果，满足题意的结果有3种，即(1，1)，(2，3)，(3，5)，所以所求概率为336＝112.4.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为( ) A.13B.14C.15D.16解析分别用A ，B ，C 表示齐王的上、中、下等马，用a ，b ，c 表示田忌的上、中、下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛有Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc 共9场比赛，其中田忌马获胜的有Ba ，Ca ，Cb 共3场比赛，所以田忌马获胜的概率为13.5.将一个骰子连续掷3次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( ) A.112B.19C.115D.118解析一个骰子连续掷3次，落地时向上的点数可能出现的组合数为63＝216种.落地时向上的点数依次成等差数列，当向上点数若不同，则为(1，2，3)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，6)，(3，4，5)，(4，5，6)，共有2×6＝12种情况；当向上点数相同，共有6种情况.故落地时向上的点数依次成等差数列的概率为12＋6216＝112. 二、填空题6.小明忘记了微信登录密码的后两位，只记得最后一位是字母A ，a ，B ，b 中的一个，另一位是数字4，5，6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登陆的概率是________.解析小明输入密码后两位的所有情况有C 14·C 13＝12种，而能成功登陆的密码只有一种，故小明输入一次密码能够成功登陆的概率是112. 7.若m 是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，则椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的概率为________.解析 m 是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，∪基本事件总数为6，又满足椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的m 的取值有1，3，11，共有3个，∪椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的概率p ＝36＝12.8.某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________.解析甲同学从四种水果中选两种，选法种数有C 24，乙同学的选法种数为C 24，则两同学的选法种数为C 24·C 24，两同学各自所选水果相同的选法种数为C 24，由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为p ＝C 24C 24C 24＝16.三、解答题9.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率. 解 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组四名同学的植树棵数分别是8，8，9，10，故x －＝8＋8＋9＋104＝354，s 2＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫8－3542×2＋⎝⎛⎭⎫9－3542＋⎝⎛⎭⎫10－3542＝1116.(2)当X ＝9时，记甲组四名同学分别为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学分别为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，其包含的基本事件为{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 3，B 4}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 4，B 4}，共16个.设“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事件C ，则事件C 中包含的基本事件为{A 1，B 4}，{A 2，B 4}，{A 3，B 2}，{A 4，B 2}，共4个.故P (C )＝416＝14.10.某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率.解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100，因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A ，记“参赛女生有2人”为事件B ，“参赛女生有3人”为事件C .则P (B )＝C 23C 23C 46＝35，P (C )＝C 33C 13C 46＝15.由互斥事件的概率加法公式，得P (A )＝P (B )＋P (C )＝35＋15＝45，故所求事件的概率为45.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.已知函数f (x )＝12ax 2＋bx ＋1，其中a ∪{2，4}，b ∪{1，3}，从f (x )中随机抽取1个，则它在(－∞，－1]上是减函数的概率为( ) A.12B.34C.16D.0解析 f (x )共有四种等可能基本事件即(a ，b )取(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)，记事件A 为f (x )在(－∞，－1]上是减函数，由条件知f (x )是开口向上的函数，对称轴是x ＝－ba ≥－1，事件A 共有三种(2，1)，(4，1)，(4，3)等可能基本事件，所以P (A )＝34.12.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是( ) A.34B.13C.310D.25解析 6元分成整数元有3份，可能性有(1，1，4)，(1，2，3)，(2，2，2)，第一个分法有3种，第二个分法有6种，第三个分法有1种，其中符合“最佳手气”的有4种，故概率为410＝25.13.从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是__________.解析从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换，基本事件总数为n ＝C 23·C 23＝9，从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，第一次调换后，对调后的位置关系有三种：甲丙乙、乙甲丙、丙乙甲，第二次调换后甲在乙的左边对应的关系有：丙甲乙、甲乙丙；丙甲乙、甲乙丙；甲丙乙、丙甲乙，∪经过两次这样的调换后，甲在乙的左边包含的基本事件个数m ＝6，∪经过这样的调换后，甲在乙左边的概率：p ＝m n ＝69＝23.14.某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过1 kg 的包裹收费10元；质量超过1 kg 的包裹，除1 kg 收费10元之外，超过1 kg 的部分，每1 kg(不足1 kg ，按1 kg 计算)需再收5元. 该公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：(1)某人打算将A (0.3 kg)，B (1.8 kg)，C (1.5 kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？解 (1)由题意，寄出方式有以下三种可能：所有3种可能中，有1种可能快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，所求概率为13.(2)由题目中的天数得出频率，如下：若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司每日利润为260×5－3×100＝1 000(元)；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司每日利润为235×5－2×100＝975(元).综上，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.。

人教A版高中数学必修三课件：3.2.1古典概型2

高中数学课件
灿若寒星整理制作
（1）古典概型的适用条件：
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个基本事件出现的可能性相等。
（2）古典概型的解题步骤；不重不漏 ①求出总的基本事件数； ②求出事件A所包含的基本事件数，然后利
用公式P(A)=
古典概型2
1.某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷。如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的。只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法中，正确的是（） D
例、某人有4把钥匙，其中2把能打开门。现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是多少？如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是多少？
有无放回问题
在前面学习中,同学们做了大量的试验,有没有其他的方法可以代～25之间的随机整数,怎么做? 抛掷硬币试验.
例2、天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%。这三天中恰有两天下雨的概率大约是多少？
分析:不是古典概率模型,用计算机或计算器做模拟试验.
例3、一个盒子里装有标号为1，2，…，5的5 张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字相邻整数的概率：
（1）标签的选取是无放回的；
=IF(OR(AND(A1<4,B1<4,C1>3),AND(A1<4,B1>3, C1<4),AND(A1>3,B1<4,C1<4)),1,0)
=IF(OR(AND(A1<4,B1<4,C1>3),AND(A1<4,B1>3,C1<4),AND(A1> 3,B1<4,C1<4)),1,0)
称用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.

高中数学第三章概率 3.2 古典概型教材习题点拨新人教A版必修3

高中数学第三章概率 3.2 古典概型教材习题点拨新人教A 版必修33.2.1古典概型练习1.解:基本事件总数为20，事件“已过保质期的饮料”所含基本事件总数为2，由古典概型计算公式可得101202==P . 点拨:因为是从中任取一瓶，所以每一瓶被取到的概率相等，属于古典概型.2.解:所有的基本事件总数为21267=⨯，而“选出的2名同学恰是已去过北京”所含的基本事件数为3，所以71213==P . 3.解:所有的基本事件数为36289=⨯，而事件“取出的两本恰好都是数学书”所含的基本事件数为6234=⨯，所以61366==P . 3.2.2 (整数值)随机数(random numbers)的产生练习1.解:将一枚质地均匀的硬币连掷三次,共有2×2×2＝8个基本事件,其中“2个正面朝上、1个反面朝上”包括（正,正,反）（正,反,正）（反,正,正）3个,由古典概型的概率公式得831=P .同理“1个正面朝上、2个反面朝上”的概率也为83.随机模拟方法略. 2.解:用数字1至13代表红心的13张牌,用14至26代表黑心的13张牌,用27至39代表方块的13张牌,用40至52代表梅花的13张牌,用Excel 设计程序如下:①在表格中选择一格比如A1,键入“＝RANDBETWEEN （1,52）”,按Enter 键,则在此格中产生一个随机数.②选定A1这个格,按Ctrl ＋C 快捷键,然后选定要产生随机数的格,比如A2至A1000,按Ctrl ＋V 快捷键,则在A2至A1000的数均为随机产生的1至52的数,这样很快就得到了1 000个随机数,相当于做了1 000次随机试验.然后用频数函数进行统计,得到概率的近似值,依次得到（1）131；（2）1312；（3）41；（4）133；（5）0；（6）132；（7）21；（8）1. 3.解:（1）“取出的球是黄球”是不可能事件,它的概率是0.（2）“取出的球是白球”是随机事件,它的概率是94；（3）“取出的球是白球或是黑球”是必然事件,它的概率是1；(4)我们用数字1、2、3、4代表4个白球,5、6、7、8、9代表5个黑球,用Excel 执行下列步骤:①在表格中选择一格,如A1,键入“＝RANDBETWEEN （1,9）”,按Enter 键,则在此格中产生一个1到9的随机数.②选定A1这个格,按Ctrl ＋C 快捷键,然后选定要产生随机数的格,比如A2至A200,按Ctrl ＋V 快捷键,则在A2至A200中均产生一个1到9的随机数,这样得到了200个随机数,相当于做了200次随机试验.然后用频数函数按所求进行统计即可.点拨:利用古典概型求出的结果与随机模拟试验得到的结果基本上是一致的,随着随机模拟试验次数的增多,试验的结果越来越接近于古典概型公式求得的结果.4.解:(1)掷两粒骰子,共有36个随机事件,其中点数和为7的有（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共6个,故概率61366==P ；(2)从1～6的6个数字中产生,每两个数字一组,总共产生200组,数出点数和为7的组数,然后用这个组数除以200,即得点数和为7的频率.(3)所得频率与概率相差不大,因为频率是概率的近似值.存在差异的主要原因是随机事件在每次试验中是否发生是随机的,但在200次试验中,该事件发生的次数又是有规律的,所以一般情况下所得的频率与概率相差不大.习题3.2A 组1.解:(1)对于游戏1,因为袋中只有一个红球和一个白球,所以P （“甲获胜”）＝P （“取出的是红球”）21=,所以这个游戏是公平的； (2)游戏2是从2个红球和2个白球中不放回地取2个球,所以P （“甲获胜”）＝P （“取出的2个球同色”）＝P （“取出2个红球或取出2个白球”）＝P （“取出的是2个红球”）＋P （“取出的是2个白球”）3162122122==+=,显然乙取胜的概率大,甲取胜的概率小,所以这种游戏不公平；(3)游戏3是从3个红球1个白球中不放回地取2个球,所以P （“甲获胜”）＝P （“取出的2个球同色”）＝P （“取出2个红球”）213423=⨯⨯=,所以这种游戏是公平的. 2.解:(1)“头两位号码都是8”的组法有106种,所以P （“头两位号码都是8”）1001101086==； (2)P （“头两位号码至少有一个不超过8”）＝1－P （“头两位号码都是9”）1009910011=-=. (3)“头两位号码不相同”的组法有10×9×106种,所以P （“头两位号码不相同”）109101091086=⨯⨯=.本题也可以采用对立事件的概率公式求解,P （“头两位号码不相同”）＝1－P （“头两位号码相同”）1091011101010186=-=⨯-=. 3.解:(1)P （“认为作业多”）52.025135026===； (2)P （“喜欢电脑游戏并认为作业不多”）18.0509==. 4.解:这四个人所有的排法数为4×3×2×1＝24（种）.(1)“A 在边上”包含“A 同学可能在左边上、也可能在右边上”两种可能,对于A 同学本身的排法来说,“A 在边上”的机会为42,即P （“A 在边上”）2142==. (2)“A 和B 都在边上”包含了两种情况“A 在左边,B 在右边”和“A 在右边,B 在左边”,两者是互斥关系,所以P （“A 和B 都在边上”）＝P （“A 在左边,B 在右边”）＋P （“A 在右边,B 在左边”）6124424122412==⨯+⨯=. (3)“A 或B 在边上”包含了“A 或B 中有一人在边上”和“A 和B 都在边上”,前者的排法总数为2×2×2×2＝16（种）,后者的排法总数为1×2×1×2＝4（种）,所以P （“A 或B 在边上”）＝P （“A 或B 中有一人在边上”）＋P （“A 和B 都在边上”）6524202442416==+=. (4)“A 和B 都不在边上”的排法总数为2×2×1×1＝4（种）,所以P （“A 和B 都不在边上”）61244==. 5.解:（1）因为标签的选取是无放回的,所以所有的取法总数为)(101245种=⨯⨯,相对而言,“取出的两张标签上的数字为相邻整数”的取法有4种,所以P （“取出的两张标签上的数字为相邻整数”）52104==. (2)因为标签的选取是有放回的,所以所有的取法总数为5×5＝25（种）,相对而言,“取出的两张标签上的数字为相邻整数”的取法有4×2＝8（种）,所以P （“取出的两张标签上的数字为相邻整数”）258=.6.解:从6枝圆珠笔中任意取3枝的取法总数为)(20123456种=⨯⨯⨯⨯, (1)“恰有一枝一等品”的取法总数为)(912233种=⨯⨯⨯,所以P （“恰有1枝一等品”）209=. (2)“恰有两枝一等品”的取法总数为)(931223种=⨯⨯⨯,所以P （“恰有2枝一等品”）209=. (3)“没有三等品”的取法总数有)(10123345种=⨯⨯⨯⨯（种）,所以P （“没有三等品”）21=. B 组1.解:“不能开门就扔掉”就是不重复取钥匙,所有的取法数为4×3＝12（种）,“第二次才能打开门”的取法总数有2×2＝4（种）,故P （“第二次才能打开门”）31124==； (2)“试过的钥匙不扔掉”的意思是可以重复取钥匙,相对而言,所有的取法数为4×4＝16（种）,“第二次才能打开门”的取法总数有2×2＝4（种）,所以P （“第二次才能打开门”）41164==. 2.解:对这五个女孩的职位分配方法有)(1023345种=⨯⨯⨯,(1)“女孩K 得到一个职位”的分配方法有)(6234种=⨯,所以P （“女孩K 得到一个职位”）53106==； (2)“女孩K 和S 各自得到一个职位”的分配方法有3种,所以P （“女孩K 和S 各自得到一个职位”）103=； (3)“女孩K 或S 得到一个职位”的意思是可能女孩K 或S 中有且仅有一个人得到了一个职位,也可能女孩K 和S 各自得到一个职位,两种结果是互斥关系,所以P （“女孩K 或S 得到一个职位”）＝P （“女孩K 或S 中有且仅有一个人得到了一个职位”）＋P （“女孩K 和S 各自得到一个职位”）1091031032=+⨯=.本题也可采用对立事件的概率公式求解,事件“女孩K 或S 得到一个职位”的对立事件为“女孩K 和S 都没得到职位”,所以P （“女孩K 或S 得到一个职位”）＝1－P （“女孩K 和S 都没得到职位”）1091011=-=. 3.解:利用计算器或计算机产生1至12的随机整数,每10个看作一组,共作出100组,若组中有相同数字,则代表10个人中至少有两个人的生日相同;若共有N 1组,则概率1001N P .(参考答案：P ＝0.996 1)。

