函数的图像预习学案
2023年人教版八年级数学下册第十九章《函数的图像及其画法》学案
新人教版八年级数学下册第十九章《函数的图像及其画法》学案学习目标：了解函数图象的意义，会观察函数图象获取信息，根据图象初步分析函数的对应关系和变化规律，经历画函数图象的过程，体会函数图象建立数形联系的关键是分别用点的横、纵坐标表示自变量和对应的函数值。
学习重难点：认识函数图象的意义，会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象。
学习过程：一、预习引导：有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图来直观地反映，如心电图表示心脏部位的生物电流与时间的关系。
即使能列式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么使函数关系更直观。
一、问题导学与合作探究：学生看P75---P79并思考以下问题：1、什么是函数图像?2、如何作函数图像？具体步骤有哪些？3、如何判定一个图像是函数图像，你判断的依据是什么?4、有哪些方法表示函数关系？各自的优缺点是什么？（自学检测）：例：如图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春某天气温T如何随时间t变化而变化，你从图中得到了哪些信息？（1）这一天中时气温最低；时气温最高；（2）从时到时气温呈下降趋势，从时到时气温呈上升趋势，从时到时气温又呈下降趋势；总结：正确理解函数图象与实际问题间的内在联系1、函数的图象是由一系列的点组成，图象上每一点的坐标（x,y）代表了该函数关系的一对对应值。
2、读懂横、纵坐标分别所代表的实际意义；3、读懂两个量在变化过程中的相互关系及其变化规律。
三、巩固练习：例1、下图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上．根据图象回答下列问题：（1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时 间？ （2）小明在食堂吃早餐用了多少时间？（3）食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多 少时间？ （4）小明读报用了多长时间？（5）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 2、下列式子中，对于x 每一个确定的值，y 有唯一的对应值，即y 是x的函数，请画出这些函数的图象． 解：（1） 1、列表： x y2、描点：3、连线。
1.3.1正弦函数的图像学案
1. 3.1 正弦函数的图象导学案【学习目标】1、能用描点法描出正弦函数的图象.2、能找出正弦函数中的五个关键点，并能用五点法画出一些较简单的函数图象. 【学习重点】正弦函数图象【学习难点】将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点预习案（阅读教材第37—38页内容，完成以下问题：）1、借助单位圆中的正弦线在下图中画出正弦函数y=sinx, x∈[0,2π]的图象。
说明：使用三角函数线作图象时，将单位圆分的份数越多，图象越准确。
在作函数图象时，自变量要采用弧度制，确保图象规范。
①由于正弦函数y=sinx中的x可以取一切实数，所以正弦函数图象向两侧。
②正弦函数y=sinx图象总在直线和之间运动。
4、观察正弦函数y=sinx, x∈[0,2π]的图象，找到起关键作用的五个点：，，，，例、用“五点作图法”作出下列函数的简图;（1）y=sinx-1, x∈[0,2π]（2）y= - sinx,x∈[0, 2π]作图方法总结：探究案：1、用“五点作图法”作出y=x sin , x ∈[0,2π]的图象；并通过猜想画出y=x sin 在整个定义域内的图象。
2、用“五点作图法”作出y=sin|x|, x ∈[0,2π]的图象；并通过猜想画出y=sin|x|在整个定义域内的图象。
3、用五点法画出 的图象通过本课学习，我的收获：课后案：1. 函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-=23,2,sin ππx x y 的简图（ ）.2． x y sin 2+=， []π2,0∈x 的图象与直线32y =的交点的个数为 . 3．点),3(m M π-在函数x y sin =的图象上，则m 等于（）A ．21-B ．21C ．23- D ．23 4．下列对x y sin =的图象描述错误的是（）A ．在[]π2,0和在[]ππ6,4的图象形状相同，只是位置不同 B ．夹在直线1=y 和直线1-=y 之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴只有一个交点5.用五点法分别作出下列函数在[-2π,2π]上的图象 1）y=1-sinx 2)y=sin(-x)[]sin(),0,22y x x ππ=+∈。
学案2：5.4.3 正切函数的性质与图象
5.4.3 正切函数的性质与图象学 习 目 标核 心 素 养1.能画出正切函数的图象．(重点)2.掌握正切函数的性质．(重点、难点)3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易错点)1.借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养.2.通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养.【自主预习】正切函数的图象与性质 解析式 y ＝tan x图象定义域 值域 R 周期 π奇偶性 对称中心单调性在开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 内都是增函数 【基础自测】1．在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan x2D ．y ＝－tan x2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6的定义域为________． 3．函数y ＝tan 3x 的最小正周期是________． 4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π5的单调增区间是________． 【合作探究】类型一 有关正切函数的定义域、值域问题【例1】 (1)函数y ＝1tan x ⎝⎛⎭⎫－π4＜x ＜π4且x ≠0的值域是( ) A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)(2)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的定义域为________．(3)函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域为________．[思路点拨] 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线． 【规律方法】1．求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .2．解形如tan x ＞a 的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件． 【跟踪训练】1．函数y ＝log 12tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π－π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z2．求函数y ＝tan 2⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋1的定义域和值域．类型二 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性 【例2】 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期为________． (2)已知函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π3，则该函数图象的对称中心坐标为________． (3)判断下列函数的奇偶性：①y ＝3x tan 2x －2x 4；②y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋tan x .[思路点拨] (1)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期T ＝π|ω|，也可以用定义法求周期． (2)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx ＋φ＝k π2，k ∈Z 求出．(3)先求定义域看是否关于原点对称，若对称再判断f (－x )与f (x )的关系．【规律方法】1．函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)周期的求解方法： (1)定义法．(2)公式法：对于函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现． 2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系． 提醒：y ＝tan x ，x ≠k π＋π2，k ∈Z 的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z .【跟踪训练】3．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝tan 2 x －tan xtan x －1；(2)f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＋tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.类型三 正切函数单调性的应用 [探究问题]1．正切函数y ＝tan x 在其定义域内是否为增函数？2．如果让你比较tan ⎝⎛⎭⎫－4π3与tan ⎝⎛⎭⎫－11π5的大小，你应该怎样做？【例3】 (1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________． (2)求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间．[思路点拨] (1)利用y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上为增函数比较大小，注意tan 1＝tan(π＋1)． (2)先将原函数化为y ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4，再由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z ，求出单调减区间．[母题探究]1．将本例(2)中的函数改为“y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4”，结果又如何？2．将本例(2)中的函数改为“y ＝lgtan x ”结果又如何？【规律方法】1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω≠0，且A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2＜ωx ＋φ＜k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan [－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可． 2．运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．提醒：y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)只有增区间；y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＜0，ω＞0)只有减区间．【课堂小结】1．利用单位圆中的正切线作正切函数的图象，作图较为准确，但画图时较繁，我们常用“三点两线”法作正切曲线的简图．2．正切函数与正弦函数、余弦函数的性质比较．【当堂达标】1．思考辨析(1)正切函数的定义域和值域都是R .( )(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心．( ) (3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x ＝k π±π2，k ∈Z .( )(4)正切函数是增函数．( ) 2．若tan x ≥1，则( ) A ．2k π－π4＜x ＜2k π(k ∈Z )B ．x ≤(2k ＋1)π(k ∈Z )C ．k π－π4＜x ≤k π(k ∈Z )D ．k π＋π4≤x ＜k π＋π2(k ∈Z )3．求函数y ＝tan(π－x )，x ∈⎝⎛⎭⎫－π4，π3的值域为________． 4．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．【参考答案】【自主预习】正切函数的图象与性质⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z奇函数⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z【基础自测】1．C [A ，D 的周期为π，B 中函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上递减，故选C.] 2．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z [因为2x －π6≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π2＋π3，k ∈Z 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z .] 3．π3 [函数y ＝tan 3x 的最小正周期是π3.] 4．⎝⎛⎭⎫k π－3π10，k π＋7π10，k ∈Z [令k π－π2＜x －π5＜k π＋π2，k ∈Z 得k π－3π10＜x ＜k π＋7π10，k ∈Z 即函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π5的单调增区间是⎝⎛⎭⎫k π－3π10，k π＋7π10，k ∈Z .] 【合作探究】类型一 有关正切函数的定义域、值域问题 【例1】(1)B (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4k π－4π3，k ∈Z (3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＋k π≤x <π4＋k π，k ∈Z [(1)当－π4＜x ＜0时，－1＜tan x ＜0，∴1tan x ≤－1； 当0＜x ＜π4时，0＜tan x ＜1，∴1tan x≥1.即当x ∈⎝⎛⎭⎫－π4，0∪⎝⎛⎭⎫0，π4时，函数y ＝1tan x 的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． (2)要使函数有意义应满足π6－x 4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠－4k π－4π3，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4k π－4π3，k ∈Z . (3)要使函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1. 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4.又因为y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＋k π≤x <π4＋k π，k ∈Z .] 【跟踪训练】1．