中职教育-数学(基础模块)下册课件：第七章 平面向量.ppt

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等可以用向量 a ，b 线性表示．
向量的加法、减法、数乘运算都称为向量的线性运算．
7.3 平面向量的坐标表示
7.3.1 平面向量的直角坐标 在平面直角坐标系中，每一个平面向量也都可以用一对实数来表示．
如图 7-21 所示，在平面直角坐标系中，x 轴的单位向量为 i，y 轴
的单位向量为 j． O→A 为从原点出发的向量，点 A 的坐标为 (4 ，3) ，则 O→B 4i ，O→C 3 j ．
的方向相反；当 λ 0 时， λa 0 ．
数与向量相乘的运算称为向量的数乘运算． 可以验证，对于任意向量 a ，b 及任意实数 λ ，μ ，向量的数乘运算满足 如下法则：
1a a ，(1)a a (λμ)a λ(μa) μ(λa)
(λ μ)a λa μa λ(a b) λa λb
所以 O→B 1 B→D 1 (b a) 1 (a b) O→D 1 B→D 1 (b a)
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例6 计算下列各式．
（1） 3(a b) 2(a b) a
；
（2） (3) 2a
；
（3） 2(a b c) (4a b c) ．
解 （1） 3(a b) 2(a b) a 3a 3b 2a 2b a 5b
例题解析
例1 如图所示，已知向量 a ，b ，分别作出向量 a b ．
（a）
（b）
（c）
解
在平面内任取一点O，作
→
OA a
，A→B b
，则
O→B a
b
，如图所示．
（a）
（b）
（c）
如图所示，ABCD为平行四边形，由于
→
AD
→
BC
，则根据三角形法则可
得
→
AB
→
AD
→
AB
→பைடு நூலகம்
BC
A→C ．
可以看出，在平行四边形ABCD中，A→C
在平面内任取一点O，作
→
OA
a
，
A→B b
，则向量
→
OB
称为向量a
与b的和，记作 a b ，即 a b O→A A→B O→B ．
求向量和的运算称为向量的加法．上述求向量和的方法称为向量加法 的三角形法则．
根据三角形法则进行向量a与b的加法运算，其结果仍然是向量，称为 a与b的和向量．和向量的起点是向量a的起点，终点是向量b的终点．
示为
(x1 ，y1) λ(x2 ，y2 ) ，
即
x1 λx2 ，y1 λy2 ，
于是
x1λy2 λx2 y1 ，
消去λ，得
x1 y2 x2 y1 0 ．
所以， a ∥b a λb x1 y2 x2 y1 0 ．
例题解析
例 4 已知 a (2，y) ，b (3，6) ，且 a∥b ，求 y． 解 由 a∥b ，可得
，E→．F
→
FG
（3）相等向量为
→
AB
C→D ，D→E
→
GH
．
（4）互为负向量的向量为
→
BC
D→E ，B→C
→
GH
．
7.2 平面向量的线性运算
7.2.1 平面向量的加法
如右图所示，一人从A点出发，走到B点，又从B点
走到C点，则他的最终位移
→
AC
可以看作是位移
→
AB
与
B→C 的和．
如右图所示，已知向量a与b，
．
（2） (3) 2a 6a ． （3） 2(a b c) (4a b c)
2a 2b 2c 4a b c 6a 3b c
我们将 λa μb 称为 a ，b 的一个线性组合（ λ ，μ 均为系数）．如果
l λa μb ，则称l可以用 a ，b 线性表示．
例5中， 1 (a b) ，1 (a b) 等都称为向量 a ，b 线性组合，或者说，O→A，O→C
根据平行四边形法则可知
O→A O→B O→C 4i 3 j ． 故向量 O→A 可以用实数对 (4 ，3) 来表示，记作 O→A (4 ，3) ．
对任一个平面向量 a，都存在着一对实数 (x ，y) ，使得 a xi yj ．
实数对 (x ，y) 称为向量 a 的直角坐标，简称为向量的坐标，记作 a (x ，y)．
7.2.2 平面向量的减法
向量a加上向量b的负向量称为向量a与b的差，记作 a b，即 a b a (b)．
求向量差的运算称为向量的减法．