2023年高考备考古典概型与统计(含答案)

高考材料高考材料专题18 古典概型与统计一、解答题1．〔2023年全国新高考II 卷数学真题〕在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估量该地区这种疾病患者的平均年龄〔同一组中的数据用该组区间的中点值为代表〕； (2)估量该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；[20,70)(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选0.1%[40,50)16%一人，假设此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．〔以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作[40,50)为患者的年龄位于该区间的概率，准确到0.0001〕. （答案）(1)岁； 47.9(2)； 0.89(3)． 0.0014（解析）（分析）〔1〕依据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；〔2〕设（一人患这种疾病的年龄在区间），依据对立事件的概率公式即可解出； A =[20,70)()1()P A P A =-〔3〕依据条件概率公式即可求出． (1)平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯〔岁〕． 550.020650.017750.006850.002)1047.9+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=(2)设（一人患这种疾病的年龄在区间），所以A =[20,70)． ()1(1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++⨯=-=(3)设“任选一人年龄位于区间40,50)〞，“从该地区中任选一人患这种疾病〞， B =C =则由已知得：,()()16%0.16,0.1%0.001,(|)0.023100.23P B P C P B C =====⨯=则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，假设此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为[40,50)． ()(|)()()0.0010.23(|)0.00143750.0014()0.16P BC P C P B C C B P B B P P ⨯====≈2．〔内蒙古呼伦贝尔市海拉尔第二中学2023届高三下学期第四次模拟考试数学〔理〕真题〕某职业中专开设的一门学科的考试分为理论考试和实践操作考试两局部，当理论考试合格才能参加实践操作考试，只有理论考试与实践操作考试均合格，才能获得技术资格证书，如果一次考试不合格有1次补考时机.学校为了掌握该校学生对该学科学习情况，进行了一次调查，随机选取了100位同学的一次考试成绩，将理论考试与实践操作考试成绩折算成一科得分〔百分制〕，制成如下表格：分段 40，50) 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100] 人数510a30a +510(1)①求表中a 的值，并估算该门学科这次考试的平均分〔同一组数据用该组区间的中点值代表〕；②在40，50)， 50，60)， 60，70)这三个分数段中，按频率分布情况，抽取7个学生进行教学调研，学校的教务主任要在这7名学生中随机选2人进行教学调查，求这2人均来自60，70)的概率；(2)该校学生小明在历次该学科模拟考试中，每次理论合格的概率均为，每次考实践操作合格的概率均为(01)p p <<，这个学期小明要参加这门学科的结业考试，小明全力以赴，且每次考试互不影响.如果小明考试的次数的期望不低12于2.5次，求的取值范围.p （答案）(1)①a =20，平均分74；②27(2) 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭（解析）（分析）〔1〕①利用样本总量为100求出，从而估量出平均分，②利用分层抽样得到40，50)， 50，60)， 60，70)分20a =别抽取1人，2人，4人，利用列举法求出古典概型的概率；〔2〕求出小明考试的考试次数的可能取值及相应的概率，得到考试次数的期望值，列出不等式，求出的取值范围.p高考材料高考材料(1)①由题意得：，解得：， 51030510100a a ++++++=20a =， ()14555510652075308525951074100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=②40，50)， 50，60)， 60，70)频率之比为1:2:4，抽取7个学生进行教学调研，故40，50)， 50，60)， 60，70)分别抽取1人，2人，4人，设抽取的40，50)的学生为， 50，60)的学生为， 60，70)的学生为， A ,B C a b c d ,,,这7名学生中随机选2人进行教学调研，则一共的选法有， ()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A a A b A c A d B C B a B b B c B d ，()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,C a C b C c C d a b a c a d b c b d c d 共有21种情况，其中这2人均来自60，70)的情况有，共6种情况， ()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d 所以这2人均来自60，70)的概率为. 62217=(2)小明考试的次数为2次的概率为， ()22131122p p p p +-=-+考试次数为3次的概率为，()21111222p p p p p -⨯+=-考试次数为4次的概率为， ()21111222p p p p -⨯=-考试次数的期望值为，22223111321342222222p p p p p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+-=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，解得：，2352222p p -++≥113p ≤≤因为，所以01p <<11.3p ≤<即的取值范围是.p 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．〔黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023届高三第三次模拟考试数学〔文科〕真题〕某经销商采购了一批水果，依据某些评价指标进行打分，现从中随机抽取20筐〔每筐1kg 〕，得分数据如下：17，23，29，31，34，40，46，50，51，51，58，62，62，68，71，78，79，80，85，95．依据以往的大数据认定：得分在区间，，(]0,25(]25,50，内的分别对应四级、三级、二级、一级．(]50,75(]75,100(1)试求这20筐水果得分的平均数．(2)用样本估量总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售；方案1：将得分的平均数换算为等级，按换算后的等级X ；方案2：分等级X ．不同等级水果的售价如下表所示：等级一级二级三级四级售价〔万元/吨〕21.81.41.2请从经销商的角度，依据售价分析采纳哪种销售方案较好，并说明理由．（答案）(1)55.5(2)采纳方案1较好；理由见解析（解析）（分析）〔1〕利用平均数公式进行求解；〔2〕分别计算出方案1与方案2的平均数，比拟后得到答案. (1)这20筐水果得分的平均数为(2)方案1：由于得分的平均172329313440465051515862626871787980859555.520+++++++++++++++++++=数，(]55.550,75∈所以可以估量这批水果的销售单价为1.8万元/吨．方案2：设这批水果售价的平均值为万元/吨，由已知数据得， x 得分在内的有17，23，共2个，所以估量四级水果所占比例为， (]0,25110得分在内的有29，31，34，40，46，50，共6个，所以估量三级水果所占比例为， (]25,50310得分在内的有51，51，58，62，62，68，71，共7个，所以估量二级水果所占比例为， (]50,75720得分在内的有78，79，80，85，95，共5个，所以估量一级水果所占比例为， (]75,10014则〔万元/吨〕．17312 1.8 1.4 1.2 1.674201010x =⨯+⨯+⨯+⨯=所以从经销商的角度考虑，采纳方案1的售价较高，所以采纳方案1较好．4．〔吉林省吉林市一般中学2023届高三下学期第四次调研测试文科数学真题〕为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子〞，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛〞活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：成绩X人数 [)40,50 2[)50,60 a[)60,7022[)70,80 b高考材料高考材料[)80,9028[]90,100 a(1)求a ，b 的值，并补全频率分布直方图；(2)估量该社区居民竞赛成绩的平均数和方差〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；x 2s (3)以频率估量概率，假设，社区获得“反诈先进社区〞称号，假设，社区()(]0.8,0.9P X x s ≥-∈()(]0.9,1P X x s ≥-∈获得“反诈先锋社区〞称号，试推断该社区可获得哪种称号〔s 为竞赛成绩标准差〕？（答案）(1)；，图见解析 4a =40b =(2)75，100(3)该社区可获得“反诈先进社区〞称号（解析）（分析）〔1〕依据频率分布直方图与频率分布表求出、的值，从而补全频率分布直方图； a b 〔2〕依据频率分布直方图中平均数与方差公式计算可得；〔3〕依据频率分布直方图求出，即可推断； ()()65P X x s P X ≥-=≥(1)解：由题可知：，， 0.004101004a =⨯⨯=()10024224028440b =-+++++=所以100名居民竞赛成绩在组内频率/组距为， [)70,8040100.040100÷=补全频率分布直方图如下：(2)解：估量该社区居民竞赛成绩的平均数， 24224028445556575859575100100100100100100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=估量该社区居民竞赛成绩的方差 ()()()22222422457555756575100100100s =-⨯+-⨯+-⨯ ()()()22240284757585759575100100100100+-⨯+-⨯+-⨯=(3)解：由〔1〕可得，10s ==所以 ()()()()6516510.002100.004100.02250.83P X x s P X P X ≥-=≥=-<=-⨯+⨯+⨯=∵所以该社区可获得“反诈先进社区〞称号．(]0.830.8,0.9∈5．〔四川省泸州市泸县第二中学教育集团2023届高考仿真考试〔四〕数学〔文〕真题〕为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济〞的举措．某市城管委对所在城市约6000个流动商贩进行调查统计，发觉所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图．(1)该市城管委为了更好地效劳百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取100个进行政策问询．如果按照分层抽样的方法随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？(2)为了更好地了解商户的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近40天的日收入进行了统计〔单位：元〕，所得频率分布直方图如下．高考材料高考材料〔ⅰ〕请依据频率分布直方图估量该果蔬经营点的日平均收入〔同一组中的数据用该组区间的中点值为代表〕；〔ⅱ〕假设从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中随机抽取两天，求这两天的日收入至多有一天超过250元的概率．