B [由题意tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＞0，即tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＜0， ∴k π－π2＜x －π4＜k π，∴k π－π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z ，故选B.]2．[解] 由3x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋π18(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π3＋π18(k ∈Z ). 设t ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34≥34， 所以原函数的值域是⎣⎡⎭⎫34，＋∞.类型二 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性 【例2】(1)π2 (2)⎝⎛⎭⎫k π2＋π3，0，k ∈Z [(1)法一：(定义法) ∵tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 即tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. 法二：(公式法)f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期T ＝π2. (2)由x －π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2＋π3，0，k ∈Z .] (3)①定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，关于原点对称， 又f (－x )＝3(－x )tan 2(－x )－2(－x )4＝3x tan 2x －2x 4＝f (x )，所以它是偶函数．②定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称， y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋tan x ＝sin x ＋tan x ，又f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， 所以它是奇函数． 【跟踪训练】3．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，tan x ≠1，得f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ， 不关于原点对称，所以函数f (x )既不是偶函数，也不是奇函数． (2)函数定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π4，k ∈Z ， 关于原点对称，又f (－x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－x －π4＋tan ⎝⎛⎭⎫－x ＋π4 ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－tan ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数． 类型三 正切函数单调性的应用 [探究问题]1．提示：不是．正切函数的图象被直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开，所以它的单调区间只在⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x 1＝π4，x 2＝54π，x 1<x 2，但tan x 1＝tan x 2.2．提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较． 【例3】(1) tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1 [(1)y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2上是单调增函数， 且tan 1＝tan(π＋1)，又π2＜2＜3＜4＜π＋1＜3π2，所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1.](2)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z 得，－π8＋k 2π＜x ＜3π8＋k2π，k ∈Z ， 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的减区间为－π8＋k 2π，3π8＋k2π，k ∈Z .[母题探究]1．[解] 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，∴函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调递增区间是2k π－π2，2k π＋32π(k ∈Z )． 2．[解] 因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数． 所以函数y ＝lgtan x 的单调递增区间 就是函数y ＝tan x (tan x ＞0)的递增区间， 即⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π，k ∈Z . 【当堂达标】1．[提示] 由正切函数图象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×. [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．D [因为tan x ≥1＝tan π4，所以π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z .]3．(－3，1) [y ＝tan(π－x )＝－tan x ，在⎝⎛⎭⎫－π4，π3上为减函数，所以值域为(－3，1)．] 4．[解] ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠2k π＋53π，k ∈Z . ②T ＝π12＝2π，∴函数的最小正周期为2π.③由k π－π2＜x 2－π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋5π3， k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0，k ∈Z .。
教、学案：10、函数的图像及变换
教、学案：10、函数的图像及变换(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--10、函数的图像及图像变换知识点：1、 函数的图像2、 函数图像的变换3、 函数图像的应用知识梳理1.二次函数的解析式的三种形式： (1) 一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;(2) 顶点式2()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式）(3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时，设为此式）(4)二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。
二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是abx 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，。
2.常见函数的图像：⑴幂函数：αx y = （)R ∈α ；⑵指数函数：)1,0(≠>=a a a y x ； ⑶对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ；(4)其它常用函数：①正比例函数：)0(≠=k kx y ；②反比例函数：)0(≠=k xky ；③对号函数)0(>+=a xax y ； 3．函数图象：⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法⑵图象变换：① 平移变换：ⅰ))()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“－”； ⅱ))0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“－”；② 对称变换：ⅰ)(x f y =−−→−)0,0()(x f y --=；ⅱ)(x f y =−→−=0y )(x f y -=； ⅲ )(x f y =−→−=0x)(x f y -=； ⅳ)(x f y =−−→−=xy ()x f y =； ③ 翻转变换：ⅰ)|)(|)(x f y x f y =→=———右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）；ⅱ)|)(|)(x f y x f y =→=———上不动，下向上翻（|)(x f |在x 轴下面无图象）；3.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2b a x -=对称. 题型归纳:一、 函数图像例1（1）（2019新课标3（7））函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图象大致为 A ．B ．C ．D ．（2）(2018新课标2)3．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为答案:（1）B.分析：已知函数显然是奇函数，排C ，取x=4代入验证得y ∈(7,8)，所以选B（2）B.分析：已知函数是奇函数，排A ，取x=1，得y=e- e -1>0，排D ，而C 是反比例函数图像，所以排除，选B 练习11(2018新课标3)9．函数422y x x =-++ 的图像大致为（ ）2（2016新课标（1）9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ） C3（2012年高考（四川理））函数的图象可能是4、已知a >0且a ≠1，则两函数f (x )＝a x 和g (x )＝log a （- x1）的图象只可能是 ( )5．数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）6、向高为 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量 与水深 的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（ ）二、 图像的平移、对称与翻折变换例2、(1)已知定义在区间(0,2)上的函数()y f x =的图像如图所示,则(2)y f x =--的图像为(2)已知函数21)(,12)(x x g x f x -=-=，构造函数)(x F，定义如下：当)()(x g xf ≥时，)()(x f x F =；当)()(x g x f <时，)()(x g x F -=那么)(x F ： A ．有最小值0，无最大值 B ．有最小值-1，无最大值 C ．有最大值1，无最小值 D ．无最小值，也无最大值；(3)（15B ，福建，文15）．若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于 .分析：（1）y=-f(-x)与()y f x =的图像关于原点对称，y=-f(-x)的图像向右平移2个单位即得(2)y f x =--的图像，选B （2）画出图像可得答案B()2()x af x a R -=∈(1)(1)f x f x +=-()f x [,)m +∞m (1)(1)f x f x +=-(3)由已知 得其对称轴是x=1,则函数化为f(x)=2|x-1|，所以f(x)在[1, +∞）上单调增，所以m ≥1，即m 的最小值是1 练习21、已知]3,1[,)2()(2-∈-=x x x f ，则函数)1(+x f 得单调递减区间是________.2、 函数f(x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[－2，0]，则f(x)的单调递减区间是________．3、函数x x x f -=2)(的单调递减区间是__________________ _值域是______________ （画出图像）4、函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是 （ ） A ．]8,3[B ． ]2,7[--C ．]5,0[D ．]3,2[-5．（2013年高考北京卷（理））函数f (x )的图象向右平移1个单位长度,所得图象与y =e x关于y 轴对称,则f (x )= A.B.C.D.三、函数图像的应用例3（1）（15B ，北京，理7）如图，函数的图象为折线ACB ，则不等式的解集是 A. B. C. D. (2)（15C ，安徽，理9）函数的图像如图所示，则下列结论成立的是A. B. C.D.()2()x af x a R -=∈)(x f ()1log )(2+≥x x f {}01≤<-x x {}11≤≤-x x {}11≤<-x x {}21≤<-x x 2)()(c x bax x f ++=0,0,0<>>c b a 0,0,0>><c b a 0,0,0<><c b a 0,0,0<<<c b a A-1BC22Oxy（3）已知()1,()2,()6,x f x x g x h x x =+==-+设函数()min{(),(),()}F x f x g x h x =，则()F x 的最大值为（ （A ）1 (B) 2 (C)72(D)4 （4）（2017全国3理15）设函数，则满足的的取值范围是_________.解析：（1）如图时，=1解集为. 注意定义域不包括-1.(2)由()()2ax bf x x c +=+及图象可知，x c ≠-，0c ->，则0c <；当0x =时，2(0)0b f c =>，所以0b >；当0y =，0ax b +=，所以0bx a=->，所以0a <.故0a <，0b >，0c <，选C. （3）画出图像即可得答案C（4）解析一 因为，， 即.由图像变换可作出与 的图像如图所示.由图可知，满足的解集为.x ≤0 解析二(分段讨论)：原不等式可化为 x+1+(x-21)+1>1 或 x>0 且x-21≤0 x- 21>0 ()1020xx x f x x +⎧=⎨>⎩，，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭x 1x2()log (1)f x x )1(log )(2+≥∴x x f (]1,1-)1(log 2+x ()1,02 ,0x x x f x x +⎧=⎨>⎩≤()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1y f x =-()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭41)2-)2x +(x-21)+1>1 或 2x +2x-1/2>1 解之得，x>-1/4 归纳：函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等；二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项.第（1）函数y=log 2(x+1)的定义域{x|x>-1},所以排B,然后由x=1时得 从而得答案C第（2）题主要是通过函数解析式判断其定义域，并在图形中判断出来，另外，根据特殊点的位置能够判断,,a b c 的正负关系.（3）（4）题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，体现了数形结合思想.例4（1）已知m x f x +-=132)(是奇函数，求常数m 的值； （2）画出函数|13|-=x y 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3－１｜＝k 无解有一解有两解分析：（1）利用f(-1)=f(1)求出m ；也可通分后利用前面归纳的模型得m=1 （2）画出函数|13|-=x y 的图像（即y=3x d 的图像向下平移1个单位后保留x 轴上方的部分，x 轴下面的沿x 轴翻折即可），再画y=k 的图像，按它们没有交点、只有一个交点、两个交点分别得k 的值：k<0时无解、k=0或k ≥1时一解、0<k<1时两解归纳：本题正确的画出图像，方程的解转化成函数图像交点的个数，主要考查函数图像的画法，数形结合思想，函数与方程、零点等基础知识. 训练数形结合的能力. 练习31.【2015高考安徽，文14】在平面直角坐标系xOy 中，若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点，则a 的值为 .2()log (1)f x x2．（2013年高考湖南卷（理））函数的图像与函数的图像的交点个数为3．（2013年天津数学（理））函数的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4综合练习1（15C ，天津，文8）已知函数,函数,则函数的零点个数为A. B. C. D.2(2020新高考全国1)8.若定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且(2)0f =，则满足(1)0xf x x -≥的的取值范围是A ．[1,1][3,)-⋃+∞B ．[3,1][0,1]--⋃C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃3、已知函数23[1,2]()3(2,5]x x f x x x ⎧-∈-=⎨-∈⎩， （1）在图1给定的直角坐标系内画出()f x 的图象；（2）写出()f x 的单调区间，并指出单调性； （3）写出函数()f x 的最大值和最小值。