如图所示，已知向量a与b，在平面内任取一点O，作
→
OA
a
，O→B
b，
则向量
B→即A 为向量a与b的差，即 a b O→A O→B B→A．
起点相同的两个向量a与
在l上任取一点O，则可在l上分别作出 O→A a ，O→B b ，O→C c ．也就是说，任
意一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此，平行向量又称为共线向量．
规定：零向量与任何一个向量平行．
模相等且方向相同的向量称为相等向量．向量 a 与 b 相等记作 a b ．
与向量 a 的模相等，且方向相反的向量称为向量 a 的负向量，记作
解
a b (1，2) (5 ，3) (4 ，5) ，
a b (1，2) (5 ，3) (6 ，1) ，
2a 3b 2 (1，2) 3 (5 ，3) (2 ，4) (15 ，9) (17 ， 5) ．
7.3.3 共线向量的坐标表示
设 a (x1 ，y1) ，b (x2 ，y2 ) ，若 a 与 b 平行，则有 a λb ，用坐标表
解 位移是向量，它包括大小和方向 两个要素．本题中，虽然这两个向量的 模相等，但它们的方向不同，所以，两 辆汽车的位移不相同．如图所示为用有 向线段表示两辆汽车的位移．
方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量．向量a与b平行记作 a ∥b ． 如图所示，向量 a ，b ，c平行，任意作一条与向量a所在直线平行的直线l，
例 2 已知点 A( 1，6，)B (，2 ，3 求) →A B，→B A的坐标．
解
→AB (2 ， 3) (1，6) (3， 9) ，
→
BA
(1，6)
(2
，
3)
(3
，9)
．
7.3.2 向量线性运算的坐标表示
在平面直角坐标系中，设 a (x1 ，y1) ，b (x2 ，y2 ) ，则
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j)
（4） a ga a 2 ，即 a a ga ．
向量的内积满足下面的运算律：
b，其差 a b 仍然是一个向
量，称为a与b的差向量．差
向量的起点是向量b的终点，
终点是向量a的终点．
例题解析
例3 如图（a）所示，已知向量c与d，求作差向量 c d ．
（a）
（b）
解
如图（b）所示，在平面内任取一点O，作
→
OC
c
，O→D
d
，则
→
DC c d
例4 如图所示，平行四边形ABCD的对 角线AC和BD交于点O，且 O→A a ，O→B b ， 试用a和b表示向量 O→C ，O→D ，A→B ，B→C ．
a
．显然，
→
AB
B→A ，
(a)
a
．
规定：零向量的负向量仍为零向量．
例题解析
例2 在图所示向量中，找出：
（1）平行向量；
（2）模相等的向量；
（3）相等向量；
（4）互为负向量的向量．
解 （1）平行向量为
A→B ∥C→D ，B→C ∥
D→E ∥
→
GH
．
（2）模相等的向量为
→
AB
→
CD
，B→C
→
DE
→
GH
解
→
OC
a
，O→D
b
A→B b a ，B→C (a b) ．
7.2.3 平面向量的数乘运算
如图所示，已知非零向量a，O→A 和 O→B ，可以看出，向量a与向量O→A ， O→B 共线，且 O→A 2a ， O→B2a ．
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的模为 λa λ a ． 当 λ 0 时，λa的方向与a的方向相同；当 λ 0时，λa的方向与a
所表示的向量即为
A→B
与
→
AD
的和．这种求和的方法称为向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则
不适用于共线向量．
向量的加法具有以下性质： a 0 0 a a ，a (a) 0
abba (a b) c a (b c)
例题解析
例2 一艘船以4 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，已知河水的水流 速度为3 km/h，求该船的实际航行速度．