（答案）(1)小吃类商贩家，果蔬类商贩家 4015(2)〔ⅰ〕元〔ⅱ〕 152.51415（解析）（分析）〔1〕先通过扇形统计图计算出小吃类所占的比例，然后依据百分比计算出小吃类和果蔬类商贩各多少家；〔2〕〔i 〕依据频率分布直方图，利用每组数据区间的中间值乘以该组的频率求和得出平均数；〔ii 〕依据频率分布直方图，计算出日收入超过元的天数及日收入在，的天数，然后利用古典200200250-250300-概型的计算方法计算概率. (1)由题意知，小吃类所占比例为， 125%15%10%5%5%40%-----=按照分层抽样的方法随机抽取，应抽取小吃类商贩〔家〕， 10040%40⨯=果蔬类商贩〔家〕． 10015%15⨯=(2)〔ⅰ〕该果蔬经营点的日平均收入为元．()750.0021250.0091750.0062250.0022750.00150152.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=〔ⅱ〕该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为：，天，其中超过250元的有()0.0020.001500.15+⨯=0.15406⨯=2天，记日收入超过250元的2天为，，其余4天为，，，随机抽取两天的全部可能情况为：，1a 2a 1b 2b 3b 4b ()12,a a ，，，，，，，，，，，，()11,a b ()12,a b ()13,a b ()14,a b ()21,a b ()22,a b ()23,a b ()24,a b ()12,b b ()13,b b ()14,b b ()23,b b ，共15种，()24,b b ()34,b b 其中至多有一天超过250元的对立事件为：共1种． ()12,a a 所以这两天的日收入至少有一天超过250元的概率为． 11411515-=6．〔河南省安阳市2023届高三下学期高考模拟真题文科数学真题〕某省会城市为了积极倡导市民优先乘坐公共交通工具绿色出行，切实改善城市空气质量，缓解城市交通压力，公共交通系统推出“2元换乘畅享公交〞“定制公交〞“限行日免费乘公交〞“绿色出行日免费乘公交〞等便民效劳措施．为了更好地了解乘坐公共交通的乘客的年龄分布，交管部门对某线路公交车统计整理了某一天1200名乘客的年龄数据，得到的频率分布直方图如以下图所示：(1)求m 的值和这1200名乘客年龄的中位数；(2)现在从年龄分布在人中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取2人进行问卷调查，求这2人中至[20,40)少有一人年龄在的概率． [20,30)（答案）(1)，中位数为； 0.02m =1003(2)710（解析）（分析）〔1〕依据频率分布直方图中全部小矩形的面积之和为得到方程，即可求出，再依据中位数计算公式计算可得； 1m 〔2〕依据分层抽样求出、的人数，分别记作、、、、，用列举法列出全部可能结果，再依据[20,30)[30,40)A B a b c 古典概型的概率公式计算可得； (1)解：依题意可得，解得， ()0.0050.0150.030.0150.010.005101m ++++++⨯=0.02m =因为，所以中位数为于， ()0.0050.0150.02100.40.5++⨯=<[)30,40设中位数为，则，解得，故这1200名乘客年龄的中位数为x ()()0.0050.0150.0210300.030.5x ++⨯+-⨯=1003x =1003； (2)解：从年龄分布在人中用分层抽样的方法抽取5人，则中抽取人，记作、，[20,40)[20,30)0.02520.020.03⨯=+A B 中抽取人，记作、、，[30,40)0.03530.020.03⨯=+a b c高考材料高考材料则从这5人中抽取2人进行问卷调查有，，，，，，，，，(),A B (),A a (),A b (),A c (),B a (),B b (),B c (),a b (),a c 共个根本领件；(),b c 10满足这2人中至少有一人年龄在的有，，，，，，共个根本领[20,30)(),A B (),A a (),A b (),A c (),B a (),B b (),B c 7件，所以满足这2人中至少有一人年龄在的概率； [20,30)710P =7．〔北京市一零一中学2023届高三下学期三模数学真题〕作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同开展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病〞的历史重任，因此，通州区的开展备受瞩目．2023年12月25日公布的（北京市通州区统计年鉴〔2023〕）显示：2023年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9亿元，比上年增长，下面给出的是通州区2011~2023年全社会固定资产投资及增长率，如图一．又依据通州区统计局2023年17.4%1月25日公布：2023年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长．12.2%(1)在图二中画出2023年通州区全区完成全社会固定资产投资〔柱状图〕，标出增长率并补全折线图；(2)通过计算2011~2023这7年的平均增长率约为，现从2011~2023这7年中随机选取2个年份，记X 为“选取17.2%的2个年份中，增长率高于的年份的个数〞，求X 的分布列及数学期望；17.2%(3)设2011~2023这7年全社会固定资产投资总额的中位数为，平均数为，比拟和与的大小〔只需写出结0x x 0x x 论〕．（答案）(1)见解析 (2)见解析 (3) 0x x <（解析）（分析）〔1〕依据“2023年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长〞补全折线图 12.2%〔2〕依据题意写出的取值并计算对应的概率，写出分布列即可 X 〔3〕依据题意分别计算，直接写出答案即可 0,x x (1)(2)依题意，的可能取值为X 0,1,2 ；；2427C 2(0)C 7P X ===113427C C 4(1)C 7P X ===2327C 1(2)C 7P X ===的分布列为：X ∴X 0 12P27 4717的数学期望X ∴2416()0127777E X =⨯+⨯+⨯=(3)0x x <8．〔广东省潮州市瓷都中学2023届高三下学期第三次模拟数学真题〕2023年，我国已经完成全面脱贫的历史性战略任务.但稳固脱贫成果还有很多工作要继续，利用互联网电商进行产品的销售就是一种有效的方法.某村盛产脐橙，为了更好销售，现从脐橙树上随机摘下100个脐橙进行测重，其质量分布在区间〔单位：克〕，统计质量的数[]200,500据作出其频率分布直方图如下图.(1)按分层抽样的方法从质量落在，的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽2个，求这[)250,300[)300,3502个脐橙质量至少有一个小于300克的概率；(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的脐橙种植地上大约还有100000个脐橙待X ，某电商提出两种收购方案：A .全部脐橙均以7元/千克收购；B .低于350克的脐橙以2元/个收购，其余的以高考材料高考材料3元/个收购.请你通过计算为该村选择收益较好的方案.〔参考数据：〕 2250.052750.163250.243750.34250.24750.05354.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（答案）(1)； 710(2)选择方案B ，理由见解析. （解析）（分析）〔1〕求出质量落在，的脐橙频率比，确定分层抽样落在有2个，质量落在有[)250,300[)300,350[)250,300[)300,3503个，利用超几何分布的概率公式求出2个脐橙质量至少有一个小于300克的概率；〔2〕计算出这100个脐橙的平均质量，从而计算出A 方案的收益，再依据频率求出低于350克的脐橙个数和不低于350克的脐橙个数，求出方案B 的收益，比拟得到结论.(1)质量落在，的脐橙的频率分别为，，其中， [)250,300[)300,3500.0032500.16⨯=0.0048500.24⨯=0.16:0.242:3=所以用分层抽样的方法抽取的5个脐橙中，质量落在有2个，质量落在有3个，则从这5个脐橙[)250,300[)300,350中随机抽2个，求这2个脐橙质量至少有一个小于300克的概率为 11223225C C C 7C 10+=(2)设这100个脐橙的平均质量为，则x A 方案：设收益为，则()2250.0012750.00323250.00483750.0064250.0044750.00150354.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=1w 〔元〕；51100000354.50.007 2.481510w =⨯⨯=⨯B 方案：设收益为，以频率代表概率，2w 则低于350克的脐橙个数为， ()0.0010.00320.00485010000045000++⨯⨯=不低于350克的脐橙个数为， ()0.0060.0040.0015010000055000++⨯⨯=所以 2450002550003255000w =⨯+⨯=因为，所以该村选择收益较好的方案B .12w w <9．〔河南省开封市局部学校2023届高考考前押题文科数学真题〕2023年2月20日，北京冬奥会在国家体育场“鸟巢〞落下帷幕，中国代表团创历史最正确战绩.北京冬奥会的成功举办推进了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青年少爱上了冰雪运动.某学校组织了一次冰雪运动趣味知识竞赛，100名喜欢冰雪运动的学生参赛，现将成绩分成，，，，〔成绩均在区间上〕共五组并制成如下频率分布直方图.学校[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100[]50,100决定对成绩前15名的参赛学生进行奖励，奖品为冬奥桔祥物冰墩墩玩偶.(1)试求参赛学生成绩的众数及受奖励的分数线的估量值；(2)从受奖励的15名学生中按上述成绩分组并利用分层抽样抽取5人.现从这5人中抽取2人，试求这2人成绩恰有一个不低于90分的概率.（答案）(1)众数为75，受奖励分数的估量值为85(2) 35（解析）（分析）〔1〕依据频率分布直方图众数求法，可得众数；先求得成绩在的人数，分析可得受奖励分数线在[]90,100[)80,90内，且设为x ，依据题意，列出方程，即可得答案.〔2〕由〔1〕可得成绩在的人数为9，成绩在的人数为6，利用分层抽样，分别求得两层人数，且记[)85,90[]90,100作，，，，，分别列出总可能情况和满足条件情况，依据古典概型概率公式，即可得答案. 1A 2A 3A 1B 2B (1)由频率分布直方图估量众数为75，竞赛成绩在的人数为，[]90,1000.006101006⨯⨯=竞赛成绩在的人数为，故受奖励分数线在内. [)80,900.0181010018⨯⨯=[)80,90设受奖励分数为，则， x ()900.0180.006100.15x -⨯+⨯=解得，故受奖励分数的估量值为85. 85x =(2)由〔1〕知，受奖励的15人，成绩在的人数为9，成绩在的人数为6，[)85,90[]90,100利用分层抽样，可知成绩在的抽取3人，记作，，，成绩在的抽取2人，记作，， [)85,901A 2A 3A []90,1001B 2B 现从这5人中抽取2人，全部的可能情况有，，，，，，，()12,A A ()13,A A ()11,A B ()12,A B ()23,A A ()21,A B ()22,A B ，，共10种，()31,A B ()32,A B ()12,B B高考材料高考材料满足条件的情况有，，，，，共6种， ()11,A B ()12,A B ()21,A B ()22,A B ()31,A B ()32,A B 故所求的概率为. 63105P ==10．〔山东省日照市2023届高三下学期5月校际联合考试〔三模〕数学真题〕（黄帝内经）中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要〔子时是指23点到次日凌晨1点〕．相关数据说明，入睡时间越晚，深度睡眠时间越少，睡眠指数也就越低．依据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表：组别睡眠指数早睡人群占比晚睡人群占比 1[)0,510.1%9.2%2[)51,6611.1% 47.4%3 [)66,7634.6% 31.6%4 [)76,9048.6% 11.8%5[]90,100 5.6% 0.0%注：早睡人群为23：00前入睡的人群，晚睡人群为01：00后入睡的人群．(1)依据表中数据，估量早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组(2)据统计，睡眠指数得分在区间内的人群中，早睡人群约占80%．