正弦函数的图像学案
正弦函数的图像学案腔镜甲状腺手术体会作为一名医生，我有幸参与了腔镜甲状腺手术，这是一次难忘的经历。
在此，我想分享我的手术经验和体会，希望对大家有所帮助。
一、手术背景甲状腺疾病是一种常见的内分泌疾病，对于需要手术治疗的患者来说，传统的开放手术方式会留下明显的疤痕。
随着医学技术的发展，腔镜甲状腺手术逐渐被广泛应用，这种手术方式具有创伤小、恢复快、美观性高等优点。
二、手术过程在进行腔镜甲状腺手术前，我和我的团队进行了详细的术前评估和讨论。
患者被给予全身麻醉，并被放置在舒适的手术体位。
我们使用了先进的腔镜设备，通过几个小的皮肤切口将甲状腺暴露出来。
在这个过程中，我们使用了特殊的手术器械和能量设备，如超声刀和电凝器，以进行精细的手术操作。
三、手术体会在进行腔镜甲状腺手术时，我深刻体会到了以下几点：1、技能要求高：腔镜手术需要医生具备丰富的开放手术经验和精湛的内镜操作技能。
在手术过程中，要保持稳定的操作姿势，灵活运用各种手术器械，做到准确无误。
2、团队合作重要：腔镜甲状腺手术需要一支专业的团队密切配合。
麻醉师、护士和医生之间需要建立良好的沟通，确保手术顺利进行。
3、细节：在手术过程中，我深感细节的重要性。
如术前评估、体位摆放、切口选择、器械使用等细节都会影响到手术效果和患者恢复。
4、患者关怀：作为医生，我们不仅要手术本身，还要患者的身心需求。
在手术过程中，要时刻患者的生命体征和感受，给予适当的安慰和关怀。
四、总结通过这次腔镜甲状腺手术，我深刻体会到了现代医学技术的进步和发展。
作为一名医生，我们要不断学习和掌握新技术，提高自己的医疗水平。
我们要始终患者的需求和感受，给予他们全面的关怀和治疗。
我相信，在医生和患者的共同努力下，我们可以战胜各种疾病，创造更美好的未来。
正弦函数的图像和性质课件一、引言正弦函数是数学中基本且重要的一类函数，其在三角学、信号处理、物理和工程等领域都有广泛的应用。
理解正弦函数的图像和性质不仅有助于深化我们对数学概念的理解，也有助于我们在实际应用中更好地使用和操作。
数学一轮复习第二章函数2.7函数的图像学案理
2.7函数的图像必备知识预案自诊知识梳理1.利用描点法作函数图像的流程2。
函数图像间的变换(1）平移变换对于平移，往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减。
(2）对称变换（3)伸缩变换y=f(x）y=f(ax），y=f(x)y=Af(x)。
1.函数图像自身的轴对称(1）f(—x)=f(x)⇔函数y=f(x）的图像关于y轴对称;（2)函数y=f（x）的图像关于x=a对称⇔f(a+x)=f（a—x）⇔f（x)=f（2a—x）⇔f（—x)=f(2a+x)；(3)若函数y=f(x）的定义域为R，且有f（a+x)=f（b-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a+a2对称.2.函数图像自身的中心对称（1)f（—x）=—f（x）⇔函数y=f（x）的图像关于原点对称;（2)函数y=f（x)的图像关于(a,0)对称⇔f（a+x）=—f(a-x)⇔f(x)=-f（2a—x）⇔f（-x）=-f(2a+x）;(3)函数y=f(x)的图像关于点（a,b）成中心对称⇔f(a+x）=2b—f（a-x)⇔f(x）=2b-f(2a—x);（4）若函数y=f（x）的定义域为R，且满足条件f(a+x)+f(b—x)=c(a，b，c为常数)，则函数y=f(x）的图像关于点(a+a2,a2)对称。
3。
两个函数图像之间的对称关系(1)函数y=f(a+x）与y=f（b-x)的图像关于直线x=a-a2对称(由a+x=b-x得对称轴方程);（2)函数y=f（x)与y=f(2a—x）的图像关于直线x=a对称；(3)函数y=f(x）与y=2b—f（-x）的图像关于点（0，b）对称;（4）函数y=f（x)与y=2b-f（2a-x)的图像关于点(a，b)对称。
考点自诊1。
判断下列结论是否正确,正确的画“√"，错误的画“×”.（1)将函数y=f（x）的图像先向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数y=f（x+1)+1的图像.(）（2)当x∈(0,+∞）时,函数y=｜f（x)｜与y=f(｜x|）的图像相同.（）（3)函数y=f（x）与y=-f(—x)的图像关于原点对称。
学案4：4.4 幂函数
4.4 幂函数学 习 目 标核 心 素 养1.掌握幂函数的概念、图像和性质．(重点)2．熟悉α＝1,2,3，12，－1时的五类幂函数的图像、性质及其特点．(易错点)3．能利用幂函数的图像与性质解决综合问题．(难点)1.通过幂函数概念与图像的学习，培养数学抽象素养． 2．借助幂函数性质的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.【自主预习】1．幂函数的概念一般地，函数 称为幂函数，其中α是 ．思考：幂函数y ＝x α与指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)有什么样的区别？2．五个常见幂函数的图像3．幂函数的图像特征及性质(1)幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y 轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上分布．(2)当α＞0时，图像过点 ， 且在第一象限随x 的增大而 ，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数．(3)当α＜0时，幂函数的图像，过点 ，且在第一象限随x 的增大而 ，函数在区间(0，＋∞)上是单调 函数，且向右无限接近 轴，向上无限接近 轴． (4)当α为奇数时，幂函数为 函数；当α为偶数时，幂函数为 函数．【基础自测】1．下列函数中不是幂函数的是( )A．y＝x B．y＝x3C．y＝2x D．y＝x－12．幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过()A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限3．若幂函数f(x)＝(m2－m－1)x1－m是偶函数，则实数m＝()A．－1 B．2C．3 D．－1或24．已知幂函数f(x)的图像经过点(2，2)，则f(4)＝________.【合作探究】【例1】是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．【规律方法】1．只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．2．判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.形如y＝(3x)α，y ＝2xα，y＝xα＋5，…，形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．【跟踪训练】1．，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数？(2)反比例函数？(3)二次函数？(4)幂函数？类型二幂函数的图像和性质【例2】 (1)幂函数(m ∈Z )的图像如图所示，则m 的值为( )A ．－1＜m ＜4B ．0或2C ．1或3D ．0,1,2或3(2)已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)<(5－2a )的a 的取值范围．[思路探究] (1)根据幂函数的图像特征与性质确定m 的值；(2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m 的值，再利用幂函数的单调性求解关于a 的不等式．【规律方法】 幂函数的性质(1)在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图像都通过点(1,1)．(2)若α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．当0<α<1时，在第一象限内为抛物线形，且开口向右；当α>1时，在第一象限内为抛物线形，且开口向上． (3)若α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内为双曲线形，当x 从右边趋向原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴；当x 趋于＋∞时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴． 【跟踪训练】2．(1)函数f (x )＝x -12的大致图像是( )(2)如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图像，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12类型三幂值的大小比较[探究问题]1．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的单调性与实数a 有什么关系？幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？2．23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ 3．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？【例3】 比较下列各组数中两个数的大小．(1)⎝⎛⎭⎫250.5与⎝⎛⎭⎫130.5；(2)⎝⎛⎭⎫－23-1与⎝⎛⎭⎫－35-1； (3)⎝⎛⎭⎫2334与⎝⎛⎭⎫3423.[思路探究] (1)利用函数y ＝x 0.5的单调性比较大小； (2)利用函数y ＝x－1的单调性比较大小；(3)借助中间量⎝⎛⎭⎫2323比较大小．【规律方法】利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法【跟踪训练】3．比较下列各组数的大小：【课堂小结】1．本节课的重点是掌握幂函数的概念、图像及性质，难点是幂函数图像与性质的简单应用． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断幂函数的方法． (2)解决幂函数图像的两个原则． (3)比较幂值大小的方法．3．本节课的易错点是对幂函数的图像掌握不准而致错.【当堂达标】1．思考辨析(1)函数y ＝x -45是幂函数．( ) (2)函数y ＝2－x 是幂函数．( )(3)幂函数的图像都不过第二、四象限．( ) 2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )3．函数y ＝x 53的图像大致是图中的( )A B C D 4．比较下列各组数的大小：【参考答案】【自主预习】1． y ＝x α常数思考：[提示] 幂函数y ＝x α的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y ＝a x 中，底数是常数，指数是自变量． 3．(2) (1,1) (0,0)上升增 (3)(1,1) 下降减xy(4)奇偶【基础自测】1．C [形如y ＝x α的函数为幂函数，只有C 不是．]2．A [由幂函数的图像可知，其图像一定不经过第四象限．] 3．A [因为f (x )＝(m 2－m －1)·x 1－m为幂函数，所以m 2－m －1＝1解得m ＝－1或2，又f (x )是偶函数，则1－m 为偶数．故m ＝－1.] 4．2 [设f (x )＝x α，∴α＝12，∴f (4)＝412＝2.]【合作探究】【例1】[解] 根据幂函数定义得，m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1， 当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f (x )＝x －3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求． ∴f (x )的解析式为f (x )＝x 3. 【跟踪训练】1．[解] (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝1.(2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，所以m ＝－1± 2.【例2】(1)D [(1)因为幂函数图像在第一象限内为减函数，所以m 2－3m －4＜0，解得－1＜m ＜4，又图像关于y 轴对称说明m 2－3m －4为偶数，又m ∈Z ，所以m 的值为0,1,2或3.] (2)[解] 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m <3， 又m ∈N *，所以m ＝1,2.因为函数的图像关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1，则原不等式可化为(a ＋3)-15<(5－2a )-15.因为y ＝x -15在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减， 所以a ＋3>5－2a >0或5－2a <a ＋3<0或a ＋3<0<5－2a ， 解得23<a <52或a <－3，a 的取值范围为(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫23，52. 【跟踪训练】2．(1)A (2)B [(1)因为－12＜0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，排除选项B ，C ；又f (x )的定义域为(0，＋∞)，故排除选项D.(2)考虑幂函数的图像在第一象限内的增减性，注意当n >0时，对于y ＝x n ，n 越大，y ＝x n 增幅越快，n <0时看|n |的大小．根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图像当n >0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12，当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2，故选B.][探究问题]1．[提示] 当a >1时，函数y ＝a x 单调递增；当0<a <1时，函数y ＝a x 单调递减．当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减． 2．[提示] 23.1和23.2可以看作函数f (x )＝2x 的两个函数值，因为函数f (x )＝2x 单调递增，所以23.1＜23.2. 3．[提示] 2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f (x )＝x－0.2的两个函数值，因为函数f (x )＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.【例3】[解] (1)∵幂函数y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，∴⎝⎛⎭⎫250.5>⎝⎛⎭⎫130.5. (2)∵幂函数y ＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵函数y 1＝⎝⎛⎭⎫23x为R 上的减函数，又34>23，∴⎝⎛⎭⎫2323>⎝⎛⎭⎫2334. 又∵函数y 2＝x 23在[0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴⎝⎛⎭⎫3423>⎝⎛⎭⎫2323，∴⎝⎛⎭⎫3423>⎝⎛⎭⎫2334. 【跟踪训练】3．[解] (1)函数y ＝x -52在(0，＋∞)上为减函数．∵3＜3.1，∴3-52＞3.1-52. (2)∵y ＝x 0.8在[0，＋∞)上是增函数，0.7＜0.8，∴0.70.8＜0.80.8. 又∵y ＝0.8x 在R 上是减函数，0.7＜0.8，∴0.80.8＜0.80.7. ∴0.70.8＜0.80.8＜0.80.7，即0.70.8＜0.80.7.【当堂达标】1．(1)√ (2)× (3)× [(1)√.函数y ＝x -45符合幂函数的定义，所以是幂函数． (2)×.幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x 不是幂函数． (3)×.幂函数y ＝x 2过第二象限．]2．D [A 中定义域和值域都是R ；B 中定义域和值域都是(0，＋∞)；C 中定义域和值域都是R ；D 中定义域为R ，值域为[0，＋∞)．]3．B [∵函数y ＝x 53是奇函数，且α＝53＞1，∴函数图像为B.]4．[解] (1)－8-78＝－⎝⎛⎭⎫1878，函数y ＝x 78在[0，＋∞)上为增函数， 又18>19，则⎝⎛⎭⎫1878>⎝⎛⎭⎫1978，从而－8-78<－⎝⎛⎭⎫1978.。