解 如图所示，设 表示船向垂直于对岸方向行 驶的速度， 表示水流的速度．由向量加法的平行 四边形法则可知， 就是船的实际航行速度．
根据题意可得 A→C A→D 2 → AB 2 42 32 5．
因为 所以
tan CAB 4 3
CAB 53°．
故船的实际航行速度大小为5 km/h，方向与水流方向的夹角约为53°．
(2) 6 (3) y 0 ，
所以， y 4 ．
7.4 平面向量的内积
7.4.1 平面向量的内积
如左图所示，如果一个物体在力 F 的作用下发生位移 s，那么力 F 所做的功为W F s cosθ ．这表明，力 F 所做的功等于力 F 的大小、
位移 s 的大小及力 F 与位移 s 夹角的余弦的乘积．
(x1 x2 )i ( y1 y2 ) j ．
所以
a b (x1 x2 ，y１ y2 ) ．
类似可得
a b (x1 x2 ，y１ y2 ) ， λa (λx1 ，λy１) ．
例题解析
例 3 设 a ( 1，2，)b ( ，5 ，3 求 ) a b ，a b ，2a 3b ．
i ，j 来表示向量 O→M ，O→N ，M→N ，并写出它们的坐标．
解
O→M 6i 4 j ，O→N 3i 5 j ，
它们的坐标分别为 O→M (6 ，4) ，O→N (3，5) ．
因为 M→N O→N O→M (3i 5 j) (6i 4 j) 9i j ．
所以它的坐标为 M→N (9 ，1) ．
例题解析
例5 如图所示，已知平行四边形ABCD
的两条对角线交于点O，若 A→B a ，A→D b ，
试用a和b表示向量 O→A，O→B ，O→C ，O→D ．
解 因为
→→→
AC AB AD a b
所以
→
OA
1
→
AC
1
(a
b)
2
2
→
OC
1
→
AC
1
(a
b)
2
2
因为 B→D A→D A→B b a
即
a gb a b cosθ ．
由向量内积的定义可以得出以下结论：
（1） a g0 0，0 ga 0 ；
（2） a ，b 同向时， a gb a b ； a ，b 反向时， a gb a b ；
（3）当 a b 时，有 a gb ；反之，当 a gb 时，有 a b ．因 此， a gb a b ；
7.1
• 平面向量的概念
7.2
• 平面向量的线性运算
7.3
• 平面向量的坐标表示
7.4
• 平面向量的内积
7.1 平面向量的概念
标量是指只有大小、没有方向的量，如长度、质量、温度、面积等； 向量是指既有大小、又有方向的量，如速度、位移、力等．
如图所示，规定了起点和终点的线段称为有向线段，记作 A→B ，其箭
如图（a）所示，起点为原点，终点为 P(x ，y) 的向量的坐标为
O→P (x ，y)．
如图（b）所示，起点为 A(x1 ，y1) ，终点为 B(x2 ，y2 ) 的向量的坐标 为
→ AB (x2 x1 ，y2 y1) ．
例题解析
例 1 如图 7-23 所示， i ，j 分别为 x 轴、y 轴上的单位向量．试用
头由A指向B，A称为起点，B称为终点．
向量的大小称为向量的模，记作
→
AB
， a
， →a ．
规定：模为0的向量称为零向量，记作0，零 向量的方向是任意的．
模为1的向量称为单位向量．
例题解析
例1 一辆汽车从A处向正北方向行驶100 m，另一辆汽车从A处向正 东方向行驶100 m，请问两辆汽车的位移相同吗？分别用有向线段表示两 辆汽车的位移．
如右
图所示，
设有两个
非零向量
a
，b
，
作
→
OA
a
，O→B
b
，则
AOB θ(0°剟θ 180°) 称为向量 a ，b 的夹角．
显然，当 θ 0°时，a 与 b 同向；当 θ 180°时，a 与 b 反向；当 θ 90° 时，a 与 b 垂直，记作 a b ．
我们将 a b cosθ 称为向量 a ，b 的内积（或数量积），记作 a gb ，
数学（基础模块）下册
第七章 平面向量
平面向量是一种既有大小、又有方向的量，它的应用非常广泛．
例如，汽车从A点出发向东行驶3 km到达B点，再向南行驶4 km到达C点， 如图所示．
此时若要描述汽车与A点的位置关系， 不仅需要给出汽车与A点之间的距离，还 需要指明汽车相对A点的方向．这就需要 大家了解平面向量的知识．