从睡眠指数得分在区间内的人群中[)76,90[)76,90随机抽取3人，以X 表示这3人中属于早睡人群的人数，求X 的分布列与数学期望． ()E X （答案）(1)分别在第3组，第2组 (2)分布列见解析， ()125E X =（解析）（分析）(1)依据百分位数的定义，结合题意给的表格与数据直接得出结果；(2)利用二项分布求概率公式分别求出， ()()()()0123P X P X P X P X ====、、、进而列出分布列，结合数学期望的计算公式计算即可. (1)早睡人群睡眠指数25%分位数估量在第3组，晚睡人群睡眠指数25%分位数估量在第2组． (2)X 的全部可能取值为0，1，2，3．， ()()0312013341141120C 1C 5512555125P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫======⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， ()()2132333414841642C 3C 5512555125P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以随机变量X 的分布列为：X 12 34 P1125121254812564125所以随机变量X 的数学期望为. ()11248641201231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=11．〔河南省许平汝联盟2023-2023学年高三下学期核心模拟卷〔中〕文科数学〔三〕真题〕2023年10月1日是成立72周年.某校举行了爱国知识竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，随机抽取了100名学生的成绩〔总分值100分，最di 分不低于50分〕进行统计，得出频率分布直方图如下图：(1)求实数m 的值，并估量这100名学生的成绩的平均数〔同一组数据用该区间的中点值作代表〕；(2)假设用分层抽样的方法在，，这三组中抽取6人担任爱国知识宣传员，再从这6人中随机[)70,80[)80,90[]90,100选出2人负责整理爱国知识相关材料，求这2人中至少有1人来自组的概率. [)80,90（答案）(1)，平均数是84.2分；0.014m =(2). 35（解析）（分析）〔1〕利用直方图的性质及平均数的求法即得；〔2〕利用分层抽样的概念及古典概型的概率公式即得. (1)高考材料高考材料由题意知，， ()0.0040.0120.0280.042101m ++++⨯=解得，0.014m =∴〔分〕. 0.04550.12650.14750.28850.429584.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=估量这100名学生的成绩的平均数是84.2分. (2)由题知组有人，组有人，组有人， [)70,801000.1414⨯=[)80,901000.2828⨯=[]90,1001000.4242⨯=利用分层抽样抽取6名学生，则在，，组中抽取的人数分别为：人，[)70,80[)80,90[]90,100614184⨯=628284⨯=人，人， 642384⨯=即在，，组中抽取的人数分别为1人、2人、3人，[)70,80[)80,90[]90,100记组的1位同学为A ，组的2位同学为、，组的3位同学为、、，[)70,80[)80,901B 2B []90,1001C 2C 3C 则从6位同学中抽2位同学有，，，，，，，，，()1,A B ()2,A B ()1,A C ()2,A C ()3,A C ()12,B B ()11,B C ()12,B C ()13,B C ，，，，，，共15种可能，()21,B C ()22,B C ()23,B C ()12,C C ()13,C C ()23,C C 其中组中至少有1人入选的有，，，，，，，，[)80,90()1,A B ()2,A B ()12,B B ()11,B C ()12,B C ()13,B C ()21,B C ()22,B C ，共9种，()23,B C 所以这2人中至少有1人来自组的概率为. [)80,9093155P ==12．〔贵州省一般高等学校招生2023届高三适应性测试数学〔文〕真题〕北京冬奥会期间，志愿者团队“FieldCast〞从全部参加冬奥会的运动健儿中分别抽取男女运发动各100人的年龄进行统计分析〔抽取的运发动年龄均在区间16，40]内〕，经统计得出女运发动的年龄频率分布直方图〔图1〕和男运发动的年龄扇形分布图〔图2〕.答复以下问题：(1)求图1中的a 值；(2)利用图2，估量参赛男运发动的平均年龄〔同一组中的数据用该组区间的中点值为代表〕；(3)用分层抽样方法在年龄区间为16，24〕周岁的女运发动中抽取5人，男运发动中抽取4人；记这9人中年龄区间在20，24〕周岁的运发动有m 人，再从这m 人中抽取2人，求这2人是异性的概率.（答案）(1) 0.0500(2)26.8周岁(3) 35（解析）（分析）〔1〕由各组的频率和为1，列方程可求出a 的值，〔2〕直接利用平均数公式求解即可，〔3〕先由题意结合分层抽样的定义求出，然后利用列举法求解概率 6m =(1)依题意，， ()40.07500.07500.02500.01250.01251a +++++=解得 0.0500.a =(2)用每个年龄区间的中点值作为本区间的年龄值，由图2可知：年龄区间为16，20〕，20，24〕，24，28〕，28，32〕，32，36〕，36，40]的频率分别为：0.1，0.3，0.2，0.2，0.1，0.1所以参赛男运发动的平均年龄估值为： 180.1220.3260.2300.2340.1380.126.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即男运发动的平均年龄估值为26.8周岁. (3)由图1可知；年龄区间为16，20〕周岁的女运发动有人，年龄区间为20，24〕周岁的女运发动有0.05410020⨯⨯=人，0.0750410030⨯⨯=由图2可知：年龄区间为16，20〕和20，24〕周岁的男运发动分别有10人和30人，故用分层抽样女运发动年龄在区间16，20〕和20，24〕应分别抽取2人和3人，男运发动年龄在区间16，20〕和20，24〕应分别抽取1人和3人.所以抽取的9人中年龄在20，24〕的有6人，故6m =记这6人中年龄在20，24〕周岁的3名女运发动分别为a ，b ，c ，3名男运发动分别为1，2，3，从6人中抽取2人的根本领件如下：〔a ，b 〕，〔〕，〔a ，1〕，〔a ，2〕，〔a ，3〕，〔b ，c 〕，〔b ，1〕，〔b ，2〕，〔b ，3〕，〔c ，1〕，〔c ，2〕，〔c ，3〕，〔1，c a ，2〕，〔1，3〕，〔2，3〕，共15种.记抽取2人是异性的事件为A ，事件A 包含根本领件有：〔a ，1〕，〔a ，2〕，〔a ，3〕，〔b ，1〕，〔b ，2〕，〔b ，3〕，〔c ，1〕，〔c ，2〕，〔c ，3〕共9种所以. ()93155P A ==13．〔江西省上饶市六校2023届高三第二次联考数学〔文〕真题〕在迎接年北京冬季奥运会期间，某校开展了2022“冰雪答题王〞冬奥知识竞赛活动.现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了名学生，将他们的比赛成绩100〔总分值为分〕分为组：，得到如下图的频率分布直方图.1006[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100高考材料高考材料(1)求的值；a (2)从比赛成绩在和两个分数段内按照分层抽样随机抽取名学生，再从这名学生中随机抽取两名学[)50,60[)80,9077生，求这两名学生恰好来自不同分数段的概率. （答案）(1) 0.025a =(2) 1021（解析）（分析）〔1〕利用频率和为可直接求得结果；1〔2〕依据分层抽样原则可确定中应抽取人，中应抽取人；列举知名学生中随机抽取两名学生全[)50,602[)80,9057部的根本领件和两名学生恰好来自不同分数段的根本领件，由古典概型概率公式可得结果. (1)，. ()0.0050.0100.0200.0300.010101a +++++⨯= 0.025a ∴=(2)比赛成绩在和的频率之比为，[)50,60[)80,900.1:0.252:5=中应抽取人，记为；中应抽取人，记为；[)50,60∴2,A B [)80,905,,,,a b c d e 从名学生中随机抽取两名学生有：，，，，，，，，，，，，，，7AB Aa Ab Ac Ad Ae Ba Bb Bc Bd Be ab ac ad ae ，，，，，，，共个根本领件；bc bd be cd ce de 21其中两名学生恰好来自不同分数段的情况有，，，，，，，，，，共个根本领件；Aa Ab Ac Ad Ae Ba Bb Bc Bd Be 10两名学生恰好来自不同分数段的概率. ∴1021p =14．〔广西柳州市2023-2023学年高一下学期期末联考数学真题〕某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的效劳质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对效劳质量进行打分，最gao 分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第—组，第二组，第三组，第四组，[)0,20[)20,40[)40,60[)60,80第五组，得到频率分布直方图如下图.[]80,100(1)估量所打分数的众数，平均数；〔同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表〕(2)该部门在第—､二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深刻调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率. （答案）(1)众数为70，平均数为65； (2)815（解析）（分析）(1)依据频率分布直方图与众数、平均数的计算方法依次计算即可；(2)先求出6人中第—、二组抽到的人数，求出样本空间的样本点个数和事件“2人来自不同的组〞包含的样本点个数，代入概率公式计算即可. (1)由频率分布直方图可知，众数为； 6080=702+5个组的频率分别为0.05，0.1，0.2，0.35，0.3，所以平均数为；100.05300.1500.2700.35900.365⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(2)由频率分布直方图可知第—组的频率为0.05，第二组的频率为0.1，则第—组的人数为5人，第二组的人数为10人，所以按分层抽样的方法抽到的6人中，第—组抽2人，记为；第二组抽4人，记为，12、a a 1234b b b b 、、、则，121112131421222324121314232434{,,,,,,,,,,,,,,}a a a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b b b b b b b Ω=高考材料高考材料设事件为抽到的2人来着不同的组，A 则，所以. 1112131421222324{,,,,,,,}A a b a b a b a b a b a b a b a b =8()15P A =15．〔2023·陕西·西安市临潼区铁路中学高一期末〕新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不辍学〞，各校精心组织了线上教学活动，开学后，某校采纳分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，抽取的样本中高二年级有50人，高三年级有45人.下表是依据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间〔单位：〕的频率分布表. h 分组频数频率 [)6,6.5 50.10 [)6.5,780.16[)7,7.5 x0.14 [)7.5,812y [)8,8.5100.20[]8.5,9z 合计501(1)求该校学生总数及频率分布表中实数的值；,,x y z (2)已知日睡眠时间在区间的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，假设从中任选2人进行面谈，求选中的[)6,6.52人恰好为一男一女的概率.（答案）(1)1800人，7,0.24,8x y z ===(2) 35（解析）（分析）〔1〕设该校学生总数为，依据题意由求解； n 1501505045660n --=〔2〕利用古典概型的概率求解. (1)解：设该校学生总数为， n 由题意，解得， 1501505045660n --=1800n =。