高中数学第四章对数函数的性质与图像(第1课时)对数函数的性质与图像学案新人教B版
第1课时 对数函数的性质与图像问题导学预习教材P24－P27的内容，思考以下问题：1．对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？2．对数函数的图像是什么，通过图像可观察到对数函数具有哪些性质？对数函数一般地，函数y ＝log a x 称为对数函数，其中a 是常数，a >0且a ≠1. 对数函数y ＝log a x 的性质：(1)定义域是(0，＋∞)，因此函数图像一定在y 轴的右边． (2)值域是实数集R ．(3)函数图像一定过点(1，0)．(4)当a >1时，y ＝log a x 是增函数；当0<a <1时，y ＝log a x 是减函数． (5)对数函数的图像■名师点拨底数a 与1的大小关系决定了对数函数图像的“升降”：当a ＞1时，对数函数的图像“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图像“下降”．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝log x 12是对数函数．( )(2)函数y ＝2log 3x 是对数函数．( )(3)函数y ＝log 3(x ＋1)的定义域是(0，＋∞)．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×函数f (x )＝x －1＋lg x 的定义域是( )A ．(0，＋∞)B ．(0，1)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C.因为⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0x >0，所以x ≥1.下列不等号连接错误的一组是( )A ．log 0.52.2>log 0.52.3B ．log 34>log 65C ．log 34>log 56D ．log πe>log e π解析：选 D.函数y ＝log πx 在定义域上单调递增，e<π，则log πe<log ππ＝1.同理，log e π>log e e ＝1，则log πe<log e π.故D 错误．函数y ＝log(3a －1)x 是(0，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是________. 解析：由题意可得0<3a －1<1， 解得13<a <23，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23对数函数的概念判断下列函数哪些是对数函数？(1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 6x ；(3)y ＝log x 3；(4)y ＝log 2x ＋1. 【解】 (1)log 2x 的系数是3，不是1，不是对数函数． (2)符合对数函数的结构形式，是对数函数． (3)自变量在底数位置上，不是对数函数． (4)对数式log 2x 后又加1，不是对数函数．判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x .若某对数函数的图像过点(4，2)，则该对数函数的解析式为( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝2log 4xC ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4xD ．不确定解析：选A.设对数函数的解析式为y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，由题意可知log a 4＝2， 所以a 2＝4，所以a ＝2，所以该对数函数的解析式为y ＝log 2x .对数函数的图像如图所示，曲线是对数函数y ＝loga x 的图像，已知a 取3，43，35，110，则对应于c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为( ) A.3、43、35、110B.3、43、110、35C.43、3、35、110D.43、3、110、35【解析】 法一：观察在(1，＋∞)上的图像，先排c 1、c 2底的顺序，底都大于1，当x ＞1时图像靠近x 轴的底大，c 1、c 2对应的a 分别为3、43.然后考虑c 3、c 4底的顺序，底都小于1，当x ＜1时图像靠近x 轴的底小，c 3、c 4对应的a 分别为35、110.综合以上分析，可得c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为3、43、35、110.故选A.法二：作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a (即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c 1、c 2、c 3、c 4对应的a 值分别为3、43、35、110，故选A.【答案】 A函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的 底数变化对图像位置的影响观察图像，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a ＞1时，a 越大，图像越靠近x 轴，0＜a ＜1时，a 越小，图像越靠近x 轴．(2)左右比较：比较图像与y ＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．1．函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图像过定点( ) A ．(1，2) B ．(2，1) C ．(－2，1)D ．(－1，1)解析：选D.令x ＋2＝1，即x ＝－1， 得y ＝log a 1＋1＝1，故函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图像过定点(－1，1)．2．如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图像，则( )A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1D ．b ＞a ＞1解析：选B.作直线y ＝1，则直线y ＝1与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0＜b ＜a ＜1.与对数函数有关的定义域问题若f (x )＝1log 12（2x ＋1），则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞0，2x ＋1≠1，解得x ＞－12且x ≠0.【答案】 C求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1；三是按底数的取值范围对应单调性，有针对性地解不等式．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( )A ．(0，1)B ．[0，1)C ．(0，1]D ．[0，1]解析：选B.因为y ＝x ln(1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x ＞0，解得0≤x ＜1.1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a (2x ) B ．y ＝log 22xC ．y ＝log 2x ＋1D ．y ＝lg x解析：选D.选项A 、B 、C 中的函数都不具有“y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)”的形式，只有D 选项符合．2．函数f (x )＝11－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，可得－13＜x ＜1.3．函数y ＝a x与y ＝－log a x (a ＞0，且a ≠1)在同一坐标系中的图像形状可能是( )解析：选A.函数y ＝－log a x 恒过定点(1，0)，排除B 项；当a ＞1时，y ＝a x是增函数，y ＝－log a x 是减函数，排除C 项，当0<a <1时，y ＝a x为减函数，y ＝－log a x 为增函数，排除D 项，故A 项正确．4．若a ＞0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋1的图像过定点为________． 解析：函数图像过定点，则与a 无关，故log a (x －1)＝0，所以x －1＝1，x ＝2，y ＝1，所以y ＝log a (x －1)＋1过定点(2，1)． 答案：(2，1)5．比较下列各组数的大小： (1)log 22________log 23； (2)log 32________1； (3)log 134________0.解析：(1)底数相同，y ＝log 2x 是增函数，所以log 22＜log 2 3.(2)log 32＜log 33＝1.(3)log 134＜log 131＝0.答案：(1)＜ (2)＜ (3)＜[A 基础达标]1．函数f (x )＝11－x＋lg (1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选C.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x ≠0，解得x >－1且x ≠1.2．对数函数的图像过点M (16，4)，则此对数函数的解析式为( ) A ．y ＝log 4x B ．y ＝log 14xC ．y ＝log 12xD ．y ＝log 2x解析：选D.由于对数函数的图像过点M (16，4)，所以4＝log a 16，得a ＝2.所以此对数函数的解析式为y ＝log 2x ，故选D.3．函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A.因为3x＞0，所以3x＋1＞1.所以log 2(3x＋1)＞0. 所以函数f (x )的值域为(0，＋∞)． 4．函数y ＝lg(x ＋1)的图像大致是( )解析：选C.由底数大于1可排除A 、B ，y ＝lg(x ＋1)可看作是y ＝lg x 的图像向左平移1个单位(或令x ＝0得y ＝0)，而且函数为增函数，故选C.5．已知函数f (x )＝log a (x －m )的图像过点(4，0)和(7，1)，则f (x )在定义域上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．奇函数D ．偶函数解析：选A.将点(4，0)和(7，1)代入函数解析式，有⎩⎪⎨⎪⎧0＝log a （4－m ），1＝log a （7－m ）.解得a ＝4和m＝3，则有f (x )＝log 4(x －3)．由于定义域是x ＞3，则函数不具有奇偶性，很明显函数f (x )在定义域上是增函数．6．若f (x )＝log a x ＋(a 2－4a －5)是对数函数，则a ＝________． 解析：由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a ＞0，a ≠1，解得a ＝5. 答案：57．已知函数y ＝log a (x －3)－1的图像过定点P ，则点P 的坐标是________． 解析：y ＝log a x 的图像恒过点(1，0)，令x －3＝1，得x ＝4，则y ＝－1. 答案：(4，－1)8．若f (x )是对数函数且f (9)＝2，当x ∈[1，3]时，f (x )的值域是________． 解析：设f (x )＝log a x ，因为log a 9＝2，所以a ＝3，即f (x )＝log 3x .又因为x ∈[1，3]，所以0≤f (x )≤1.答案：[0，1]9．若函数y ＝log a (x ＋a )(a ＞0且a ≠1)的图像过点(－1，0)． (1)求a 的值；(2)求函数的定义域．解：(1)将(－1，0)代入y ＝log a (x ＋a )(a ＞0，a ≠1)中， 有0＝log a (－1＋a )，则－1＋a ＝1，所以a ＝2. (2)由(1)知y ＝log 2(x ＋2)，由x ＋2＞0，解得x ＞－2， 所以函数的定义域为{x |x ＞－2}． 10．求下列函数的定义域与值域： (1)y ＝log 2(x －2)； (2)y ＝log 4(x 2＋8)．解：(1)由x －2＞0，得x ＞2，所以函数y ＝log 2(x －2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R . (2)因为对任意实数x ，log 4(x 2＋8)都有意义， 所以函数y ＝log 4(x 2＋8)的定义域是R . 又因为x 2＋8≥8，所以log 4(x 2＋8)≥log 48＝32，即函数y ＝log 4(x 2＋8)的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.[B 能力提升]11．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：选C.当x ≥1时，log 2x ≥0，所以y ＝2＋log 2x ≥2. 所以函数y ＝2＋log 2x 的值域为[2，＋∞)．12．函数f (x )＝x －4lg x －1的定义域是( )A ．[4，＋∞)B ．(10，＋∞)C ．(4，10)∪(10，＋∞)D ．[4，10)∪(10，＋∞)解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，lg x －1≠0，x ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x ≠10，x ＞0，所以x ≥4且x ≠10，所以函数f (x )的定义域为[4，10)∪(10，＋∞)．故选D.13．如果函数f (x )＝(3－a )x，g (x )＝log a x 的增减性相同，则a 的取值范围是________．解析：若f (x )，g (x )均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞1，a ＞1，即1＜a ＜2，若f (x )，g (x )均为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜3－a ＜1，0＜a ＜1无解．所以a 的取值范围是(1，2)．答案：(1，2) 14．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图像；(2)若f (a )<f (2)，利用图像求a 的取值范围．解：(1)作出函数y ＝f (x )＝log 3x 的图像如图所示． (2)令f (x )＝f (2)， 即log 3x ＝log 32，解得x ＝2. 由图像知：当0<a <2时， 恒有f (a )<f (2)．所以所求a 的取值范围为(0，2)．[C 拓展探究]15．求y ＝(log 12x )2－12log 12x ＋5在区间[2，4]上的最大值和最小值．解：因为2≤x ≤4，所以log 122≥log 12x ≥log 124，即－1≥log 12x ≥－2.设t ＝log 12x ，则－2≤t ≤－1，所以y ＝t 2－12t ＋5，其图像的对称轴为直线t ＝14，所以当t ＝－2时，y max ＝10；当t ＝－1时，y min ＝132.。