高中数学第三章概率 3.2 古典概型第二课时课后训练北师大版必修3(2021年最新整理)

高中数学第三章概率3.2 古典概型第二课时课后训练北师大版必修3 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章概率3.2 古典概型第二课时课后训练北师大版必修3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章概率3.2 古典概型第二课时课后训练北师大版必修3的全部内容。

高中数学第三章概率 3。

2 古典概型第二课时课后训练北师大版必修31．在一对事件A，B中，若事件A是必然事件,事件B是不可能事件，那么A和B（）．A．是互斥事件,不是对立事件B．是对立事件，但不是互斥事件C．是互斥事件，也是对立事件D．既不是对立事件，也不是互斥事件2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（)．A．至少有1个黑球与都是黑球B．至少有1个黑球与至少有1个红球C．恰有1个黑球与恰有2个黑球D．至少有1个黑球与都是红球3．下列几对事件中是对立事件的是（)．A．a＞1与a≥1B．a＜1与a＞2C．0＜a＜1与0＜a＜3D．a＜1与a≥1(a∈R)4．如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为( ）．A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0。

85．某人进行打靶练习，共射击10次,其中有2次击中10环，有3次击中9环,有4次击中8环，有1次未中靶．假设此人射击一次，则他中靶的概率大约是________．6．已知6名同学中恰有两名女同学，从这6名同学中任选两人参加某项活动，则在选出的同学中至少包括一名女同学的概率是________．7．某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅,记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”,事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是，再判断它们是不是对立事件．（1）A与C;(2）B与E；（3）B与D；(4）B与C；(5)C与E．8．有3个完全相同的小球a，b，c，随机放入甲、乙两个盒子中，求两个盒子都不空的概率．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（1）求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．参考答案1.答案:C解析：必然事件与不可能事件既是互斥事件，又是对立事件．2.答案：C解析:“从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球"这一事件共包含3个基本事件，关系如右图所示．显然，恰有1个黑球与恰有2个黑球互斥但不对立．3。

2013-2014学年高中数学基础知识篇 3.2古典概型训练(含解析)北师大版必修3

2 古典概型(北师版必修3)建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共30分）1.在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm，从中任取一根，取到长度超过30 mm的纤维的概率是( )A.B.C.D.2.盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )A. B.C. D.3. 据人口普查统计，育龄妇女生男生女是近似等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率约是( )A.B.C. D.4.在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有1个红球的概率是( )A.B.C.D.5.有语文、数学、英语、物理、化学五本教材，从中任取一本，取到的是物理或化学教材的概率是( )A. B.C. D.6. 1个口袋中有带有标号的2个白球、3个黑球，则事件“从袋中摸出1个是黑球，放回后再摸一个是白球”的概率是( )A.B. C.D.二、填空题（每小题5分，共25分）7.从含有4个次品的10 000个螺钉中任取1个，它是次品的概率为．8.五张正面分别标有1，2，3，4，5的卡片，除数字外没有其他的区别．现将它们背面朝上，从中任取一张卡片，卡片标的数字为偶数的概率是．9.一个正方体，它的表面涂满了红色，把它切割成27个完全相等的小正方体，从中任取2个，其中1个恰有一面涂有红色，另1个恰有两面涂有红色的概率为 .10.有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1，2，3，4，把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面写有的数字之和能被5整除的概率为 .11. 给出如下三对事件：①某人射击1次，“射中“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”；③甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，其中属于互斥事件的有对.三、解答题（共45分）12.（15分）将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，问：(1)共有多少种不同的结果？(2)两数的和是3的倍数的结果有多少种？(3)两数的和是3的倍数的概率是多少？13.（8分）做A，B，C三件事的费用各不相同．在一次游戏中，要求参加者写出做这三件事所需费用的顺序（由多到少排列），如果某个参加者随意写出答案，他正好答对的概率是多少？14.（10分）袋中有12个小球，其中有外形、质量一样的红球、黑球、黄球、绿球．从中任取一球得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，分别求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少.2 古典概型(北师版必修3)答题纸得分：一、选择题二、填空题7. 8. 9. 10. 11.三、解答题12.13.15.一、选择题1. 解析：由题意知本题是一个古典概型.因为试验发生包含的基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，满足条件的事件是在40根纤维中有12根的长度超过30 mm，共有12种结果，所以所求事件的概率为.2. 解析：从盒中的10个铁钉中任取一个铁钉包含的基本事件总数为10，其中抽到合格铁钉包含8个基本事件，所以所求的概率为.3. 解析：由于每一胎生男生女是等可能的，且概率都是，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是.4. 解析：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件有10种结果，其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件，根据古典概型公式知，所取的2个球中至少有一个红球的概率是.5. 解析：本题考查概率的求法，其计算方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率（）=.6. 解析：古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，实际上本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体，主要考查的是另一个知识点．二、填空题7. 解析：全部10 000件产品中有4件是次品，所以任取一件，它是次品的概率为.8. 解析：因为五张标有1，2，3，4，5的卡片，其中有2张为偶数，所以从中任取一张得到卡片的数字为偶数的概率是.9. 解析：本题考查古典概型的计算，难点在于分析分割下来的27个小正方体中有一面、两面红色以及其他情况的数目，必要时要借助几何模型或魔方来分析．10. 解析：根据题意，把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面写有的数字有16种情况，分别为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.其中数字之和能被5整除的有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）4种，故数字之和能被5整除的概率为.11.2 解析：某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”这两个事件不可能同时发生，故①是互斥事件；甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”这两个事件不可能同时发生，故②是互斥事件；甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，前者包含后者，故③不是互斥事件.综上可知①②是互斥事件，即共有2对事件属于互斥事件.三、解答题12.解：（１）将骰子抛掷１次，它出现的点数有1,2,3,4,5,6这6种结果.先后抛掷两次骰子，第一次骰子向上的点数有6种结果，第二次又有6种结果，于是一共有6636⨯=种不同的结果；(2)第一次抛掷，向上的点数为1,2,3,4,5,6这6个数中的某一个，第二次抛掷时都可以有两种结果，使向上的点数和为3的倍数（例如：第一次向上的点数为4，则当第二次向上的点数为2或5时，两次的点数的和都为3的倍数），于是共有6×2=12种不同的结果．(3)记“向上点数的和为3的倍数”为事件，则事件的结果有12种，因为抛两次得到的36种结果是等可能出现的，所以所求的概率为121 ()363P A==.13.解：A，B，C三件事排序共有6种排法，即基本事件总数6n=．记“参加者正好答对”为事件D，则D含有一个基本事件，即1m=．由古典概型的概率公式，得1 ()6mP Dn==．（3）由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球就是白球，因此，“取出的球是白球或黑球”是必然事件，它的概率是1．14.解：从5道题中任取3道回答，共有(123)(124)(125)(134)(135)(145)(234)(235)(245)(345)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，10个基本事件．（1）设A=“获得优秀”，则事件A所包含的基本事件个数3m=.故事件A的概率为3 ()10mP An==.（2）设B=“获得及格与及格以上”，则事件B所包含的基本事件个数9m=．故事件B的概率9 ()10mP Bn==．答：这个考生获得优秀的概率为310，获得及格与及格以上的概率为910．15.解：从袋中任取一球，记“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为事件A B C D，，，，则有5()()()12P B C P B P C+=+=，5()()()12P C D P C P D+=+=.又1()3P A=，故2()1()3P B C D P A++=-=，所以1()4P B=，1()6P C=，1()4P D=．。

人教版高中数学必修三 3.2.1《古典概型》要点梳理+考点探究

人教版高中数学必修三第三章统计 3.2.1《古典概型》要点梳理与考点探究【学习目标】1.了解基本事件的特点.2.理解古典概型的定义.3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题．【要点梳理·夯实知识基础】1．基本事件(1)基本事件的定义：一次试验中可能出现的试验结果称为一个基本事件．基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件．(2)基本事件的特点：①任何两个基本事件是__________；②任何事件(除不可能事件)都可以表示成________的和． [答案](2)①互斥的 ②基本事件 2．古典概型如果某类概率模型具有以下两个特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件__________． (2)每个基本事件出现的__________．将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型．[答案](1)只有有限个 (2)可能性相等 3．古典概型的概率公式对于任何事件A ，P(A)＝________________________________. [答案]A 包含的基本事件的个数基本事件的总数 [常用结论]确定基本事件个数的三种方法(1)列举法：此法适合基本事件较少的古典概型．(2)列表法(坐标法)：此法适合多个元素中选定两个元素的试验． (3)树状图法：适合有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求．[学练结合]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．()(2)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．()(3)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．() [答案](1)×(2)√(3)×2．从1,2,3,4,5中随机取出三个不同的数，则其和为偶数的基本事件个数为() A．4 B．5 C．6 D．7答案: C解析: 任取三个数和为偶数共有：(1,2,3)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,4,5)，(2,3,5)，(3,4,5)共6个，选C.3．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为()A.25 B.415 C.35 D.23答案: A解析: 从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝615＝52.4．一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是________．答案:52解析: 先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此概率为2 5.5．现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为________．答案:32 解析: 从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，有甲乙，甲丙，乙丙三种可能，则甲被选中的概率为32.【考点探究·突破重点难点】考点一：基本事件的计数问题1.在1,2,3,4,5这5个数字中,同时任取两个数,则有个基本事件,其中“两数都是奇数”有个基本事件. 答案:10 3解析:一共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10个基本事件,两数都是奇数包含(1,3),(1,5),(3,5)3个基本事件. 考点二：古典概型的概率求法【例1】 (1)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A.110B.15C.310D.25(2)袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为________．(1)D (2)56 [(1)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P ＝1025＝25. 故选D.(2)设取出的2个球颜色不同为事件A ，基本事件有：(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，共6种，事件A 包含5种，故P (A )＝56.](3)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．①若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；②若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．[解]①由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，则所求事件的概率为P＝315＝15.②从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝2 9.[拓展探究](1)本例(2)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2,3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率．(2)本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率．[解](1)基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种，所以P(A)＝46＝23.(2)基本事件为(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，共16种，其中颜色相同的有6种，故所求概率P＝616＝38.[(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；(3)利用公式，求出事件A的概率．[跟踪练习]1. 小红打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815 B.18 C.115 D.1302. 从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.110 B.15 C.310 D.251.C2.D[1.∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P＝1 15.2.如表所示第二次第一次123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)总计有25所以所求概率为1025＝25.故选D.]3.下列试验中是古典概型的是()A.在适宜的条件下,种下一粒种子,观察它是否发芽B.在一口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取一球C.向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点都是等可能的D.甲、乙两队进行一场足球赛,甲队比赛结果为甲队赢、平局、甲队输答案:B解析:对于A,发芽与不发芽概率不同;对于B,摸到白球与黑球的概率相同,均为21;对于C,基本事件有无限个;对于D,由于受甲、乙两队运动员水平的影响,甲队赢、输、平局的概率不相等,因而选B.4.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A.21B.31C.41 D.61 答案:B解析:由题意知总事件数为6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件数是2,所以所求的概率为31.5.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表：(单位：人)(1)从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为 ;(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,3名女同学B 1,B 2,B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,A 1被选中且B 1未被选中的概率为 .答案:(1)31 (2)152解析:(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社团的共有45-30=15人.所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为 P=4515 ＝31. (2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 1,B 3},{A 2,B 1},{A 2,B 2}, {A 2,B 3},{A 3,B 1},{A 3,B 2},{A 3,B 3},{A 4,B 1}, {A 4,B 2},{A 4,B 3},{A 5,B 1},{A 5,B 2},{A 5,B 3}, 共15个.根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有:{A 1,B 2},{A 1,B 3},共2个.因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P=152. 考点三：古典概型与统计的综合应用【例1】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].(1)频率分布直方图中a 的值为 ;(2)该企业的职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为 ; (3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,此2人的评分都在[40,50)的概率为 .答案:(1)0.006 (2)0.4 (3)101 解析:(1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所以a=0.006.(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)×10=0.4,所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4. (3)受访职工中评分在[50,60)的有:50×0.006×10=3(人),记为A 1,A 2,A 3; 受访职工中评分在[40,50)的有:50×0.004×10=2(人),记为B 1,B 2. 从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 2,A 3},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 3,B 1},{A 3,B 2},{B 1,B 2},又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,即{B 1,B 2},故所求的概率为P=101. 【例2】空气质量指数(Air Quality Inde x ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士记录2018年某地某月10天的AQI 的茎叶图如图所示．(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI ≤100)的天数；(按这个月总共30天计算)(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI ＞100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率．[解] (1)从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3，故该样本中空气质量优良的频率为410＝25，估计该月空气质量优良的频率为25，从而估计该月空气质量优良的天数为30×25＝12.(2)该样本中为轻度污染的共4天，分别记为a 1，a 2，a 3，a 4；为中度污染的共1天，记了b ；为重度污染的共1天，记为c .从中随机抽取两天的所有可能结果有：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，b )，(a 1，c )，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，b )，(a 2，c )，(a 3，a 4)，(a 3，b )，(a 3，c )，(a 4，b )，(a 4，c )，(b ，c )，共15个．其中空气质量等级恰好不同的结果有(a 1，b )，(a 1，c )，(a 2，b )，(a 2，c )，(a 3，b )，(a 3，c )，(a 4，b )，(a 4，c )，(b ，c )，共9个．所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为915＝35. [求解古典概型与统计交汇问题的思路(1)依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等统计图表给出的信息，提炼出需要的信息.(2)进行统计与古典概型概率的正确计算．[跟踪练习]交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，且保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系．发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：60辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：(1)求一辆普通6(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5 000元，一辆非事故车盈利10 000元．且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：①若该销售商店内有6辆(年龄已满三年)该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选2辆车，求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次购进120辆(年龄已满三年)该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值．[解](1)一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为15＋5 60＝1 3.(2)①由统计数据可知，该销售商店内的6辆该品牌(年龄已满三年)的二手车有2辆事故车，设为b1，b2.4辆非事故车设为a1，a2，a3，a4.从6辆车中随机挑选2辆车的情况有(b 1，b 2)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，a 3)，(b 1，a 4)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 2，a 3)，(b 2，a 4)，(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 3，a 4)，共15种．其中2辆车恰好有一辆为事故车的情况有(b 1，a 1) ，(b 1，a 2)，(b 1，a 3)，(b 1，a 4)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 2，a 3)，(b 2，a 4)，共8种．所以该顾客在店内随机挑选2辆车，这2辆车恰好有一辆为事故车的概率为815.②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌(车龄已满三年)的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，1120[(－5 000)×40＋10 000×80]＝5 000(元)．【连线真题·提升解题能力】1．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社会服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3 答案:D解析:将2名男同学分别记为x ，y,3名女同学分别记为a ，b ，c .设“选中的2人都是女同学”为事件A ，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x ，y )，(x ，a )，(x ，b )，(x ，c )，(y ，a )，(y ，b )，(y ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共10种，其中事件A 包含的可能情况有(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共3种，故P (A )＝310＝0.3.故选D.]2．一枚均匀的硬币连续掷三次,则至少出现一次正面向上的概率是( )A.87B.83C.81D.31 答案:A解析:一枚均匀的硬币连续掷三次,出现的所有可能情况是(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反),共8种,至少出现一次正面的有7种,所以所求概率为87.3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A.13B.12C.23D.56 答案:C解析:从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种法有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种法有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P ＝46＝23，故选C. 4．已知集合A={-1,0,1},点P(x,y),其中x ∈A,y ∈A,记点P 落在第一象限为事件M,则P(M)=( ) A.31 B.61 C.91 D.92 答案:C 解析:所有可能的点是(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个,其中在第一象限的有1个,因此P(M)=91. 5．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15C.110D.120答案: C解析: 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.故选C.6. 一商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A 1,A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1,a 2和2个白球b 1,b 2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果.(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.解：(1)所有可能的摸出结果是{A 1,a 1},{A 1,a 2},{A 1,b 1},{A 1,b 2},{A 2,a 1},{A 2,a 2},{A 2,b 1},{A 2,b 2},{B,a 1},{B,a 2},{B,b 1},{B,b 2}.(2)不正确.理由如下:由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1,a 1},{A 1,a 2},{A 2,a 1},{A 2,a 2},共4种,所以中奖的概率为124＝31,不中奖的概率为1－31＝32＞31.故这种说法不正确.[。

高中数学必修3(北师版)第三章3.2 古典概型(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案

名，各年级男、女生人数如下表：0.18例题：一般地，如果事件，，，两两互斥（彼此互斥），那么事件“ ”发生（是指事件，，，中至少有一个发生）的概率，等于这个事件发生的概率和，即（3）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则为必然事件，．高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