【步步高】高三数学大一轮复习讲义 第2章 函数的图象学案 苏教版
学案10 函数的图象导学目标： 1.掌握作函数图象的两种基本方法：描点法，图象变换法.2.掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质．自主梳理1．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等．2．利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④画出函数的图象．3．利用基本函数图象的变换作图： (1)平移变换：函数y ＝f (x ＋a )的图象可由y ＝f (x )的图象向____(a >0)或向____(a <0)平移____个单位得到；函数y ＝f (x )＋a 的图象可由函数y ＝f (x )的图象向____(a >0)或向____(a <0)平移____个单位得到．(2)伸缩变换：函数y ＝f (ax ) (a >0)的图象可由y ＝f (x )的图象沿x 轴伸长(0<a <1)或缩短(____)到原来的1a倍得到；函数y ＝af (x ) (a >0)的图象可由函数y ＝f (x )的图象沿y 轴伸长(____)或缩短(______)为原来的____倍得到．(可以结合三角函数中的图象变换加以理解)(3)对称变换：①奇函数的图象关于______对称；偶函数的图象关于____轴对称； ②f (x )与f (－x )的图象关于____轴对称； ③f (x )与－f (x )的图象关于____轴对称； ④f (x )与－f (－x )的图象关于______对称；⑤f (x )与f (2a －x )的图象关于直线______对称；⑥曲线f (x ，y )＝0与曲线f (2a －x,2b －y )＝0关于点______对称；⑦|f (x )|的图象先保留f (x )原来在x 轴______的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；⑧f (|x |)的图象先保留f (x )在y 轴______的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到．自我检测1．(·北京改编)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点向(填“左”或“右”)________平移________个单位长度，再向(填“上”或“下”)________平移________个单位长度．2．(·烟台一模)已知图1是函数y ＝f (x )的图象，则图2中的图象对应的函数可能是________(填序号)．①y ＝f (|x |)；②y ＝|f (x )|；③y ＝f (－|x |)；④y ＝－f (－|x |)．3．函数f (x )＝1x－x 的图象关于________对称．4．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．5．(·淮安模拟)已知f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)，若f (4)·g (－4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是________(填序号)．探究点一 作图例1 (1)作函数y ＝|x －x 2|的图象；(2)作函数y ＝x 2－|x |的图象；(3)作函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象．变式迁移1 作函数y ＝1|x |－1的图象．探究点二 识图 例2 (1)函数2log 2xy =|的图象大致是________(填入正确的序号)．(2)函数f (x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式是下列四者之一，正确的序号为________．①f (x )＝x ＋sin x ；②f (x )＝cos xx；③f (x )＝x cos x ；④f (x )＝x ·(x －π2)·(x －3π2)．变式迁移2 已知y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f (1－x )的图象为________(填序号)．探究点三 图象的应用例3 若关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，试求实数a 的取值范围．变式迁移3 (·全国Ⅰ)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围为________．数形结合思想例 (5分)(·北京东城区一模)定义在R 上的函数y ＝f (x )是减函数，且函数y ＝f (x －1)的图象关于(1,0)成中心对称，若s ，t 满足不等式f (s 2－2s )≤－f (2t －t 2)．则当1≤s ≤4时，ts的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析 因函数y ＝f (x －1)的图象关于(1,0)成中心对称，所以该函数的图象向左平移一个单位后的解析式为y ＝f (x )，即y ＝f (x )的图象关于(0,0)对称，所以y ＝f (x )是奇函数．又y ＝f (x )是R 上的减函数，所以s 2－2s ≥t 2－2t ，令y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，图象的对称轴为x ＝1，当1≤s ≤4时，要使s 2－2s ≥t 2－2t ，即s －1≥|t －1|，当t ≥1时，有s ≥t ≥1，所以14≤ts≤1；当t <1时，即s －1≥1－t ，即s ＋t ≥2，问题转化成了线性规划问题，画出由1≤s ≤4，t <1，s ＋t ≥2组成的不等式组的可行域.t s为可行域内的点到原点连线的斜率，易知－12≤ts<1.【突破思维障碍】当s ，t 位于对称轴x ＝1的两边时，如何由s 2－2s ≥t 2－2t 判断s ，t 之间的关系式，这时s ，t 与对称轴x ＝1的距离的远近决定着不等式s 2－2s ≥t 2－2t 成立与否，通过数形结合判断出关系式s －1≥1－t ，从而得出s ＋t ≥2，此时有一个隐含条件为t <1，再结合1≤s ≤4及要求的式子的取值范围就能联想起线性规划，从而突破了难点．要画出s ，t 所在区域时，要结合t s的几何意义为点(s ，t )和原点连线的斜率，确定s 为横轴，t 为纵轴．【易错点剖析】当得到不等式s 2－2s ≥t 2－2t 后，如果没有函数的思想将无法继续求解，得到二次函数后也容易只考虑s ，t 都在二次函数y ＝x 2－2x 的增区间[1，＋∞)内，忽略考虑s ，t 在二次函数对称轴两边的情况，考虑了s ，t 在对称轴的两边，也容易漏掉隐含条件t <1及联想不起来线性规划．1．掌握作函数图象的两种基本方法(描点法，图象变换法)，在画函数图象时，要特别注意到用函数的性质(如单调性、奇偶性等)解决问题．2．合理处理识图题与用图题(1)识图．对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．(2)用图．函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法，常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(·重庆改编)函数f (x )＝4x＋12x 的图象关于______对称．2．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围为__________________．3．(·北京海淀区一模)在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是________(填序号)．4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ≤0x 2－2x ＋1， x >0，若关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0恰有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________．5．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为________．6．为了得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝(13)x的图象向________平移________个单位长度．7．(·连云港模拟)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a >0且a ≠1)的图象有2个公共点，则a 的取值范围为________．8．如图所示，向高为H 的水瓶A 、B 、C 、D 同时以等速注水，注满为止．(1)若水量V 与水深h 函数图象是下图的(a)，则水瓶的形状是________；(2)若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图的(b)，则水瓶的形状是________． (3)若注水时间t 与水深h 的函数图象是下图的(c)，则水瓶的形状是________； (4)若水深h 与注水时间t 的函数的图象是图中的(d)，则水瓶的形状是________．二、解答题(共42分)9．(14分)(·无锡模拟)已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集； (5)求当x ∈[1,5)时函数的值域．10．(14分)当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围．11．(14分)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．答案 自主梳理3．(1)左 右 |a | 上 下 |a | (2)a >1 a >1 0<a <1 a (3)①原点 y ②y ③x ④原点 ⑤x ＝a ⑥(a ，b ) ⑦上方 ⑧右方 自我检测1．左 3 下 1 2．③3．坐标原点解析 ∵f (－x )＝－1x ＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，即f (x )的图象关于原点对称．4．(－1,0)解析 作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象知满足条件的x ∈(－1,0)．5．②解析 由f (4)·g (－4)<0得a 2·log a 4<0， ∴0<a <1. 课堂活动区例1 解 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2， 0≤x ≤1，－(x －x 2)，x >1或x <0， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，0≤x ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14， x >1或x <0，其图象如图所示．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，x <0，其图象如图所示．(3)作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，加上y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0的部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象．变式迁移1 解 定义域是{x |x ∈R 且x ≠±1}，且函数是偶函数．又当x ≥0且x ≠1时，y ＝1x －1.先作函数y ＝1x 的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y ＝1x －1(x ≥0且x ≠1)的图象(如图(a)所示)．又函数是偶函数，作关于y 轴对称图象，得y ＝1|x |－1的图象(如图(b)所示)．例2 解题导引 对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化 趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．答案 (1)③ (2)③解析 (1)y ＝2|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(0<x <1)x (x >1)，所以图象画法正确的应为③.(2)由图象知f (x )为奇函数，排除④；又0，±π2，±32π为方程f (x )＝0的根，故应为③.变式迁移2 ①解析 因为f (1－x )＝f (－(x －1))，故y ＝f (1－x )的图象可以由y ＝f (x )的图象按照如下变换得到：先将y ＝f (x )的图象关于y 轴翻折，得y ＝f (－x )的图象，然后将y ＝f (－x )的图象向右平移一个单位，即得y ＝f (－x ＋1)的图象．故应为①.例3 解题导引 原方程重新整理为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，将两边分别设成一个函数并作出它们的图象，即求两图象至少有三个交点时a 的取值范围．方程的根的个数问题转化为函数图象交点个数问题，体现了《考纲》中函数与方程的重要思想方法．解 原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝|x 2－4x ＋3|，y ＝x ＋a ，在同一坐标系下分别作出它们的图象．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a y ＝－x 2＋4x －3，得，x 2－3x ＋a ＋3＝0， 由Δ＝9－4(a ＋3)＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈[－1，－34]时方程至少有三个根．变式迁移3 (1，54)解析 y ＝x 2－|x |＋a ＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －12)2＋a －14， x ≥0，(x ＋12)2＋a －14， x <0.当其图象如图所示时满足题意．由图知⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －14<1，解得1<a <54.课后练习区 1．y 轴解析 f (x )＝2x ＋2－x，因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．所以f (x )图象关于y 轴对称． 2．(－1,0)∪(1，＋∞)解析 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，可以画出函数f (x )在(0，＋∞)上的图象．