A 1A 2⋯A n ∪∪⋯∪A 1A 2A n A 1A 2⋯A n n P (∪∪⋯∪)=P ()+P ()+⋯+P ().A 1A 2A n A 1A 2A n AB A ∪B P (A ∪B )=1 盒子里有个红球，个白球，现从中任取个球，设事件，事件，事件，事件．（1）事件与、是什么样的运算关系？（2）事件与的交事件是什么事件？解：（1）对于事件，可能的结果为个红球个白球，或个红球个白球，故．（2）对于事件，可能的结果为个红球个白球，个红球个白球，个均为红球，故．643A ={3个球中有1个红球，2个白球}B ={3个球中有2个红球，1个白球}C ={3个球中至少有1个红球}D ={3个球中既有红球又有白球}D A B C A D 1221D =A ∪B C 12213C ∩A =A 判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花的牌面数字都是从到）中任意抽取张．（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌的牌面数字为的倍数”与“抽出的牌的牌面数字大于 ”．解：（1）是互斥事件，不是对立事件．从张扑克牌中任意抽取张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．由于可能抽出方块或者梅花，因此不能保证其中必有一个发生，所以二者不是对立事件．（2）既是互斥事件，又是对立事件．从张扑克牌中任意抽取张，“抽取红色牌”与“抽取黑色牌”不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．（3）不是互斥事件，也不是对立事件．从张扑克牌中任意抽取张，“抽出的牌的牌面数字为的倍数”与“抽出的牌的数字大于 ”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌的牌面数字为，因此二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．401101594014014015910某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为，，，．（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；（2）求他不乘轮船去的概率；（3）请问他可能乘何种交通工具去的概率为？解：（1）记“他乘火车去”为事件，“他乘轮船去”为事件，“他乘汽车去”为事件，“他乘飞机去”为事件，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥．所以（2）设他不乘轮船去的概率为，则（3）由于故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．0.30.20.10.40.5A 1A 2A 3A 4P (∪)=P ()+P ()=0.3+0.4=0.7．A 1A 4A 1A 4P P =1−P ()=1−0.2=0.8.A 20.3+0.2=0.5,0.1+0.4=0.5,。

高考数学总复习考点知识讲解与练习32 概率、随机变量及其分布

高考数学总复习考点知识讲解与练习第32讲概率、随机变量及其分布[考情分析]1.考查古典概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等内容，主要以选择题、填空题的形式出现，中低等难度.2.离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，中高等难度．考点一古典概型核心提炼古典概型的概率公式P (A )＝m n ＝事件A 中所含的基本事件数试验的基本事件总数.例1(1)(2020·宁夏六盘山高级中学模拟)2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在某省爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲、乙、丙三名医生，抽调A ，B ，C 三名护士支援某市第一医院与第二医院，参加该市疫情狙击战．其中选一名护士与一名医生去第一医院，其他都在第二医院工作，则医生甲和护士A 被选去第一医院工作的概率为() A.112 B.16 C.15 D.19答案D解析根据题意，选一名护士与一名医生去第一医院，有：甲A ，甲B ，甲C ，乙A ，乙B ，乙C ，丙A ，丙B ，丙C ，9种情况，而医生甲和护士A 被选去第一医院工作有1种情况，所以概率为P ＝19.(2)河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．现从这十个数中随机抽取四个数，则能成为两组的概率是()A.15B.110C.121D.1252 答案C解析现从这十个数中随机抽取4个数，基本事件总数n ＝C 410，能成为两组的基本事件个数m ＝C 25，则能成为两组的概率是P ＝m n ＝C 25C 410＝121.规律方法古典概型求解的关键点(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到排列、组合的有关知识．(2)对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏．跟踪演练1(1)(2018·全国Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A.112 B.114 C.115 D.118答案C解析不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C 210＝45(种)情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，所以所求概率为345＝115.(2)用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为()A.532B.516C.1132D.1116 答案B解析由题意可知，填写的可能结果共有如下32种： 00000,00001,00010,00011,00100,00101,00110,00111， 01000,01001,01010,01011,01100,01101,01110,01111， 10000,10001,10010,10011,10100,10101,10110,10111， 11000,11001,11010,11011,11100,11101,11110,11111，其中满足题意的有10种：10101,10110,10111,11001,11010,11011,11100,11101,11110,11111，由古典概型概率计算公式可得满足题意的概率值P ＝1032＝516.考点二随机变量的分布列核心提炼1．超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.2．二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C knp k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.考向一超几何分布例2(2020·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟)4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生中抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：(1)从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2个，用X表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X的分布列和均值．解(1)由题意得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为4,3,2,3，从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两人的取法共有C212＝66(种)，抽取的两名学生来自同一小组的取法共有C24＋2C23＋C22＝13(种)，所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为P＝13 66 .(2)由(1)知，在参加问卷调查的12名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为4,2，所以抽取的两个人中是甲组学生的人数X的可能取值为0,1,2，因为P(X＝0)＝C04C22C26＝115，P(X＝1)＝C14C12C26＝815，P(X＝2)＝C24C02C26＝25.所以随机变量X的分布列为所以随机变量X的均值为E(X)＝0×115＋1×815＋2×25＝43.跟踪演练2PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．解(1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝C13C27C310＝2140.(2)由条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝k)＝C k3·C3－k7C310(k＝0,1,2,3)．∴P(ξ＝0)＝C03C37C310＝724，P(ξ＝1)＝C13C27C310＝2140，P(ξ＝2)＝C23C17C310＝740，P(ξ＝3)＝C33C07C310＝1120.故ξ的分布列为考向二二项分布例3(2020·陕西安康中学模拟)“互联网＋”是“智慧城市”的重要内容，A市在智慧城市的建设中，为方便市民使用互联网，在主城区覆盖了免费WiFi ，为了解免费WiFi 在A 市的使用情况，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如下列联表(单位：人)：(1)根据以上数据，判断是否有90%的把握认为A 市使用免费WiFi 的情况与年龄有关； (2)将频率视为概率，现从该市45岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取3人中“偶尔或不用免费WiFi”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、均值E (X )和方差D (X )．附：K 2＝n (ad －bc )2(a＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解(1)由列联表可知K 2＝200×(70×40－60×30)2130×70×100×100≈2.198，因为2.198<2.706，所以没有90%的把握认为A 市使用免费WiFi 的情况与年龄有关． (2)由题意可知X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，25，X 的所有可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝C03×⎝⎛⎭⎪⎫353＝27125，P(X＝1)＝C13×25×⎝⎛⎭⎪⎫352＝54125，P(X＝2)＝C23×⎝⎛⎭⎪⎫252×35＝36125，P(X＝3)＝C33×⎝⎛⎭⎪⎫253＝8125.所以X的分布列为E(X)＝3×25＝65，D(X)＝3×25×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.规律方法随机变量分布列问题的两个关键点(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率．(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解．跟踪演练3某机器生产商对一次性购买2台机器的客户推出2种超过质保期后2年内的延保维修方案：方案一：交纳延保金6000元，在延保的2年内一共可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1500元；方案二：交纳延保金7740元，在延保的2年内一共可免费维修4次，超过4次每次收取维修费a元．某工厂准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后2年内维修的次数，统计得下表：以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后2年内共需维修的次数．(1)求X的分布列；(2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算？解(1)X所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6，P(X＝0)＝15×15＝125，P(X＝1)＝110×15×2＝125，P(X＝2)＝110×110＋15×25×2＝17100，P(X＝3)＝110×25×2＋15×310×2＝15，P(X＝4)＝25×25＋310×110×2＝1150，P(X＝5)＝25×310×2＝625，P(X＝6)＝310×310＝9100，∴X的分布列为(2)设选择方案一所需费用为Y1元，则Y1的分布列为E(Y1)＝14×6000＋15×7500＋1150×9000＋625×10500＋9100×12000＝8580.设选择方案二所需费用为Y2元，则Y2的分布列为E(Y2)＝67100×7740＋625×(7740＋a)＋9100×(7740＋2a)＝7740＋21a50.当E(Y1)－E(Y2)＝840－21a50>0，即0<a<2000时，选择方案二更合算，当E(Y1)－E(Y2)＝840－21a50＝0，即a＝2000时，选择方案一、方案二均可；当E(Y1)－E(Y2)＝840－21a50<0，即a>2000时，选择方案一更合算．专题强化练一、单项选择题1.某路公交在某段路上有4个站点(如图)，分别记为A0，A1，A2，A3，现有甲、乙两人同时从A0站点上车，且他们中的每个人在站点A i(i＝1,2,3)下车是等可能的，则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为()A.23B.34C.35D.12答案A解析设事件A表示“甲、乙两人不在同一站点下车”．甲、乙两人同在站点A1下车的概率为13×13；甲、乙两人同在站点A2下车的概率为13×13；甲、乙两人同在站点A3下车的概率为13×13.所以甲、乙两人在同一站点下车的概率为3×13×13＝13，则P(A)＝1－13＝23.2．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b，若X的均值E(X)＝3，则a－b等于()A.110B．0C．－110D.15答案A解析∵离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b，∴(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＋(4a ＋b )＝1，即10a ＋4b ＝1，又X 的均值E (X )＝3，则(a ＋b )＋2(2a ＋b )＋3(3a ＋b )＋4(4a ＋b )＝3，即30a ＋10b ＝3，∴a ＝110，b ＝0，∴a －b ＝110.3．如图，电路从A 到B 上共连接着6个灯泡，每个灯泡断路的概率是13，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A 到B 连通的概率是()A.1027B.448729C.100243D.4081 答案B解析由题图可知，A ，C 之间未连通的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19，连通的概率是1－19＝89.E ，F 之间连通的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，未连通的概率是1－49＝59，故D ，B 之间未连通的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫592＝2581，D ，B 之间连通的概率是1－2581＝5681，故A ，B 之间连通的概率是89×5681＝448729. 4．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6六个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，记事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (B |A )等于() A.12B.13C.14D.25 答案B解析正面朝上的点数(x，y)的不同结果共有C16·C16＝36(种)，事件A：“x＋y为偶数”包含事件A1：“x，y都为偶数”与事件A2：“x，y都为奇数”两个互斥事件，其中P(A1)＝C13·C1336＝14，P(A2)＝C13·C1336＝14，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝14＋14＝12.事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，所以事件AB为“x，y都为偶数且x≠y”，所以P(AB)＝C13·C13－336＝16，由条件概率的计算公式，得P(B|A)＝P(AB)P(A)＝13.5．(2020·山东枣庄市八中月考)某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105，σ2)(σ>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分(含90分和105分)之间的人数约为() A．150B．200 C．300D．400答案C解析因为P(X<90)＝P(X>120)＝1 5，P(90≤X≤120)＝1－25＝35，所以P(90≤X≤105)＝12P(90≤X≤120)＝310，所以此次数学考试成绩在90分到105分(含90分和105分)之间的人数约为1000×3 10＝300.6．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项有且只有一个选项是正确的，A学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X 分，B 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为Y 分，则D (Y )－D (X )等于() A.12512B.3512C.274D.234答案A解析设A 学生答对题的个数为m ，则得分X ＝5m ，m ～B ⎝⎛⎭⎪⎫12，14， D (m )＝12×14×34＝94，所以D (X )＝25×94＝2254；同理设B 学生答对题的个数为n ，则得分Y ＝5n ，n ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，13，D (n )＝12×13×23＝83，所以D (Y )＝83×25＝2003，所以D (Y )－D (X )＝2003－2254＝12512.二、多项选择题7．已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1,2.若0<p 1<p 2<12，则下列结论正确的是() A ．E (ξ1)<E (ξ2) B ．E (ξ1)>E (ξ2) C ．D (ξ1)<D (ξ2)D ．D (ξ1)>D (ξ2) 答案AC解析∵E (ξ1)＝p 1，E (ξ2)＝p 2， ∴E (ξ1)<E (ξ2)，∵D (ξ1)＝p 1(1－p 1)，D (ξ2)＝p 2(1－p 2)， ∴D (ξ1)－D (ξ2)＝(p 1－p 2)(1－p 1－p 2)<0，即D (ξ1)<D (ξ2)．8．某国产杀毒软件的比赛规则为每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是56，35，34，13，且各轮考核能否通过互不影响，则()A ．该软件通过考核的概率为18B ．该软件在第三轮考核被淘汰的概率为18C ．该软件至少能够通过两轮考核的概率为23D ．在此次比赛中该软件平均考核了6524轮答案ABD解析设事件A i (i ＝1,2,3,4)表示“该软件能通过第i 轮考核”，则P (A 1)＝56，P (A 2)＝35，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13.该软件通过考核的概率为P (A 1A 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)＝56×35×34×13＝18，选项A 正确；该软件在第三轮考核被淘汰的概率为P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝56×35×14＝18，选项B 正确；该软件至少能够通过两轮考核的概率为1－P (A 1)－P (A 1A 2)＝1－16－56×25＝12，选项C 不正确；设在此次比赛中，该软件考核了Y 轮，∴Y 的可能取值为1,2,3,4，P (Y ＝1)＝P (A 1)＝16，P (Y ＝2)＝P (A 1A 2)＝56×25＝13，P (Y ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝18，P (Y ＝4)＝P (A 1A 2A 3)＝56×35×34＝38，∴E (Y )＝1×16＋2×13＋3×18＋4×38＝6524，故选项D 正确．三、填空题9．某校高一新生健康检查的统计结果显示：体重超重者占40%，血压异常者占15%，两者都有的占8%，今任选一该校高一新生，已知此人体重超重，则他血压异常的概率为________．答案0.2解析记事件A 表示此人体重超重，事件B 表示此人血压异常，则P (A )＝0.4，P (AB )＝0.08，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.080.4＝0.2. 10．出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是13，则这位司机遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为________．答案427解析因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独立的，且遇到红灯的概率都是13，所以未遇到红灯的概率都是1－13＝23，所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为23×23×13＝427.11．(2020·临沂模拟)《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为________．答案314解析观察八卦图可知，含三根阴线的共有一卦，含三根阳线的共有一卦，含两根阳线一根阴线的共有三卦，含一根阳线两根阴线的共有三卦，所以从八卦中任取两卦有C 28＝28(种)情况．其中抽取的两卦中六根线恰有两根阳线，四根阴线的所有情况是一卦含有三根阴线，另一卦含有两根阳线一根阴线，或者两卦都含有一根阳线两根阴线，即C 13＋C 23＝6(种)情况．故所求概率为P ＝628＝314.12．(2020·浙江)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P (ξ＝0)＝________，E (ξ)＝________. 答案131解析方法一1个红球，1个绿球，2个黄球，共有A 24＝12(种)排列．①红球前面没有黄球，有A13＋1＝4(种)，P(ξ＝0)＝412＝13；②红球前面有1个黄球，有A12＋A12＝4(种)，P(ξ＝1)＝412＝13；③红球前面有2个黄球，有1＋A13＝4(种)，P(ξ＝2)＝412＝13.E(ξ)＝0×13＋1×13＋2×13＝1.方法二①第1次就取到红球：P(红)＝1 4；②第2次取到红球：P(黄，红)＝24×13＝16，P(绿，红)＝14×13＝112；③第3次取到红球：P(黄，黄，红)＝24×13×12＝112，P(黄，绿，红)＝24×13×12＝112，P(绿，黄，红)＝14×23×12＝112；④第4次取到红球：P(黄，黄，绿，红)＝24×13×12＝112，P(黄，绿，黄，红)＝24×13×12＝112，P(绿，黄，黄，红)＝14×23×12＝112.故P(ξ＝0)＝P(红)＋P(绿，红)＝14＋112＝13，P(ξ＝1)＝P(黄，红)＋P(黄，绿，红)＋P(绿，黄，红)＝16＋112＋112＝13，P(ξ＝2)＝P(黄，黄，红)＋P(黄，黄，绿，红)＋P(黄，绿，黄，红)＋P(绿，黄，黄，红)＝112＋112＋112＋112＝13.则E(ξ)＝0×13＋1×13＋2×13＝1.四、解答题13．某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A，B，C三个不同的专业，其中A专业2人，B专业3人，C专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目．(1)求3个人来自两个不同专业的概率；(2)设X表示取到B专业的人数，求X的分布列与均值．解(1)令事件A表示“3个人来自于两个不同专业”，事件A1表示“3个人来自于同一个专业”，事件A2表示“3个人来自于三个不同专业”，P(A1)＝C33＋C35C310＝11120，P(A2)＝C12C13C15C310＝30120＝14，∴3个人来自两个不同专业的概率P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－11120－30120＝79120.(2)随机变量X的取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝C03C37C310＝35120＝724，P(X＝1)＝C13C27C310＝63120＝2140，P(X＝2)＝C23C17C310＝21120＝740，P(X＝3)＝C33C07C310＝1120，∴X的分布列为E(X)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.14．(2020·寿光市第二中学月考)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入不低于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每位农民的年收入互相独立，这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为ξ，求E(ξ)．附参考数据： 6.92≈2.63，若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.解(1)x＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)，故估计50位农民的年平均收入x为17.40千元．(2)由题意知X～N(17.40,6.92)，①P(X≥μ－σ)＝0.5＋0.68272≈0.8414，所以μ－σ≈17.40－2.63＝14.77时，满足题意，即最低年收入大约为14.77千元．②由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)＝0.5＋0.95452≈0.9773，每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.9773，则ξ～B(1000，p)，其中p＝0.9773，所以E(ξ)＝1000×0.9773＝977.3.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

考点32 统计与古典概型1、掌握分层抽样、会求平均数、均值以及方差2、掌握古典古典概型概率的求法回顾五年来1、分层抽样、频率直方图在江苏高考中考均查过一次，但是样本的平均数与方差考查较多，这些知识点往往都是基础题，是送分题目。

在全国范围内考查的不太多·2、概率在江苏每年都考一个题目，难度是容易题。

除了2017年考查几何概型，其它年份均是古典概型。

概率考查的范围是古典概型和几何概型、互斥事件的概率。

估计今年考查还是以古典概型为主。

在全国其他地区考查较少1、用样本估计总体的方式有：一表（频率分布表）；两图（频率分布直方图和茎叶图），2、频率分布直方图的纵轴是频率与组距的商，横轴一般为数据的大小。

图中小矩形的面积就是对应的频率。

3、在总体特征数的估计中，注意区分标准差与方差的概念，4、古典概型：基本事件的总数包含的基本事件的个数A A P)(；基本事件数有限，一般用树形图、图表法等枚举法。

5、在含有“至多”“至少”问题中，要善于运用对立事件的概率求解。

1、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.82、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A．中位数B．平均数C．方差D．极差3、【2018年高考全国Ⅱ卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A．112B．114C．115D．118．4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半5、【2020年高考江苏】已知一组数据4,2,3,5,6a a 的平均数为4，则a 的值是 ▲ ．6、【2020年高考江苏】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.7、【2020年高考天津】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．8、【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________． 9、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．10、【2018年高考江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为______________．11、【2018年高考江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为______________．12、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．二年模拟试题题型一、统计1、（2020届北京市西城区师范大学附属实验中学高三摸底数学试题）已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500，为调查该校学生的学业压力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为270的样本，则从高二年级抽取的人数为（）A．80 B．90 C．100 D．1202、（北京市房山区2019-2020学年高三上学期期末数学试题）从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A或B等级的学生人数为（）A．55 B．80 C．90 D．1103、（2019年11月中学生标准学术能力诊断性测试测试文科数学试题）某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取25名职工进行问卷调查，若采用分层抽样方法，则40~50岁年龄段应抽取的人数是（）A．7B．8C．9D．105、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（）A．5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势6、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：cm）如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是（）A．女生身高的极差为12 B．男生身高的均值较大C．女生身高的中位数为165 D．男生身高的方差较小7、（2020届山东省临沂市高三上期末）为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg）情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示.对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（） A ．他们健身后，体重在区间[)90,100内的人增加了2个 B ．他们健身后，体重在区间[)100,110内的人数没有改变 C ．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kgD ．他们健身后，原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少8、（2020届江苏省七市第二次调研考试）在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8.则该农作物的年平均产量是______吨.9、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三阶段测试）已知一组数据123,,a a a ，…，n a 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据121,a +221,a +321a +，…，21n a +的方差为___________.10、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三9月月考）某厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中A 型号产品有18件，则n 的值为_____.题型二、古典概率1、（2020届山东省日照市高三上期末联考）两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A．12B．13C．512D．162、（2020届山东省潍坊市高三上期中）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．则田忌获胜的概率为（）A．13B．16C．19D．1363、（2020届山东省德州市高三上期末）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（）A．166B．155C．566D．5114、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（）A．59B．49C．716D．9165、（2020届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（）A．15B．815C．35D．3206、将甲、乙等6位同学平均分成正方，反方两组举行辩论赛，则甲、乙被分在不同组中的概率为( )A ．310B ．12C ．35D ．257、（2020届江苏省七市第二次调研考试）“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头.甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是______.8、（2020届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)）已知直线:10l ax by +-=，若,1{}1a ，2,1}1,{b ，则l 不经过第二象限的概率为______．解析附后考点32 统计与古典概型3、掌握分层抽样、会求平均数、均值以及方差4、掌握古典古典概型概率的求法回顾五年来1、分层抽样、频率直方图在江苏高考中考均查过一次，但是样本的平均数与方差考查较多，这些知识点往往都是基础题，是送分题目。

新高考数学考点32 统计与古典概型考点分类讲义练习题附解析2