又f (x )为R 上的奇函数，其图象关于原点对称，根据对称性，画出函数在(－∞，0)上的图象．如图．由图象可知，f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 3．④解析 ①、②、③中直线方程中的a 的范围与对数函数中的a 的范围矛盾． 4．0<a <1解析 由f 2(x )－af (x )＝0可得f (x )＝0或f (x )＝a ，画出函数y ＝f (x )的图象如图所示，显然当f (x )＝0时，只有一个实数解，所以f (x )＝a 时应有三个实数解． 结合图象不难得到0<a <1. 5．－1解析 ∵b >0，∴前两个图象不是给出的二次函数图象，又后两个图象的对称轴都在y 轴右边，∴－b2a>0，∴a <0，又∵图象过原点，∴a 2－1＝0，∴a ＝－1. 6．右 1解析 ∵y ＝3×(13)x ＝(13)x －1，∴y ＝(13)x 向右平移1个单位便得到y ＝(13)x －1.7．(0，12)解析 规范作图如下：由图知0<2a <1，所以a ∈(0，12)．8．(1)A (2)D (3)B (4)C9．解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.…………………………………………(3分) (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4， x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4， x <4.………………………………………………(7分) f (x )的图象如图所示．(3)由图可知，f (x )的减区间是[2,4]．……………………………………………………(9分) (4)由图象可知f (x )>0的解集为{x |0<x <4或x >4}．………………………………………………………………………(12分) (5)∵f (5)＝5>4，由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)．……………………………………………(14分)10．解 设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 的下方即可．当0<a <1时，由图象知显然不成立．……………………………………………………(5分)当a >1时，如图，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的下方， 只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log 2a ≥1.………………………………………………………………(12分) ∴1<a ≤2.………………………………………………………………………………(14分)11．解 (1)方法一 ∵x >0，∴g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e.故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，……………………………………………………………(4分) 因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有根．…………………………………………………(6分)方法二 作出g (x )＝x ＋e2x的图象如图：……………………………………………………………………………………………(4分) 可知若使g (x )＝m 有根，则只需m ≥2e.………………………………………………(6分)方法三 解方程由g (x )＝m ，得x 2－mx ＋e 2＝0.此方程有大于零的根，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0Δ＝m 2－4e 2≥0…………………………………………(4分)等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >0m ≥2e 或m ≤－2e ，故m ≥2e.…………………………………………………(6分)(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.……………………………………………………………………(10分)故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时， g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．………………………………………………(14分)。
高三数学一轮复习第12课时函数的图像学案
高三数学一轮复习 第12课时 函数的图像学案【学习目标】1．掌握作函数图像的两种基本方法：描点法和图像变换法．2．了解图像的平移变换、伸缩变换、对称变换，能利用函数的图像研究函数的性质，以达到识图、作图、用图的目的． 【课本导读】1．函数图像的三种变换 (1)平移变换y ＝f (x )的图像向左平移a (a >0)个单位，得到 的图像；y ＝f (x －b )(b >0)的图像可由y ＝f (x )的图像 而得到；y ＝f (x )的图像向下平移b (b >0)个单位，得到 的图像；y ＝f (x )＋b (b >0)的图像可由y ＝f (x )的图像 而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为：左加右减，上加下减．(2)对称变换y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图像关于 对称； y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图像关于 对称； y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图像关于 对称；y ＝|f (x )|的图像可将y ＝f (x )的图像在x 轴下方的部分 ，其余部分不变而得到； y ＝f (|x |)的图像可先作出y ＝f (x )当x ≥0时的图像，再作关于y 轴的对称． (3)伸缩变换y ＝f (ax )(a >0)的图像，可将y ＝f (x )的图像上所有点的 坐标变为原来的 倍， 坐标 而得到．y ＝af (x )的图像，可将y ＝f (x )的图像上所有点的 坐标不变， 坐标伸长为原来的 ．2．几个重要结论(1)若f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，则y ＝f (x )的图像关于直线 对称． (2)设函数y ＝f (x )定义在实数集上，则函数y ＝f (x －m )与y ＝f (m －x )(m >0)的图像关于直线 对称．(3)若f (a ＋x )＝f (b －x )，对任意x ∈R 恒成立，则y ＝f (x )的图像关于x ＝a ＋b2对称．(4)函数y ＝f (a ＋x )与函数y ＝f (b －x )的图像关于x ＝b －a2对称．【教材回归】1．函数y ＝lg|x －1|的图像大致为 （ ）2．函数y ＝1－1x －1的图像是( )3．当0<a <1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x与y ＝log a x 的图像是 ( )4．要得到函数y ＝8·2－x的图像，只需将函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图像( )A ．向右平移3个单位B ．向左平移3个单位C ．向右平移8个单位D ．向左平移8个单位5．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |的图像关于直线x ＝1对称，则a 的值为 ( )A ．3B ．2C ．1D ．－1题型一 利用变换作图例1 作出下列函数的图像．(1)f (x )＝x1＋|x |； (2)f (x )＝|lg|x －1||．探究1 (1)一些函数的图像可由基本初等函数的图像通过变换而得，常见图像变换有平移变换，对称变换，伸缩变换，用x ＋m 替换x ，图像发生左、右平移．用y ＋n 替换y ，图像发生上、下平移，用kx 替换x ，图像发生伸缩变化，用－x 、－y 替换x 、y 图像分别关于y 轴、x 轴对称．(2)作函数图像时应结合函数的性质，如f (x )＝x1＋|x |为奇函数，f (x )＝lg|x |为偶函数等．(3)多步变换时，应确定好变换顺序．思考题1 作出下列函数的图像．(1)y ＝2x ＋2； (2)y ＝x ＋2x －1； (3)y ＝(12)|x | ； (4)y ＝|log 2x－1|．题型二 知式选图或知图选式问题例2 函数f (x )的部分图像如图所示，则函数f (x )的解析式是A ．f (x )＝x ＋sin xB ．f (x )＝cos xxC ．f (x )＝x cos xD ．f (x )＝x ·(x －π2)·(x －3π2)探究 2 对于给定函数的图像，要能从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性，注意图像与函数解析式中参数的关系，常用的方法有：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．思考题2(1)函数y ＝x2－2sin x 的图像大致是()(2)(2013·衡水调研卷)函数y ＝x ＋sin|x |，x ∈[－π，π]的大致图像是 ( )题型三 函数图像的对称性例3 (1)已知f (x )＝ln(1－x )，函数g (x )的图像与f (x )的图像关于点(1,0)对称，则g (x )的解析式为______．(2)设函数y ＝f (x )的定义域为实数集R ，则函数y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图像关于 ( )A ．直线y ＝0对称B ．直线x ＝0对称C ．直线y ＝1对称D ．直线x ＝1对称 探究3 (1)求一曲线关于一点或一直线对称曲线方程．一般运用相关点求轨迹的方法． (2)下列结论需记住：①f (x ，y )＝0与f (－x ，y )＝0的图像关于y 轴对称； ②f (x ，y )＝0与f (x ，－y )＝0的图像关于x 轴对称； ③f (x ，y )＝0与f (－x ，－y )＝0的图像关于原点对称； ④f (x ，y )＝0与f (y ，x )＝0的图像关于y ＝x 对称；⑤f (x ，y )＝0与f (2m －x ，y )＝0的图像关于直线x ＝m 对称．思考题3 (1)已知函数f (2x ＋1)是奇函数，则函数y ＝f (2x )的图像关于下列哪个点成中心对称 ( )A ．(1,0)B ．(－1,0)C ．(12，0)D ．(－12，0) （ ）(2)求证：函数f (x )满足对任意x ，都有f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数f (x )的图像关于直线x ＝a 对称．题型四 函数图像的应用例4 (1)函数f (x )＝|4x －x 2|－a 恰有三个零点，则a ＝________． (2)不等式log 2(－x )＜x ＋1的解集为__________．探究 4 函数、方程、不等式三者之间有着密切的联系，它们之间的相互转化有时能使问题迎刃而解，本题利用函数的图像来解决方程根的个数问题及不等式求解问题．思考题4 若直线y ＝x ＋m 和曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则m 的取值范围是________． 【本课总结】1．作图的基本方法是描点法，某些函数的图像也可通过已知图像进行变换而得． 2．识图问题的关键是通过函数的性质进行排除确定． 3．函数图像能直观反映函数的性质，通过图像可以解决许多问题，如不等式问题、方程问题、函数的值域等． 【自助餐】1．已知定理：“若,a b 为常数，()g x 满足()()2g a x g a x b ++-=，则函数()y g x =的图像关于点(,)a b 中心对称”．设函数1()x af x a x+-=-，定义域为A ．（Ⅰ）试证明()y f x =的图像关于点(,1)a -成中心对称；（Ⅱ）当[2,1]x a a ∈--时，求证：1()[,0]2f x ∈-；（Ⅲ）对于给定的i x A ∈，设计构造过程：21()x f x =,32()x f x =，…，1()n n x f x +=．如果(2,3,)i x A i ∈=，构造过程将继续下去；如果i x A ∉，构造过程将停止．若对任意i x A ∈，构造过程可以无限进行下去，求a 的值．。
1.8第1课时函数y=Asin(ωx+φ)的图像学案
§8函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质第1课时函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像1．参数A ，φ，ω，b 的作用(其中A >0，ω>0)参数作用A ，b A 和b 决定了该函数的值域和振幅，通常称A 为振幅，值域为[－A ＋b ，A ＋b ]φφ决定了x ＝0时的函数值，通常称φ为初相ωω决定了函数的周期，其计算方式为T ＝2πω，周期的倒数f ＝1T ＝ω2π为频率思考1：函数y ＝sin x ，y ＝sin 2x 和y ＝sin 12x 的周期分别是什么？当三个函数的函数值相同时，它们x 的取值有什么关系？[提示]2π，π，4π.当三个函数的函数值相同时，y ＝sin 2x 中x 的取值是y ＝sin x 中x 取值的12，y ＝sin 12x 中x 的取值是y ＝sin x 中x 取值的2倍．2．平移变换(1)左右平移(相位变换)：对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度得到的．(2)上下平移：对于函数y＝sin x＋b的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有点向上(当b＞0时)或向下(当b＜0时)平行移动|b|个单位长度得到的．思考2：如何由y＝f(x)的图像变换得到y＝f(x＋a)的图像？[提示]向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位．3．伸缩变换(1)振幅变换：对于函数y＝A sin x(A＞0，A≠1)的图像可以看作是把y＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的．(2)周期变换：对于函数y＝sinωx(ω＞0，ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到的．思考3：对于同一个x，函数y＝2sin x，y＝sin x和y＝12sin x的函数值有何关系？[提示]对于同一个x，y＝2sin x的函数值是y＝sin x的函数值的2倍，而y＝12sin x的函数值是y＝sin x的函数值的12.1．函数y＝2sin()A．4π，－2B．4π，2C．π，2D．π，－22．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③3．要得到y ＝sin y ＝sin x 的图像向________平移________个单位．4．函数y ＝－2sin________，最小值为________．【例1】周期、频率和初相．五点法作图关键是列表，一般有下面两种列表方法：(1)分别令ωx ＋φ＝0，π2π，3π2，2π，再求出对应的x ，这体现了整体换元的思想.(2)取ωx 0＋φ＝0，得x 0＝－φω，再把x 0作为五点中第一个点的横坐标，依次递加一个周期的14，就可得到其余四个点的横坐标.1．用五点法作函数y ＝2sin x 频率和初相．、【例2】骤．、由y ＝sin x 的图像，通过变换得到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图像时，可以先相位变换，后周期变换，也可以先周期变换，后相位变换.两种变换的顺序不同，变换的量也有所不同，前者平移|φ|个单位，而后者则平移|φ|ω个单位.不论哪一种变换，都是对字母x 而言的，即看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少.2．函数y ＝3sinx y ＝sin x 的图像如何变换得到的？求函数的解析式[探究问题]1．如何求A ，b?[提示]A ＝y max －y min 2，b ＝y max ＋y min 2.2．如何求ω？[提示]先求周期T ，再求ω，其中ω＝2πT.3．如何求φ？[提示]由图像上的点来求，通常选取波峰或波谷．【例3】如图所示的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图像，由图中条件，写出该函数的解析式．[思路探究]由图像观察函数周期、振幅、由特殊点法确定初相φ.1．(变条件)将例3中的图像变为如图所示，试求函数的解析式．2.(变条件，变结论)将例3的函数变为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋A >0，ω>0，|φ|<π2，图像变为如图所示，试求f (x )的解析式，并求S ＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2020)．由图像或部分图像确定解析式，在观察图像的基础上可按以下规律来确定A ，ω，φ，b ：(1)A ：一般由图像上的最大值m 、最小值n 来确定A ＝m －n2.(2)ω：因为T ＝2πω，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点确定T ，也可由相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T 来确定.(3)φ：从寻找“五点法”－φω，0也叫初始点)作为突破口，要从图像的升降情况找准第一个点的位置.依据五点列表法原理，点的序号与式子关系如下：“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像曲线的“峰点”)为ωx ＋φ＝\f(π,2)；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图像曲线的“谷点”)为ωx ＋φ＝\f(3π,2)；“第五点”(即图像第二次上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π.在用以上方法确定φ的取值时，还要注意题目中给出的φ的限制条件.1．图像变换是三角函数的重点内容之一．函数的各种变换都是自变量x 或函数值y 进行的变换．图像变换与函数变换紧密相连，相位变换是用x ＋φ来代替y ＝f (x )中的x ，周期变换是用ωx (ω>0)代替x ，振幅变换是用yA来代替y (A >0)．2．图像变换中，还常用以下三种变换：(1)y ＝－sin x 的图像可由y ＝sin x 的图像沿x 轴翻折180°而得到．(2)y ＝|sin x |的图像可由y ＝sin x 的图像得到．其变化过程为在x 轴上方的部分不变，在x 轴下方的部分沿x 轴翻折180°而得到．(3)y ＝sin |x |的图像可通过让y ＝sin x 的图像在y 轴右边的部分不变，y 轴左边的图像由y 轴右侧的图像关于y 轴翻转180°而得到.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)A 的大小决定了函数的振幅．()(2)ω的大小与函数的周期有关．()(3)φ的大小决定了函数与y ＝sin x 的相对位置．()(4)b 的大小决定了函数图像偏离平衡位置的幅度．()2．把函数y ＝sin 2x π6的图像向________平移________个单位得到y ＝sin 2x的图像．3．已知函数y ＝sin(ωx ＋φω>0，0<φ≤π2，且此函数的图像如图所示，则点(ω，φ)的坐标是________．4．作出函数y ＝32sin 13x －π3在长度为一个周期的闭区间上的图像．。
1.4.1正弦函数、余弦函数的图像(2)学案
§1.4.1正弦函数、余弦函数的图像（1）
1、能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由平移正弦曲线的方法画出余弦函数的图象；
2、会用五点法画出正弦曲线和余弦曲线在一个周期上的草图；
3、借助图象理解并运用正、余弦函数的定义域和值域。
五点法作正、余弦函数的图象；正、余弦函数的定义域和值域。
【重点难点】
五点法作正、余弦函数的图象；正、余弦函数的定义域和值域。
一、预习指导
（一） 平移正弦曲线的方法画出余弦函数的图象：
思考：1、sin ,cos y x y x ==的图象有什么关系？为什么？
2、由sin y x =的图象怎样作出cos y x =的图象？请在下图中画出cos y x =的图象。
（四）用五点法画出余弦函数在[0,2]π区间上的简图
二、典型例题
例1、 求函数y =
例2、 求函数27
sin 4sin 4y x x =-++的值域。
三、课堂练习
试作出函数y =的图象。
【课堂小结】。
正弦函数的图象学案
正弦函数的图像预习案主备人：史红荣 审核人：刘立国学习目标：能画出正弦函数图象，并能借助图象认识正弦函数的图像特征。
重点难点：正弦函数的图象。
【自主学习】1．作正弦函数y ＝sinx （[)π2,0∈x ）的简图的一般方法是运用 。
2．“五点法”作正弦函数y ＝sinx [)π2,0∈x 的图象上的五个点是、、、、。
【预习自测】） A ．B ．C ．D ．2、函数y 2sin x =-的最大值是__________，最小值是_____________。
3.用“五点法”作正弦函数y ＝sinx [)π2,0∈x 的图象正弦函数的图象课案主备人：史红荣 审核人：刘立国学习目标：1.借助单位圆中的三角函数线画出正弦y=sinx 的图像。
2.会用五点法做出正弦函数的图像并记住其特征。
重点难点：正弦函数的图象。
知识深化：五点法作图是那五个点？这“五点”有什么特征？例1用五点作图法作函数图象：)(sin 2ππ≤≤- =x x y变式：用五点作图法作函数图象： y ＝2-sinx ，[]π2,0∈x例2 作出y ＝x 2cos 1-的图象【达标检测】1．下列函数图象相同的是（ ）A ．y ＝sinx 与y ＝sin （π+x ）B ．)2sin()2sin(x y x y -=-=ππ与 C ．y=sinx 与y ＝sin(-x)D ．y ＝sin （2π+x ）与y ＝sinx2．y ＝1+sinx ，[]π2,0∈x 的图象与直线y ＝1交点的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33、在[0,2π]上,满足1sin 2x ≥的x 取值范围是( ) A. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4用五点作图法作函数图象： y ＝1-sinx []ππ2,2-∈x5．y ＝-sinx 与y ＝sinx 的图象的位置关系是 6．y ＝1-sinx 与y ＝sinx 图象的位置关系是正弦函数的性质预习案主备人：史红荣 审核人：刘立国学习目标：掌握正弦函数的图象与性质，能应用正弦函数的图象与性质解决有关数学问题。
初中函数的图像教案
初中函数的图像教案【篇一：函数的图像(第一课时)教案】函数的图像（第一课时）教案学习目标：1、使学生了解函数图象的意义；2、初步掌握画函数图象的方法（列表、描点、连线）；3、学会通过观察、分析函数图象来获取相关信息；4、结合实例培养学生数形结合的思想和读图能力．学习重点：初步掌握画函数图象的方法；通过观察、分析函数图象来获取信息. 学习过程：一、知识回顾1、在一个变化过程中，我们称数值____________的量为变量；在一个变化过程中，我们称数值____________的量为常量.2、已知三角形的第一边长为a厘米，第二边长为第一边的2倍，第三边长为8厘米，周长为c厘米，请找出周长c与边长a的函数关系式。
c=3a+8（a0）3、一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量．．．．x与y，并且对于x?的每一个确定的值，y?都有唯一确定的值与其对应，?那么我们就说x?是_________，y是x的________．如果当．．．．．．x=a时y=b，那么b?叫做当自变量的值为a时的___________．二、学习新知（一）函数图象的画法 1、明确函数图象的意义：我们在前面学习了函数的意义，并掌握了函数关系式的确立．但有些函数问题很难用函数关系式表示出来，这时我们可以用图来直观地反映。
例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系。
即使对于能用关系式表示的函数关系，如果也能用画图来表示，则会使函数关系更清晰．我们这节课就来解决如何画函数图象的问题及解读函数图象信息． 2、描点法画函数图象：问题：正方形的面积s与边长x的函数关系为_______________，其中自变量x的取值范围是__________，我们还可以利用在坐标系中画图的方法来表示s与x的关系．想一想：自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值s，是否能确定一个点（x，s）呢？（1（2）描点：（建立直角坐标系，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表（3把所描出的各点用平滑曲线连接起来）想一想：这条曲线包括原点吗？应该怎样表示？强调：用表示不在曲线上的点；在函数图象上的点要画成的点． 3、归纳总结：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的_________．说明：通过图象可以数形结合地研究函数。
函数的图像教案初中
教案：函数的图像教学目标：1. 理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2. 学会绘制简单的函数图像，并能分析图像的性质。
3. 能够运用函数图像解决实际问题。
教学重点：1. 函数的概念和表示方法。
2. 函数图像的绘制和分析。
教学难点：1. 函数图像的绘制和分析。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 函数图像的示例。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的概念，引导学生思考生活中的函数例子，如温度随时间的变化等。
2. 介绍函数的表示方法，如函数表格、解析式等。
二、新课（20分钟）1. 讲解函数图像的概念，引导学生理解函数图像是对函数值与自变量之间关系的直观表示。
2. 演示如何绘制一些简单的函数图像，如线性函数、二次函数等。
3. 引导学生通过观察函数图像，分析函数的性质，如单调性、奇偶性等。
三、练习（15分钟）1. 让学生独立完成一些函数图像的绘制，并分析其性质。
2. 引导学生运用函数图像解决实际问题，如找出函数的零点、最大值等。
四、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结函数图像的概念和性质。
2. 强调函数图像在实际问题中的应用价值。
教学延伸：1. 引导学生进一步学习复杂函数的图像，如三角函数、指数函数等。
2. 让学生尝试运用计算机软件绘制函数图像，提高作图能力。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了函数的概念和表示方法，学会了绘制和分析函数图像。
在教学过程中，要注意引导学生观察和思考函数图像的性质，培养学生的空间想象能力。
同时，结合实际问题，让学生体验函数图像在解决问题中的作用，提高学生的数学应用能力。
高一数学 1.4.3正切函数的图像与性质(教、学案)
§1.4.3正切函数的图像与性质【教学过程】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
二、复 习导入、展示目标。
问题1：就我们前面所学的内容中，正切函数与正余弦函数的有何区别？ 大家怎么知道正切函数的值域是R?通过单位圆中的正切线可以得到。
那请同学们回忆正切线在每一个象限的画法。
（设计意图：①通过此问题确定本节课的一个基调：类比学习；②通过此问题来复习我们已经研究过的正切函数的性质；③通过比较让学生了解正切与正弦的区别，在画图像的时候注意区别；④因为在作图时必须用正切线的知识，所以在此做一个相应的复习和准备工作，顺应学生的思维在知识链接处提问）问题2：我们用什么样的方式得到正余弦函数的图像的？利用单位圆内的正弦线，得到在一个周期，即[0，2 ]内的图象，再利用周期性得到在定义域内的图象。
问题3：请同学们根据所学知识设计一个研究正切函数图像与性质的方案。
方案：第一步：画出正切函数的在一个周期内的图象； 第二步：将图象向左、向右平移拓展到整个定义域上去； 第三步：根据图象总结性质。
三、合作探究、精讲点拨。
①请同学们解决方案的第一步，先画出y =tan x 在一个周期内的简图。
给学生充足的时间与空间，发挥学生的主动性，这样不仅提高了学生的动手实践能力，还培养了学生对数学的兴趣。
注：有的学生可能会想到利用函数的奇偶性来画图，很多学生会画出（0.π）的图象，教师暂时不予评价，等待学生形成图象。
②教师用投影仪展示作图结果，学生之间相互评价，指出优点和不足之处，并鼓励学生阐述自己的观点。
教师直接在投影仪上纠正学生错误的图像；并将（0，π）的图象与⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的图像进行比较来说明只是周期的选择不同，拓展到整个定义域上也是一致的。
通过学生之间的点评与总结，引出渐近线，并请同学们总结出：要画出一个周期内的图象，首先，选择哪段区间较好，其次，在画图象的过程中应该注意什么？③投影仪展示完整图像。
学案：高三函数的图象教案
平陆中学高三年级理科数学教案课题：函数的图象教学目标：1.通过复习函数图象的画法，体会等价转化的思想和图象间的相互关系，提升逻辑推理的核心素养。
2.通过函数的性质来识别函数的图像，提升直观想象的核心素养。
3.通过函数图象的应用，体会数形结合和等价转化的数学思想。
教学重点：函数图象的画法 教学难点：函数图象的应用 学习过程：一.知识梳理1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )―――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )．④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (x ＞0)． (3)翻折变换①y ＝f (x )―――――――――――――――――――→保留x 轴及上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|． ②y ＝f (x )――――――――――――→保留y 轴及右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(4)伸缩变换 ①y ＝f (x )a ＞1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变→y ＝f (ax )． ②y ＝f (x )a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变→y ＝af (x )．二.自我检测判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)将函数y ＝f (x )的图象先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数y ＝f (x ＋1)＋1的图象．( )(2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( ) (3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称．( )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√已知函数y ＝|x －1|，则其图象关于________对称( ) A ．(1，0) B ．(－1，0) C ．直线x ＝1D ．直线x ＝－1解析：选C.y ＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞1，0，x ＝1，－x ＋1，x ＜1.其图象如图所示．故选C .函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( ) A ．e x ＋1 B ．e x －1 C ．e－x ＋1 D ．e－x －1解析：选D.曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，将y ＝e －x 向左平移1个单位长度得到y ＝e －(x ＋1)，即f (x )＝e －x －1.函数y ＝f (x )在x ∈[－2，2]上的图象如图所示，则当x ∈[－2，2]时，f (x )＋f (－x )＝________．解析：由f (x )的图象知f (x )为奇函数，则f (x )＋f (－x )＝0. 答案：0若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意a ＝|x |＋x ，令y ＝|x |＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，0，x <0，图象如图所示，故要使a ＝|x |＋x 只有一解，则a >0，即实数a 的取值范围是(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)三.典例分析分别作出下列函数的图象． (1)y ＝2x ＋2； (2)y ＝|lg x |； (3)y ＝x ＋2x －1.【解】 (1)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图所示．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1.图象如图所示．(3)因为y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，图象如图所示．将本例(3)的函数变为“y ＝x ＋2x ＋3”，函数的图象如何？解：y ＝x ＋2x ＋3＝1－1x ＋3，该函数图象可由函数y ＝－1x 向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．(1)(2017·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )(2)函数f (x )＝ax ＋b（x ＋c ）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0【解析】 (1)易知函数g (x )＝x ＋sin xx 2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx 2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D .(2)函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c >0，所以c <0. 令x ＝0，得f (0)＝bc 2，又由图象知f (0)>0，所以b >0.令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图象知－ba >0，所以a <0.故选C.【答案】 (1)D (2)C已知函数f (x )＝|x |(x －a )，a >0，(1)作出函数f (x )的图象； (2)写出函数f (x )的单调区间；(3)当x ∈[0，1]时，由图象写出f (x )的最小值． 【解】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －a ），x ≥0，－x （x －a ），x <0，其图象如图．(2)由图知，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞；单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，a2. (3)由图象知，当a2>1，即a >2时，所求最小值f (x )min ＝f (1)＝1－a ；当0<a2≤1，即0<a ≤2时，所求最小值f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a24. 综上，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a 24（0<a ≤2），1－a （a >2）.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}【解析】 令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，知g (x )的定义域为(－1，＋∞)，作出函数g (x )的图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2（x ＋1），得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}．【答案】 C(2017·高考山东卷)已知当x ∈[0，1]时，函数y ＝(mx －1)2 的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( ) A ．(0，1]∪[23，＋∞) B ．(0，1]∪[3，＋∞) C ．(0，2]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)【解析】 当0＜m ≤1时，需满足1＋m ≥(m －1)2，解得0≤m ≤3，故这时0＜m ≤1.当m ＞1时，需满足(m －1)2≥1＋m ，解得m ≥3或m ≤0，故这时m ≥3.综上可知，正实数m 的取值范围为(0，1]∪[3，＋∞)． 【答案】 B四.巩固练习1. 分别作出下列函数的图象． (1)y ＝|x －2|(x ＋1)； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |.解：(1)当x ≥2，即x －2≥0时， y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝⎛⎭⎫x －122－94；当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94. 所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －122－94，x ≥2，－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．(2)作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，保留y ＝⎝⎛⎭⎫12x图象中x ≥0的部分，加上y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象，如图中实线部分．2. (2018·长沙市统一模拟考试)函数y ＝ln|x |－x 2的图象大致为( )解析：选A.令f (x )＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln|x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln|x |－x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B ，D ；当x >0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x －2x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22时，y ′＝1x －2x >0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.选A.3．下列区间中，函数f (x )＝|lg(2－x )|在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1] B ．⎣⎡⎦⎤－1，43 C ．⎣⎡⎭⎫0，32 D ．[1，2)解析：选D.用图象法解决，将y ＝lg x 的图象关于y 轴对称得到y ＝lg(－x )的图象，再向右平移两个单位，得到y ＝ lg[－(x －2)]的图象，将得到的图象在x 轴下方的部分翻折上来，即得到f (x )＝|lg(2－x )|的图象．由图象，在选项中的区间上f (x )是增函数的显然只有D.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象与直线y ＝x 恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[－1，2) C ．[－1，2]D ．[2，＋∞)解析：选B.由题意可得直线y ＝x 与函数f (x )＝2(x >m )有且只有一个交点．而直线y ＝x 与函数f (x )＝x 2＋4x ＋2的图象至多有两个交点．题目需要三个交点，则需满足直线y ＝x 与函数f (x )＝x 2＋4x ＋2的图象有两个交点，画图可知，函数y ＝x 与f (x )＝x 2＋4x ＋2的图象交点为A (－2，－2)，B (－1，－1)，故有m ≥－1.而当m ≥2时，直线y ＝x 和射线y ＝2(x >m )无交点，故实数m 的取值范围是[－1，2)．故选B.五.课堂小结 1.函数图象的画法[提醒] (1)画函数的图象一定要注意定义域．(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 2.辨识函数图象的5个切入点(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 3. 利用函数图象求解问题的策略(1)对称性信息转化为中点坐标关系，注重形与数的结合． (2)“渐近线”信息转化为函数的定义域或值域．(3)方程根的个数转化为两曲线的交点个数，注重数与形的结合． (4)图象的“最高点”“最低点”信息转化为最值问题．六.作业1．函数y ＝x 2－2|x |的图象是( )2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－23．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)4.已知函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( ) A ．f (x )＝e x ln xB ．f (x )＝e －x ln|x | C ．f (x )＝e x ln|x | D ．f (x )＝e |x |ln|x |5．已知函数y ＝f (1－x )的图象如图所示，则y ＝f (1＋x )的图象为( )6.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f （3）的值等于________．7．若函数f (x )＝ax －2x －1的图象关于点(1，1)对称，则实数a ＝________．8．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________． 9．已知函数f (x )＝x1＋x .(1)画出f (x )的草图； (2)指出f (x )的单调区间．10．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．。
一次函数的图象的学案
一次函数的图象的学案设计人：吴玉敏 目标导学：(一） 导学前测: 1、什么是一次函数？2、小华用500元去购买单价为3元的一种商品，剩余的钱y （元）与购买这种商品的件数x （件）之间的函数关系是______________， x 的取值范围是__________ 3、函数y=3+x x 的自变量x 的取值范围是________4、当a=____时，函数y=x 23-a 是正比例函数5、、下列说法正确的是（ ）A 、正比例函数是一次函数；B 、一次函数是正比例函数;C 、正比例函数不是一次函数;D 、不是正比例函数就不是一次函数. 6、下面两个变量是成正比例变化的是( )A 、正方形的面积和它的面积;B 、变量x 增加,变量y 也随之增加;C 、矩形的一组对边的边长固定,它的周长和另一组对边的边长;D 、圆的周长与它的半径 （二）教学目标1.通过动手画一次函数的图象，接受一次函数图象是直线的事实2.通过画函数图象，进一步感知一次函数图象的性质 二、互动导学：环节一：画画一次函数的图象1、请在同一个平面直角坐标系中画出了下列函数的图象.（1） x y1=; 21+=x y ; x y 1=－3环节二：探讨一次函数图象的形状及其性质 1、通过画图，我们可以发现：一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象是 ．特别地，正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象是经过 的一条 ． 根据“__点确定一条直线”，以后我们画一次函数图象时，只需确定 个点 二点法的练习：（书上的例1）例1、在同一平面直角坐标系中画出下列每组函数的图象． (1) y ＝2x 与y ＝2x ＋3(2)y ＝2x ＋1与121+=x y ．2、对于函数y ＝kx ＋b (k 、b 是常数，k ≠0)，常数k 和b 的取值对于图象的位置各有什么影响呢？（1）当k 相同，b 不相同时（如y ＝－3x 、y =－3x ＋2、y =－3x －3），有共同点：______________________________________________________； 不同点：______________________________________________________．（2）当b 相同，k 不相同时（如y ＝－3x +2与y ＝x 21＋2x y 21=－3与y =－3x －3），有：共同点：______________________________________________________； 不同点：______________________________________________________ 3、（1）直线y ＝－3x 和y =－3x ＋2、y =－3x －3的位置关系是 ，直线y =－3x－3可以看作是直线y ＝－3x 向 平移 个单位得到的直线y =－3x ＋2可以看作是直线y ＝－3x 向 平移 个单位得到的三、友情提示：由于一次函数的图像是一条直线，所以在画一次函数的图像时通常采用两点法。
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一、学习目标
1、会用描点法画出简单的函数图像。
2、会判断点是否在函数图像上。
3、体会数形结合的思想。
二、学习过程
1、复习回顾
（1）图像法的定义：
（2）图像法表示函数关系式的优点：
2、知识准备
（1）坐标平面内的点与有序实数对是关系
（2）画出平面直角坐标系，并描出下列各点A（4，3），B（-2，3），C（-4，-1），D（2，-2）。
3、合作与交流
如果变量y与x的表达式为1
-
=x
y,怎样用函数图像法表示出它们的函数关系？与同学们交流。
下面我们来探究函数1
-
=x
y的图像。
（1）给定自变量x的一些值，求出对应y的值，并填表
x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …
y ……
（2）以x与y的对应值作为点的坐标描出这些点；
（3）按照自变量由小到大的顺序把描出的点顺次连接起来。
如图，可得函数1
-
=x
y的图像。
总结：（1）利用描点法画函数图象的步骤：①______②______③______ （2）在画函数的图象时，一般情况下由于图象上的点有无数个，我们只能取
x 的有限个值，求出相应的y 值，把它们作为有序实数对，在坐标系中描出这有限个对应点，再把它们顺次用平滑的线连接起来，就近似地画出函数的图象 4、小试牛刀 画出函数
x y =的图像
5、例题解析
例2：画出函数22
3
+-=x y 的图像
解：列表 X … -2
-1 0 1 2 3 … y
…
…
6、课中探究
（1）想一想，点（5，4）在函数1-=x y
的图像上吗？
（2）一展身手：下列各点哪些在函数1-=x y
的图象上？哪些不在这个函数
的图象上？为什么？A(-1.5,-2.5)，B(-10,-9)，C(100,99)，D(200,201) 总结归纳：如果点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，反之，满足解
析式的点一定在函数图象上。
三、我的收获
通过本节课的学习你有什么收获？ 四、达标测试 1、用描点法画出函数
12+=x y 的图像。
2、下列各点中，在函数2-=x y
图像上的是（ ）
A(2,-4) B(4,4) C(-2,4) D(4,2)
3、已知点（-1，2）是函数kx
y=的图像上的一点，则k=
4、点A(1,m)在函数
x
y2
=的图像上，则点的坐标是（）
A(1,-2) B(1,2) C(1,1) D(2,1) 五、作业布置
课本137页：3、5题。